数学建模 简单优化模型

数学建模中的优化模型优化模型在数学建模中起着重要的作用。

通过优化模型，我们可以找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。

本文将介绍优化模型的基本概念、常见的优化方法以及在实际问题中的应用。

让我们来了解一下什么是优化模型。

优化模型是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量值的过程。

这个过程可以通过建立数学模型来描述，其中包括目标函数、约束条件以及变量的定义和范围。

在优化模型中，目标函数是我们希望最大化或最小化的指标。

它可以是一个经济指标，如利润最大化或成本最小化，也可以是一个物理指标，如能量最小化或距离最短化。

约束条件是对变量的限制，可以是等式约束或不等式约束。

变量则是我们需要优化的决策变量，可以是连续变量或离散变量。

常见的优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。

线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的优化模型。

它可以通过线性规划算法来求解，如单纯形法和内点法。

非线性规划是指目标函数和约束条件中包含非线性项的优化模型。

它的求解方法相对复杂，包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。

整数规划是指变量取值只能是整数的优化模型。

它的求解方法包括分支定界法和割平面法等。

动态规划是一种递推的优化方法，适用于具有最优子结构性质的问题。

优化模型在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在生产计划中，我们可以通过优化模型来确定最佳的生产数量和生产时间，以最大化利润或最小化成本。

在资源分配中，我们可以通过优化模型来确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。

在交通调度中，我们可以通过优化模型来确定最短路径或最优路径，以最小化行驶时间或最大化交通效率。

优化模型还可以应用于金融投资、供应链管理、电力系统调度、网络优化等领域。

通过建立数学模型和选择合适的优化方法，我们可以在复杂的实际问题中找到最优的解决方案，提高效率和效益。

优化模型在数学建模中是非常重要的。

它通过建立数学模型和选择合适的优化方法，帮助我们找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。

四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。

1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于NP 难问题。

● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。

工人i 完成工作j 的时间为ij d 。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP 问题是VRP 问题的特例。

● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

会议筹备的优化模型摘要：本文针对会议筹备过程中的有关问题，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。

在尚不知道实际参加会议人数的情况下，我们根据以往几届会议代表回执和与会情况（详见附表3），通过Excel进行数据拟合，建立起指数函数拟合，从而预测出本届会议代表的实际参加人数。

我们把整个会议筹备方案分成三个子方案，即预订宾馆客房方案、租借会议室方案、租用客车方案。

在满足经济、方便、代表满意这三个方面的前提下，对其逐一进行解决，最后再进行汇总，即可得到我们所需要的会议筹备方案。

以下是本文的简要流程。

首先，我们根据附表2，分析了本届会议的代表回执中有关住房要求的信息，运用比例权重的方法，确定每一类型住房要求所占的权重，从而得出本届会议代表每一类型住房的房间个数。

其次，我们通过对附表2进行统计分析，运用比例权重的方法，计算出附表2中各项住房要求所占的权重，得出每一项住房要求在总体中所占的比例。

再依据假设7，可得到实际参加会议代表的不同类型住房的人数，从而解决了住房要求的问题。

在确定不同类型住房的人数的情况下，考虑各代表的满意度及路程上的远近，从经济的角度出发，从低价选起，对备选的10家宾馆进行筛选，即可得出预订宾馆客房方案。

接着，对于租借会议室方案，我们运用0-1规划的方法来进行解决。

通过考虑第i个宾馆第j种会议室和第i个宾馆第j种会议室的价格之间的关系，以及有关的约束条件，将目标函数设为租借会议室的费用达到最低，然后运用LINDO 求解，即可得到租借会议室的最优方案。

最后，关于租用客车方案，我们考虑了代表满意度和租车费用之间的动态平衡，采取就近原则策略，运用初等数学知识，确定需要达到各宾馆的人数。

并以此为租用客车方案的理论人数依据，得到租用客车的优化方案。

关键字：指数函数拟合，0-1规划模型，最优方案，会议筹备1.问题重述某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。

