2019高考数学专题复习直线与方程(后附答案)

2019高考100题之060（直线的参数方程）极坐标与参数方程选做题你可以不选，但是必须会做，我觉得多学这一点不会给你备考增加负担，反而会让你对三角函数、解析几何知识有更深的认识.有一部分题是可以转化为普通方程来解决的，但我们必须透彻理解参数方程与极坐标存在的价值，即使我们学的只是皮毛.高考主要考四类题：直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程、极坐标.今天来看第一类：分析：对于过点P(a,b)，倾斜角为θ的直线l的参数方程：x=a+tcosθy=b+tsinθ（参数t∈R）我们要知道以下几点：1.若点A所对应的参数为t1，即A点坐标为(a+t1cosθ ,b+t1sinθ),则|PA|=|t1|.2.直线l的参数方程不唯一，也写可以写成：x=a+tmcosθy=b+tmsinθ（参数t∈R,常数m≠0）此时若点A所对应的参数为t1，即A点坐标为(a+t1mcosθ ,b+t1msinθ)，则|PA|=|mt1|.我们一般都写成第一个形式，但是也有时候题干中给的是第二种形式，比如： x=1+2t，y=2+3t参数t∈R)，如果愿意你可以将t前面系数分别除以√(22+32)，如果不除，只要你知道上述蓝色字体的结论，也不会影响你做题.3.针对第一个参数方程，若点A所对应的参数为t1，即A点坐标为(a+t1cosθ ,b+t1sinθ)，点B所对应的参数为t2，即B点坐标为(a+t2cosθ ,b+t2sinθ).则|PA|·|PB|=|t1t2|，|AB|=|t1-t2|.若A、B在P点同侧，t1与t2同号，则 |PA|+|PB|=|t1+t2|.若A、B在P点异侧，t1与t2异号，则 |PA|+|PB|=|AB|=|t1-t2|.千万不要看到 |PA|+|PB|就想到 |t1+t2|.AB中点坐标为(a+[(t1+t2)cosθ]/2 ,b+[(t1+t2)sinθ]/2)，即AB中点对应的参数为(t1+t2)/2.对于上题，利用直线参数方程的做法如下：这个第二问的做法是很简洁漂亮的.不过由垂径定理，如图，可以很快就说明P点在以(0,-√2/2)为圆心，√2/2为半径的圆上：题干中并没有要求用α作为参数，所以只要求出两个圆的交点为(√2/2,-√2/2)，写出P点轨迹的参数方程为：x=√2cosβ/2,y= -√2/2+√2sinβ/2,参数β∈(0,π).这个做法也很简单，只不过失去了对直线参数方程的应用.。

1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎦⎤π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 【答案】B 【解析】斜率k ＝－1a 2＋1，故k ∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π。

2．设A (－2,3)、B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞【答案】D3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )AB C D【答案】C【解析】当a ＞0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a ＞0，A 、B 、C 、D 都不成立；当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，A 、B 、C 、D 都不成立；当a ＜0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a ＜0，只有C 成立。

4．直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1,0)，且它的倾斜角是l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为( ) A ．y ＝6x ＋1 B ．y ＝6(x －1)C ．y ＝34(x －1)D ．y ＝－34(x －1)【答案】D【解析】由tan α＝3可求出直线l 2的斜率 k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34， 再由l 2过点(1,0)即可求得直线方程。

5．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－12【答案】D【解析】当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12。

3.2.3 直线的一般式方程1.直线2x+5y-10=0在x轴,y轴上的截距分别为a,b,则( B )(A)a=2,b=5 (B)a=5,b=2(C)a=-2,b=5 (D)a=-5,b=22.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为( A )(A)30° (B)45° (C)60° (D)150°解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.3.已知直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,则a的值是( C )(A)0 (B)1(C)0或1 (D)0或-1解析:因为直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,所以(2a-1)a+a(-1)=0,解得a=0或a=1.4.直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0互相平行,则a的值是( B )(A)1 (B)-2(C)1或-2 (D)-1或2解析:由题1×2-a(a+1)=0,所以a2+a-2=0,所以a=-2或a=1,当a=-2时,直线x-2y-7=0与直线-x+2y-14=0互相平行;当a=1时,直线x+y-7=0与直线2x+2y-14=0重合,不满足题意;故a=-2.5.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )(A)3 (B)-3(C)(D)-解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.6.若直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)经过第一、二、三象限,则系数A,B,C满足的条件为( B )(A)A,B,C同号(B)AC>0,BC<0(C)AC<0,BC>0 (D)AB>0,AC<0解析:如图所示,若直线经过第一、二、三象限,应有所以A·B<0且B·C<0,A,B异号,B,C异号,从而A,C同号.选项B符合要求.7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是如图中的( B )解析:直线l1:y=ax+b,斜率为a,在y轴截距为b.直线l2:y=-bx+a,斜率为-b,在y轴截距为a.图中A选项:l1中a>0,b<0,则应有l2的斜率-b>0,不合适.B选项:l1中a>0,b<0,则应有l2中斜率-b>0,截距a>0,合适.类似可知C,D不合适,选B.8.已知点P(a,b)和点Q(b-1,a+1)是关于直线l对称的两点,则直线l的方程为( C )(A)x+y=0 (B)x-y=0(C)x-y+1=0 (D)x+y-1=0解析:因为点P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a≠b-1)关于直线l对称,所以直线l为线段PQ的中垂线,PQ的中点为(,),PQ的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,即直线l的方程为y-=x-,化简可得 x-y+1=0.9.经过点(3,2)且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是.解:设与直线4x+y-2=0平行的直线为4x+y+c=0,该直线过点(3,2),故有12+2+c=0,所以c=-14,所以该直线方程是4x+y-14=0.答案:4x+y-14=010.过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0垂直的直线l′的方程为.解析:设l′方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.则l′的方程为4x-3y+13=0.答案:4x-3y+13=011.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为.解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t≤0,得t≥.。

专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x −ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ） A BC ．D 【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-===故选C. 3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （ ）． A ．过点)2-B C ．倾斜角为60° D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解 【详解】 点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l 的斜率tan k θ=60°，故B ，C 正确； 由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误． 故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =- 【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m 或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误； 当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在， 当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（ ）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0° 【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确； 对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确； 对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误； 对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确． 故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______. 【答案】32- 43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距. 【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43. 故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y = 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可. 【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒， 又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2， 所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =． 故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________． 【答案】-4； 2 【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案. 【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //， 334a -∴=，解得4a =-； ∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________. 【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34. 因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=， 所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|P A |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________． 【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围. 【详解】因为||AB ==||||PA PB += 由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1）， 画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3， 所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解. 【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=， 又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，练提升由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,)2N ，那么||MN 的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3）， 所以动点M 在以PQ5,2= 圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=， 所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，， 则直线方程为：故选4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线l θ1sin()22l 20y --=40y +-=0x -=360y 122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-2 3πθ=tan θ=1y x -=40y +-=B30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+=+=+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________. 【答案】240x y -+= (0,1)- 【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行， 所以设方程为()201x y n n -+=≠， 因为直线过点(2,1)M -， 代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '， 则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程； （2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24 【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=. 7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1) 求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程． 【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2. 【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求. 【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2）， 即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意， 综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，4,B n 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值； （2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式. 【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+ 【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4）， 把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8， 所以反比例函数解析式为8y x=， 把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2； （2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上， 所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ， 所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==， 在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==， 而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1， 所以144m n-+=， 而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2， 则A （2，4），B （﹣4，﹣2）， 设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -. （1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析． 【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解 【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=． （2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP =而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标； （2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标； (2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMNS的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解. 【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. (2)当1k 时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭， 1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭. 当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k 时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+. 综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）. A ．1或3 B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当练真题k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5， 故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=． 故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ==， 故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0）， 由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故ba-≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b13 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-＞0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=， 即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ． 两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞12-， 故有1b 13＜． 综上可得b 的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤ 【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线为：，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得： 即直线经过整点直线经过无穷多个整点，③正确；x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --∴l④令直线为：，则不过整点，④错误； ⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤l 1132y x =+ll y =()0,0。

