简单的优化模型练习题

１、放射性废料的处理问题美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为９0多米的海底。

生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂,从而造成核污染。

原子能委员会分辨说这是不可能的。

为此工程师们进行了碰撞实验。

发现当圆桶下沉速度超过１２.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。

这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为２39.46 ｋg,体积为0.2058m3,海水密度为1035.７1ｋｇ/ｍ3,如果圆桶速度小于1２.２m／s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。

假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k＝0.6。

现要求建立合理的数学模型,解决如下实际问题：1．判断这种处理废料的方法是否合理?2．一般情况下,ｖ大，k也大;v小,k也小。

当v很大时，常用kｖ来代替k,那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过12.2 m／ｓ,圆桶的运动时间和位移应不超过多少? (的值仍设为0.6)鱼雷攻击问题在一场战争中，甲方一潜艇在乙方领海进行秘密侦察活动。

当甲方潜艇位于乙方一潜艇的正西100千米处,两方潜艇士兵同时发现对方。

甲方潜艇开始向正北60千米处的营地逃跑,在甲方潜艇开始逃跑的同时，乙方潜艇发射了鱼雷进行追踪攻击。

假设甲方潜艇与乙方鱼雷是在同一平面上进行运动。

已知甲方潜艇和乙方鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲方潜艇速度的两倍。

试建立合理的数学模型解决以下问题:1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹;2) 确定甲方潜艇能否安全的回到营地而不会被乙方鱼雷击中3、贷款买房问题某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率１%，贷款期为２5年,要求建立数学模型解决如下问题：1）问该居民每月应定额偿还多少钱？2)假设此居民每月可节余700元,是否可以去买房?4、养老保险问题养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择,分析保险品种的实际投资价值。

多目标优化问题是一个复杂的问题，它涉及到多个相互冲突的目标，需要在这些目标之间找到平衡。

以下是一个简单的多目标优化问题的例子：
假设我们有一个公司，它希望在生产线上进行一些改进，以提高生产效率和降低生产成本。

但是，这些改进可能会对环境产生负面影响。

因此，我们需要找到一个平衡点，使得在提高生产效率和降低生产成本的同时，也尽可能地减少对环境的负面影响。

设x为生产线的改进程度，y为生产效率的提高程度，z为生产成本的降低程度，a为对环境的负面影响程度。

我们的目标是找到一个最优解，使得在满足生产效率和成本降低的同时，尽可能地减少对环境的负面影响。

这可以通过以下数学模型表示：minimize f(x, y, z, a) = (y - y0) + (z - z0) - (a - a0)
s.t.
g1(x, y, z, a) = y/x - r1 >= 0
g2(x, y, z, a) = z/x - r2 >= 0
g3(x, a) = a/x - r3 >= 0
其中，y0、z0和a0分别是生产效率、生产成本和对环境的负面影响的目标值，r1、r2和r3分别是生产效率、生产成本和对环境的负面影响的权重因子。

这是一个多目标优化问题，因为我们需要同时满足多个目标：提高生产效率和降低生产成本、减少对环境的负面影响。

我们需要找到一个最优解，使得这些目标之间达到平衡。

数学建模与应用案例练习题数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法和计算机技术求解的过程。

它在各个领域都有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解决现实中的复杂问题。

下面我们将通过一些具体的案例练习题来深入了解数学建模的方法和应用。

案例一：生产计划优化问题某工厂生产 A、B 两种产品，生产 A 产品每件需要消耗 2 个单位的原材料和 3 个单位的工时，生产 B 产品每件需要消耗 3 个单位的原材料和 2 个单位的工时。

工厂现有 100 个单位的原材料和 80 个单位的工时，A 产品的单位利润为 5 元，B 产品的单位利润为 4 元。

问如何安排生产计划，才能使工厂获得最大利润？首先，我们设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件。