数学建模组合优化模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解的技术。

在实际应用中，很多问题都可以使用组合优化模型来描述和解决。

组合优化模型主要研究如何在给定的约束条件下，找到最优的组合方式。

组合优化模型最早出现在20世纪50年代，当时主要应用于军事领域。

随着计算机技术的发展和应用范围的扩大，组合优化模型的研究逐渐扩展到了经济、交通、电力、通信等各个领域。

组合优化模型的基本思想是将问题抽象为一个图或者网络，通过定义合适的目标函数和约束条件，寻找使得目标函数最优的节点或者路径。

在组合优化模型中，最常见的问题包括最短路径问题、旅行商问题、背包问题、任务调度问题等。

在组合优化模型中，最常见的方法是枚举法、贪心法、动态规划法和分支定界法等。

枚举法是最简单的方法，它逐个考虑每种组合情况，然后计算出目标函数的值，并找出最优解。

贪心法是一种局部最优的方法，它每次都选择使得目标函数最优的节点或者路径，然后不断迭代直到找到最优解。

动态规划法是一种通过将问题划分成若干个子问题，并通过求解子问题的最优解得到原问题的最优解的方法。

分支定界法是一种通过将问题划分成若干个子问题，并剪枝掉不可能成为最优解的子问题，从而找到最优解的方法。

为了解决组合优化模型，需要建立合适的数学模型，并采用适当的求解方法。

建立数学模型的过程主要包括以下几步：明确问题目标、确定决策变量、建立目标函数、建立约束条件。

在建立模型的过程中，需要根据实际问题的特点选择合适的模型和方法。

总之，组合优化模型是一种将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行求解的技术。

组合优化模型已经广泛应用于各个领域，并取得了很多重要的成果。

未来，随着计算机技术的进一步发展和应用需求的不断增加，组合优化模型将会发挥越来越重要的作用。

P104页，复习题题目：考虑以下“食谱问题"：某学校为学生提供营养套餐，希望以最小的费用来满足学生对基本营养的需求按照营养学家的建设，一个人一天要对蛋白质，维生素A和钙的需求如下：50g蛋白质、4000IU维生素A和1000mg的钙，我们只考虑以不食物构成的食谱：苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁和鸡蛋，其营养含量见下表。

制定食谱，确定每种食物的用量，以最小费用满足营养学家建议的营养需求，并考虑：（1）对维生素A的需求增加一个单位时是否需要改变食谱？成本增加多少？如果对蛋白质的需求增加1g呢？如果对钙的需求增加1mg呢？（2）胡萝卜的价格增加Ⅰ角时，是否需要改变食谱？成本增加多少？问题分析：（1）此优化问题的目标是使花费最小.（2）所做的决策是选择各种食物的用量，即用多少苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁，鸡蛋来制定食谱。

（3）决策所受限制条件：最少应摄入的蛋白质、维生素和钙的含量（4）设置决策变量：用x1表示苹果的个数、x2表示香蕉的个数、x3表示胡萝卜的个数、x4表示枣汁的杯数量、x5表示鸡蛋的个数（5）x1个苹果花费10·x1角x2个香蕉花费15·x2角x3个胡萝卜花费5·x3角x4杯枣汁花费60·x4角x5个鸡蛋花费8·x5角目标函数为总花费金额：z=10·x1+15·x2+5·x3+60·x4+8·x5 (角)（6）约束条件为：最少摄入蛋白质的含量：0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥50最少摄入维生素A的含量：73x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥4000最少摄入钙的含量：10x1+15x2+5x3+60x4+8x5≥1000非负约束：x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0优化模型：minz =10x 1+15x 2+5x 3+60x 4+8x 5s.t. 0.3x 1+1.2x 2+0.7x 3+3.5x 4+5.5x 5≥5073x 1+96x 2+20253x 3+890x 4+279x 5≥4000 9.6x 1+7x 2+19x 3+57x 4+22x 5≥1000 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0由线性规划模型的定义，容易得到线性规划的性质：1. 比例性 每个决策变量的对目标函数的“贡献”与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比.2. 可加性 各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其他决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其他决策变量的取值无关.3. 连续性 每个决策变量的取值是连续的. 考察本题，实际上隐含下面的假设 ：1.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与各自的用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素、钙的含量是与各自的用量无关的常数.（线性规划性质1—比例性）2.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与它们相互间用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素A 、钙的含量是与它们相互间的用量无关的常数. （线性规划性质2—可加性）3. 购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋的数量都是实数. (线性规划性质3—连续性) 模型求解：（决策变量是5维的，不适用图解法求解模型）软件求解：线性规划模型：min z=10x1+15x2+5x3+60x4+8x5s.t. 0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥5073x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥40009.6x1+7x2+19x3+57x4+22x5≥1000x1,x2,x3,x4,x5≥0模型全局最优解：(Global optimal solution)x1=0x2=0x3=49.38272x4=0x5=2.805836z的最优值为269.3603角用LINGO 软件求解，得到如下输出：结果分析：1. 3个约束条件的右端项可视为3种资源：蛋白质含量、维生素A 含量、钙含量.LINGO 的输出项Row Slack or Surplus ，给出了3种资源在最优解下的剩余.2.目标函数可视为“支出（成本）”，紧约束的“资源”增加1单位时，“支出”的增加由LINGO 的输出项 Dual Price 给出。