§9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主,直线的斜率、倾斜角也是考查的重点．题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现,有时也会在选择、填空题中出现.1．直线的倾斜角(1）定义:当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2）范围：直线l倾斜角的范围是［0°，180°）．2．斜率公式(1）若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α。

（2）P1(x1，y1），P2（x2，y2）在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝错误!.3．直线方程的五种形式式0(A2＋B2≠0)直线都适用题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．（√）（2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．（×）（3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(×)（4）若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(×）（5）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．（×）（6)经过任意两个不同的点P1（x1，y1)，P2(x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1）表示．(√)题组二教材改编2．［P86T3］若过点M（－2,m），N（m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4 C．1或3 D．1或4答案A解析由题意得错误!＝1,解得m＝1。

3．［P100A组T9]经过点M（1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(）A．x＋y＝2 B．x＋y＝1C．x＝1或y＝1 D．x＋y＝2或x＝y答案D解析若直线过原点，则直线为y＝x，符合题意,若直线不过原点，设直线为错误!＋错误!＝1，代入点（1,1)，解得m＝2，直线方程整理得x＋y－2＝0，故选D。

全国各地高考数学模拟试题《直线与方程》解答题试题汇编（附答案解析）1．（2018•唐山三模）已知点A（﹣2，0），点B（﹣1，0），点C（1，0），动圆O'与x轴相切于点A，过点B的直线l1与圆O'相切于点D，过点C的直线l2与圆O'相切于点E（D，E均不同于点A），且l1与l2交于点P，设点P的轨迹为曲线Γ．（1）证明：|PB|+|PC|为定值，并求Γ的方程；（2）设直线l1与Γ的另一个交点为Q，直线CD与Γ交于M，N两点，当O'，D，C三点共线时，求四边形MPNQ的面积．2．（2017•雁塔区校级一模）若直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a2﹣1）=0垂直，求a的值．3．（2017•河北一模）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（1，﹣2），C （﹣3，4），求（1）BC边上的中线AD所在的直线方程；（2）△ABC的面积．4．（2016•闵行区一模）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．5．（2015•聊城校级模拟）求经过直线l1：3x+4y﹣5=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程：（1）经过原点；（2）与直线2x+y+5=0平行；（3）与直线2x+y+5=0垂直．6．（2015•龙子湖区校级一模）设a，b，c是三角形的三边长，直线l：ax+by+c=0，M（﹣1，﹣1），N（﹣1，1），P（1，1），Q（1，﹣1）．（1）判断点M，N，P，Q是否均在直线的同一侧，请说明理由；（2）设M，N，P，Q到直线的距离和为S，求证：2＜S＜4．7．（2015•上海模拟）已知椭圆E的方程为，右焦点为F，直线l与圆x2+y2=3相切于点Q，且Q在y轴的右侧，设直线l交椭圆E于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）若直线l的倾斜角为，求直线l的方程；（2）求证：|AF|+|AQ|=|BF|+|BQ|．8．（2015•海南模拟）设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3=0距离的最小值为，求a的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．9．（2014•奎文区校级模拟）已知平行四边形的三个顶点A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（3，4），求第四个顶点D的坐标．10．（2014•中山市校级二模）如图，已知四边形OBCD是平行四边形，|OB|=2，|OD|=4，∠DOB=60°，直线x=t（0＜t＜4）分别交平行四边形两边于不同的两点M、N．（1）求点C和D的坐标，分别写出OD、DC和BC所在直线方程；（2）写出OMN的面积关于t的表达式s（t），并求当t为何值时s（t）有最大值，并求出这个最大值．11．（2014•未央区校级模拟）证明点到直线的距离公式：已知点P（x0，y0）及直线L：Ax+By+C=0，证明点P到直线L的距离d=．12．（2014•陕西校级模拟）在平面直角坐标系中，已知定点P（x0，y0），定直线l：Ax+By+C=0（1）请写出点P到直线l的距离公式；（2）试证明这个公式．13．（2014•温江区校级二模）已知点A、B的坐标分别是（0，﹣1）、（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣．（1）求点M轨迹C的方程；（2）若过点D（0，2）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F，试求△OEF面积的取值范围（O为坐标原点）．14．（2014•滕州市校级二模）已知函数f（x）=1+ln（0＜x＜2）．（1）是否存在点M（a，b），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M 对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（2）定义，其中n∈N*，求S2013；（3）在（2）的条件下，令S n+1=2a n，若不等式对∀n∈N*且n ≥2恒成立，求实数m的取值范围．15．（2014•青羊区校级模拟）已知函数f（x）=的图象过点（﹣1，2），且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．（1）求实数b，c的值；（2）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（3）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ 是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？16．（2013•双台子区校级二模）在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），（Ⅰ）求直线BC的方程；（Ⅱ）求点C的坐标．17．（2013•山东模拟）求垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程．18．（2013•商丘二模）如图，在平面直角坐标系xoy中，设点F（0，p）（p＞0），直线l：y=﹣p，点p在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点，过R、P分别作直线l1、l2，使l1⊥PF，l2⊥l l1∩l2=Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）在直线l上任取一点M做曲线C的两条切线，设切点为A、B，求证：直线AB恒过一定点；（Ⅲ）对（Ⅱ）求证：当直线MA，MF，MB的斜率存在时，直线MA，MF，MB 的斜率的倒数成等差数列．19．（2013•潼南县校级模拟）在△ABC中，已知点A（5，﹣2）、B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．（1）求点C的坐标；（2）求直线MN的方程．20．（2013•徐州模拟）过直线y=﹣1上的动点A（a，﹣1）作抛物线y=x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点．（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．（2）求证：直线PQ过定点．21．（2013•高陵县校级模拟）如图，曲线G的方程为y=．直线BC与曲线G 交于点A，设B（0，b），C（c，0），点A的横坐标为a，当||=||时，（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a+2，求直线CD的倾斜角．22．（2013秋•梁山县校级月考）在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．23．（2013•启东市校级模拟）如图，在函数y=x3﹣x的图象上取4个点A i（x i，y i），过点A i作切线l i（i=1，2，3，4），如果l1∥l3，且l1，l2，l3，l4围成的图形是矩形记为M．（1）证明四边形A1A2A3A4是平行四边形；（2）问矩形M的短边与长边的比是否有最大值，若有，求l1与l2的斜率，若没有，请证明．24．（2013•潼南县校级模拟）已知直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0．（1）证明：直线恒过定点；（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．25．（2013•温州一模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=4x上相异两点，且满足x1+x2=2．（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线AB的方程；（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．