那么，目标函数就是利润最大化，即 Z ＝ 5x ＋ 4y。

然后，我们需要考虑约束条件。

原材料的限制为 2x ＋3y ≤ 100，工时的限制为 3x ＋2y ≤ 80，同时 x、y 都应该是非负整数。

接下来，我们可以使用线性规划的方法来求解这个问题。

通过绘制可行域，找到目标函数在可行域上的最大值点。

经过计算，我们可以得出当 x ＝ 20，y ＝ 20 时，工厂能够获得最大利润 180 元。

这个案例展示了数学建模在生产决策中的应用，通过合理地安排生产计划，能够有效地提高企业的经济效益。

案例二：交通流量预测问题在一个城市的某个十字路口，每天不同时间段的车流量不同。

我们收集了过去一段时间内每天各个时间段的车流量数据，希望建立一个数学模型来预测未来某一天的车流量。

首先，我们对收集到的数据进行分析，发现车流量具有一定的周期性和季节性变化。

然后，我们可以选择使用时间序列分析的方法来建立模型。

比如，可以使用 ARIMA 模型（自回归移动平均模型）。

在建立模型之前，需要对数据进行预处理，包括平稳性检验、差分处理等。

通过建立合适的 ARIMA 模型，并进行参数估计和检验，我们就可以利用这个模型对未来的车流量进行预测。

knn算法练习题K最近邻（k-nearest neighbors，简称knn）算法是一种常用的分类和回归方法。

它的核心思想是利用距离度量的方式，通过找出离目标样本最近的k个邻居来进行预测和决策。

在本练习题中，我们将通过一个具体的案例来应用knn算法，并探讨其在实际问题中的应用。

案例背景：假设我们是一家电商公司，目前正着手开发一个基于用户购买历史的商品推荐系统。

我们已经收集到了一些用户的购买数据，并从中选取了一部分数据作为训练集，另外一部分数据作为测试集。

我们的目标是根据用户的购买历史来预测他们可能会购买的商品类别。

任务描述：根据给定的训练集和测试集数据，利用knn算法来预测测试集中的商品类别，并计算预测准确率。

数据说明：我们的训练集和测试集数据均由特征和标签组成。

特征表示用户的购买历史，标签表示商品的类别。

具体数据如下：训练集：特征：购买历史标签：类别测试集：特征：购买历史标签：未知算法实现：我们的任务是利用knn算法来实现商品类别的预测。

下面是一个基本的knn算法的实现过程：1. 读取训练集和测试集的数据。

2. 对训练集中的特征进行归一化处理，以消除不同特征之间的量纲差异。

3. 遍历测试集中的每一个样本。

4. 对于每个测试样本，计算它与训练集中每个样本的距离。

5. 根据给定的k值，选择距离最近的k个样本。

6. 统计这k个样本中最常出现的标签。

7. 将这个标签作为测试样本的预测结果。

8. 计算预测准确率。

代码实现：下面给出一个基本的knn算法的代码实现：```pythonimport numpy as npdef knn(train_X, train_y, test_X, k):train_X = (train_X - np.min(train_X, axis=0)) / (np.max(train_X, axis=0) - np.min(train_X, axis=0))test_X = (test_X - np.min(test_X, axis=0)) / (np.max(test_X, axis=0) - np.min(test_X, axis=0))distances = np.sqrt(np.sum(np.square(train_X - test_X), axis=1))sorted_indices = np.argsort(distances)k_nearest_labels = train_y[sorted_indices[:k]]predicted_label = np.argmax(np.bincount(k_nearest_labels))return predicted_labeltrain_X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])train_y = np.array([0, 1, 1])test_X = np.array([2, 3, 4])k = 2predicted_label = knn(train_X, train_y, test_X, k)print("Predicted label:", predicted_label)```以上代码为简化版本，仅供参考。

3D练习题一、基础知识部分1. 请列举出3D建模常用的软件。

2. 3D建模的主要步骤有哪些？3. 简述UV展开在3D建模中的作用。

4. 什么是三维空间中的坐标系统？请举例说明。

5. 3D模型有哪些常见的文件格式？它们各自的特点是什么？二、模型制作部分1. 请使用Blender软件创建一个简单的立方体模型。

2. 在Maya软件中，如何创建一个球体模型并进行平滑处理？3. 使用3ds Max软件，制作一个茶壶模型，并为其添加材质。

4. 在Substance Painter中，如何为3D模型贴图？5. 如何在ZBrush中雕刻复杂细节的3D模型？三、动画制作部分1. 简述关键帧动画的制作流程。

2. 在Maya中，如何设置一个简单的走路动画？3. 请使用3ds Max制作一个物体从静止到自由落体的动画。

4. 如何在Blender中为角色创建面部表情动画？5. 请举例说明什么是反向动力学（IK）动画？四、渲染与特效部分1. 简述全局光照（Global Illumination）在渲染中的作用。

2. 如何在VRay中设置材质的反射属性？3. 在Arnold渲染器中，如何实现景深效果？4. 请使用After Effects为3D动画添加光束特效。

5. 如何在Nuke中合成3D渲染图像与实拍素材？五、综合应用部分1. 设计一个简单的3D游戏场景，包括主角、道具和背景。

2. 制作一部3D动画短片，包含角色、场景和简单剧情。

3. 为一部电影制作一段3D特效镜头，包括粒子效果、流体模拟等。

4. 使用3D技术，为一栋建筑制作室内外效果图。

5. 请结合虚拟现实（VR）技术，设计一个互动式的3D体验场景。

六、灯光与阴影部分1. 请解释三种常见的3D灯光类型及其特点。

2. 如何在Unity中设置实时灯光效果？3. 在3ds Max中，如何使用光度学灯光创建真实的光照环境？4. 简述在Blender中如何使用HDR环境贴图来增强场景的真实感。

数学建模与优化考试试题题目一：某市的公交公司需要对公交车的发车时间进行调整，以满足市民的出行需求，并尽量减少公交车的等待时间和拥挤情况。

为了有效地解决这个问题，我们使用数学建模和优化的方法进行分析。

1. 问题描述某市公交车的运营时间为早上6点至晚上10点，每天间隔一段固定的时间发车。

公交车站点数量为M，每个站点的上下客时间为Ti。

现有数据显示，在早高峰时段（7点至9点）和晚高峰时段（17点至19点）市民出行需求较大，其他时间段市民出行需求较小。

公交公司希望尽量减少市民的等待时间和公交车的拥挤情况，提高出行效率。

因此，需要调整公交车的发车时间以适应市民的出行需求。

2. 模型建立建立一个数学模型来分析最优的公交车发车时间。

首先，我们将问题简化为一个最小化等待时间和最小化拥挤度的目标函数。

然后，通过对每个站点发车时间的调整，最大限度地优化这个目标函数。

3. 数据收集与分析为了准确建立模型，需要收集和分析以下数据：- 各个站点在早高峰时段和晚高峰时段的平均上下客时间；- 各个站点在各个时间段的客流量统计数据；- 公交车到站时间的统计数据。

