直线与圆及其方程高考真题分类解析

一、选择题1.【圆的标准方程】【2015，北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++=C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=【答案】D2.【直线、圆及抛物线等基本概念】【2015，四川，文10】设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A )(1，3) (B )(1，4) (C )(2，3) (D )(2，4)【答案】D3.【求圆的圆心和半径】【2015，安徽，文8】直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12【答案】D4.【直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质】【2015，湖南文9】已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++ 的最大值为( )A 、6B 、7C 、8D 、9【答案】B5.【圆的方程的求法】【2015，新课标2，文7】已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3 4D.3【答案】B二、非选择题1.【直线与圆的位置关系】【2015，湖南，文13】若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120oAOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____.【答案】22.【圆的切线】 【2015，重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.【答案】250x y +-=3.【圆的标准方程和圆的切线】【2015，湖北，文16】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1--4.【圆的标准方程、直线与圆的位置关系】【2015，广东，文20】（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围； 若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34k =±． 5.【直线与圆的位置关系】【2015，新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围； （II ）12OM ON ⋅= ，其中O 为坐标原点，求MN .【答案】（I）桫（II ）22017年真题1.【直线与圆、线性规划】【2017，江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅ ≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-2．【直线与圆综合问题】【2017，课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析试题解析：（1）设()()12,0,,0A x B x ，则12,x x 是方程220x mx +-=的根， 所以1212,2x x m x x +=-=-，则()()1212,1,112110AC BC x x x x ⋅=-⋅-=+=-+=-≠ ，所以不会能否出现AC ⊥BC 的情况。

高考数学最新真题专题解析—直线与圆（全国通用）考向一 求圆的方程【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）【母题题文】过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；【试题解析】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭； 【命题意图】本题考查圆的一般方程的形式，通过解方程组求一般方程中的系数. 【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为低档题，是历年高考的热点． 常见的命题角度有：（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系. 【得分要点】（1）正确写出圆的一般方程的形式； （2）解方程组；（3）一般式转化为标准式. 考向二 直线与圆的位置关系【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）【母题题文】 若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【答案】22(1)(1)5x y -++=【试题解析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上， ∴点M 到两点的距离相等且为半径R ， 2222(3)(12)(2)-+-=+-=a a a a R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空题出现，多为低档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系. 【得分要点】（1）正确写出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离；（3）由直线与圆的位置关系确定圆心到直线的距离与半径之间的关系. 真题汇总及解析一、单选题1．（湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二下学期期末数学试题）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直求出m 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直, 则()()2310m m ⨯++⨯-=，解得：2m =或3m =-，所以“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的充分不必要条件. 故选：B.2．（2022·四川乐山·高一期末）圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的方程是（ ） A ．22(3)16x y -+= B ．22(3)9x y +-= C ．22(3)16x y +-= D ．22(3)9x y -+= 【答案】D 【解析】【分析】先求得圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程. 【详解】圆222440x y x y +-+-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为3 设点(1,2)-关于直线10x y +-=的对称点为(,)m n ，则211121022n m m n +⎧=⎪⎪-⎨+-⎪+-=⎪⎩ ，解之得30m n =⎧⎨=⎩ 则圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标为(3,0) 则该圆的方程为22(3)9x y -+=， 故选：D ．3．（2022·四川成都·模拟预测（文））直线410mx y m 与圆2225x y +=相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条 A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】C 【解析】 【分析】求出过定点(4,1)32(5,6)，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案. 【详解】直线410mx y m 过定点(4,1)，圆半径为5， 最短弦长为2251732(5,6)，恰有一条，但不是整数；弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去； 最长的弦长为直径10，也恰有1条； 弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条， 故选：C ．4．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B 两点23AB =k ＝（ ） A ．15B ．43C ．12D ．512【答案】B 【解析】 【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则2211k d k-=+而224312AB d r ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22111k d k -=+，解方程即可求出答案. 【详解】圆()()22:214C x y -+-=的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则2211k d k -=+而224312AB d r ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22111k d k -=+，解得：43k =. 故选：B.5．（2022·全国·模拟预测）直线:3410l x y +-=被圆22:2440C x y x y +---=所截得的弦长为（ ） A ．25B ．4 C ．3D ．22【答案】A 【解析】 【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可. 【详解】由题意圆心()1,2C ，圆C 的半径为3， 故C 到:3410l x y +-=22381234+-=+，故所求弦长为2223225-=故选：A.6．（2022·全国·模拟预测）若圆()()()22140x a y a -+-=>与单位圆恰有三条公切线，则实数a 的值为（ ） A 3B ．2 C ．2D ．23【答案】C 【解析】 【分析】两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系，圆心距12d r r =+. 【详解】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切22121a +=+，结合0a >解得22a =故选：C.7．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知点A （2，0），B （0，﹣1），点P 是圆x 2+（y ﹣1）2＝1上任意一点，则PAB △ 面积最大值为（ ） A ．2 B ．45C ．51D ．52【答案】D 【解析】 【分析】结合点到直线距离公式及图形求出圆上点P 到直线AB 距离的最大值，由此可求PAB △面积的最大值.【详解】 由已知=5AB要使PAB △的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大． 由于AB 的方程为21x y+=-1，即x ﹣2y ﹣2＝0， 圆心（0，1）到直线AB 的距离为d 022455--==， 故P 到直线AB 451， 所以PAB △面积的最大值为()114551=522AB d ⎫⨯⨯+⎪⎪⎝⎭故选：D ．8．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆22:(2)(6)4-+-=C x y ，点M 为直线:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为（ ）A ．22(7)(1)4-+-=x yB ．22(1)(7)4-+-=x yC ．22(7)(1)2-+-=x yD ．22(1)(7)2-+-=x y【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形CAMB 周长最小时点M 的坐标即可求解作答. 【详解】圆22:(2)(6)4-+-=C x y 的圆心(2,6)C ，半径2r =，点C 到直线l 的距离22221(1)d ==+-依题意，CA AM ⊥，四边形CAMB 周长2222||2||42424CA AM CM CA d +=+-+-242(22)48=+-=，当且仅当CM l ⊥时取“=”，此时直线:80CM x y +-=，由8080x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得点(0,8)M ，四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 中点(1,7)222(1)(7)2-+-=x y .故选：D9．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C 过圆221:42100C x y x y ++--=与圆222:(3)(3)6C x y ++-=的公共点．若圆1C ，2C 的公共弦恰好是圆C 的直径，则圆C的面积为（ ） A ．115πB ．265πC 130πD ．1045π【答案】B【解析】 【分析】根据题意求解圆1C ，2C 的公共弦方程，再计算圆2C 中的公共弦长即可得圆C 的直径，进而求得面积即可 【详解】由题，圆1C ，2C 的公共弦为2242100x y x y ++--=和22(3)(3)6x y ++-=的两式相减，化简可得2110x y -+=，又()23,3C -到2110x y -+=的距离()2232311512d --⨯+==+-，故公共弦长为22262655⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故圆C 265C 的面积为265π故选：B10．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知圆:C 22(1)4x y -+=与抛物线2(0)y ax a =>的准线相切，则=a （ ） A ．18B ．14C ．4D ．8【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得124a-=，求解即可． 【详解】因为圆:C 22(1)4x y -+=的圆心为(1,0)，半径为2r =抛物线2(0)y ax a =>的准线为14y a=-，所以124a -=，即18a =， 故选：A.二、填空题11．（2022·江苏南京·模拟预测）已知ABC 中，()30A -,，()3,0B ，点C 在直线3yx 上，ABC 的外接圆圆心为()0,4E ，则直线EC 的方程为______． 【答案】344y x =+ 【解析】 【分析】圆心E 到点B 的距离即为半径，可得到外接圆的方程，联立圆的方程与直线的方程，得到C 点坐标，利用直线方程两点式即可求解. 【详解】因为ABC 的外接圆圆心为()0,4E ，所以ABC 22345+=， 即ABC 的外接圆方程为()22425x y +-=．联立()223425y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得47x y =⎧⎨=⎩，或30x y =-⎧⎨=⎩， 所以()4,7C 或()3,0C -（与A 点重合），舍， 所以直线EC 的方程为747440y x --=--，即344y x =+． 故答案为：344y x =+.12．（2022·天津二中模拟预测）已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切，此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长_________． 34【解析】 【分析】将圆2C 的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得m ，接着计算2C 到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果. 【详解】由题可知：221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=，即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m()()224030225-+--=-m ，解得16m = 所以2:C ()()22439x y -++=2C 到直线的距离为2243211-=+d 2C 的半径为R 则直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为22129342-=-R d 故答案为： 3413．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））直线:10l x my m +--=被圆O ；223x y +=截得的弦长最短，则实数m =___________.【答案】1 【解析】 【分析】求出直线MN 过定点A （1,1），进而判断点A 在圆内，当OA MN ⊥时，|MN |取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可. 【详解】直线MN 的方程可化为10x my m +--=，由1110y x -=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线MN 过定点A （1，1）， 因为22113+<，即点A 在圆223x y +=内. 当OA MN ⊥时，|MN |取最小值，由1OA MN k k =-，得111m ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，∴1m =， 故答案为：1.14．（2022·上海静安·模拟预测）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y -+=相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________．【答案】22154x y -=【解析】 【分析】根据已知条件得出双曲线的渐近线方程及圆的圆心和半径，进而得出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线与圆相切，得出圆心到渐近线的距离等于半径，结合双曲线中,,a b c 三者之间的关系即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=.由圆C 的方程为()2234x y -+=，得圆心为()3,0C ，半径为2r =.因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为3,0.3c =又因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y -+=相切，22302b a a b ⨯±⨯=+22c=，解得2b =.所以222945a c b =-=-=,所以该双曲线的标准方程为22154x y -=.故答案为：22154x y -=.15．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数()22x xe ef x e -=（其中e是自然对数的底数），若在平面直角坐标系xOy 中，所有满足()()0f a f b +>的点(),a b 都不在圆C 上，则圆C 的方程可以是______（写出满足条件的一个圆的方程即可）．【答案】221x y +=（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，得到()(2)0f x f x +-=，且关于点(1,0)中心对称，得到2a b +>，进而化简得到2x y +≤，即可得到答案. 【详解】由题意，函数222e e ()e e ex x x xf x --==-在R 上单调递增，且()(2)0f x f x +-=， 所以曲线()y f x =关于点(1,0)中心对称，所以()()0f a f b +>，即2a b +>， 在平面直角坐标系xOy 中所有满足()()0f a f b +>，即2a b +>的点(,)a b 都不在圆C 上，所以圆C 上的点都满足2x y +≤，即圆C 在2x y +≤表示的半平面内， 故圆C 可以是以原点为圆心，半径为1的圆，圆C 的方程可以为221x y +=. 故答案为：221x y +=（答案不唯一）.三、解答题16．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知动点(),M x y 是曲线C 上任一点，动点M 到点10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离和到直线14y =-的距离相等，圆M 的方程为()2221x y +-=．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)设1A 、2A 、3A 是C 上的三个点，直线12A A 、13A A 均与圆M 相切，判断直线23A A 与圆M 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析(2)若直线12A A 、13A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得出曲线C 是以10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线14y =-为准线的抛物线，进而可求得曲线C 的方程；（2）分析可知直线12A A 、13A A 、23A A 的斜率都存在，设()2111,A x x 、()2222,A x x 、()2333,A x x ，其中1x 、2x 、3x 两两互不相等，利用二次方程根与系数的关系以及点到直线的距离公式以及几何法判断可得出结论.(1)解：由题设知，曲线C 上任意到点10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离和到直线14y =-的距离相等，因此，曲线C 是以10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线14y =-为准线的抛物线，故曲线C 的方程为2x y =.(2)解：若直线23A A 的斜率不存在，则直线23A A 与曲线C 只有一个交点，不合乎题意，所以，直线12A A 、13A A 、23A A 的斜率都存在，设()2111,A x x 、()2222,A x x 、()2333,A x x ，则1x 、2x 、3x 两两互不相等，则1222121212A Ax x k x x x x -==+-，同理1313A A k x x =+，2323A A k x x =+， 所以直线12A A 方程为()()21121y x x x x x -=+-，整理得()12120x x x y x x +--=，同理可知直线13A A 的方程为()13130x x x y x x +--=， 因为直线12A A 与圆M ()12212211x x x x +=++，整理可得()222121211230x x x x x -++-=，同理可得()222131311230x x x x x -++-=，所以2x 、3x 为方程()2221111230x x x x x -++-=的两根，则11x ≠±，所以，1232121x x x x +=--，21232131x x x x -=-，圆心M 到直线23A A ()2211221231222123122111321211112111x x x x x x x x x x x x +-+-+-===+++⎛⎫+- ⎪--⎝⎭，所以直线23A A 与圆M 相切. 综上，若直线12A A 、13A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.17．（2022·四川成都·模拟预测（理））点P 为曲线C 上任意一点，直线l ：x ＝－4，过点P 作PQ 与直线l 垂直，垂足为Q ，点()1,0F -，且2PQ PF =． (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上的点()()000,1M x y x ≥作圆()2211x y ++=的两条切线，切线与y 轴交于A ，B ，求△MAB 面积的取值范围．【答案】(1)22143x y +=(2)212S ⎡∈⎢⎣ 【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，通过2PQ PF =得到等式关系，化简求得曲线方程； （2）设切线方程()00y y k x x -=-，通过点到切线的距离，化简成k 的一元二次方程，再韦达定理得出12,k k 与00,x y 的等式关系，再求出||AB 弦长，消去12,k k ，再求面积即可．(1)设(),P x y ，由2PQ PF =，得()2241x x y +=++22143x y +=，所以曲线C 的方程为22143x y +=；(2)设点()00,M x y 的切线方程为()00y y k x x -=-（斜率必存在），圆心为()1,0F -，r ＝1所以()1,0F -到()00y y k x x -=-的距离为：00211k y kx d k-+-==+平方化为()()2220000022110x x k x y k y +-++-=，设P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k则()0012200212x y k k x x ++=+，201220012y k k x x -=+ 因为P A ：()010y y k x x -=-，令x ＝0有010A y y k x =-，同理020B y y k x =-所以()()()()222200000201212120414214A B x y x x y AB y y x k k x k k k k +-+-=-=-=+-=又因为22004123y x =-代入上式化简为0062x AB x +=+ 所以3200000006611122222MABx x x S x AB x x x ++=⋅⋅=⋅=++△[]01,2x ∈ 令()3262x x f x x +=+，[]1,2x ∈，求导知()f x 在[]1,2x ∈为增函数，所以2126S ∈⎢⎣．18．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线:24=-l y x ．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 【答案】(1)3y =或34120x y +-=(2)120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）求出圆心的坐标，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值，即可得出所求切线的方程； （2）设点(),M x y ，由已知可得()2214x y ++=，分析可知圆C 与圆()2214x y ++=有公共点，可得出关于a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.(1)解：联立241y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，即圆心()3,2C ，所以，圆C 的方程为()()22321x y -+-=.若切线的斜率不存在，则切线的方程为0x =，此时直线0x =与圆C 相离，不合乎题意；所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为3y kx =+，即30kx y -+=， 23111+=+k k ，整理可得2430k k +=，解得0k =或34-.故所求切线方程为3y =或334y x =-+，即3y =或34120x y +-=.(2)解：设圆心C 的坐标为(),24a a -，则圆C 的方程为()()22241x a y a -+--=⎡⎤⎣⎦，设点(),M x y ，由2=MA MO 可得()222232x y x y +-+整理可得()2214x y ++=，由题意可知，圆C 与圆()2214x y ++=有公共点，所以，()221233a a ≤+-，即22512805120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩，解得1205a ≤≤.所以，圆心C 的横坐标a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