26．（2013•镇海区校级模拟）已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．（1）记直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，当3（k1+k2）=8k时，证明：直线l 过定点；（2）若直线l过点D（1，0），设△OMD与△OND的面积比为t，当时，求t的取值范围．27．（2013•长沙一模）已知A（，0），点B是y轴上的动点，过B作AB的垂线l交x轴于点Q，若，M（4，0）．（1）求点P的轨迹方程；（2）是否存在定直线x=a，以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由．28．（2012•济南一模）已知A（﹣，0），B（，0）为平面内两定点，动点P满足|PA|+|PB|=2．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线l：y=k（x+）（k＞0）与（1）中点P的轨迹交于M，N两点，求△BMN的最大面积及此时的直线l的方程．29．（2012•广东模拟）如图，已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，离心率为，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．30．（2012•深圳校级二模）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．（1）写出直线l的方程；（2）求x1x2与y1y2的值；（3）求证：OM⊥ON．31．（2012•西安一模）设点P的坐标为（x0，y0），直线l的方程为Ax+By+C=0．请写出点P到直线l的距离，并加以证明．32．（2012•上海二模）现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图1）．在直角坐标平面内，我们定义A（x1，y1），B（x2，y2）两点间的“直角距离”为：D（AB）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）在平面直角坐标系中如图2，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标．（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）求到两定点F1、F2的“直角距离”和为定值2a（a＞0）的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹①F1（﹣1，0），F2（1，0），a=2②F1（﹣1，﹣1），F2（1，1），a=2；③F1（﹣1，﹣1），F2（1，1），a=4．（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）．①到A（﹣1，﹣1），B（1，1）两点“直角距离”相等；②到C（﹣2，﹣2），D（2，2）两点“直角距离”和最小．33．（2011•广陵区校级模拟）有如下结论：“圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0y+y0y=r2”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B．（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．34．（2011•巢湖校级模拟）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0．（I）若点Q（x，y）在圆C上，求x+y的最大值与最小值；（II）已知过点P（3，2）的直线l与圆C相交于A、B两点，若P为线段AB中点，求直线l的方程．35．（2011•福建模拟）求经过直线l1：7x﹣8y﹣1=0和l2：2x+17y+9=0的交点，且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．36．（2011•永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．37．（2011•全国二模）已知F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，曲线C 是坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设=（Ⅰ）若λ∈[2，4]，求直线L的斜率k的取值范围；（Ⅱ）求证：直线MQ过定点．38．（2011•鼓楼区校级模拟）设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，点A、B的坐标分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2））且M（x，f（x））为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2时，记向量恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x，x2]上可在标准k下线性近似，其中k是一个确定的正数．（Ⅰ）求证：A、B、N三点共线（Ⅱ）设函数f（x）=x2在区间[0，1]上可的标准k下线性近似，求k的取值范围；（Ⅲ）求证：函数g（x）=lnx在区间（e m，e m+1）（m∈R）上可在标准下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln（e﹣1）=0.541）39．（2011•如东县模拟）选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵经矩阵A所对应的变换得直线l2，直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3：x+y+4=0，求直线l2的方程．40．（2011•福建模拟）已知直线l：y=2x+1求：（1）直线关于点M（3，2）的对称的直线方程．（2）直线x﹣y﹣2=0关于l的对称的直线方程．参考答案与试题解析1．【分析】（1）由圆的切线的性质，可得切线长相等，求得|PB|+|PC|为定值，结合椭圆的定义，即可得到所求方程；（2）由O′，D，C三点共线及圆的几何性质，可知PB⊥CD，推得△PBC为等边三角形，即点P在y轴上，点P的坐标为（0，±），分别讨论P（0，），或P（0，﹣），求得两直线的方程，联立椭圆方程，求得|PQ|，|MN|，运用四边形的面积S=|PQ|•|MN|，计算可得所求值．【解答】解：（1）由圆外一点P作圆的切线，可得|PD|=|PE|，|BA|=|BD|，|CE|=|CA|，所以|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|PC|=|PE|+|PC|+|AB|=|CE|+|AB|=|AC|+|AB|=4＞|BC|，所以点P的轨迹Γ是以B，C为焦点的椭圆（去掉与x轴的交点），可得a=2，c=1，b==，可求Γ的方程为+=1（y≠0）；（2）由O′，D，C三点共线及圆的几何性质，可知PB⊥CD，又由直线CE，CA为圆O′的切线，可知CE=CA，O′A=O′E，所以△O′AC≌△O′EC，进而有∠ACO′=∠ECO′，所以|PC|=|BC|=2，又由椭圆的定义，|PB|+|PC|=4，得|PB|=2，所以△PBC为等边三角形，即点P在y轴上，点P的坐标为（0，±）（i）当点P的坐标为（0，）时，∠PBC=60°，∠BCD=30°，此时直线l1的方程为y=（x+1），直线CD的方程为y=﹣（x﹣1），由整理得5x2+8x=0，得Q（﹣，﹣），所以|PQ|=；由整理得13x2﹣8x﹣32=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2=，x1x2=﹣，|MN|=|x1﹣x2|=•=，所以四边形MPNQ的面积S=|PQ|•|MN|=．（ii）当点P的坐标为（0，﹣）时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ的面积为．综上，四边形MPNQ的面积为．【点评】本题考查动点轨迹方程的求法，注意运用圆的切线的性质和椭圆定义，考查四边形面积的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．2．【分析】由直线垂直的充要条件可得a+2a（a+1）=0，解之即可．【解答】解：∵直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a2﹣1）=0垂直，∴a+2a（a+1）=0，即a（2a+3）=0，解得a=0或a=，故答案为：a=0或a=【点评】本题考查直线的垂直关系，涉及一元二次方程的求解，属基础题．3．【分析】（1）求出中点D的坐标，用两点式求出中线AD所在直线的方程，并化为一般式．（2）求出线段BC的长度，求出直线BC的方程和点A到直线BC的距离，即可求得△ABC的面积．【解答】解：（1）设D（x，y），则x==﹣1，y==1，∴D（﹣1，1），而A（2，3），∴K AD==，∴BC边上的中线AD所在的直线方程为：y﹣1=（x+1），即：2x﹣3y+5=0；（2）|BC|==2，直线BC的方程是：3x+2y+1=0，A到BC的距离d=||=，∴S=|BC|•d=×2×=13．△ABC【点评】本题考查用两点式求直线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求点A到直线BC的距离是解题的难点．4．【分析】（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，可得其定义域；（2），设与联立求出A，B的坐标，即可求出最短长度p的取值范围．【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，（4分）又得，所以定义域为[1，10]．…（6分）（2），设由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，…（8分）∴kp2+8=0，∴，得直线AB方程为，…（10分）得，故点P为AB线段的中点，由即p2﹣8＞0…（12分）得时，OA＜OB，所以，当时，经点A至P路程最近．（14分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．5．