三角形相似的判定定理推论

三角形的相似定理相似三角形是在几何学中经常遇到的概念，它们有着相似的形状但可能不同的尺寸。

相似性质可以用来解决各种涉及比例和比较长度的几何问题。

在本文中，我们将介绍三角形的相似定理及其应用。

相似三角形的定义相似三角形指的是具有相似形状但不同尺寸的三角形。

两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边长度之间满足一定的比例关系。

AA相似定理AA相似定理是指，如果两个三角形的两个角分别相等（对应角度相等），那么这两个三角形是相似的。

具体而言，如果两个三角形的角度分别是A、B、C和A'、B'、C'，且∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则可以推断出这两个三角形是相似的。

SAS相似定理SAS相似定理是指，如果两个三角形的一边与另一个相似三角形的两边成比例，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形是相似的。

具体而言，如果两个三角形的边长分别是AB/CD，BC/DE，CA/EA，且∠ABC = ∠CDE，则可以推断出这两个三角形是相似的。

SSS相似定理SSS相似定理是指，如果两个三角形的三边比例相等，则这两个三角形是相似的。

具体而言，如果两个三角形的边长分别是AB/CD，BC/DE，CA/EA，则可以推断出这两个三角形是相似的。

相似三角形的性质与应用相似三角形具有一些重要的性质，可以应用于解决各种几何问题。

1. 对应边的比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比例是相等的。

例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么AB/DE = BC/EF = CA/FD。

2. 高度的比例如果两个三角形相似，那么它们的相应高度也成比例。

例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么对应高度h₁/h₂ = AB/DE =BC/EF = CA/FD。

3. 相似三角形的面积比如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于边长之比的平方。

例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么S₁/S₂ = （AB/DE）²= （BC/EF）² = （CA/FD）²。

相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。

相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。

下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。

1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。

具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。

2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。

相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。

通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。

相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。

以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。

相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。

三角形相似的判定定理相似三角形是高中数学中一个重要的概念，它指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。

判定两个三角形是否相似是数学学习中的一个关键问题。

在本文中，我们将介绍三角形相似的判定定理，帮助读者更好地理解这一概念。

什么是三角形相似在几何学中，两个三角形被称为相似三角形，如果它们的三个对应角相等，或者它们的三条边成比例。

具体来说，如果两个三角形的对应角全部相等，则这两个三角形为全等三角形；如果两个三角形的对应角不全等，但三个对应边的长度成比例，则这两个三角形为相似三角形。

相似三角形之间的对应边之比称为这两个三角形的相似比例。

相似的判定定理判定两个三角形是否相似有一些定理可以帮助我们做出判断。

以下是几条常用的相似判定定理：AA 相似判定定理定理描述：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。

详细说明：如果三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A = ∠D 且∠B = ∠E，那么这两个三角形相似。

这个定理也被称为角-角相似判定定理。

SSS 相似判定定理定理描述：如果两个三角形的三条对应边成比例，则这两个三角形相似。

详细说明：如果三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形相似。

这个定理也被称为边-边-边相似判定定理。

SAS 相似判定定理定理描述：如果两个三角形的一个角相等，两个对边成比例，则这两个三角形相似。

详细说明：如果三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A = ∠D 且 AB/DE = AC/DF，那么这两个三角形相似。

这个定理也被称为边-角-边相似判定定理。

总结通过学习三角形相似的判定定理，我们可以更好地理解相似三角形的性质，对解决几何学中的一些问题有所帮助。

在实际问题中，利用相似三角形的性质可以简化计算，快速求解各种几何问题。

因此，掌握相似三角形的判定定理是数学学习中的一个重要内容。

希望本文能够帮助读者更深入地理解三角形相似的概念，掌握判定相似三角形的方法，从而在数学学习中取得更好的成绩。

初中数学知识点：相似三角形的三个判定定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
要点诠释：
（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
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相似三角形的判定及有关性质【学习目标】1. 了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理．2. 理解并掌握相似三角形的判定及性质。

【要点梳理】要点一、平行截割定理 1。

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他与这组平行线相交的直线上截得的线段也相等。

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 如右图：l 1∥l 2∥l 3，则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．要点诠释：由上述定理可知：在证明有关比例线段时，辅助线往往作平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.要点二、相似三角形 1.定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。

要点诠释：关于相似三角形要注意以下几点：① 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③ 两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④ 全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．2．相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似。

②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

③三边对应成比例的两个三角形相似。

④平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3．相似直角三角形的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