高考数学真题题型分类解析高考数学真题题型分类解析 专题07直线与圆直线与圆命题解读考向考查统计1.高考对直线的考查，重点是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法、两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等。

2.高考对圆的考查，重点是圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程。

同时，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题。

3.其他就是直线、圆与其他知识点的交汇。

直线与圆的位置关系2023·新高考Ⅰ卷，62022·新高考Ⅱ卷，152023·新高考Ⅱ卷，152024·新高考Ⅱ卷，10（多选题的一个选项中考查）圆与圆的位置关系2022·新高考Ⅰ卷，14直线的斜率2022·新高考Ⅱ卷，3命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直线与圆的相关知识点，Ⅱ卷在多选题的一个选项中考到了直线与圆相切的问题，其实在压轴题中也有直线斜率的影子，后续专题再呈现。

其实直线与圆直接考查的话，难度一般是较易的，一般计算不出错即可。

在一些上难度的题型中，往往有直线斜率的一些影子。

直线与圆考查应关注：直线、圆的方程及位置关系，直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程的求解。

以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。

预计2025年高考还是主要考查直线与圆的位置关系。

试题精讲一、多选题1．（2024新高考Ⅱ卷·10）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +−=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个一、单选题1．（2023新高考Ⅰ卷·6）过点()0,2−与圆22410x y x +−−=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A ．1B2．（2022新高考Ⅱ卷·3）图1是中国称为步，垂直距离称为举，图2是某古1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的成公差为0.1的等差数列，且直线A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2022新高考Ⅰ卷·14）写出与圆是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ′′′′是桁是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中111,DD CC 邻桁的举步之比分别为1111111,0.5,DD CC BB k OD DC CB ==OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）与圆221x y +=和22(3)(4)16x y −+−=都相切的一条直是桁，相邻桁的水平距离1,,BB AA 是举，1231,AAk k BA ==．已知123,,k k k 一条直线的方程．由图像可知由图像可知，，共有三条直线符合条件又由方程22(3)(4)16x y −+−=和x 即为过两圆公共切点的切线方程即为过两圆公共切点的切线方程，，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为直线OC 与直线10x +=的交点为条件条件，方程为(当切线为l时，因为14 3OOk=，所以O到l的距离||19116td==+，解得当切线为m时，设直线方程为kx由题意211344pkk p=+++=，解得kp．（新高考卷）设点有公共点，则a的取值范围是．5．（2023新高考Ⅱ卷·15）已知直线:10l x my −+=与2:14C x y −+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC面积为85”的m 的一个值．一、直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用，，， αβγ表示（1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[0)，∈απ 2、直线的斜率设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan =k α （1）当2=πα时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）倾斜角α与斜率k 的关系当0=k 时，直线平行于轴或与轴重合；当0>k 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0<k 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随k 的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，11()，A x y ，22()，B x y 则2121−=−y y k x x （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若12=x x ，则直线AB 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线两直线，AB AC 的斜率相等→、、A B C 三点共线；反过来，、、A B C 三点共线，则直线，AB AC 的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．二、直线的方程1、直线方程的五种形式在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 3、线段中点坐标公式若点12，P P 的坐标分别为1122()()，，，x y x y 且线段12PP 的中点M 的坐标为()，x y ，则121222+= + = x x x y y y ，此公式为线段12PP 的中点坐标公式． 4、两直线的夹角公式若直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的夹角为α，则2112tan 1k k k k α−=+.三、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程平行垂直11112222:0:0++=++=l A x B y C l A x By C1221122100且−=−≠A B A B B C B C12120+=A A B B111222::=+=+l y k x b l y k x b （斜率存在）11,22::==l x x l x x （斜率不存在）1212,=≠k k b b 或 1212,,==≠x x x x x x121=−i k k 或12与k k 中有一个为0，另一个不存在．四、三种距离1、两点间的距离平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 的距离公式为12||=P P． 特别地，原点O （0，0）与任一点P （x ，y ）的距离||=OP 2、点到直线的距离点000(,)P x y 到直线:0++=l Ax By C 的距离=d 特别地，若直线为l ：x =m ，则点000(,)P x y 到l 的距离0||=−d m x ；若直线为l ：y =n ，则点000(,)P x y 到l 的距离0||=−d n y 3、两条平行线间的距离已知12,l l 是两条平行线，求12,l l 间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设1122:0,:0++=++=l Ax By C l Ax By C ，则1l 与2l 之间的距离=d注：两平行直线方程中，x ，y 前面对应系数要相等． 4、双根式双根式()=±f x 型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．五、圆1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：222()()−+−=x a y b r ，圆心坐标为（a ，b ），半径为(0)>r r（2）圆的一般方程：22220(40)++++=+−>x y Dx Ey F D E F ，圆心坐标为,22−− D E ，半径r（3）圆的直径式方程：若1122(,),(,)A x y B x y ，则以线段AB 为直径的圆的方程是1212()()()()0−−+−−=x x x x y y y y2、点与圆的位置关系判断（1）点00(,)P x y 与圆222()()−+−=x a y b r 的位置关系： ①222()()−+−>⇔x a y b r 点P 在圆外； ②222()()−+−=⇔x a y b r 点P 在圆上； ③222()()−+−<⇔x a y b r 点P 在圆内．（2）点00(,)P x y 与圆220++++=x y Dx Ey F 的位置关系：①2200000++++>⇔x y Dx Ey F 点P 在圆外； ②2200000++++=⇔x y Dx Ey F 点P 在圆上； ③2200000++++<⇔x y Dx Ey F 点P 在圆内．六、直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =：d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()Ax By C x a y b r++= −+−= ， 消元得到一元二次方程20p x q x t ++=，20p x q x t ++=判别式为∆，则：0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离．七、两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则：d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r −<<+⇔两圆相离 d R r =−⇔两圆内切；0d R r ≤<−⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为R r ，，R r >，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含几何特征 d R r >+d R r =+R r d R r −<<+d R r =−d R r <−代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4321【直线与圆常用结论直线与圆常用结论】】一、直线1、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()，P x y 关于点00()，Q x y 的对称点为22()，′P x y ，则根据中点坐标公式，有12012022+=+ = x x x y y y 可得对称点22()，′P x y 的坐标为0101(22)，−−x x y y 2、点关于直线对称点11()，P x y 关于直线:0++=l Ax By C 对称的点为22()，′P x y ，连接′PP ，交l 于M 点，则l 垂直平分′PP ，所以′⊥PP l ，且M 为′PP 中点，又因为M 在直线l 上，故可得12121022′⋅=− ++++= l PP k k x x y y AB C ，解出22()，x y 即可．3、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称求直线1:0++=l ax by c ，关于直线2:0++=l dx ey f （两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12，l l 算出交点00()，P x y第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()，Q x y ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()，′Q x y 第三步：利用两点式写出3l 方程 5、常见的一些特殊的对称点()，x y 关于x 轴的对称点为()，−x y ，关于y 轴的对称点为()，−x y ．点()，x y 关于直线=y x 的对称点为()，y x ，关于直线=−y x 的对称点为()，−−y x ． 点()，x y 关于直线=x a 的对称点为(2)，−a x y ，关于直线=y b 的对称点为(2)，−x b y ． 点()，x y 关于点()，a b 的对称点为(22)，−−a x b y ．点()，x y 关于直线+=x y k 的对称点为()，−−k y k x ，关于直线−x y =k 的对称点为()，+−k y x k ． 6、过定点直线系过已知点00()，P x y 的直线系方程00()−=−y y k x x （k 为参数）． 7、斜率为定值直线系斜率为k 的直线系方程=+y kx b （b 是参数）． 8、平行直线系与已知直线0++=Ax By C 平行的直线系方程0++=Ax By λ（λ为参数）． 9、垂直直线系与已知直线0++=Ax By C 垂直的直线系方程0−+=Bx Ay λ（λ为参数）． 10、过两直线交点的直线系过直线1111:0++=l A x B y C 与2222:0++=l A x B y C 的交点的直线系方程：111222()0+++++=A x B y C A x B y C λ（λ为参数）．二、圆1、圆的参数方程①222(0)+=>x y r r 的参数方程为cos sin = =x r y r θθ（θ为参数）；②222()()(0)−+−=>x a y b r r 的参数方程为cos sin =+ =+x a r y b r θθ（θ为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(cos ,sin )++a r b r θθ（θ为参数，,（）a b 为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． 2、关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=． （2）过圆222()()x a y b r −+−=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r −−+−−=（3）过圆220x y D x E y F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4）求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为00()y y k x x −=−，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值．若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．一、单选题1．（2024·江西新余·二模）已知直线0x ay −=交圆C：2220x y y +−−=于M ，N 两点，则“MCN △为正三角形”是“0a =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·陕西西安·三模）若过点0,1P 可作圆22240x y x y a +−−+=的两条切线，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞B ．()1,3−C ．()3,5D ．()5,+∞【答案答案】】C【分析分析】】根据点在圆外即可求解.【详解详解】】圆22240x y x y a +−−+=，即圆()()22125x y a −+−=−，则50a −>，解得5a <．的距离的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．（2024·四川成都·三模）已知直线1:10l x ay −+= 与:11C x a y −+−= 相交于 A B ， 两点，若ABC 是直角三角形，则实数 a 的值为（ ）A ．1 或 1−B 或C ．17− 或 1−D ．17− 或5．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线l ：1x y +=，过直线l 上的任意一点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值为（ ） A ．3π4B ．2π3C ．π2D ．π6当OP 最小时最小时，，则sin APO ∠又因为OP 的最小值即为圆心此时2sin ,2APO APO ∠=∠故选故选：：C ． 6．（2024·重庆·二模）已知圆:O 若92PA PB ⋅= ，则OP =（ ） A B ．3C ．设,APO BPO OP α∠=∠=则23sin ,cos x xxαα==cos cos212sin APB ∠α==−3,x y P +=是圆O 外一点，过点P 作圆O 的两条切线7．（2024·北京·三模）已知圆()2:11C x y +−=和两点()()(),0,,00A t B t t −>，若圆C 上存在点P ，使得0PA PB ⋅=，则t 的取值范围为（ ）A ．(]0,1B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]3,4故选故选：：B A ．()2,6B ．()3,5C ．()()2,35,6∪D ．()()2,36,+∞∪9．（2024·北京·三模）已知直线，圆:16O x y +=，下列说法错误．．的是（）A ．对任意实数a ，直线l 与圆O 有两个不同的公共点；B ．当且仅当12a =−时，直线l 被圆O 所截弦长为C ．对任意实数a ，圆O 不关于直线l 对称；D ．存在实数a ，使得直线l 与圆O 相切．10．（2024·江西鹰潭·三模）已知m ∈R ，直线1:20l mx y m ++=与2:40l x my m −+=的交点P 在圆C ：()()()222340x y r r −+−=>上，则r 的最大值是（ ）A ．．．．【答案答案】】D【分析分析】】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，，可求得P 点轨迹方程点轨迹方程，，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果.二、多选题11．（2024·湖南长沙·三模）已知圆 ()22:24C x y ++=，直线 ()():1210l m x y m m ++−+=∈R ，则（ ）A ．直线 l 恒过定点 ()1,1−B ．当0m =时，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于 1 C ．直线l 与圆C 可能相切D ．若圆C 与圆 22280x y x y a +−++=恰有三条公切线，则8a =12．（2024·山西临汾·三模）已知,E F 是以为半径的圆上任意两点，且满足，P是EF 的中点，若存在关于()3,0对称的,A B 两点，满足0PA PB ⋅=，则线段AB 长度的可能值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．613．（2024·河南郑州·三模）已知直线:10l ax by ++=（,a b 不同时为0），圆22:20C x y x +−=，则（ ）A ．当221b a −=时，直线l 与圆C 相切B ．当2a b +=−时，直线l 与圆C ．当1,1a b ==−时，与圆C 外切D ．当1,1a b ==−时，直线l 与坐标C 不可能相交外切且与直线l 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线与坐标轴相交于,A B 两点，则圆C 上存在点P 抛物线满足0PA PB ⋅=14．（2024·山东青岛·三模）已知动点M N ， 分别在圆()()221:121C x y −+−= 和 ()()222:343C x y −+−=上，动点P 在 x 轴上，则（ ）A ．圆2C 的半径为3B ．圆1C 和圆2C 相离C ．PM PN +的最小值为D．过点P 做圆1C15．（2024·浙江温州·二模）已知圆1与圆2相交于122C AB C AB S S =△△，则实数a 的值可以是（ ）A ．10B ．2C ．223D ．14316．（2024·浙江绍兴·三模）已知M ，N 为圆224x y +=上的两个动点，点1,1P −，且PM PN ⊥，则（）A ．max2PM =B ．maxMN=C ．PMN 外接圆圆心的轨迹方程为22113222x y++−=D ．PMN 重心的轨迹方程为22551666x y++−=对于C 中，设PMN 的外接圆的圆心则有22(1)(1)4(x y ++−=−即22113()()222x y ++−=，对于D 中，设PMN 的重心为点由C 项知PMN 的外接圆的圆心点三、填空题17．（2024·广东汕头·三模）已知圆（i ）则圆C 的标准方程为；（ii ）若直线AB 关于y a =对称的直线知圆C 经过()2,0A ，()0,2B ，()2,4C 三点， 的直线与圆C 有公共点，则a 的取值范围是.18．（2024·天津和平·三模）已知圆C 以点1,1为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆C 的半径最大时，圆C 的标准方程为．19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点1,P a −关于直线0x y −=的对称点在圆22(2)(4)13x y −+−=内，则实数a 的取值范围是．因为(),1Q a −在圆22(2)(4)13x y −+−=的内部的内部，，所以22(2)(14)13a −−+−<，解得40a -<<，即实数a 的取值范围是()4,0−． 故答案为故答案为：：()4,0−．20．（2024·湖南·二模）已知直线l 是圆22:1O x y +=的切线，点()2,1A −和点()0,3B 到l 的距离相等，则直线l 的方程可以是.（写出一个满足条件的即可）。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作专 题8 直线与圆1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(3,1)P -的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.3. 【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4.【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=5. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .【答案】（1）21-；（2）21 【解析】试题分析：设),(y x M ，因为||||MA MB λ=，所以])2[()(22222y x y b x ++=+-λ，6.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）学科网A 、[5,25]B 、[10,25]C 、[10,45]D 、[25,45]11.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-【答案】B12.【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.【答案】0或6【解析】试题分析：圆C 的标准方程为：()()22129x y ++-=,所以圆C 的圆心在()-12，，半径3r =又直线0x y a -+=与圆C 交于,A B 两点，且AC BC ⊥,所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离322d =.所以，()221232211a --+=+-，整理得：33a -=解得：0a =或6a =. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.13. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？yx14.【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积。