【分析】由方程组可得M的坐标，（1）过原点，可得方程为y=kx，可得k值，进而可得方程；（2）由平行关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．（3）由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：由，解得，故点M（﹣1，2）（1）当直线过原点，可得方程为y=kx，代入点（﹣1，2）可得k=﹣2，故方程为2x+y=0；（2）若直线平行于直线l3：2x+y+5=0．则斜率为﹣2故可得方程为y﹣2=﹣2（x+1），即2x+y=0（3）若直线垂直于直线l3：2x+y+5=0．则斜率为故可得方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=0【点评】本题考查直线方程的求解，涉及直线的垂直和平行，属基础题．6．【分析】（1）令f（x，y）=ax+by+c，则f（﹣1，﹣1）=c﹣（a+b），f（﹣1，1）=（b+c）﹣a，f（1，1）=a+b+c，f（1，﹣1）=（a+c）﹣b，利用三角形的三边大小关系即可判断出．．（2）M，N，P，Q到直线的距离和为S=+++=，不妨设a≥b，a﹣b ≤c≤a+b利用基本不等式的性质即可证明．【解答】（1）解：令f（x，y）=ax+by+c，则f（﹣1，﹣1）=c﹣（a+b），f（﹣1，1）=（b+c）﹣a，f（1，1）=a+b+c，f（1，﹣1）=（a+c）﹣b＞0．由三角形的性质可知：f（﹣1，﹣1）＜0，f（﹣1，1）＞0，f（1，1）＞0，f （1，﹣1）＞0，∴点N，P，Q在直线l的同侧，而点M在直线l的另一侧．（2）证明：M，N，P，Q到直线的距离和为S=+++=，不妨设a≥b，a﹣b≤c≤a+b．∴＞==．＜=≤．∴2＜S＜4．【点评】本题考查了三角形的三边大小关系、基本不等式的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．【分析】（1）先设直线l的方程为y=x+m，利用点到直线的距离公式可求m，进而可求直线方程（2）由△AOQ为直角三角形，利用两点间的距离公式及勾股定理可求AQ，结合A在椭圆上可得A的坐标满足的方程，从而可用x1表示AQ，同理可得AF，利用椭圆的定义即可证明【解答】解：（1）设直线l的方程为y=x+m，则有，得…（3分）又切点Q在y轴的右侧，所以，…（2分）所以直线l的方程为…（2分）证明：（2）因为△AOQ为直角三角形，所以又得…（2分）又得…（2分）所以|AF|+|AQ|=2，同理可得|BF|+|BQ|=2…（2分）所以|AF|+|AQ|=|BF|+|BQ|…（1分）【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式在求解直线方程中的应用，椭圆的定义的简单应用8．【分析】（1）直接运用点到直线的距离公式，然后求解即可得到答案．（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解．（3）属于新定义的题目，可以用函数求导数求最值的方法解答．【解答】解：（1）因为f（x）=a2x2，所以f′（x）=2a2x，令f′（x）=2a2x=1得：，此时，则点到直线x﹣y﹣3=0的距离为，即，解之得a=或；（2）不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，等价于（1﹣a2）x2﹣2x+1＞0恰有三个整数解，故1﹣a2＜0，令h（x）=（1﹣a2）x2﹣2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=﹣a2＜0（a＞0），所以函数h（x）=（1﹣a2）x2﹣2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（﹣3，﹣2），这是因为此时不等式解集中有﹣2，﹣1，0恰好三个整数解故解之得．（3）设，则．所以当时，F′（x）＜0；当时，F′（x）＞0．因此时，F（x）取得最小值0，则f（x）与g（x）的图象在处有公共点．设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为，即，由在x∈R恒成立，则在x∈R恒成立．所以成立，因此．下面证明恒成立．设，则．所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此时G（x）取得最大值0，则成立．故所求“分界线”方程为：．【点评】此题主要考查点到直线距离公式的应用及利用导函数求闭区间极值问题，题中涉及到新定义的问题，此类型的题目需要仔细分析再求解，综合性较强，有一定的技巧性，属于难题．9．【分析】若构成的平行四边形为ABCD1，即AC为一条对角线，设D1（x，y），则由AC中点也是BD1中点，利用线段的中点公式求得D1（2，2）．同理可得，若构成以AB为对角线的平行四边形ACBD2，则D2（﹣6，0）；以BC为对角线的平行四边形ACD3B，则D3（4，6），综合可得结论．【解答】解：若构成的平行四边形为ABCD1，即AC为一条对角线，设D1（x，y），则由AC中点也是BD1中点，可得，解得，∴D1（2，2）．同理可得，若构成以AB为对角线的平行四边形ACBD2，则D2（﹣6，0）；以BC 为对角线的平行四边形ACD3B，则D3（4，6），∴第四个顶点D的坐标为：（2，2），或（﹣6，0），或（4，6）．【点评】本题主要考查线段的中点公式的应用，用待定系数法求点的坐标，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．10．【分析】（1）先求出得D、C的坐标，进而利用直线方程的四种形式即可求出；（2）先写出△OMN的解析式，进而即可得出其最大值．【解答】解：（1）设点D（x，y），则x=|OD|cos60°=，y=|OD|sin60°=，∴点D．∴点C的横坐标=2+2=4，纵坐标=，即C．①∵，∴直线OD的方程为；②∵BC∥OD，∴，根据点斜式得直线BC的方程为，即；③∵DC∥x轴，且点D的纵坐标为，∴直线DC的直线方程为．（2）由题意作出图形．==，可知当t=2时，s（t）取得最①当0＜t≤2时，s（t）=S△OMN大值为，∴；②当2＜t＜4时，联立解得，即N，又可知M，∴|MN|==．==．∴s（t）=S△OMN∵函数s（t）在（2，4）上单调递减，∴s（t）＜s（2）=．综上可知：当t=2时，s（t0取得最大值．【点评】熟练掌握直线方程的四种形式和正确得出△OMN的面积的表达式是解题的关键．11．【分析】过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0），作y轴平行线，交l于点S（x0，y2），由已知条件分别求出|PR|，|PS|，|RS|，由三角形面积公式，能证明点P到直线L的距离d=．【解答】证明：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0），作y轴平行线，交l于点S（x0，y2），由，得，，∴|PR|=|x0﹣x1|=||，|PS|=|y0﹣y2|=||，|RS|==×|Ax0+By0+C|，由三角形面积公式，得：d•|RS|=|PR|•|PS|，∴d=．当A=0或B=0时仍适用，∴点P到直线L的距离d=．【点评】本题考查点到直线的距离公式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形面积公式的合理运用．12．【分析】（1）写出平面直角坐标系中，点到直线的距离公式即可；（2）证明公式时应讨论B=0或A=0以及A≠0，且B≠0时，点到直线l的距离公式是什么，分别求出即可．【解答】解：（1）平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离为d=；（2）证明：设PQ垂直直线l于Q，当B=0时，直线l为：x=﹣，所以d=|x0﹣（﹣）|=，满足公式；当A=0时，直线l为：y=﹣，所以d=|y0﹣（﹣）|=，满足公式；当A≠0，且B≠0时，直线l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l与点R（x1，y0），作y轴的平行线交l于点S（x0，y2），如图所示：把点R的坐标代入l的方程，求出x1=﹣，把点S的坐标代入l的方程，求出y2=﹣，所以|PR|=|x0﹣x1|=||，|PS|=|y0﹣y2|=||，|RS|==•|Ax0+By0+C|；由三角形的面积公式，得d•|RS|=|PR|•|PS|，所以d=|PQ|=；综上，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离为d=．【点评】本题考查了点到直线距离公式的证明与应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是综合性题目．13．【分析】（1）设出点M的坐标，写出直线AM、BM的斜率，由斜率之积为﹣列式求M得轨迹方程；（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系写出两交点横坐标的和与积，把△OEF的面积转化为△OED与△OEF的面积的差，然后代入根与系数关系，换元后利用基本不等式求最值．【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），∵，∴．整理得，；（2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+2．联立，得（2k2+1）x2+8kx+6=0．由△=64k2﹣4×6（2k2+1）＞0，解得．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，．S△OEF=S△OED﹣S△=OFD===．令，所以．则=．所以．【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，利用根与系数关系解题是该类问题常用的方法，此题有一定难度．14．【分析】（1）根据函数图象关于点对称的公式，设存在满足条件的点M（a，b），则f（x）+f（2a﹣x）=2b，代入解析式化简整理，即可解出a=b=1；（2）由（1）得f（x）+f（2﹣x）=2，将x=（i=1，2，…，2n﹣1）代入函数式，并采用倒序相加的方法算出2S n=2（2n﹣1），化简得S n=2n﹣1，从而算出S2013=2×2013﹣1=4025．（3）由（2）中S n=2n﹣1，结合题意算出a n=n．原不等式等价于，两边取以e为底的对数，整理得恒成立，可得．然后设g（x）=（x＞0），利用导数研究出函数g（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数．结合g（2）＞g（3）得到g（x）的最小值为g（3）=，由此可得，解之即可得到实数m的取值范围．