4. 模型求解利用收集到的数据和已经建立的数学模型，可以通过数学优化算法求解最优的公交车发车时间。

该算法将最小化等待时间和拥挤度作为目标函数，并考虑到市民出行需求的变化。

5. 结果分析与改进根据模型求解的结果，可以进行结果分析，并对公交车发车时间进行进一步的调整和优化。

同时，还可以对模型进行改进，如引入更多的因素，如天气、节假日等。

题目二：某工厂需要优化生产线的排布和生产策略，以提高生产效率和降低成本。

为了完成这个任务，我们使用数学建模和优化的方法进行分析。

1. 问题描述该工厂的生产线包括多个工作站，每个工作站都有不同的生产能力和工作时间。

目前，生产线的排布和生产策略并不完善，导致生产效率低下和成本较高。

工厂希望通过优化生产线的排布和生产策略，提高生产效率，降低成本。

2. 模型建立建立一个数学模型来分析最优的生产线排布和生产策略。

数学建模练习题一．某学校有三个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名.若学生代表会议设20各级席位,公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有10,6,4个席位,现在丙系有6名学生转入甲乙两系,各系人数如表第二列所示,仍按比例(表中第三列)分配席位时出现了小数(表中第四列),在将取得整数的19席分配完毕后,三席同意剩下的1席参照所谓惯例分给比例中小数最大的系,于是三系分别占有10,6,4席(表中第5列)因为有20个代表会议在表决的时候可能出现10:10的局面,会议决定下一届增加一席,他们按照上述方法重新分配席位,计算结果见表6,7列,显然这个结果对丙系太不公平了.因为总席位增加一席,而丙系却由4席减为3席.按照比例并参照惯例的席位分配甲103 51.5 10.3 10 10.815 11乙63 31.5 6.3 6 6.615 7丙34 17.0 3.4 4 3.570 3总和200 100.0 20.0 20 21.000 21要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配分配方法解答:Pī/Nī表示第ī个单位每个代表名额代表的人数采用相对标准,引入相对不公平概念.如果P1/n1>P2/n2,则说明A方是吃亏的,或说对A方不公平.对A的相对不公平度:rA(n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p2/n2)=(p1n2)/(p2n1)-1对B的相对不公平度:rB(n1,n2)=(p2n1)/(p1n2)-1情形1:P1/(n1+1)>p2/n2,表明即使A方再增加一个名额,仍然对A方不公平,所以这个名额当然给A方情形2:P1/(n1+1)<p2/n2,表明A增加一个名额后,就对B方不公平,这时B的相对不公平度为:rB(n1+1,n2)=p2(n1+1)/p1n2-1情形3:(P1/n1)>p2/(n2+1) ,表明B增加一个名额后,就对A方不公平,这时A的相对不公平度为: rA(n1,n2+1)=p1(n2+1)/p2n1-1由以上三种情形可知,若情形1发生,名额给A方.否则须考查rB(n1+1,n2)和rA(n1,n2+1)的大小关系.如果rB<rA,则名额给方,否则给B方.由于rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1)等价于P2＊P2/n2(n2+1)< P1＊P1/n1(n1+1)若情形1发生,上式仍成立,记作Qi=pi＊pi/ni(ni+1)增加名额给Q值较大一方.Q甲=103＊103/10(10+1)=96.445Q乙=63＊63/6(6+1)=94.5Q丙=34＊34/4(4+1)=57.8因此名额加给甲班二，不确定环境下供应链的生产与订购决策问题不确定环境下供应链的生产与订购与订购决策问题摘要供应链管理作为一种新型企业关系管理模式在现代市场竞争中为企业生产和发展提供了一种工具,本文就 A 题给出的在不确定环境下供应链的生产和订购决策问题进行研究,展开讨论,分析和建立数学模型,利用数学软件进行求解. 对于问题一:只考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链,在假设商品的最终需求量是确定的,而生产商生产商品量是不确定的情况下采用线性规划的方法建立数学模型,分别建立生产商和销售商获得利润的两个方程式,针对两个方程中的一些变量进行限制,当生产商和销售商的利润同时达到最大值时就是该供应链的最优解,最后利用 lingo 软件进行编程和求解. 对于问题二:在问题一的供应链的基础上,增加了一个条件那就是我们商品的市场需求量也是随机的,并且有一个商品市场需求量的期望值=400,需求量的波动区间是[0.8,1.2], 利用正态分布中的 3 原则,求解出 ,再利用正态分布的密度公式Ρ √2 1 , ∞ ∞ 列出一个相关式求解出求解出销售商的最优订购量 Oi 再利用线性规划的方法将所求的 Oi 做为一个已知数列解一个生产商所获利润的方程,并且加入相应的限制条件就可求出生产商最优计划产量的最优解. 对于问题三:考虑在实际生产中,大多数供应链具有两级不确定性,即原产品生产的不确定性和产成品生产的不确定性;总体再利用线性规划的相关性列出两个线性方程,以及对其加入相应的限制条件,求解出供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量. 关键词: 关键词:供应链线性规划正态分布最优订购量最优计划产量 1. 问题对于第一问和第二问,只考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链,即销售商向生产商订购商品,生产商将商品按批发价格批发给销售商,销售商将商品按销售价格销售给最终顾客.其中相关已知条件有如下表所示: 生产成本/个生产商销售商 20 库存成本/个 5 5 缺货赔偿金/个出售价格/个 15 25 40 60 (1)若假设商品的最终需求量是确定的,即商品市场需求量为 400.而生产商生产商品量是不确定的,即由于受到各种随机因素的影响,商品实际产量可能不等于计划产量,呈随机波动,若生产商计划生产量为 Q,则商品生产量的波动区间为[0.85,1.15],即产品实际产量的区间为[0.85Q,1.15Q].. 