2 专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆一、选择题1．(2018 全国卷Ⅲ)直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆(x - 2)2 + y 2 = 2上，则∆ABP 面积的取值范围是A ．[2, 6]B ．[4,8]C ．[ 2,3 2]D ．[2 2,3 2]2．(2018 天津)已知圆 x2 + y 2 ⎧⎪x = -1+ - 2x = 0的圆心为 C ，直线⎨2 t , 2( t 为参数)与该圆 ⎪ y = 3 - 2 t ⎩2相交于 A ，B 两点，则△ABC 的面积为．3．(2018 北京)在平面直角坐标系中，记d 为点 P (cos θ ,sin θ ) 到直线 x - my - 2 = 0 的距离，当θ ， m 变化时， d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．4x 2 y2 4．（2017 新课标Ⅲ）已知椭圆C ： + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2，且以线段 A 1 A 2 为直径的圆与直线bx - ay + 2ab = 0 相切，则C 的离心率为6 3 A.B ．33C ．2 D ． 1335．（2017 新课标Ⅲ）在矩形 ABCD 中，AB = 1，AD = 2 ，动点 P 在以点C 为圆心且与 BD相切的圆上．若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ 的最大值为A ．3B ． 2C ．D ．26．（2015 山东）一条光线从点(-2, -3) 射出，经 y 轴反射后与圆(x + 3)2 +( y - 2)2 =1相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ． - 5 或-3 B ． - 3 或-2 C ． - 5 或-4 D ． - 4 或- 3352 34 53 47．（2015 广东）平行于直线2x + y +1 = 0 且与圆 x 2 + y 2 = 5相切的直线的方程是A ． 2x + y + 5 = 0 或2x + y - 5 = 055 5 5 5 22B ． 2x + y + = 0 或2x + y - = 0C ． 2x - y + 5 = 0或2x - y - 5 = 0D ． 2x - y + = 0 或2x - y - = 08．（2015 新课标 2）过三点 A (1,3) ， B (4, 2) ， C (1, -7) 的圆交于 y 轴于 M 、N 两点，则MN =A ．2B ．8C ．4D ．109．（2015 重庆）已知直线 l ： x + ay -1 = 0(a ∈ R ) 是圆C ： x 2 + y 2 - 4x - 2y +1 = 0的对称轴，过点 A (-4, a ) 作圆C 的一条切线，切点为 B ，则 AB ＝ A ．2B ． 4C ．6D ． 210．（2014 新课标 2）设点 M (x ,1) ，若在圆O : x 2 + y 2 =1 上存在点 N ，使得∠OMN = 45°，则 x 0 的取值范围是⎡-1 1 ⎤⎡⎤⎡2 ⎤A ． [-1,1]B ． ⎢ ， ⎥C ． ⎣- 2, 2 ⎦ D ． ⎢- ， ⎥ ⎣ 2 2 ⎦⎣ 2 2 ⎦11．（2014 福建）已知直线l 过圆 x 2+( y - 3)2= 4 的圆心，且与直线 x + y +1 = 0 垂直，则l 的方程是A ． x + y - 2 = 0B ． x - y + 2 = 0C ． x + y - 3 = 0D ． x - y + 3 = 012．（2014 北京）已知圆C : (x - 3)2+( y - 4)2=1和两点 A (-m ,0) ， B (m , 0) (m > 0) ，若圆C 上存在点P ，使得∠APB = 90，则m 的最大值为A ． 7B ． 6C ． 5D ． 413．（2014 湖南）若圆C : x 2+ y 2=1与圆C : x 2+ y 2- 6x - 8y + m = 0 外切，则m =12A ． 21B ．19C ． 9D ． -1114．（2014 安徽）过点 P （- 3,-1）的直线l 与圆 x 2 + y 2 =1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是66 102 17 2 5 ⎢ ⎪ πA ．（0， ]6πB ．（0， ]3πC ．[0， ]6πD ．[0， ]315．（2014 浙江）已知圆 x 2 + y 2 + 2x - 2 y + a = 0 截直线 x + y + 2 = 0 所得弦的长度为 4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014 四川）设m ∈ R ，过定点 A 的动直线 x + my = 0 和过定点 B 的动直线mx - y - m + 3 = 0 交于点 P (x , y ) ，则| PA | + | PB | 的取值范围是A ．[ 5, 2 5]B ．[ 10, 2 5]C ．[ 10, 4 5]D ．[2 5, 4 5]17．（2014 江西）在平面直角坐标系中， A , B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x + y - 4 = 0 相切，则圆C 面积的最小值为 A ．4πB ．3π C ． (6 - 2 5)πD ．5π54 418．（2013 山东）过点(3，1)作圆(x -1)2+ y 2 =1的两条切线，切点分别为 A ，B ，则直线AB 的方程为A ． 2x + y - 3 = 0B ． 2x - y - 3 = 0C ． 4x - y - 3 = 0D ． 4x + y - 3 = 019．（2013 重庆）已知圆C : (x - 2)2+( y - 3)2=1，圆C : (x - 3)2+( y - 4)2= 9 ，M , N12分别是圆C 1 , C 2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PM + PN 的最小值为A ． 5 - 4B ． -1C ． 6 - 2D ．20．（2013 安徽）直线 x + 2y - 5 + = 0 被圆 x 2 + y 2 - 2x - 4y = 0截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ． 4 21．（2013 新课标 2）已知点 A (-1, 0) ；B (1, 0) ；C (0,1) ，直线 y = ax + b (a > 0) 将△ ABC分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ⎛ A ． (0,1)B ．1- 2 , 1 ⎫ 2 2 ⎪ ⎛ C ．1- 2 , 1 ⎤ 2 3⎦ D ． ⎡1 , 1 ⎫⎣3 2⎝⎭⎝⎭22．（2013 陕西）已知点 M (a ,b ) 在圆O : x 2 + y 2 = 1 外, 则直线ax + by = 1与圆 O 的位置关1762 2 系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013 天津）已知过点 P (2，2) 的直线与圆(x -1)2 + y 2 = 5 相切， 且与直线ax - y +1 = 0垂直， 则a = A ． - 12B.1C ．2D ． 1224．（2013 广东）垂直于直线 y = x +1且与圆x 2 + y 2 = 1相切于第一象限的直线方程是A ． x + y - = 0B ． x + y +1 = 0C ． x + y -1 = 0D ． x + y + = 025．（2013 新课标 2）设抛物线C : y 2 = 4x 的焦点为 F ，直线l 过 F 且与C 交于 A ， B 两点．若| AF |= 3 | BF | ，则l 的方程为A. y = x -1或 y = -x +1B. y =(x -1) 或 y = - 33 (x -1)3C. y = 3(x -1) 或 y = - 3(x -1)D. y = 2 (x -1) 或 y = - 2 2 (x -1) 226．（2012 浙江）设a ∈ R ，则“ a = 1 ”是“直线l 1 ： ax + 2 y -1 = 0 与直线l 2 ：x + (a +1) y + 4 = 0 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012 天津）设m ，n ∈ R ，若直线(m +1)x +(n +1) y - 2=0 与圆(x -1)2 +(y -1)2 =1相切，则m +n 的取值范围是 A ．[1- 3,1+ 3]B ． ( -∞,1- 3] [1+ 3,+∞)C ．[2 - 2 2,2+2 2]D ． ( -∞,2 - 2 2] [2+2 2,+∞)28．（2012 湖北）过点 P (1,1) 的直线，将圆形区域{(x , y ) | x 2 + y 24}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ． x + y - 2 = 0B ． y -1 = 0C ． x - y = 0D ． x + 3y - 4 = 033 29．（2012 天津）在平面直角坐标系 xOy 中，直线3x + 4y - 5 = 0 与圆 x 2 + y 2 =4 相交于A ,B 两点，则弦 AB 的长等于A. 3B. 2 C ． D ．130．（2011 北京）已知点 A (0,2)，B (2,0)．若点 C 在函数 y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．131．（2011 江西）若曲线C ： x 2 + y 2 - 2x = 0与曲线C ： y ( y - mx - m ) = 0 有四个不同12的交点，则实数 m 的取值范围是A ．( - 3 ，3 ) B ．( -3 ，0) (0，3 )3 333C ．[ -3 ，3 ] D ．( -∞ ， -3 ) (3 ，+ ∞ )333332．（2010 福建）以抛物线 y 2 = 4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．x 2 +y 2 +2x =0 B ． x 2 +y 2 +x =0 C ． x 2 +y 2 - x =0 D ．x 2 +y 2 - 2x =033．（2010 广东）若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆O 位于 y 轴左侧，且与直线 x + 2 y = 0相切，则圆O 的方程是A. (x - 5)2 + y 2= 5B. (x + 5)2 + y 2= 5C ． (x - 5)2 + y 2= 5D ． (x + 5)2 + y 2 = 5二、填空题34．(2018 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l : y = 2x 上在第一象限内的点，B (5, 0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D ．若 AB ⋅ C D = 0 ，则点 A 的横坐标为．35．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A (-12, 0) ，B (0, 6) ，点 P 在圆O ：x 2 + y 2 = 50上，若 PA ⋅ PB ≤ 20 ，则点 P 的横坐标的取值范围是．36．（2015 湖北）如图，圆C 与 x 轴相切于点T (1, 0) ，与 y 轴正半轴交于两点 A , B （B 在 A33NA NB MAMBNBNANBNA的上方），且AB=2．（Ⅰ）圆C的标．准．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆O : x2 +y2 = 1 相交于M , N 两点，下列三个结论：①=；②- = 2 ；③+ = 2 2 ．其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）37．（2014 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为．（2014 重庆）已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A，B 两点，且∆ABC 为等边三角形，则实数a = ．39．（2014 湖北）直线l：y=x+a和l：y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等1 2的四段弧，则a2 +b2 = ．40．（2014 山东）圆心在直线x - 2 y = 0 上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2 3 ，则圆C 的标准方程为．41．（2014 陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0) 关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．42．（2014 重庆）已知直线x -y +a = 0 与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A，B两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为．43．（2014 湖北）已知圆O : x2 +y2 =1 和点A(-2,0)，若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有| MB |=λ| MA | ，则（Ⅰ）b=；MAMBMAMB（Ⅱ）λ= .44．（2013 浙江）直线y = 2x + 3 被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.45．（2013 湖北）已知圆O：x2 +y2 = 5 ，直线l：x cosθ+y sinθ=1( 0 <θ<π)．设圆O上2到直线l 的距离等于1 的点的个数为k ，则k = .46．（2012 北京）直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为. 47．（2011 浙江）若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m= ．48．(2011 辽宁)已知圆C 经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为．49．(2010 新课标)圆心在原点上与直线x +y - 2 = 0 相切的圆的方程为．50．(2010 新课标)过点A(4,1)的圆C 与直线x -y = 0 相切于点B(2,1) ，则圆C 的方程为．三、解答题51．(2016 年全国I)设圆x2 +y2 + 2x -15 = 0 的圆心为A ，直线l 过点B(1, 0) 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I）证明EA +EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；（I I）设点E 的轨迹为曲线C1 ，直线l 交C1 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014 江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan∠BCO =4 ．3（I）求新桥BC 的长；（I I）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？2 653．（2013 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (0,3) ，直线l ：y = 2x - 4 .设圆C的半径为 1，圆心在l 上.y（I ） 若圆心C 也在直线 y = x - 1上，过点 A 作圆C 的切线，求切线的方程； （I I ） 若圆C 上存在点 M ，使 MA = 2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．54．(2013 新课标 2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为2 ， 在 y轴上截得线段长为2 3 ．（I ） 求圆心 P 的轨迹方程；（I I ） 若 P 点到直线 y = x 的距离为2 ，求圆 P 的方程．255．（2011 新课标）在平面直角坐标系 xoy 中，曲线y = x 2 - 6x + 1与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ） 求圆 C 的方程；（I I ）若圆 C 与直线 x - y + a = 0 交于 A ，B 两点，且OA ⊥ OB , 求a 的值．56．（2010 北京）已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(-2, 0) ，( 2, 0) ，离心率是， 3lAO直线y t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ．（I）求椭圆C 的方程；（II）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q(x, y) 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．。