【解答】解：（1）假设存在点M（a，b），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上，则函数y=f（x）图象的对称中心为M（a，b）．由f（x）+f（2a﹣x）=2b，得1+ln+1+ln=2b，即2﹣2b+ln=0对任意0＜x＜2恒成立，所以，解得a=b=1；∴存在点M（1，1），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上；（2）由（1）得f（x）+f（2﹣x）=2．令x=，则f（）+f（2﹣）=2（i=1，2，…，2n﹣1）．∵…①，∴②，由①+②得2S n=2（2n﹣1），可得S n=2n﹣1．（n∈N*）所以S2013=2×2013﹣1=4025．（3）由（2）得S n=2a n﹣1=2n﹣1，所以a n=n．∵当n∈N*且n≥2时，等价于，即．所以当n∈N*且n≥2时，不等式恒成立，即．设g（x）=（x＞0），则g'（x）=．当0＜x＜e时，g'（x）＜0且当x＞e时，g'（x）＞0∴函数g（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数．因为e∈（2，3），且g（2）=＞g（3）=，所以当n∈N*且n≥2时，g（x）的最小值为g（3）=，即，解之得m＞﹣．所以实数m的取值范围是（﹣，+∞）．【点评】本题着重考查了等差数列的通项公式与求和公式、函数图象的对称中心研究、利用导数研究函数的单调性与最值和不等式恒成立的讨论等知识点，属于难题．15．【分析】（1）求出x＜1时的导函数，令f（﹣1）=2，f′（x）=﹣5，解方程组，求出b，c的值．（2）分段求函数的最大值，利用导数先求出﹣1≤x＜1时的最大值；再通过对a 的讨论，判断出1≤x≤e时函数的单调性，求出最大值，再从两段中的最大值选出最大值．（3）设点P的横坐标为m（不妨设m＞0），则由题意可得点Q的横坐标为﹣m，且﹣m＜0．由题意可得OP⊥OQ，即K0P•K OQ=﹣1．分0＜m＜1和m≥1两种情况，分别检验，从而得出结论．【解答】解：（1）由题意可得，当x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b，f′（﹣1）=﹣3﹣2+b=b﹣5．由（b﹣5 ）（）=﹣1，可得b=0，故f（x）=﹣x3+x2+c．把点（﹣1，2）代入求得c=0．综上可得b=0，c=0．（2）由以上可得，当﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣x（3x﹣2）．解f′（x）＞0得0＜x＜．解f′（x）＜0得1≥x＞或x＜0．∴f（x）在（﹣1，0）和（，1）上单调递减，在（0，）上单调递增，从而f（x）在x=处取得极大值为f（）=．又∵f（﹣1）=2，f（1）=0，∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值为2．当1≤x≤e时，f（x）=alnx，当a≤0时，f（x）≤0．当a＞0时，f（x）在[1，e]单调递增；∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．∴a≥2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为2．（3）设点P的横坐标为m（不妨设m＞0），则由题意可得点Q的横坐标为﹣m，且﹣m＜0．当0＜m＜1时，点P（m，﹣m3+m2），点Q（﹣m，m3+m2），由K0P•K OQ=﹣1，可得（﹣m2+m）（﹣m2﹣m）=﹣1，m无解．当m≥1时，点P（m，alnm），点Q（﹣m，m3+m2），由K0P•K OQ=﹣1，可得•（﹣m2﹣m）=﹣1，即alnm=．由于a为正实数，故存在大于1的实数m，满足方程alnm=．故曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，曲线对应的函数在切点处的导数值为切线的斜率；求分段函数的性质时应该分段去求体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于难题．16．【分析】（I）根据垂直的位置关系，算出直线BC的斜率为﹣2，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线BC的方程；（II）由BC边的高所在直线方程和y=0，解出A（﹣1，0），从而得出直线AB的方程．由直线AC、AB关于直线y=0对称，算出AC方程，最后将AC方程与BC 方程联解，即可得出点C的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设BC边上的高为AD，∵BC与AD互相垂直，且AD的斜率为，∴直线BC的斜率为k==﹣2，结合B（1，2），可得BC的点斜式方程：y﹣2=﹣2（x﹣1），化简整理，得2x+y﹣4=0，即为所求的直线BC方程．（Ⅱ）由x﹣2y+1=0和y=0联解，得A（﹣1，0）由此可得直线AB方程为：，即y=x+1∵AB，AC关于角A平分线x轴对称，∴直线AC的方程为：y=﹣x﹣1∵直线BC方程为y=﹣2x+4∴将AC、BC方程联解，得x=5，y=﹣6因此，可得C点的坐标为（5，﹣6）．【点评】本题给出三角形的角平分线和高所在直线方程，求边BC所在直线的方程和点C坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题．17．【分析】先设出切点（a，b），求出与直线2x﹣6y+1=0垂直的直线斜率k，再求出曲线y=x3+3x2﹣5的导函数在切点处的函数值y′（a），由y′（a）即可求得答案．【解答】解：设切点为p（a，b），函数y=x3+3x2﹣5的导数为y′=3x2+6x，又∵与2x﹣6y+1=0垂直的直线斜率为﹣3，∴切线的斜率k=y′=3a2+6a=﹣3，解得a=﹣1，代入到y=x3+3x2﹣5，得b=﹣3，即p（﹣1，﹣3），故切线的方程为y+3=﹣3（x+1），即3x+y+6=0．【点评】此题主要考查曲线的切线方向与直线斜率之间的关系，比较简单．18．【分析】（Ⅰ）先判断RQ是线段FP的垂直平分线，从而可得动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线；（Ⅱ）设M（m，﹣p），两切点为A（x1，y1），B（x2，y2），求出切线方程，从而可得x1，x2为方程x2﹣2mx﹣4p2=0的两根，进一步可得直线AB的方程，即可得到直线恒过定点（0，p）；（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论，设M（m，﹣p），A（x1，y1），B（x2，y2），且有x1+x2=2m，x1x2=﹣4p2，从而可得k MA=，k MB=，由此可证直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列．【解答】（Ⅰ）解：依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|PQ|=|QF|．∴动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：x2=4py（p＞0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）证明：设M（m，﹣p），两切点为A（x1，y1），B（x2，y2）由x2=4py得，求导得y′=．∴两条切线方程为①②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）对于方程①，代入点M（m，﹣p）得，，又∴整理得：同理对方程②有即x1，x2为方程x2﹣2mx﹣4p2=0的两根．∴x1+x2=2m，x1x2=﹣4p2③﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设直线AB的斜率为k，=所以直线AB的方程为，展开得：，代入③得：∴直线恒过定点（0，p）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）的结论，设M（m，﹣p），A（x1，y1），B（x2，y2）且有x1+x2=2m，x1x2=﹣4p2，∴k MA=，k MB=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴===﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）又∵=﹣，∴即直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线恒过定点，考查直线的向量，解题的关键是正确运用韦达定理，属于中档题．19．【分析】（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标．（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．【解答】解：（1）设点C（x，y），∵边AC的中点M在y轴上得=0，∵边BC的中点N在x轴上得=0，解得x=﹣5，y=﹣3．故所求点C的坐标是（﹣5，﹣3）．（2）点M的坐标是（0，﹣），点N的坐标是（1，0），直线MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=0．【点评】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．20．【分析】（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k的一元二次方程，k1，k2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k1•k2为定值（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标都适合方程2ax﹣y+1=0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2ax﹣y+1=0，该线过定点（0，1）故证得．【解答】解：（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，则切线的方程为y+1=k（x﹣a），与方程y=x2联立，消去y，得x2﹣kx+ak+1=0．因为直线与抛物线相切，所以△=k2﹣4（ak+1）=0，即k2﹣4ak﹣4=0．由题意知，此方程两根为k1，k2，∴k1k2=﹣4（定值）．（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=x2，得y′=2x．所以在P点处的切线斜率为：，。