建立数学模型, 确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量. 根据建立的数学模型,求解供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量. (2)在问题(1)的供应链中,如果商品的市场需求量也是随机的,商品市场需求量的期望为400,市场需求量的波动区间为[0.8,1.2],即实际市场需求量的区间为[320,480].请建立数学模型,确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量.根据建立的数学模型,求解供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量. 对于第三问,考虑在实际上,大多数供应链具有两级生产不确定性,即原产品生产的不确定性和产成品生产的不确定性,一级生产商生产原产品(或原材料) ,二级生产商向一级生 5 产商订购原产品(或原材料) ,并通过加工原产品(或原材料)生产产成品,进而销售给最终顾客,两级生产均具有不确定性.相关的已知条件如下表所示: 生产成本/个库存成本/个缺货赔偿/个加工成本/个售价/个一级生产商二级生产商 20 5 7 15 30 10 40 95 (3)若假设产成品的市场需求量是确定的,即产成品市场需求量为 280.原产品生产量的波动区间为[0.85,1.15],产成品生产量的波动区间为[0.9,1.1].请建立数学模型,研究在两级生产不确定的供应链中,二级生产商(产成品生产商)的最优订购量和一级生产商(原材料或原产品生产商)的最优计划产量.根据建立的数学模型,求解供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量. 2 符号说明销售商的利润生产商的利润一级生产商利润二级生产商利润销售商订购量二级生产商的订购量商品生产量的波动区间和原产品生产量的波动区间系数产成品生产量的波动区间系数实际市场需求量波动系数生产商和一级生产商的最优计划生产量商品市场需求量的期望值 1. 生产商的计划生产量始终大于订购量; 2. 市场的最终需求是确定的;3. 商品生产量波动是连续的; 3 模型假设4. 市场需求量波动是连续的且服从正态分布;5. 原材料生产量的波动是连续的. 6 4,问题分析这是一个优化问题,要决策的是生产商的最优计划量和销售商的最优订购量,即所谓的优化组合,要达到的目标有二, .一般来说这两个目标是矛盾的,销售商订购的越多(在生产商的能力范围之内) ,生产商的净收益越大,但销售商的市场需求量是有约束的,销售商卖不出去,就要储存需要库存成本,那销售商的净收益就会很小.所以需要更多的约束条件使这两个目标同时达到最优的即所谓的最优决策,我们追求的只能是,在确定的订购量下生产商的净收益最大的决策,和在确定的生产量下销售商净收益最大的决策,使生产商的计划生产量和销售商的订购量按一定比例组合最优的决策.这就是说在不同的约束条件下,只要建模合理,答案可以是多种. 建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量,构造目标函数和确定约束条件.对于本题决策变量是明确的,即最优计划量,销售商的最优订购量商品,生产量的波动值和市场实际需求量的波动值(题中第一问的该值为一) ,目标函数之一是销售商的总收益最大,目标函数之二是生产商的总收益最大.而生产商的总收益用他的实际生产量和销售商的订购量衡量,销售商的总收益用他的订购量和市场的实际需求量衡量. 5,模型建立 5.1 问题一,二供应链的相关关系图如下所示: 计划生产量实际生产量订购量市场需求量销售商销售销售产品批发生产商生产产品成本批发价产品库存成本库存成本缺货赔偿金缺货赔偿金销售单价 7 5.2 问题一模型的建立对于问题 1 模型的建立,讨论如何调整销售商的订购量和生产商计划生产量使生产商和订购商的利润最大. 根据前面的模型假设,从生产商的角度考虑,由于单位商批发缺货成本太大,所以不予考虑缺货状态下销售商利润和生产商的利润.计划生产量是假想情况下在规定的时间所能生产的产品量,但总有突发事件发生导致生产商的计划生产量与实际生产量有出入,生产商为了保证自己的利润最大即花费不至过大,一定不能缺货,因为缺货一个所损失的赔偿金抵上多生产三个产品在储存上的花费.而不能缺货,生产商的计划产量就要始终大于订购商的订购量.而从销售商的角度考虑,订购量与上述生产商一致,不能缺货,因为缺货一个所损失的赔偿金抵上多订购五个产品在储存上的花费,而在成本方面,现在卖不出去以后搞促销一样可以卖出去.具体分析如下: 1)当 Q>400,既订购量大于市场需求量,所以销售商和订购商的利润分别为: max=60*400-40* max=40* -20* -5*( *Q-5*( -400); *Q) (1) (2) 当 Q<400,即订购量小于市场需求量,所以销售商和订购商的利润分别为: max=60*400-40* -25*(400max=40* )(3) -20* *Q-15*( *Q) (4) 针对上述描述分析中的各种范围讨论,我们采用的是线性规划方法,先利用供应链中各种数据存在的关系,列出生产商和销售商利润求值关系式,如下所示: 1 2 60 400 40 40 20 5 5 400,0 25 ,0 15 400 ,0 ,0 (5) (6) 当供应链中生产商的利润 Pj 与销售商的利润 Pi 在应链的限制条件中同时达到最大值时, 8 我们就可以利用数学软件编程求解出我们的销售商的最优订购量 Oi 和生产商的最优计划产量Q .5.3 问题二模型的建立对于问题 2 模型的建立,在问题一的基础上,商品市场需求量变为随机的,讨论如何调整销售商的订购量和生产商计划生产量使生产商和订购商的利润最大.我们首先知道了商品市场需求量的期望值为 400,根据条件已知期望,属于概率与数理统计范围,又根据前面模型假设知道了销售商的实际订购量符合正态分布根据正态分布中 3 原则即: 设Χ~Ν , ,则Ρ |Χ | σΦΦ0.6826, 0.9545, 0.9973, 1; 2; 3. 从上式中可以看出:尽管正态变量的取值范围是( ∞,。