专题3：直线和圆高考真题赏析一、单选题1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=2．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A ．5B ．25C ．35D ．453．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） 圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）A ．B ．C ．D ．24．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26，B ．[]48，C ．232D ．2232⎡⎣5．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知三点A (1,0)，B (03)，C (23，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B 21C 25D ．43二、填空题6．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若23AB =，则圆C 的面积为________8．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点.则CD =_________.9．已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点，且满足AP ⊥BP ，则点P 的纵坐标取值范围是_______． 10．2015年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷） 在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 11．2020年江苏省高考数学试卷 在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________． 12．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精）在平面直角坐标系xOy 中，A （-12,0），B （0,6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若PA ·PB ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是_________三、双空题13．2020年浙江省高考数学试卷设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．参考答案1．D 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，1x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 2．B 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=的距离为25. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．A 【解析】 试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围． 4．A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d ++==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦则[]22122,62ABPSAB d d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 5．B 【详解】选B.考点：圆心坐标6．[1,1]- 【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以sin 45OA OM =212OM ≤，解得2OM M （0x ,1），所以2012OM x =+≤011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度. 7．4π 【解析】因为圆心坐标与半径分别为2(0,),2=+C a r a ，所以圆心到直线的距离222a a a d -==22322a a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4πππ==+=S r ，应填答案4π．8．4 【解析】试题分析：由60x +=，得6x =-，代入圆的方程，整理得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以AB ==l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30AB CD ==︒．【考点】直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．9．[2，6] 【解析】 【分析】由题分析可得∠CPA 最大为45°，即sin ∠，解不等式CA CP即得解.【详解】要使AP ⊥BP ，即∠APB 的最大值要大于或等于90°， 显然当PA 切圆C 于点A ，PB 切圆C 于点B 时，∠APB 最大， 此时∠CPA 最大为45°，则sin ∠， 即CA CP≥2， 设点P(5，0y )， 解得2≤0y ≤6． 故答案为：[2，6] 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．22(1) 2.x y -+= 【解析】==≤≤，当且仅当1m =时取等号，所以半径最大为r =22(1) 2.x y -+=考点：直线与圆位置关系 11．【分析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去） 当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 12．[- 【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上，结合限制条件x -≤≤P 横坐标的取值范围为[-．点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．13．3 3- 【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得33k b ==-.【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.。

专题11直线与圆目录一览2023真题展现考向一直线与圆相切考向二直线与圆相交真题考查解读近年真题对比考向一直线与圆相切考向二直线与圆的位置关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与圆相切1．（2023•新高考Ⅰ•第6题）过点（0，﹣2）与圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（）A ．1B ．154C ．104D ．64【答案】B解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0可化为（x ﹣2）2+y 2＝5，则圆心C （2，0），半径为r =5；设P （0，﹣2），切线为PA 、PB ，则PC =22+22=22，△PAC中，sin �2=5cos �2==3所以sin α＝2sin �2cos �2=2×5×3=154．故选：B ．考向二直线与圆相交2．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知直线x ﹣my +1＝0与⊙C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（或﹣2或12或−12）解：由圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心坐标为C （1，0），半径为r ＝2，因为△ABC 的面积为85，可得S △ABC =12×2×2×sin ∠ACB =85，解得sin ∠ACB =45，设12∠ACB ＝θ所以∴2sin θcos θ=45，可得2푠푖푛휃 푠휃푠푖푛2휃+ 푠2휃=45，∴2푡푎푛휃푡푎푛2휃+1=45，∴tan θ=12或tan θ＝2，∴cos θ=cos θ=∴圆心眼到直线x ﹣my +1＝0的距离d===解得m ＝±12或m ＝±2．故答案为：2（或﹣2或12或−12）．【命题意图】考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．【考查要点】常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。

2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。

高考数学最新真题专题解析—直线与圆（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程【答案】x+1=07x−24y−25=03x+4y−5=0(填一条即可)【分析】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题．【解答】解：方法1:显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0，于是√1+b2=1，√1+b2=4．故c2=1+b2 ①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=−4c，再结合 ①解得{b=0c=1或{b=−247c=−257或{b=43c=−53，所以直线方程有三条，分别为x+1=0，7x−24y−25=0，3x+4y−5=0．(填一条即可)方法2:设圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为r1=1，圆(x−3)2+ (y−4)2=16的圆心C(3,4)，半径r2=4，则|OC|=5=r1+r2，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 x +1=0 符合题意； 又由方程 (x −3)2+(y −4)2=16 和 x 2+y 2=1 相减可得方程 3x +4y −5=0 ，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 4x −3y =0 ，直线 OC 与直线 x +1=0 的交点为 (−1,−43) ，设过该点的直线为 y +43=k(x +1) ，则|k−43|√k 2+1=1 ，解得 k =724 ，从而该切线的方程为 7x −24y −25=0.( 填一条即可 ) 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】设点A(−2,3)，B(0,a)，直线AB 关于直线y =a 的对称直线为l ，已知l 与圆C:(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围为 ． 【答案】[13,32] 【分析】本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题． 【解答】解：因为k AB=a−32，所以AB关于直线y=a的对称直线为(3−a)x−2y+2a=0，所以√4+(3−a)2⩽1，整理可得6a2−11a+3⩽0,解得13≤a≤32．【命题意图】考察直线倾斜角与斜率，考察直线方程，考察直线平行与垂直，考察直线交点坐标，点到直线距离公式。