专题十五 直线与圆的方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分,考试时间60分钟．第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2019·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞,0)D ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)答案 A解析 解法一：∵过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,∴直线的斜率小于0,即2a －a －13－1＋a <0,即a －12＋a<0,解得－2<a<1,故选A.解法二：当a ＝0时,P(1,1),Q(3,0),因为k PQ ＝0－13－1＝－12<0,此时过点P(1,1),Q(3,0)的直线的倾斜角为钝角,排除C,D ；当a ＝1时,P(0,2),Q(3,2),因为k PQ ＝0,不符合题意,排除B,故选A.2．(2019·河南天一大联考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5 D ．x 2＋(y －1)2＝5答案 A解析 由题意,得圆心在直线2x －y －1＝0上,将点(a,1)代入可得a ＝1,即圆心为(1,1),半径为r ＝|2－1＋4|5＝5,∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5,故选A. 3．(2019·大庆质检)已知⊙O 1：(x ＋3)2＋y 2＝4,⊙O 2：x 2＋(y －4)2＝r 2(r>0),则“r＝3”是“⊙O 1与⊙O 2相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知,⊙O 1的圆心为O 1(－3,0),半径为2,⊙O 2的圆心为O 2(0,4),半径为r.若⊙O 1与⊙O 2相切,则|O 1O 2|＝r ＋2或|O 1O 2|＝|r －2|,解得r ＝3或7,所以“r＝3”是“⊙O 1与⊙O 2相切”的充分不必要条件．故选A.4．(2019·景德镇二模)一条光线从点A(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 点A(－2,－3)关于y 轴的对称点为A(2,－3),故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k(x －2),即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1,化简得24k 2＋50k ＋24＝0,解得k ＝－43或－34.故选D. 5．(2019·凌源联考)已知直线l ：x ＋y －1＝0截圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r>0)所得的弦长为14,点M,N 在圆Ω上,且直线l′：(1＋2m)x ＋(m －1)y －3m ＝0过定点P,若PM ⊥PN,则|MN|的取值范围为( )A ．[2－2,2＋3]B ．[2－2,2＋2]C ．[6－2,6＋3]D ．[6－2,6＋2]答案 D 解析 依题意得2r 2－12＝14,解得r ＝2.因为直线l′：(1＋2m)x ＋(m －1)y －3m ＝0过定点P,所以P(1,1),设MN 的中点为Q(x,y),则OM 2＝OQ 2＋MQ 2＝OQ 2＋PQ 2,即4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2,化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32,所以点Q 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心,62为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22,|MN|的取值范围为[6－2,6＋2]．故选D.6．(2019·济宁市高三期末)圆C 1：x 2＋(y －1)2＝1与圆C 2：(x ＋4)2＋(y －1)2＝4的公切线的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A 解析 ∵|C 1C 2|＝0＋42＋1－12＝4,r 1＝1,r 2＝2,r 1＋r 2＝1＋2＝3,∴|C 1C 2|＞r 1＋r 2,所以圆C 1与圆C 2相离,有4条公切线．故选A.7．(2019·广州市三校联考)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点,直线m 是以P 为中点的弦所在直线,直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2,那么( )A ．m ∥l,且l 与圆相交B ．m ⊥l,且l 与圆相切C ．m ∥l,且l 与圆相离D ．m ⊥l,且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P(a,b)(ab≠0)在圆内,∴a 2＋b 2<r 2,∵k OP ＝b a ,直线OP ⊥直线m,∴k m ＝－ab ,∵直线l 的斜率k l ＝－ab ＝k m ,∴m ∥l,∵圆心O 到直线l 的距离d ＝r2a 2＋b 2>r2r ＝r, ∴l 与圆相离．故选C.8．(2019·惠州市高三第三次调研)已知直线l 过点P(－2,0),当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时,其斜率k 的取值范围为( )A ．(－22,22) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 C ．(－2,2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，18 答案 B解析 直线l 为kx －y ＋2k ＝0,又直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点,故|k ＋2k|k 2＋1<1,得－24<k<24.故选B.9．(2019·宝鸡中学高三一模)平面直角坐标系xOy 中,动点P 到圆(x －2)2＋y 2＝1上的点的最小距离与其到直线x ＝－1的距离相等,则P 点的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．x 2＝8y C ．y 2＝4x D ．x 2＝4y 答案 A解析 设动点P(x,y),∵动点P 到直线x ＝－1的距离等于它到圆：(x －2)2＋y 2＝1的点的最小距离, ∴|x ＋1|＝x －22＋y －02－1,化简得6x －2＋2|x ＋1|＝y 2, 当x≥－1时,y 2＝8x,当x<－1时,y 2＝4x －4<－8,不符合题意． ∴点P 的轨迹方程为y 2＝8x.故选A.10．(2019·广州市高三调研)若点P(1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0 答案 D解析 圆方程为(x －3)2＋y 2＝9,圆心O(3,0), 因为P 为弦MN 的中点,所以OP ⊥MN, 又k OP ＝1－01－3＝－12,所以k MN ＝2,所以直线MN 的方程为y －1＝2(x －1),化简, 得2x －y －1＝0.故选D.11．(2019·陕西四校联考)直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 答案 B解析 将圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24,∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2,半径r ＝a 2＋b 22,∵圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝a 2＋b22a 2＋b 2＝a 2＋b22＝r,∴圆与直线的位置关系是相切．故选B. 12．(2019·黄冈市高三元月调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称,则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1 D．0 答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1.则圆心坐标为(－k 2,－1),∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称,∴－k 2＝－1,得k ＝±1.当k ＝1时,k 4－4k ＋1<0,不符合题意,∴k ＝－1.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题,共40分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．(2019·汉中市高三第一次检测)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0,若直线y ＝kx －2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则实数k 的最大值是________．答案 43解析 圆C ：x 2＋y 2－8x ＋15＝0化为标准式为(x －4)2＋y 2＝1.问题“若直线y ＝kx －2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点”可转化为“直线y ＝kx －2到点(4,0)的距离小于等于2”,则根据点到直线距离公式有d ＝|4k －2|1＋k2≤2,解得0≤k≤43,则k 的最大值为43.14．(2019·安徽淮北、宿迁一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1,定点M(3,0),过点M 的直线l 与圆O 交于P,Q 两点,P,Q 两点均在x 轴的上方,如图,若OP 平分∠MOQ,则直线l 的方程为________．答案 y ＝－57(x －3) 解析 设∠MOQ ＝2θ,由S △MOQ ＝S △POQ ＋S △POM 得32sin2θ＝12sinθ＋32sinθ,得cosθ＝23,进而得直线的斜率k ＝－57,故直线方程为y ＝－57(x －3)． 15．(2019·浙江高考)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A(－2,－1),则m ＝________,r ＝________.答案 －25解析 根据题意画出图形,可知A(－2,－1),C(0,m),B(0,3),则AB ＝－2－02＋－1－32＝25, AC ＝－2－02＋－1－m2＝4＋m ＋12,BC ＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A, ∴∠BAC ＝90°,∴AB 2＋AC 2＝BC 2. 即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2, 解得m ＝－2.因此r ＝AC ＝4＋－2＋12＝ 5.16．(2019·河北联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知A(0,a),B(3,a ＋4),若圆x 2＋y 2＝9上有且仅有四个不同的点C,使得△ABC 的面积为5,则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，53 解析 如图,AB 的斜率k ＝a ＋4－a 3－0＝43,|AB|＝3－02＋a ＋4－a2＝32＋42＝5,设△ABC 的高为h,∵△ABC 的面积为5, ∴S ＝12|AB|h ＝12×5h＝5,即h ＝2,直线AB 的方程为y －a ＝43x,即4x －3y ＋3a ＝0.若圆x 2＋y 2＝9上有且仅有四个不同的点C,则圆心O 到直线4x －3y ＋3a ＝0的距离d ＝|3a|42＋－32＝|3a|5,则应该满足d ＜R －h ＝3－2＝1, 即|3a|5<1,得|3a|＜5,得－53<a<53. 三、解答题(本大题共2小题,共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·绵阳二模)已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解 (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3),半径r 1＝11,圆C 2的圆心C 2(5,6),半径r 2＝4,两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5,r 1＋r 2＝11＋4,|r 1－r 2|＝4－11,∴|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2,∴圆C 1和圆C 2相交．(2)圆C 1和圆C 2的方程左、右分别相减,得4x ＋3y －23＝0,∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3,故公共弦长为216－9＝27.18．(本小题满分10分)(2019·湖北稳派教育联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,且y 轴和直线x －3y ＋2＝0均与圆C 相切．(1)求圆C 的标准方程；(2)设点P(0,1),若直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M,N 两点,且∠MPN 为锐角,求实数m 的取值范围．解 (1)设圆C 的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0),由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＝0，|a|＝r ，|a －3b ＋2|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，r ＝2，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x －22＋y 2＝4，消去y 整理,得2x 2＋2(m －2)x ＋m 2＝0.∵直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M,N 两点, ∴Δ＝4(m －2)2－8m 2>0, 解得－2－22<m<－2＋22, 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝2－m,x 1x 2＝m 22.∴PM →＝(x 1,y 1－1),PN →＝(x 2,y 2－1),依题意,得PM →·PN →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(x 1＋m －1)(x 2＋m －1)＝2x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2>0,∴m 2＋(m －1)(2－m)＋(m －1)2>0, 整理,得m 2＋m －1>0,解得m<－1－52或m>－1＋52.又－2－22<m<－2＋22,∴－2－22<m<－1－52或－1＋52<m<－2＋2 2.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－22，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，－2＋22.。