浙江三维建模练习题一、基础知识类1. 请列举三维建模常用的软件及其特点。

2. 简述三维建模的基本流程。

3. 三维建模中，常用的几何元素有哪些？4. 什么是网格模型？简述其优缺点。

二、建模技巧类1. 如何在三维建模软件中创建一个正方体？2. 如何通过拉伸、旋转、放样等方法创建复杂模型？3. 请举例说明如何使用布尔运算进行模型组合。

4. 如何对模型进行平滑处理？5. 如何在三维建模软件中实现贴图和材质效果？三、场景布局类1. 请设计一个室内场景，包括家具、电器和装饰品。

2. 创建一个室外景观，包括建筑物、道路、绿化等。

3. 如何在场景中设置合理的灯光效果？4. 请为一个场景添加环境效果，如雾、雨、雪等。

5. 如何实现场景的渲染和输出？四、动画制作类1. 如何在三维建模软件中创建关键帧动画？2. 请设计一个简单的物体运动动画。

3. 如何实现角色骨骼绑定和动画？4. 请为一个场景制作一段镜头动画。

5. 如何输出动画文件并进行后期处理？五、综合应用类1. 请利用三维建模技术，设计一款手机模型。

2. 结合现实场景，创建一个古建筑模型。

3. 如何将三维模型应用于产品展示？4. 请为一部动画片设计角色模型和场景。

5. 如何利用三维建模技术进行虚拟现实（VR）场景制作？六、逆向工程类1. 简述逆向工程在三维建模中的应用。

2. 如何使用三维扫描仪进行物体扫描？3. 请通过逆向工程方法，复原一个破损的文物模型。

4. 如何处理扫描数据中的噪声和漏洞？5. 请对比正向设计与逆向工程在模型创建上的差异。

七、模型优化类1. 如何对三维模型进行拓扑优化？2. 请简述减少模型面数的方法及其优缺点。

3. 如何检测和修复模型中的几何错误？4. 如何优化模型以满足不同渲染引擎的要求？5. 请举例说明模型轻量化的意义及其应用场景。

八、材质与纹理类1. 请列举常见的三维模型材质类型及其特点。

2. 如何在三维建模软件中创建自定义材质？3. 简述纹理映射的基本原理。

数学建模习题景德镇陶瓷学院信息工程学院习题一1.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余不变。

试构造模型并求解。

2.模仿1.4节商过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

3.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：（1）分段的指数增长模型。

将时间分为若干段，分别确定增长率r 。

（2）阻滞增长模型。

换一种方法确定固有增长率r 和最大容量m x 。

4.说明1.5节中Logistic 模型(9)可以表为)(01)(t t r m ex t x --+=,其中0t 是人口增长出现拐点的时刻,并说明0t 与r, m x 的关系.5.假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+∆t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。

6.某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿。

次日早8：00沿同一条路径下山，下午5：00回旅店。

某乙说，甲必在二天中的同一时刻经过路径中的同一地点。

为什么？7.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。

问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。

如果是n支球队比赛呢？8.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。

甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。

问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。

线性规划练习题及解答线性规划是数学中一种常见的优化方法，它广泛应用于实际问题的解决中。

本文将提供一些线性规划的练习题及解答，以帮助读者更好地理解和运用线性规划。

练习题1：某公司生产两种产品：甲品和乙品。

每天可用于生产的原料数量分别为A和B。

已知每单位甲品所需的原料A和B的消耗量分别为a1和b1，每单位乙品所需的原料A和B的消耗量分别为a2和b2。

假设甲品和乙品的利润分别为p1和p2，求解出该公司在给定原料限制下能获得的最大利润。

解答：设甲品的生产量为x，乙品的生产量为y，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y。

受限条件为原料A的消耗量限制 a1 * x + a2 * y <= A，原料B的消耗量限制 b1 * x + b2 * y <= B。

另外，x和y的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0）。

这样，我们可以得出完整的线性规划模型如下：maximize p1 * x + p2 * ysubject to:a1 * x + a2 * y <= Ab1 * x + b2 * y <= Bx >= 0y >= 0练习题2：某工厂生产三种产品：甲、乙、丙。