专题25直线与圆年份题号考点考查内容2011文20直线与圆圆的方程的求法，直线与圆的位置关系2013卷2文20直线与圆圆方程的求法，直线与圆的位置关系2014卷2文20直线与圆圆方程的求法，圆的几何性质，直线与圆的位置关系2015卷1理14圆与椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法文20直线与圆直线与圆的位置关系卷2理7直线与圆三角形外接圆的求法，圆的弦长的计算公式文7点与圆三角形外接圆的求法，两点间距离公式2016卷1文15直线与圆直线与圆的位置关系卷2理4文6直线与圆圆的方程、点到直线的距离公式卷3文15直线与圆直线与圆的位置关系2017卷3理20直线、圆、抛物线直线与抛物线的位置关系；圆的方程的求法文20直线与圆直线与圆的位置关系，圆的几何性质，圆的定值问题的解法2018卷1文15直线与圆直线与圆的位置关系，圆的弦长计算卷3理6文8直线与圆直线与圆位置关系，点到直线的距离公式，三角形的面积公式2019卷3理21直线与圆，直线与抛物线直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题文21直线与圆，直线与抛物线直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题2020卷1理11直线与圆直线与圆位置关系，圆与圆的位置关系，圆的几何性质文6直线与圆直线与圆的位置关系，圆的弦的最值问题卷2理5文8直线与圆直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，点到直线距离公式卷3理10直线与圆直线与圆相切，直线与曲线相切，导数的几何意义文8直线与圆点到动直线距离公式的最值问题考点出现频率2021年预测考点86直线方程与圆的方程37次考8次命题角度：(1)圆的方程；(2)与圆有关的轨迹问题；(3)与圆有关的最值问题．考点87两直线的位置关系37次考1次考点88直线与圆、圆与圆的位置关系37次考35次考点86直线方程与圆的方程1．(2020全国Ⅲ文6)在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC，则点C 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A【思路导引】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可．【解析】设 20AB a a ，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则： ,0,,0A a B a ，设 ,C x y ，可得： ,,,AC x a y BC x a y，从而： 2AC BC x a x a y，结合题意可得： 21x a x a y ，整理可得：2221x y a ，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆．故选：A ．2．(2020全国Ⅲ文8)点(0，﹣1)到直线 1y k x 距离的最大值为()A ．1B ．C ．D ．2【答案】B【解析】由(1)y k x 可知直线过定点(1,0)P ，设(0,1)A ，当直线(1)y k x 与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x 距离最大，即为||AP3．(2015北京文)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是A ．22(1)(1)1x y B ．22(1)(1)1x y C ．22(1)(1)2x y D ．22(1)(1)2x y【答案】D 【解析】由题意可得圆的半径为r22112x y ．4．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为__________．【答案】2220x y x 【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ，圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，则01104020F D E F D F ，解得200D E F，则圆的方程为2220x y x ．5．【2017·天津文】设抛物线24y x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ，则圆的方程为___________．【答案】22(1)(1x y 【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m ，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m，1cos 2AC AF CAF AC AF，解得m ，由于圆C 与y轴得正半轴相切，则m所求圆的圆心为( ，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ．6．【2016·浙江文数】已知a R ，方程222(2)4850a x a y x y a 表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．【答案】(2,4) ；5．【解析】由题意22a a ，12a 或，1a 时方程为224850x y x y ，即22(2)(4)25x y ，圆心为(2,4) ，半径为5，2a 时方程为224448100x y x y ，2215((1)24x y 不表示圆．7．【2016·天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y的距离为5，则圆C 的方程为__________．【答案】22(2)9.x y 【解析】设(,0)(0)C a a2,35a r，故圆C 的方程为22(2)9.x y 8．(2011辽宁文)已知圆C 经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为．【答案】22(2)10x y 【解析】以题意设圆C 的方程为222()x a y r ，把所给的两点坐标代入方程得2222(5)1(1)9a r a r，解得2210a r ，所以圆C ：22(2)10x y ．考点87两直线的位置关系9．【2016·上海文科】已知平行直线012:,012:21 y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________．【答案】5【解析】利用两平行线间距离公式得d 510．(2011浙江文)若直线250x y 与直线260x my 互相垂直，则实数m =．【答案】1【解析】当0m 时，两直线不垂直，故0m ．因为直线250x y 与直线260x my 的斜率分别为12和2m ，由12(12m，故1m ．考点88点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系11．(2020·新课标Ⅰ文)已知圆2260x y x ，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】圆2260x y x 化为22(3)9x y ，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2 ．12．(2020·新课标Ⅱ文理5)若过点 2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032 y x 的距离为()A ．55B ．552C ．553D ．554【答案】B【思路导引】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离．【解析】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为222x a y a a ．由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，∴圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y的距离均为5d ，∴圆心到直线230x y．故选B ．13．(2020全国Ⅰ理11】已知⊙22:2220M x y x y ，直线:220l x y ，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为()A ．210x yB ．210x y C ．210x y D ．210x y 【答案】D【思路导引】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ，根据22PAM PM AB S PA △可知，当直线MP l 时，PM AB 最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【解析】圆的方程可化为 22114x y ，点M 到直线l的距离为2d ，∴直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ，∴12222PAM PM AB S PA AM PA △，而PA ，当直线MP l时，min MP，min 1PA ，此时PM AB 最小．∴ 1:112MP y x 即1122y x ，由1122220y x x y解得，10x y．∴以MP 为直径的圆的方程为 1110x x y y ，即2210x y y ，两圆的方程相减可得：210x y ，即为直线AB 的方程，故选D ．14．(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】设圆心 ,C x y ，则1 ，化简得 22341x y ，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM 5 ，所以||514OC ，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选A ．15．(2019北京文8)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB 是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为(A)4β+4cosβ(B)4β+4sinβ(C)2β+2cosβ(D)2β+2sinβ【答案】B【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB ， 1222BOP AOP．此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S △△扇形 sin 44sin ．故选B ．16．【2018·全国Ⅲ文】直线20x y 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y 上，则ABP △面积的取值范围是A ． 26，B ． 48，C ．D ． 【答案】A【解析】∵直线20x y 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， 2,0,0,2A B ，则AB ．∵点P 在圆22(2)2x y 上， 圆心为(2，0)，则圆心到直线的距离1d故点P 到直线20x y 的距离2d 的范围为，则 2212,62ABP S AB d△．故答案为A ．17．【2018高考全国2理2】已知集合22,3,,A x y xy x yZ Z ，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】试题分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数．试题解析：2223,3x y x ∵，又,1,0,1x x Z ．当1x 时，1,0,1y ；当0x 时，1,0,1y ；当1x 时，1,0,1y ；所以共有9个，选A ．【考点】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．18．【2018高考全国3理6】直线20x y 分别与x 轴y 交于,A B 两点，点P 在圆 2222x y 上，则ABP △面积的取值范围是()A ． 26，B ．48，C ．D ． 【答案】A【解析】∵直线20x y 分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点， 2,0,0,2A B ，则AB∵点P 在圆 2222x y 上， 圆心为 2,0，则圆心到直线距离1d，故点P 到直线20x y 的距离2d 的范围为，则 2212,62ABP S AB d△，故选A ．19．【2018高考北京理7】在平面直角坐标系中，记d 为点 cos ,sin P 到直线20x my 的距离．当,m 变化时，d 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：P 为单位圆上一点，而直线20x my 过点 2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA ．试题解析：22cos sin 1P ∵,为单位圆上一点，而直线20x my 过点 2,0A ，所以d 的最大值为1213OA ，选C ．【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．20．(2017新课标Ⅲ理)在矩形ABCD 中，1AB ，2AD ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD，则 的最大值为A ．3B．CD ．2【答案】A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)Px y 所以圆的方程为224(2)5x y，所以(,1)AP x y ，(0,1)AB ，(2,0)AD，由AP AB AD ，得21x y ，所以 =12x y ，设12x z y，即102xy z ，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z 的距离小于半径，，解得13z≤≤，所以z的最大值为3，即的最大值为3，选A．21．【2016·山东文数】已知圆M：2220(0)x y ay a+-=>截直线0x y+=所得线段的长度是M与圆N：22(1)1x y+-=（-1）的位置关系是()(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离【答案】B【解析】由2220x y ay(0a )得 222x y a a(0a )，所以圆M的圆心为0,a，半径为1r a ，因为圆M截直线0x y所得线段的长度是，解得2a ，圆N的圆心为 1,1，半径为21r ，所以MN ，123r r ，121r r ，因为1212r r MN r r，所以圆M与圆N相交，故选B．22．【2016·北京文数】圆22(1)2x y的圆心到直线3y x 的距离为()A．1B．2CD．2【答案】C【解析】圆心坐标为(1,0)，由点到直线的距离公式可知d ，故选C．23．【2016·新课标2文数】圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=()(A)−43(B)−34(D)2【答案】A【解析】由2228130x y x y配方得22(1)(4)4x y，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y的圆心到直线10ax y的距离为11 ，解得43a ，故选A．24．(2015安徽文)直线34x y b与圆222210x y x y相切，则b的值是A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12【答案】D【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y ，圆心(1,1)到直线34x y b 的距离|7|15b ，所以2b 或12b ．25．(2015新课标2文)已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352D ．34【答案】B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC (1,3，故ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为3=．26．