第3课时 直线的一般式方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 97～P 99，回答下列问题：(1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？为什么？提示：都可以，原因如下：(1)直线和y 轴相交于点(0，b )时：此时倾斜角α≠π2，直线的斜率k 存在．直线可表示成y ＝kx ＋b ，可转化为kx ＋(－1)y ＋b ＝0，这是关于x ，y 的二元一次方程．(2)直线和y 轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝π2，直线的斜率k 不存在，不能用y ＝kx ＋b 表示，而只能表示成x －a ＝0，它可以认为是关于x ，y 的二元一次方程，此时方程中y 的系数为0.(2)每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？提示：能表示一条直线，原因如下：当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A Bx －C B，它表示过点⎝⎛⎭⎪⎫0，－C B，斜率为－A B的直线．当B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋C ＝0. 即x ＝－C A，它表示与y 轴平行或重合的一条直线．(3)在方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线①平行于x 轴；②平行于y 轴；③与x 轴重合；④与y 轴重合．提示：当A ＝0，B ≠0时，方程变为y ＝－C B，当C ≠0时表示的直线平行于x 轴，当C ＝0时与x 轴重合；当A ≠0，B ＝0时，方程变为x ＝－C A，当C ≠0时表示的直线平行于y 轴，当C ＝0时与y 轴重合．2．归纳总结，核心必记直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－C B＝b (y 轴上的截距)； 当B ＝0，A ≠0时，则－C A＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．[问题思考]当A ＝0，或B ＝0，或C ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0分别表示什么样的直线？ 提示：(1)若A ＝0，则y ＝－C B，表示与y 轴垂直的一条直线． (2)若B ＝0，则x ＝－C A，表示与x 轴垂直的一条直线． (3)若C ＝0，则Ax ＋By ＝0，表示过原点的一条直线．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)直线方程的一般式的形式是什么？ ；(2)直线方程的一般式的适用范围是什么？ ；(3)直线方程的一般式中各系数的几何意义是什么？ .观察下列直线方程直线l 1：y －2＝3(x －1)；直线l 2：y ＝3x ＋2；直线l 3：y －23－2＝x －14－1；直线l 4：x 4＋y3＝1.[思考1] 上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0的形式吗？ 提示：能．[思考2] 二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0都能表示直线吗？ 提示：能．[思考3] 怎样认识直线方程的一般式？ 名师指津：解读直线方程的一般式： (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程．(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列． (3)x 的系数一般不为分数和负数．(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． [思考4] 二元一次方程与直线的关系是什么？ 名师指津：二元一次方程与直线的关系：(1)二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．(2)二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的，因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线．讲一讲1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(链接教材P 98－例5) (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴； (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32、－3；(4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)． [尝试解答] 选择合适的直线方程形式． (1)由点斜式得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式得y ＝2，即y －2＝0.(3)由截距式得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式得y －－2－4－－2＝x －35－3，即x ＋y －1＝0.求直线一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A Bx ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．练一练1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3且经过点A (5,3)； (2)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点； (3)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1. 解：(1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 整理得3x －y ＋3－53＝0.(2)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－12－－1，整理得2x ＋y －3＝0.(3)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.讲一讲2．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．[思路点拨] (1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限，即斜率大于0且与y 轴的截距不大于0.[尝试解答] (1)法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，∴直线l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35， 而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限内，故不论a 为何值，l 恒过第一象限． 法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0. ∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，5y －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35.即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同法一．(2)直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.如图所示，要使l 不经过第二象限，需斜率a ≥k OA ＝3， ∴a 的取值范围为[3，＋∞)．含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可采用法二的解法．练一练2．已知(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0为直线l 的方程，求证：不论k 取何实数，直线l 必过定点，并求出这个定点的坐标．解：整理直线l 的方程得(x ＋y )＋k (x －y －2)＝0.无论k 取何值，该式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以直线l 经过定点M (1，－1)．讲一讲3．(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[思路点拨] 由平行或垂直可得到两直线斜率的关系式，然后可列方程求解，注意斜率不存在的情况．[尝试解答] (1)法一：①若m ＋1＝0，即m ＝－1时，直线l 1：x ＋2＝0与直线l 2：x －3y ＋2＝0显然不平行．②若m ＋1≠0，即m ≠－1时，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝－2m ＋1，k 2＝－m3，若l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即－2m ＋1＝－m3，解得m ＝2或m ＝－3，经验证，m ＝2或－3符合条件，所以m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合， ∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.(1)利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， ①若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． ②若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(2)与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )． ②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0. 练一练3．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求直线l ′的一般式方程，l ′满足： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解：法一：由题设l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)由l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二：(1)由l ′与l 平行，可设l ′方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设其方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线方程为4x －3y ＋13＝0.——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线方程的一般式，能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化．难点是能根据所给条件求直线方程并能在几种形式间相互转化．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线一般式方程的策略，见讲1.(2)求参数的值或范围的方法，见讲2.(3)由一般式解决平行与垂直问题的策略及与已知直线平行或垂直的直线方程的求法，见讲33．本节课的易错点是利用一般式求解平行或垂直问题中求参数的值或范围中易忽视讨论，如讲3.课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1 直线的一般式方程1．直线x－3y＋1＝0的倾斜角为( )A．30° B．60°C．120° D．150°解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°.2．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝03．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为________．解析：由二元一次方程表示直线的条件知A、B至少有一个不为零即A2＋B2≠0.答案：A2＋B2≠04．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程： y＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0题组2 由含参一般式求参数的值或取值范围5．(2016· 临沂高一检测)已知过点A (－5，m －2)和B (－2m ，3)的直线与直线x ＋3y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．4B ．－4C ．10D ．－10解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－－2m ，直线x ＋3y －1＝0的斜率为k ＝－13，∴由题意得m －5－5＋2m ＝－13，解得m ＝4.6．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2m m ＋2＝3，∴m ＝－6. 7．直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过的定点坐标是________． 解析：原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线恒过定点(2,3)．答案：(2,3)8．已知直线l 1的斜率为k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．解：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－－20－3a＝－1， 解得a ＝1，或a ＝3，∴a ＝1，或a ＝3时，l 1⊥l 2.题组3 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________.解析：因为两直线垂直，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a ＝－3.答案：1或－310．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)， 令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3，所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.[能力提升综合练]1．如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件( ) A ．bc ＝0 B ．a ≠0C ．bc ＝0且a ≠0 D．a ≠0且b ＝c ＝0解析：选D y 轴方程表示为x ＝0，所以a ，b ，c 满足条件为a ≠0且b ＝c ＝0. 2．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1解析：选D 根据两直线平行可得m 1＝1m，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m ＝1时，n ≠－1; m ＝－1时，n ≠1.3．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x－y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2y －x －4＝0B ．2x －y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝0解析：选C 由x －y ＋1＝0得A (－1，0)，又P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，∴P 为线段AB 中垂线上的点，且B (5,0)．PB 的倾斜角与PA 的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB 的斜率k PB ＝－1，则方程为y ＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________．解析：当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1.要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1.答案：m ≠15．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0. 答案：x －3y ＋24＝06．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1；(2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．解：(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6.解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意，∴m ＝1. (2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6，解得m ＝53，或m ＝－2. 7．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？解：如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300. 令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。