已知每单位甲、乙、丙产品的利润分别为p1、p2、p3，每天需要的原材料A、B的数量为a和b，每单位甲、乙、丙产品消耗的原材料A、B的数量分别为a1、b1和a2、b2以及a3、b3。

现在要求在给定的原材料数量限制下，求解出最大化利润的生产方案。

解答：设甲、乙、丙产品的生产量分别为x、y、z，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y + p3 * z。

受限条件为原材料A和B的数量限制，分别为 a1 * x + a2 * y + a3 * z <= a 和 b1 * x + b2 * y + b3 * z <= b。

另外，x、y、z的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0，z >= 0）。

数学建模练习与思考题第⼀部分练习与思考题第1章建⽴数学模型1.1 在稳定的椅⼦问题中，如设椅⼦的四脚连线呈长⽅形，结论如何？（稳定的椅⼦问题见姜启源《数学模型》第6页）1.2 在商⼈们安全过河问题中，若商⼈和随从各四⼈，怎样才能安全过河呢？⼀般地，有n 名商⼈带n 名随从过河，船每次能渡k ⼈过河，试讨论商⼈们能安全过河时，n 与k 应满⾜什么关系。

（商⼈们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）1.3 ⼈、狗、鸡、⽶均要过河，船需要⼈划，另外⾄多还能载⼀物，⽽当⼈不在时，狗要吃鸡，鸡要吃⽶。

问⼈、狗、鸡、⽶怎样过河？1.4 有3对夫妻过河，船⾄多载两⼈，条件是任⼀⼥⼦不能在其丈夫不在的情况下与其他的男⼦在⼀起。

问怎样过河？1.5 如果银⾏存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银⾏存⼊多少元？⽽到2000年的本利积累为多少元？1.6 某城市的Logistic 模型为2610251251N N dt dN ?-=，如果不考虑该市的流动⼈⼝的影响以及⾮正常死亡。

设该市1990年⼈⼝总数为8000000⼈，试求该市在未来的⼈⼝总数。

当∞→t 时发⽣什么情况。

1.7 假设⼈⼝增长服从这样规律：时刻t 的⼈⼝为)(t x ，最⼤允许⼈⼝为m x ，t 到t t ?+时间内⼈⼝数量与)(t x x m -成正⽐。

试建⽴模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进⾏⽐较。

1.8 ⼀昼夜有多少时刻互换长短针后仍表⽰⼀个时间？如何求出这些时间？1.9 你在⼗层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下⼏个楼层？1.10 居民的⽤⽔来⾃⼀个由远处⽔库供⽔的⽔塔，⽔库的⽔来⾃降⾬和流⼊的河流。

⽔库的⽔可以通过河床的渗透和⽔⾯的蒸发流失。

如果要你建⽴⼀个数学模型来预测任何时刻⽔塔的⽔位，你需要哪些信息？第2章初等模型2.1 学校共1000名学⽣，235⼈住在A 宿舍，333⼈住在B 宿舍，432⼈住在C 宿舍。

一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。

2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵 为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。

4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。

5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。

6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。

7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。

8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。

10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。

13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。

14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。

16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。

二、名词解释 1．凸规划对于约束优化问题()min f X..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸规划。