(2015山东理)一条光线从点(2,3) 射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y 相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53 或35B ．32或23C ．54或45D ．43或34【答案】D 【解析】(2,3) 关于y 轴对称点的坐标为(2,3) ，设反射光线所在直线为3(2)y k x ，即230k x y k ，则1d ，|55|k 43k 或34．27．(2015广东理)平行于直线210x y 且与圆225x y 相切的直线的方程是A ．250x y 或250x yB ．20x y 或20x yC ．250x y 或250x y D ．20x y 或20x y【答案】A 【解析】设所求直线的方程为20x y c (1) c，所以c ，故所求直线的方程为250x y 或250x y ．28．(2015新课标2理)过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C 的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．10【答案】C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ，则3100422007500D E F D E F D E F，解得2,4,20D E F ，所求圆的方程为2224200x y x y ，令0x =，得24200y y ，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y ，1220y y ，所以12||||MN y y29．(2015重庆理)已知直线l ：10()x ay a R 是圆C ：224210x y x y 的对称轴，过点(4,)A a 作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B．C ．6D．【答案】C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y ，圆心为(2,1)C ，半径为2r ，因此2110a ，1a ，即(4,1)A，6AB ．选C ．30．(2014新课标2文理)设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y 上存在点N ，使得°45OMN ，则0x 的取值范围是A ．1,1B ．1122，C． D．22，【答案】A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN，所以01x 符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM M 作圆O 的一条切线MN ，连接ON ，则在Rt OMN中，sin 32OMN，则45OMN ，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN，即0x C ，故选A ．31．(2014福建文)已知直线l 过圆 2234x y 的圆心，且与直线10x y 垂直，则l 的方程是A ．20x yB ．20x yC ．30x yD ．30x y 【答案】D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y ．32．(2014北京文)已知圆 22:341C x y 和两点 ,0A m ， ,00B m m ，若圆C 上存在点P ，使得90APB ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC ，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．33．(2014湖南文)若圆221:1C x y 与圆222:680C x y x y m 外切，则mA ．21B ．19C ．9D ．11【答案】C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r 1212||15C C r r ，所以9m ．34．(2014安徽文)过点P ）（1,3 的直线l 与圆122y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]6，（B ．3，（C ．60[ ，D ．]30[ ，【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为 ，由题意可知min max 0,263．35．(2014浙江文)已知圆22220x y x y a 截直线20x y 所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8【答案】B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ，则圆心(1,1)C ，半径r 满足22r a ，则圆心C 到直线20x y 的距离d2422r a ，故4a ．36．(2014四川文)设m R ，过定点A 的动直线0x my 和过定点B 的动直线30mx y m 交于点(,)P x y ，则||||PA PB 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】易知直线0x my 过定点(0,0)A ，直线30mx y m 过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB 102sin()4PAB[10,25] ．故选B ．37．(2014江西文)在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45B ．34C ．(625)D ．54【答案】A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0到直线240x y 的距离，此时25r5r，圆C 的面积的最小值为245S r．38．(2014福建理)已知直线l 过圆 2234x y 的圆心，且与直线10x y 垂直，则l 的方程是A ．20x y B ．20x y C ．30x y D ．30x y 【答案】D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y ．39．(2014北京理)已知圆 22:341C x y 和两点 ,0A m ， ,00B m m ，若圆C 上存在点P ，使得90APB ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC ，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．40．(2014湖南理)若圆221:1C x y 与圆222:680C x y x y m 外切，则m A ．21B ．19C ．9D ．11【答案】C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,25r r m1212||1255C C r r m ，所以9m ．41．(2014安徽理)过点P ）（13 的直线l 与圆122y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]6，（B ．3，（C ．60[ ，D ．]30[ ，【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为 ，由题意可知min max 0,263．42．(2014浙江理)已知圆22220x y x y a 截直线20x y 所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8【答案】B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ，则圆心(1,1)C ，半径r 满足22r a ，则圆心C 到直线20x y 的距离d 所以2422r a ，故4a ．43．(2014四川理)设m R ，过定点A 的动直线0x my 和过定点B 的动直线30mx y m 交于点(,)P x y ，则||||PA PB 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】易知直线0x my 过定点(0,0)A ，直线30mx y m 过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB 4PAB．故选B ．44．(2014江西理)在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45B ．34C ．(6D ．54【答案】A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y 的距离，此时2rr，圆C 的面积的最小值为245S r．45．(2013山东文)过点(3，1)作圆 2211x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为()A ．230x y B ．230x y C ．430x y D ．430x y 【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是–2，只有选项A 中直线的斜率为–2．46．(2013重庆文)已知圆 221:231C x y ，圆 222:349C x y ，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN 的最小值为A ．524B ．171C ．622D ．17【答案】A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM|≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－4＝2223344524 ，故选A ．47．(2013安徽文)直线2550x y 被圆22240x y x y 截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．46【答案】C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离1+4-5+5=15d，半径5r ，所以最后弦长为222(5)14 ．48．(2013新课标2文)已知点 1,0A ； 1,0B ； 0,1C ，直线y ax b (0)a 将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．211,22C ．211,23D ．11,32【答案】B 【解析】(1)当y ax b 过 1,0A 与BC 的中点D 时，符合要求，此13b ，(2)当y ax b 位于②位置时1,0b A a，11,11b a b D a a，令1112A BD S 得212b a b，∵0a ，∴12b (3)当y ax b 位于③位置时21,11b b a A a a，21,11b a b D a a，令2212A CD S，即 111112112b b b a a ，化简得22241a b b ，∵0a ，∴22410b b，解得1122b．综上：21122b，故选B ．49．(2013陕西文)已知点M(a ，b)在圆221:O x y 外，则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B 【解析】点M(a ，b)在圆.112222b a y x 外111)00(.22ba d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交，故选B ．50．(2013天津文)已知过点P(2，2)的直线与圆225(1)x y 相切，且与直线10ax y 垂直，则aA ．12B ．1C ．2D ．12【答案】C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)yk x ，即220kx y k ，圆心(1,0)到12k．因为直线与直线10ax y 垂直，所以112k a，即2a ，选C ．51．(2013广东文)垂直于直线1y x 且与圆221x y 相切于第一象限的直线方程是A．0x y B ．10x y C ．10x y D ．0x y 【答案】A【解析】∵圆心到直线的距离等于1r ，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A ．直接法可设所求的直线方程为： 0y x k k ，再利用圆心到直线的距离等于1r ，求得k．52．(2013新课标2文)设抛物线2:4C y x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF ，则l 的方程为A ．1y x 或1y x B ．3(1)3y x或3(1)3y xC ．1)y x 或1)y x D ．(1)2y x或(1)2y x 【答案】C 【解析】抛物线24y x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF|=3|BF|，所以1213(1)x x ，所以1232x x ，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y ，所以此时1y ，若1y ，则123(3,(,33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．若1y ，则1(3,(,)33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．所以l 的方程是1)y x或1)y x ，选C ．53．(2013山东理)过点(3，1)作圆 2211x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y B ．230x y C ．430x y D ．430x y 【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2 ，只有选项A 中直线的斜率为2 ．54．(2013重庆理)已知圆 221:231C x y ，圆 222:349C x y ，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN 的最小值为A ．4B 1C ．6D ．【答案】A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM|≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444 ，故选A ．55．(2013安徽理)直线250x y 被圆22240x y x y 截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d，半径r ，所以最后弦长为4 ．56．(2013新课标2理)已知点 1,0A ； 1,0B ； 0,1C ，直线y ax b (0)a 将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．11,22C ．11,23D ．11,32【答案】B 【解析】(1)当y ax b 过 1,0A 与BC 的中点D 时，符合要求，此13b ，(2)当y ax b 位于②位置时1,0b A a，11,11b a b D a a，令1112A BD S 得212b a b，∵0a ，∴12b ．(3)当y ax b 位于③位置时21,11b b a A a a，21,11b a b D a a，令2212A CD S，即 111112112b b b a a ，化简得22241a b b ，∵0a ，∴22410b b ，解得221122b综上：1122b，故选B ．57．(2013陕西理)已知点(,)M a b 在圆221:O x y 外，则直线1ax by 与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B 【解析】点M(a，b)在圆221x y 外，∴221a b ．圆(0,0)O 到直线1ax by 距离1d=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．58．(2013天津理)已知过点P(2，2)的直线与圆225(1)x y 相切，且与直线10ax y 垂直，则aA ．12B ．1C ．2D ．12【答案】C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)yk x ，即220kx y k ，圆心(1,0)到12k．