初三数学---相似三角形和解直角三角形一、相似三角形1．相似三角形判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．（3）判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．（4）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．（5）若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（7）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、锐角三角函数1．掌握锐角三角函数的定义，准确地进行计算．2．互余角的三角函数间的关系（1）sin（90°－）＝cos；（2）cos（90°－）＝sin；（3）．3．同角三角函数间的关系（1）；（2）．三、解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边与角之间的关系：，，．2．如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC的面积，得ab＝ch．从三角函数的角度考虑，有由，得a2＝pc；同理，得b2＝qc；由，得h2＝pq；由，得ab＝ch．在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”．3．如图1，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则（1）CD＝AD＝BD＝；（2）点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径．4．如图2，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．图1 图2 图3 5．直角三角形的面积：（1）如图2，S△ABC．（2）如图3，S△ABC．6B＝90°－A，，，由求角A，B＝90°－A，由求角A，B＝90°－A例题分析例1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）你认为图中哪两个三角形相似，为什么?（2）当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．例2．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值．例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sin B·sin C的值．例4．如图，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD∶S△CDB＝2∶3，，AC＋CD＝18，求tan A的值和AB的长．5．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝与x轴交于点E．求点E的坐标．6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6．（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF′，EF′交CD边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M，作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．图（a）图（b）答案例1、解：（1）△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．说明：此图形结构可以称为“一线三等角问题”．（2）作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得，可得BP·PC＝AB·CE＝6．设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．∴x（7－x）＝6，即x2－7x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝6．答：当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．例2、解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°．∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．∴∠CMN＋∠AMB＝90°．在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN．∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，，即．．．当x＝2时，y取最大值，最大值为10．（3）∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM ∽△AMN，只需．由（1）知．∴BM＝MC．∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．例3、分析:为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B，C，向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解．解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．；．又∵CD＝CA＋AD＝10，，．同理，可求得．．说明：由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4、解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，设CD＝4k（k＞0），则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，∴AD∶DB＝S△ACD∶S△CDB＝2∶3．．即．．∵AC＋CD＝18，∴5k＋4k＝18．解得k＝2．．．说明：本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例5、解：作AF⊥x轴于F．∴OF＝OA·cos60°＝1，AF＝OF·．∴点A坐标为（1，）．代入直线解析式，得．．．当y＝0即时，x＝4．∴点E坐标为（4，0）．例6、解：（1）作AH⊥CD于点H（如图（c））可得∠1＝∠2＝∠D．由AB＝BC＝CH＝4可得HD＝CD－CH＝2．．．∴BE＝2，即E为BC的中点．（2）图（d），作NP⊥CD于点P，则PN＝y．可得∠4＝∠5＝∠6，它们的正切值相等．，即．，．，，∵CD＝CF′＋PF′＋PD，，即．整理，得．若点F′与点D重合（见图（e）），则∠BEM＝∠EDC，．．．∴x的取值范围为。

相似三角形判定定理的证明在初中学习几何的时候，我们就学习了相似三角形的概念和判定方法，其中比较关键的就是相似三角形判定定理。

在本文中，我们将介绍相似三角形判定定理的证明过程。

定理说明相似三角形判定定理是指：若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的；若两个三角形有两个角相等，则这两个三角形是相似的；若两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。

证明过程对应角相等时的证明假设两个三角形ABD和EFC，其中∠A和∠E，∠B和∠F，∠D和∠C相等，则可以按照以下步骤证明这两个三角形是相似的：1.连接BD和FC2.在三角形ABD和三角形EFC中，分别连接AC和EF3.由于∠A和∠E，∠B和∠F，∠D和∠C相等，因此三角形ABD和三角形EFC都是等角三角形4.通过等角三角形的对应边相等，可以得到AB/EF=BD/FC=AD/EC5.由于AB/EF=BD/FC=AD/EC，因此三角形ABD和三角形EFC的对应边成比例，证明这两个三角形是相似的有两个角相等时的证明假设两个三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，则可以按照以下步骤证明这两个三角形是相似的：1.连接AC和DF2.由于∠A=∠D，∠B=∠E，因此∠ABC和∠DEF是相似的角3.通过相似角的对应边成比例，可以得到AB/DE=BC/EF4.由于AB/DE=BC/EF，因此三角形ABC和三角形DEF的对应边成比例，证明这两个三角形是相似的对应边成比例时的证明假设两个三角形ABC和DEF，其中AB/DE=BC/EF=CA/FD，则可以按照以下步骤证明这两个三角形是相似的：1.在三角形ABC和三角形DEF中，分别连接AD和BE2.由于AB/DE=BC/EF=CA/FD，因此根据对应边成比例的定义，可以得到AD/BE=BC/EF3.通过相似线段的对应边成比例，可以得到∠BAD=∠EBE以及∠ADC=∠FBE4.由于∠BAD=∠EBE以及∠ADC=∠FBE，因此三角形BAD和三角形EBE是相似的，三角形ADC和三角形FBE是相似的5.通过相似三角形的对应边成比例，可以得到AB/DE=BC/EF=CA/FD6.由于AB/DE=BC/EF=CA/FD，因此三角形ABC和三角形DEF的对应边成比例，证明这两个三角形是相似的，相似三角形判定定理得证。