cad画图练习题CAD（计算机辅助设计）是一种广泛应用于工程设计和制造领域的技术，它通过计算机软件帮助设计师完成图形绘制、模型构建和工程分析等任务。

对于想要提升CAD技能的人来说，练习题是一个非常有效的方式。

本文将介绍一些常见的CAD练习题，帮助读者提升他们的CAD绘图能力。

练习题一：二维图形绘制二维图形是CAD设计的基础，掌握二维图形的绘制技巧对于进一步学习和应用CAD非常重要。

可以从简单的线段和多边形开始，逐步挑战更复杂的图形，比如圆、椭圆和曲线等。

通过练习，可以熟悉CAD软件的绘图工具和命令，并培养良好的绘图习惯。

练习题二：三维模型构建三维模型是CAD设计的高级应用，它可以更真实地展现物体的形状和结构。

对于初学者来说，可以从简单的立方体和圆柱体开始，逐步学习如何构建更复杂的模型，比如球体、锥体和多面体等。

通过练习，可以了解三维建模的原理和技巧，并掌握CAD软件中的三维建模工具和命令。

练习题三：工程图纸绘制工程图纸是CAD设计的重要应用之一，它用于表达和传递设计意图，为工程施工和制造提供依据。

对于想要从事工程设计和制造的人来说，掌握工程图纸的绘制方法和规范非常重要。

可以从简单的平面图和剖面图开始，逐步学习如何绘制更复杂的图纸，比如立体图和装配图等。

通过练习，可以熟悉CAD软件中的图纸绘制工具和命令，并掌握常用的图纸符号和标注方法。

练习题四：工程分析和优化CAD不仅可以用于绘图和建模，还可以进行工程分析和优化。

通过CAD软件中的分析工具和模拟功能，可以对设计进行力学、热学和流体学等方面的分析，评估设计的性能和可行性。

对于想要提升工程设计能力的人来说，掌握工程分析和优化的方法非常重要。

可以选择一些具有挑战性的练习题，比如对一个结构的强度进行分析和优化，或者对一个流体系统的流动进行模拟和优化等。

通过练习，可以熟悉CAD软件中的分析工具和模拟功能，并学习如何应用这些工具进行工程分析和优化。

练习题五：实际项目应用最后，为了将CAD技能应用到实际项目中，可以选择一些真实的工程案例进行练习。

solidworks综合练习题介绍：SolidWorks是一款三维CAD软件，被广泛应用于工程领域。

学习SolidWorks需要通过实践练习来巩固知识和提高技能。

本文为大家提供一些SolidWorks综合练习题，帮助大家巩固所学知识。

练习一：创建简单零件在SolidWorks中创建一个螺钉的3D模型。

步骤：1. 打开SolidWorks软件，创建一个新零件。

2. 使用圆形草图工具绘制螺钉头部的外轮廓。

3. 使用螺旋草图工具创建螺纹轮廓。

4. 使用凸台特征创建螺钉头部的凸台形状。

5. 使用圆柱特征创建螺钉的杆状部分。

6. 将螺钉杆与头部组合在一起。

练习二：装配零件在SolidWorks中进行零件装配练习。

1. 打开SolidWorks软件，创建一个新装配文件。

2. 导入之前创建的螺钉零件。

3. 创建一个新的零件，绘制一个孔洞，作为螺钉的装配点。

4. 将螺钉零件和孔洞零件组合在一起，进行装配。

练习三：绘制工程图利用SolidWorks绘制螺钉的工程图。

1. 在SolidWorks中打开之前创建的螺钉零件。

2. 选择绘制2D工程图的功能。

3. 按照标准的绘图规范，绘制螺钉的正视图、俯视图和侧视图。

4. 添加必要的尺寸和标注。

5. 导出工程图为常见的图像格式。

练习四：动态仿真在SolidWorks中进行螺钉的装配动态仿真。

1. 打开SolidWorks软件，创建一个新装配文件。

2. 导入之前创建的螺钉零件。

3. 创建一个固定的平面（例如桌面）作为仿真环境。

4. 在装配中施加适当的力或力矩，模拟螺钉在应力加载下的行为。

5. 运行动态仿真，并观察螺钉的反应。

6. 根据仿真结果优化设计，改进螺钉的结构。

结论：通过以上综合练习题，我们能够更加深入地了解SolidWorks的功能和应用。

在实践中，我们不仅需要掌握基本的建模技巧，还需要学会装配零件、制作工程图和进行动态仿真等操作。

通过不断的练习，我们可以提高自己的设计能力和工程思维，为实际工作做好准备。

三维建模练习题一、基础知识类1. 请列举三维建模的三个主要应用领域。

2. 简述三维建模的基本流程。

3. 常见的三维建模软件有哪些？请至少列举三种。

4. 在三维建模中，什么是网格？简述网格的作用。

二、建模技巧类1. 如何在三维建模软件中创建一个简单的立方体？2. 请描述如何通过拉伸、旋转和放样等方法创建复杂模型。

3. 如何在三维建模中实现对称操作？4. 如何优化三维模型的面数和顶点数？5. 请举例说明三维建模中的布尔运算及其应用。

三、材质与贴图类1. 简述材质在三维建模中的作用。

2. 如何为模型添加基本材质？3. 请列举三种常见的贴图类型及其应用场景。

4. 如何在三维建模软件中创建和应用自定义贴图？四、灯光与渲染类1. 简述三维场景中灯光的重要性。

2. 请列举三种常见的灯光类型及其特点。

3. 如何设置环境光、平行光和点光源？4. 在渲染过程中，如何调整曝光、对比度和饱和度等参数？五、动画与特效类1. 简述关键帧动画的基本原理。

2. 如何为模型设置简单的位移、旋转和缩放动画？3. 请列举三种常见的动画曲线类型及其应用场景。

4. 如何在三维建模软件中创建粒子系统？5. 请举例说明三维建模中的动力学模拟及其应用。

六、综合应用类1. 请设计一个简单的室内场景，包括家具、灯具和装饰品。

2. 尝试创建一个具有中国文化特色的三维模型。

3. 结合材质、灯光和动画，制作一个简单的产品广告动画。

4. 利用粒子系统制作一个自然现象（如雨、雪、瀑布等）。

5. 结合所学知识，创作一个创意短片，展示三维建模的魅力。

七、模型修复与优化类1. 如何检测和修复三维模型中的孔洞和重叠面？2. 描述一种减少模型面数而不影响外观的方法。

3. 如何对模型进行拓扑优化？4. 请列举三种常见的模型修复工具及其功能。

5. 在模型优化过程中，如何保持模型的细节和结构完整性？八、场景布局与设计类1. 简述场景布局的基本原则。

2. 如何在三维场景中创建合理的视角和视距？3. 请设计一个包含建筑、景观和人物的室外场景。

1 优化模型及其求解1.1 案例：背包问题有一组物品S ，共有9件，其中第i 件重i w ，价值i v ，从S 中取出一些物1.1.1 问题分析这是一个典型的最优化问题，优化目标是总价值最大，决策是决定装哪些物品，而装载物品又受到背包所能承受重量30kg 的限制。