因为直线与直线10ax y 垂直，所以112k a，即2a ，选C ．59．(2013广东理)垂直于直线1y x 且与圆221x y 相切于第一象限的直线方程是A．0x y B ．10x y C ．10x y D ．0x y【答案】A【解析】∵圆心到直线的距离等于1r ，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A ．直接法可设所求的直线方程为： 0y x k k ，再利用圆心到直线的距离等于1r ，求得k．60．(2013新课标2理)设抛物线2:4C y x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF ，则l 的方程为A ．1y x 或1y xB ．(1)3y x或(1)3y xC ．1)y x 或1)y x D ．(1)2y x或(1)2y x 【答案】C 【解析】抛物线24y x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF|=3|BF|，所以1213(1)x x ，所以1232x x ，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y ，所以此时1y ，若1y ，则1(3,(,33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．若1y ，则123(3,(,)33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．所以l 的方程是1)y x或1)y x ，选C ．61．(2012浙江文)设a R ，则“1a ”是“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的充要条件是(1)2a a ，解得，1a 或2a ，所以是充分不必要条件．62．(2012天津文)设m ，n R ，若直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)C ．[2D ．(,2)【答案】D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n ，设=t m n ，则21+14t t ，解得(,2)t ．63．(2012湖北文)过点(1,1)P 的直线，将圆形区域 22(,)|4x y x y 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y B ．10y C ．0x y D ．340x y 【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点(1,1)P ，则1OP k ，故所求直线的斜率为–1．又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为 11y x ，即20 x y ．故选A ．64．(2012天津文)在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y 与圆224x y 相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于()()A()B ()C ()D【答案】B 【解析】圆224x y 的圆心(0,0)O 到直线3450x y 的距离515d，弦AB 的长AB ．65．(2012浙江理)设a R ，则“1a ”是“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的充要条件是(1)2a a ，解得，1a 或2a ，所以是充分不必要条件．66．(2012天津理)设m ，n R ，若直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)C ．[2D ．(,2)【答案】D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n ，设=t m n ，则21+14t t ，解得(,2)t ．67．(2012湖北理)过点(1,1)P 的直线，将圆形区域 22(,)|4x y x y 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y B ．10y C ．0x y D ．340x y 【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点(1,1)P ，则1OP k ，故所求直线的斜率为 1．又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为11y x ，即20 x y ．故选A ．68．(2012天津理)在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y 与圆224x y 相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．【答案】B 【解析】圆224x y 的圆心(0,0)O 到直线3450x y 的距离515d弦AB 的长AB ．69．(2011北京文)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C 在函数y x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设点2(,)C t t ，直线AB 的方程是20x y ，||AB 由于ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程122，即h ，22|2|2t t ，解得有4个实根，故这样的点C 有4个．70．(2011江西文)若曲线1C ：2220x y x 与曲线2C ：()0y y mx m 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(3，3文)B ．(3，0) (0，3)C ．[3 ，3]D ．( ，3) (3，+ )【答案】B 【解析】221:(1)1C x y ，2C 表示两条直线即x 轴和直线l ：(1)y m x ，显然x 轴与1C 有两个交点，由题意l 与2C 相交，所以1C 的圆心到l 的距离1d r，解得33(,)33m，又当0m 时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B ．71．(2011北京理)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C 在函数y =x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设点2(,)C t t ，直线AB 的方程是20x y ，||AB 由于ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程122，即h ，22|2|2t t ，解得有4个实根，故这样的点C 有4个．72．(2011江西理)若曲线1C ：2220x y x 与曲线2C ：()0y y mx m 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(33，33)B ．(33，0) (0，33)C ．[3 ，3]D ．( ，3) (3，+ )【答案】B 【解析】221:(1)1C x y ，2C 表示两条直线即x 轴和直线l ：(1)y m x ，显然x 轴与1C 有两个交点，由题意l 与2C 相交，所以1C 的圆心到l的距离1d r，解得(,33m，又当0m 时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B ．73．【2020年高考天津卷12】已知直线80x 和圆222(0)x y r r 相交于,A B 两点．若||6AB ，则r 的值为_________．【答案】5【解析】因为圆心 0,0到直线80x的距离4d，由l6 ，解得=5r ．74．【2020年高考浙江卷15】设直线:(0)l y kx b k ，圆221:1C x y ，222:(4)1C x y ，若直线l与1C ，2C 都相切，则k ；b．【答案】33；233【解析】由题意可知直线l 是圆1C 和圆2C 的公切线，∵0k ，为如图所示的切线，由对称性可知直线l 必过点 2,0，即20k b ①1，②由①②解得：3k，3b，故答案为：3；3．75．【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系xOy 中，已知3,0)2P ，A B 、是圆C ：221(362x y上的两个动点，满足PA PB ，则PAB 面积的最大值是________．【答案】【解析】如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，则：∵PA PB ，6CA CB R ，∴PC AB ，EF 为垂径．要使面积PAB S 最大，则P D 、位于C 两侧，并设CD x ，计算可知1PC ，故1PD x ，2AB BD ，故1(12PAB AB PD S x，令6cos x ，(1(16cos )6sin 6sin 18sin 2PAB S x ，02q，记函数()6sin 18sin 2f ，则2()6cos 36cos26(12cos cos 6)f ，令2()6(12cos cos 6)0f ，解得2cos 3 (3cos 04舍去)显然，当20cos 3时，()0f ，()f 单调递减；当2cos 13时，()0f ，()f 单调递增；结合cos 在(0,2 递减，故2cos3 时()f 最大，此时sin 3，故max 552()636333f，即PAB 面积的最大值是．(注：实际上可设BCD ，利用直角BCD 可更快速计算得出该面积表达式)76．【2019·浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y 与圆C 相切于点(2,1)A ，则m =___________，r =___________．【答案】2【解析】由题意可知11:1(2)22ACk AC y x，把(0,)m代入直线AC的方程得2m，此时||r AC77．【2018·全国I文】直线1y x 与圆22230x y y交于A B，两点，则AB ________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为 2214x y，所以圆的圆心为0,1 ，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ，结合圆中的特殊三角形，可知AB，故答案为．78．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，A为直线:2l y x上在第一象限内的点，(5,0)B，以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0AB CD，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】设,2(0)A a a a ，则由圆心C为AB中点得5,,2aC a易得:520C x x a y y a，与2y x联立解得点D的横坐标1,Dx 所以 1,2D．所以55,2,1,22aAB a a CD a，由0AB CD得2551220,230,32aa a a a a a或1a ，因为0a ，所以 3.a79．【2018高考上海12】已知实数1212x x y y,,,满足：22221122121211,1,2x y x y x x y y，则的最大值为．【解析】试题分析：由已知可得点1122,,,A x yB x y在单位圆221x y 上．又由121212x x y y，容易想到向量的数量积，从而得AOB的大小．而容易想到点11,A x y到直线10x y 的距离，因此问题转化为圆上两点 1122,,,A x y B x y 到直线10x y 距离和的最大值问题，再三角换元，进而应用三角函数来求最大值．试题解析：由已知可得两点 1122,,,A x y B x y 在单位圆221x y 上．121211,cos ,223OA OB x x y y AOB AOB OA OB∵ ．设 cos ,sin ,cos ,sin 33A B，则 ．已知点 1122,,,A x y B x y 在直线10x ysin 1cos sin 13311sin 1cos sin sin cos 1222233cos sin 22222cos 4sin 412当且仅当122即12．80．(2017江苏理)在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A ，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y 上，若20PA PB≤，则点P 的横坐标的取值范围是．【答案】[ 【解析】设(,)P x y ，由20PA PB≤，得250x y ≤，x如图由250x y ≤可知，P 在 MN 上，由2225050x y x y，解得(1,7)M ，(5,5)N ，所以P 点横坐标的取值范围为[ ．81．【2016·四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ．②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．【答案】②③【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P ，而11(,)22P 的伴随点为(1,1) ，而不是P ，故①错误；对于②，令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x ，则其伴随点为(sin ,cos )P x x ，仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线(,)0f x y 关于x 轴对称，则(,)0f x y 与曲线(,)0f x y 表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y 与2222(,)0y xf x y x y ，它们也表示同一曲线，又因为伴随曲线2222(,)0y x f x y x y 与2222(,)0y xf x y x y关于y 轴对称，所以③正确；对于④，取直线y kx b 上一点P(x ，y)，则其伴随点2222(,)y xx y x y ，消参后轨迹是圆，故④错误．所以真命题为②③．82．[2016·新课标Ⅲ文数]已知直线l ：60x 与圆2212x y 交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD _____________．【答案】4【解析】由60x ，得6x，代入圆的方程，并整理，得260y ，解得12y y 120,3x x ，所以||AB ．又直线l 的倾斜角为30 ，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD．83．【2016·新课标1文数】设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若퐴 =23，则圆C 的面积为．【答案】4【解析】圆22:220C x y ay ，即222:()2C x y a a ，圆心为(0,)C a ，由||AB 圆心C 到直线2y x a，所以得222()22a ，则22,a 所以圆的面积为2π(2)4πa ．84．(2015重庆文)若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．【答案】250x y 【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y ，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y 即250x y ．85．(2015湖南文)若直线3450x y 与圆 2220x y r r 相交于,A B 两点，且120o AOB (O为坐标原点)，则r =_____．【答案】2【解析】如图直线3450x y 与圆2220x y r r （＞）交于,A B 两点，O 为坐标原点，且120o AOB ，则圆心(0,0)到直线3450x y 的距离为2r 2r，∴2r =．86．(2015湖北文)如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方)，。