第13讲 相似三角形判定定理的证明课程标准1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。

知识点01 相似三角形判定定理的证明（一）相似三角形的判定定理1的证明过程已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE ∽△A′B′C′.知识精讲目标导航∴△ABC ∽△A′B′C′.（二）相似三角形的判定定理2的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，∠A=∠A′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AB ACAD AE=. ∵''''AB ACA B A C =,AD=A′B′, ∴''AB ACAD A C =∴''AC ACAE A C =∴AE=A ′C′ 而∠A=∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（三）相似三角形的判定定理3的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，''''''AB BC ACA B B C A C ==.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A′B′,AE=A′C′,∴AB ACAD AE=而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE=又''''AB BCA B B C =，AD= A′B′, ∴''AB BCAD B C =∴''BC BCDE B C =∴DE=B′C′,∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.知识点02 证明相似三角形的一般思路（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。

三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。

22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

一．证明相似的四种判定1、两角对应相等，两三角形相似。

2、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

3、三边对应成比例，两三角形相似。

4、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例。

平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明。

）扩展资料：常用的判定定理有以下6条：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。

）（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

）（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

）（SSS）判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。

）判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

）（HL）判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。

相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。

三角形相似的判定定理推论
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

性质
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6.若a:c =c:b，即c的平方=ab,则c叫做a,b的比例中项
7.c/d=a/b 等同于ad=bc.
全等三角形
相似比为1
对应角相等
对应边相等
周长相等
面积相等
相似三角形的定义
如何判定相似三角形
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三角形的相似定理相似三角形是几何学中非常重要的概念，它描述了两个三角形之间的形状和比例关系。

通过相似三角形的定理，我们可以推导出许多有用的结论和性质。

本文将对三角形的相似定理进行详细论述，探讨其应用和证明方法。

一、相似三角形的定义在介绍相似定理之前，首先我们需要了解什么是相似三角形。

两个三角形被认为是相似的，当且仅当它们的对应角度相等，并且对应边的长度成比例。

简单来说，两个三角形的形状相似且边长成比例时，它们就是相似的。

二、相似定理1：AAA相似定理AAA相似定理是相似三角形的基本定理之一，它表明当两个三角形的对应角度分别相等时，它们是相似的。

具体而言，设△ABC和△DEF是两个三角形，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么△ABC与△DEF是相似的。

AAA相似定理的证明方法较为简单，可以通过角度的对应关系进行推演，但需要注意确保对应边长的比例关系。

三、相似定理2：AA相似定理AA相似定理也是相似三角形的重要定理之一，它指出当两个三角形的两个对应角分别相等时，它们是相似的。

具体而言，设△ABC和△DEF是两个三角形，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么△ABC与△DEF是相似的。

AA相似定理的证明方法可以借助辅助线，例如在△ABC和△DEF 中连接两条平行线，通过对应角的等式关系以及平行线间的性质来推导相似性。

四、相似定理3：SAS相似定理SAS相似定理是相似三角形的另一个重要定理，它表明当两个三角形的一对对应边的比例相等，并且夹角的对应边也成比例时，它们是相似的。

具体而言，设△ABC和△DEF是两个三角形，如果AB/DE = AC/DF，∠B = ∠E，那么△ABC与△DEF是相似的。

SAS相似定理的证明方法可以通过边长的比例关系和夹角的对应关系来推导，需要运用到三角形的基本性质和辅助线的构造。

五、相似定理4：SSS相似定理SSS相似定理是相似三角形的最后一个定理，它指出当两个三角形的对应边分别成比例时，它们是相似的。

相似三角形的判定定理总结
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)；
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)；
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似
(简叙为两角对应相等，两个三角形相似)。

直角三角形相似的判定定理：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似；
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

初中数学公式定理：相似三角形定理
相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（ASA）
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比
性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。