因此可以建立该问题的最优化数学模型，而且是0－1整数规划模型。

1.1.2 变量与符号说明i x ：用来表示是否装载第i 件物品，如果0=i x 表示不装载该物品，如果1=i x 表示装载该物品（9,,2,1 =i ），令()Tx x x x 921,,, =。

i w ：第i 件物品重量（9,,2,1 =i ），单位：kg 。

i v ：第i 件物品价值（9,,2,1 =i ），单位：元。

)(x f ：表示按照决策x ，得到的装载物品的总价值，单位：元。

1.1.3 模型建立通过前面的分析及变量的定义，可得∑==91)(i i i x v x f 。

原问题抽象为如下的0－1整数线性规划模型：⎪⎩⎪⎨⎧===≤=∑∑==)9,,2,1(1030..)(min9191 i x x x w t s x v x f i ii ii i ii 或 1.1.4 模型求解及结果可以采用求解线性规划的Lindo 软件求解，下面采用求解可以求解非线性规划的Lingo 软件求解。

Lingo 功能非常强大，其语法本身较复杂，这里只用到最简单的语法。

直接参看代码。

Lindo 基本语法（1） 模型用“MODEL:”开始，“END ”结束，参考下面的Lingo 程序； （2） 语句用分号中断。

注释行用感叹号开头，通样是分号结束。

（3） 如果变量只取0或1，则用@BIN 设置，比如@BIN(x2)，表示变量x2只能取0或1。

（4） 如果变量只取整数，则用@GIN 设置，比如@GIN(x2)，表示变量x2为整数变量。

Lingo 程序如下：!求解背包问题的线性整数规划模型（0－1整数规划）; MODEL : !目标函数;max = 10*x1+ 45*x2+30*x3+100*x4+150*x5+90*x6+200*x7+180*x8+300*x9; !重量约束;2*x1+x2+x3+2.5*x4 +10*x5 +6*x6+ 5*x7 + 4*x8+ 3*x9<=30; !整数约束的设置;@BIN (x1);@BIN (x2);@BIN (x3);@BIN (x4);@BIN (x5); @BIN (x6);@BIN (x7);@BIN (x8);@BIN (x9); END求解显示结果：Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 1015.000Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 -10.00000 X2 1.000000 -45.00000 X3 1.000000 -30.00000X4 1.000000 -100.0000 X5 1.000000 -150.0000 X6 0.000000 -90.00000 X7 1.000000 -200.0000 X8 1.000000 -180.0000 X9 1.000000 -300.0000Row Slack or Surplus Dual Price 1 1015.000 1.000000 2 1.500000 0.000000结果显示已经找到了最优解。

UGNX练习题一、基础操作类1.1 选择与过滤1. 请使用过滤器选择所有圆柱体特征。

2. 请使用选择球面工具选择所有球面特征。

3. 请使用选择边工具选择所有曲线边。

4. 请使用选择面工具选择所有平面。

1.2 基准特征1. 创建一个基准平面，使其平行于XY平面，距离原点10mm。

2. 创建一个基准轴，使其垂直于基准平面，通过原点。

3. 创建一个基准点，位于基准平面和基准轴的交点。

1.3 基础建模1. 创建一个长方体，长100mm，宽50mm，高20mm。

2. 创建一个圆柱体，直径30mm，高50mm，底面中心与长方体底面中心对齐。

3. 创建一个球体，直径40mm，球心位于圆柱体顶面中心。

4. 创建一个圆锥体，底面直径50mm，顶面直径20mm，高60mm，底面中心与长方体底面中心对齐。

二、特征操作类2.1 布尔操作1. 将圆柱体与长方体进行布尔求和操作。

2. 将球体从布尔求和后的实体中减去。

3. 将圆锥体与布尔求和后的实体进行布尔求和操作。

2.2 特征变换1. 对长方体进行镜像操作，以YOZ平面为镜像平面。

2. 对圆柱体进行旋转操作，旋转角度为45度，旋转中心为原点。

3. 对圆锥体进行平移操作，沿X轴方向平移50mm。

2.3 特征编辑1. 修改长方体的高度为30mm。

2. 修改圆柱体的直径为40mm。

3. 修改圆锥体的底面直径为60mm。

三、曲面建模类3.1 曲面创建1. 创建一个矩形平面，长200mm，宽100mm。

2. 创建一个圆形平面，直径100mm。

3. 创建一个N边曲面，边数为6，每边长度为50mm。

3.2 曲面操作1. 将矩形平面沿Z轴方向拉伸50mm。

2. 将圆形平面沿Z轴方向拉伸100mm。

3. 将N边曲面进行修剪，使其与矩形平面和圆形平面相切。

四、装配类4.1 零件装配1. 创建一个螺栓零件，直径10mm，长度50mm。

2. 创建一个螺母零件，直径15mm，厚度10mm。

3. 将螺栓与螺母进行装配，螺栓穿过长方体顶面，螺母位于长方体底面。