直线和圆的方程十年高考数学真题分类解析十年高考分类解析与应试策略数学第七章直线和圆的方程● 测试场地的解释解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科．在建立坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系；使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来；使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究．学习解析几何时，我们应该特别注意以下几个方面：（1）熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用；（2）它与代数、三角学和平面几何密切相关，使用灵活一、选择题1.（2022，北京春文12，李10）已知直线ax+by+C=0（ABC≠ 0）与圆x2+y2=1相切，因此三条边是三角形（）a.是锐角三角形c.是钝角三角形b、是一个直角三角形D。

不存在2.（2021北京春理，12）在直角坐标系xoy中，已知△aob三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△aob内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）a、 95b。

91c。

88d。

753.（2002北京安徽春文，8）到两个坐标轴之间等距点的轨迹方程为（）a.x-y=0C | x |-y=02二b.x+y=0d.|x|－|y|=04.（2002北京安徽春丽，8）圆2x+2Y=1，直线xsinθ＋y－1＝0（θ）∈r、θ≠2＋kπ，k∈z）的位集合关系为（）a.相交b.相切c.相离d.不确定的5.（2002年国家文本）如果直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（）a.1，－1b、 2，－2c.1d、－16.（2002全国理）圆（x－1）2＋y2＝1的圆心到直线y=33x的距离是（）a.12b。

32c.1d.37.（2002，北京，2）在平面直角坐标系中，如果已知两点a（cos80°，sin80°）和B（cos20°，sin20°），则| ab |的值为（）a.12b。

专题十五 直线与圆的方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分,考试时间60分钟．第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2019·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞,0)D ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)答案 A解析 解法一：∵过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,∴直线的斜率小于0,即2a －a －13－1＋a <0,即a －12＋a<0,解得－2<a<1,故选A.解法二：当a ＝0时,P(1,1),Q(3,0),因为k PQ ＝0－13－1＝－12<0,此时过点P(1,1),Q(3,0)的直线的倾斜角为钝角,排除C,D ；当a ＝1时,P(0,2),Q(3,2),因为k PQ ＝0,不符合题意,排除B,故选A.2．(2019·河南天一大联考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5 D ．x 2＋(y －1)2＝5答案 A解析 由题意,得圆心在直线2x －y －1＝0上,将点(a,1)代入可得a ＝1,即圆心为(1,1),半径为r ＝|2－1＋4|5＝5,∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5,故选A. 3．(2019·大庆质检)已知⊙O 1：(x ＋3)2＋y 2＝4,⊙O 2：x 2＋(y －4)2＝r 2(r>0),则“r＝3”是“⊙O 1与⊙O 2相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知,⊙O 1的圆心为O 1(－3,0),半径为2,⊙O 2的圆心为O 2(0,4),半径为r.若⊙O 1与⊙O 2相切,则|O 1O 2|＝r ＋2或|O 1O 2|＝|r －2|,解得r ＝3或7,所以“r＝3”是“⊙O 1与⊙O 2相切”的充分不必要条件．故选A.4．(2019·景德镇二模)一条光线从点A(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 点A(－2,－3)关于y 轴的对称点为A(2,－3),故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k(x －2),即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1,化简得24k 2＋50k ＋24＝0,解得k ＝－43或－34.故选D. 5．(2019·凌源联考)已知直线l ：x ＋y －1＝0截圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r>0)所得的弦长为14,点M,N 在圆Ω上,且直线l′：(1＋2m)x ＋(m －1)y －3m ＝0过定点P,若PM ⊥PN,则|MN|的取值范围为( )A ．[2－2,2＋3]B ．[2－2,2＋2]C ．[6－2,6＋3]D ．[6－2,6＋2]答案 D 解析 依题意得2r 2－12＝14,解得r ＝2.因为直线l′：(1＋2m)x ＋(m －1)y －3m ＝0过定点P,所以P(1,1),设MN 的中点为Q(x,y),则OM 2＝OQ 2＋MQ 2＝OQ 2＋PQ 2,即4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2,化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32,所以点Q 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心,62为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22,|MN|的取值范围为[6－2,6＋2]．故选D.6．(2019·济宁市高三期末)圆C 1：x 2＋(y －1)2＝1与圆C 2：(x ＋4)2＋(y －1)2＝4的公切线的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A 解析 ∵|C 1C 2|＝0＋42＋1－12＝4,r 1＝1,r 2＝2,r 1＋r 2＝1＋2＝3,∴|C 1C 2|＞r 1＋r 2,所以圆C 1与圆C 2相离,有4条公切线．故选A.7．(2019·广州市三校联考)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点,直线m 是以P 为中点的弦所在直线,直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2,那么( )A ．m ∥l,且l 与圆相交B ．m ⊥l,且l 与圆相切C ．m ∥l,且l 与圆相离D ．m ⊥l,且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P(a,b)(ab≠0)在圆内,∴a 2＋b 2<r 2,∵k OP ＝b a ,直线OP ⊥直线m,∴k m ＝－ab ,∵直线l 的斜率k l ＝－ab ＝k m ,∴m ∥l,∵圆心O 到直线l 的距离d ＝r2a 2＋b 2>r2r ＝r, ∴l 与圆相离．故选C.8．(2019·惠州市高三第三次调研)已知直线l 过点P(－2,0),当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时,其斜率k 的取值范围为( )A ．(－22,22) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 C ．(－2,2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，18 答案 B解析 直线l 为kx －y ＋2k ＝0,又直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点,故|k ＋2k|k 2＋1<1,得－24<k<24.故选B.9．(2019·宝鸡中学高三一模)平面直角坐标系xOy 中,动点P 到圆(x －2)2＋y 2＝1上的点的最小距离与其到直线x ＝－1的距离相等,则P 点的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．x 2＝8y C ．y 2＝4x D ．x 2＝4y 答案 A解析 设动点P(x,y),∵动点P 到直线x ＝－1的距离等于它到圆：(x －2)2＋y 2＝1的点的最小距离, ∴|x ＋1|＝x －22＋y －02－1,化简得6x －2＋2|x ＋1|＝y 2, 当x≥－1时,y 2＝8x,当x<－1时,y 2＝4x －4<－8,不符合题意． ∴点P 的轨迹方程为y 2＝8x.故选A.10．(2019·广州市高三调研)若点P(1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0 答案 D解析 圆方程为(x －3)2＋y 2＝9,圆心O(3,0), 因为P 为弦MN 的中点,所以OP ⊥MN, 又k OP ＝1－01－3＝－12,所以k MN ＝2,所以直线MN 的方程为y －1＝2(x －1),化简, 得2x －y －1＝0.故选D.11．(2019·陕西四校联考)直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 答案 B解析 将圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24,∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2,半径r ＝a 2＋b 22,∵圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝a 2＋b22a 2＋b 2＝a 2＋b22＝r,∴圆与直线的位置关系是相切．故选B. 12．(2019·黄冈市高三元月调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称,则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1 D．0 答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1.则圆心坐标为(－k 2,－1),∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称,∴－k 2＝－1,得k ＝±1.当k ＝1时,k 4－4k ＋1<0,不符合题意,∴k ＝－1.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题,共40分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．(2019·汉中市高三第一次检测)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0,若直线y ＝kx －2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则实数k 的最大值是________．答案 43解析 圆C ：x 2＋y 2－8x ＋15＝0化为标准式为(x －4)2＋y 2＝1.问题“若直线y ＝kx －2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点”可转化为“直线y ＝kx －2到点(4,0)的距离小于等于2”,则根据点到直线距离公式有d ＝|4k －2|1＋k2≤2,解得0≤k≤43,则k 的最大值为43.14．(2019·安徽淮北、宿迁一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1,定点M(3,0),过点M 的直线l 与圆O 交于P,Q 两点,P,Q 两点均在x 轴的上方,如图,若OP 平分∠MOQ,则直线l 的方程为________．答案 y ＝－57(x －3) 解析 设∠MOQ ＝2θ,由S △MOQ ＝S △POQ ＋S △POM 得32sin2θ＝12sinθ＋32sinθ,得cosθ＝23,进而得直线的斜率k ＝－57,故直线方程为y ＝－57(x －3)． 15．(2019·浙江高考)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A(－2,－1),则m ＝________,r ＝________.答案 －25解析 根据题意画出图形,可知A(－2,－1),C(0,m),B(0,3),则AB ＝－2－02＋－1－32＝25, AC ＝－2－02＋－1－m2＝4＋m ＋12,BC ＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A, ∴∠BAC ＝90°,∴AB 2＋AC 2＝BC 2. 即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2, 解得m ＝－2.因此r ＝AC ＝4＋－2＋12＝ 5.16．(2019·河北联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知A(0,a),B(3,a ＋4),若圆x 2＋y 2＝9上有且仅有四个不同的点C,使得△ABC 的面积为5,则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，53 解析 如图,AB 的斜率k ＝a ＋4－a 3－0＝43,|AB|＝3－02＋a ＋4－a2＝32＋42＝5,设△ABC 的高为h,∵△ABC 的面积为5, ∴S ＝12|AB|h ＝12×5h＝5,即h ＝2,直线AB 的方程为y －a ＝43x,即4x －3y ＋3a ＝0.若圆x 2＋y 2＝9上有且仅有四个不同的点C,则圆心O 到直线4x －3y ＋3a ＝0的距离d ＝|3a|42＋－32＝|3a|5,则应该满足d ＜R －h ＝3－2＝1, 即|3a|5<1,得|3a|＜5,得－53<a<53. 三、解答题(本大题共2小题,共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·绵阳二模)已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解 (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3),半径r 1＝11,圆C 2的圆心C 2(5,6),半径r 2＝4,两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5,r 1＋r 2＝11＋4,|r 1－r 2|＝4－11,∴|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2,∴圆C 1和圆C 2相交．(2)圆C 1和圆C 2的方程左、右分别相减,得4x ＋3y －23＝0,∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3,故公共弦长为216－9＝27.18．(本小题满分10分)(2019·湖北稳派教育联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,且y 轴和直线x －3y ＋2＝0均与圆C 相切．(1)求圆C 的标准方程；(2)设点P(0,1),若直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M,N 两点,且∠MPN 为锐角,求实数m 的取值范围．解 (1)设圆C 的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0),由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＝0，|a|＝r ，|a －3b ＋2|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，r ＝2，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x －22＋y 2＝4，消去y 整理,得2x 2＋2(m －2)x ＋m 2＝0.∵直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M,N 两点, ∴Δ＝4(m －2)2－8m 2>0, 解得－2－22<m<－2＋22, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝2－m,x 1x 2＝m 22.∴PM →＝(x 1,y 1－1),PN →＝(x 2,y 2－1),依题意,得PM →·PN →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(x 1＋m －1)(x 2＋m －1)＝2x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2>0,∴m 2＋(m －1)(2－m)＋(m －1)2>0, 整理,得m 2＋m －1>0,解得m<－1－52或m>－1＋52.又－2－22<m<－2＋22,∴－2－22<m<－1－52或－1＋52<m<－2＋2 2.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－22，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，－2＋22.。