数学建模中的模型优化与参数校准数学建模是解决实际问题的一个重要手段，通过对实际问题进行抽象和建模，可以利用数学方法求解问题并得到结果。

模型的优化和参数校准是数学建模过程中的两个重要的环节，本文将对这两个环节进行详细的探讨。

一、模型优化模型优化是指对已有的模型进行改进，使其更加适合于解决实际问题。

在实际应用中，我们往往会发现原有的模型存在一些缺陷，或者不能满足我们的需求，这时就需要对模型进行优化。

模型优化的方法很多，常用的方法包括参数调整、模型结构调整、数据采集等。

其中，参数调整是最常用的方法之一。

在建立模型时，我们往往需要确定一些参数，这些参数对模型的性能有着重要的影响。

如果模型的参数选择不合适，那么模型的预测结果可能会偏差较大。

因此，在实际应用中，我们需要对模型的参数进行调整，以获得更好的预测效果。

模型参数的调整通常有两种方法，一种是手动调节，另一种是自动调节。

手动调节的方式需要根据实际经验和知识对参数进行调整，这种方法虽然简单，但存在人为主观性较强的问题。

自动调节的方式则通过计算机算法自动调整模型参数，可以较好地解决人为主观性较强的问题，并且可以快速找到最优的参数组合，提高模型的预测精度。

另外，模型结构调整也是模型优化的一个重要方法。

模型的结构可以根据实际问题进行调整，例如，可以增加一些变量来改进模型的预测效果。

此外，数据采集也是模型优化的一个重要环节，通过增加更多的数据可以提高模型的预测精度，但同时也需要保证数据的质量和可靠性。

二、参数校准参数校准是指对模型中的参数进行调整，使得模型更加符合实际情况。

在实际应用中，我们往往需要将模型对实际问题进行预测，而模型中的参数是根据历史数据确定的，这些参数未必完全适用于实际问题。

因此，我们需要对模型中的参数进行校准，以获得更准确的预测结果。

参数校准通常需要依赖于实验数据，通过实验数据对模型中的参数进行调整，以获得更符合实际情况的模型。

参数校准的方法很多，常用的方法包括随机搜索、改进的遗传算法、模拟退火算法等。

数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。

从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。

而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。

优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。

这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。

为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。

假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。

生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。

每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。

A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。

那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。

我们可以用数学语言来描述它。

设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。

那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。

同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。

接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。

常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。

对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。

线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。

通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。

然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。

在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。

数学建模中的模型评价与优化在数学建模中，模型评价和优化是不可或缺的步骤。

模型评价旨在评估所构建数学模型的准确性和可靠性，而模型优化则旨在找到最优解或使模型的性能达到最佳状态。

本文将探讨数学建模中的模型评价和优化的重要性以及常用的方法和技巧。

1. 模型评价模型评价是数学建模过程中的关键一步。

它的目的是衡量模型的准确性和可靠性，以确定该模型是否能够有效地解决现实问题。

以下是一些常用的模型评价方法：1.1 准确性评估准确性评估是评价模型预测结果与实际观测值之间的吻合程度。

常见的准确性评估指标包括均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）和决定系数（R-squared）。

通过计算这些指标，可以评估模型在不同数据集上的预测能力。

1.2 稳定性评估稳定性评估是评价模型对输入数据的变化的敏感程度。

模型应该对于轻微的数据扰动不敏感，以确保其可靠性和鲁棒性。

可以使用灵敏度分析、蒙特卡洛模拟等方法来评估模型的稳定性。

1.3 可解释性评估可解释性评估是评价模型的可解释性和可理解性。

模型应该能够提供直观的解释和解释其预测结果的原因。

一些方法，如局部敏感度分析和决策树，可以帮助评估模型的可解释性。

2. 模型优化模型优化旨在找到最优解或使模型的性能达到最佳状态。

模型优化常用的方法包括以下几种：2.1 参数优化参数优化是通过调整模型中的参数来最小化或最大化某个指标。

常见的参数优化方法包括梯度下降法、遗传算法和模拟退火算法等。

通过寻找最优参数组合，可以使模型的性能得到提升。

2.2 约束优化约束优化是在考虑某些限制条件下，寻找使目标函数达到最优的变量值。

常见的约束优化方法包括线性规划、整数规划和非线性规划等。

约束优化可以用于解决实际问题中的资源分配、路径规划等问题。

2.3 多目标优化多目标优化是在存在多个相互竞争的目标的情况下，寻找一组最优解。

常见的多目标优化方法包括多目标遗传算法和多目标粒子群优化等。

多目标优化可以用于解决实际问题中的多目标决策和多目标规划等。