直线与方程问题(含答案)
直线与方程问题（含答案）
本文将介绍直线与方程问题的基本概念和解题方法，并提供一些示例问题及其答案。

以下是内容的简要概述：
直线与方程的基本概念
- 直线：直线是由一组无限延伸的点组成的，可以用线段来表示。

直线有无限多个点，无限延伸的长度和方向。

- 方程：方程是数学表达式中的等式，其中包含一个或多个未知数。

方程描述了两个对象之间的关系。

直线与方程问题的解题方法
- 求两点间的斜率：通过计算两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来得到直线的斜率。

- 根据斜率和一点求直线的方程：使用斜率和已知点的坐标来确定直线的方程。

- 点斜式方程：通过已知直线上的一点和该直线的斜率来写出直线的方程。

- 一般式方程：将直线的方程转化为一般的标准形式，即Ax + By + C = 0。

示例问题及答案
1. 求经过点A(2, 3)和点B(5, 7)的直线的斜率。

解答：斜率 = (7 - 3) / (5 - 2) = 4/3
2. 已知直线上的一点为P(4, 2)，斜率为2/5，求该直线的方程。

解答：使用点斜式方程，直线的方程为 y - 2 = (2/5)(x - 4)
3. 将直线的方程2x + 3y - 6 = 0转化为一般式方程。

解答：将方程重新排列为3y = -2x + 6，然后将其化简为Ax + By + C = 0的形式，即2x + 3y - 6 = 0。

以上是关于直线与方程问题的基本概念、解题方法和示例问题
的介绍。

希望对您有所帮助！。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1.直线l1的斜率为a,l1⊥l2，则直线l2的斜率为( D ）（A)(B）a（C)-(D）-或不存在解析：若a=0，则l2的斜率不存在;若a≠0，则l2的斜率为—.故选D.2.若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为α1,α2，斜率分别为k1,k2，有下列说法：(1）若l1∥l2,则斜率k1=k2;（2)若斜率k1=k2,则l1∥l2；(3）若l1∥l2，则倾斜角α1=α2;(4）若倾斜角α1=α2，则l1∥l2。

其中正确说法的个数是（ B )(A）1 (B）2 (C)3 (D)4解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)，(4）都可能是两条直线重合，(1）,(3)正确。

3.已知A(m2+2,m),B(m+1,-1),若直线AB与斜率为2的直线平行，则m 的值为( B ）（A）(B)或1（C)1 (D）—1解析：由题知k AB=2，即==2,整理得2m2-3m+1=0，解得m=或m=1.4.若A（0,1),B(,4）在直线l1上,且直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为（ C )（A）-30°(B)30°(C)150°（D）120°解析：因为==，所以l1的倾斜角为60°。

因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.5。

以A(—1,1)，B（2,—1），C（1,4)为顶点的三角形是（ C ）(A)锐角三角形（B)钝角三角形（C)以A点为直角顶点的直角三角形（D)以B点为直角顶点的直角三角形解析：如图所示,易知k AB==—，k AC==，由k AB·k AC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形，故选C。

6.已知A(—4，3）,B（2,5)，C（6，3)，D(—3,0)四点，若顺次连接A,B，C,D四点，则四边形ABCD的形状是（ D )(A）平行四边形（B)矩形(C)菱形(D)直角梯形解析：因为k AB==，k CD==,k AD==-3，k BC==—，所以AB∥CD,AD⊥AB，所以四边形ABCD为直角梯形.7。

§ 直线的方程最新考纲考情考向分析.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素..理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式..掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点．题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.．直线的倾斜角()定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为°. ()范围：直线倾斜角的范围是[°，°)． ．斜率公式()若直线的倾斜角α≠°，则斜率＝α. ()(，)，(，)在直线上且≠，则的斜率＝.．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式－＝(－)不含直线＝斜截式＝＋不含垂直于轴的直线两点式＝不含直线＝ (≠)和直线＝ (≠)截距式＋＝不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式＋＋＝(＋≠) 平面直角坐标系内的直线都适用题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)()坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)()直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(×)()若直线的斜率为α，则其倾斜角为α.(×)()斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)()经过任意两个不同的点(，)，(，)的直线都可以用方程(－)(－)＝(－)(－)表示．(√) 题组二教材改编．[]若过点(－，)，()的直线的斜率等于，则的值为()．．．或．或答案解析由题意得＝，解得＝.．[组]经过点()且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()。

§9.1 直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(×)(4)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(×)(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)题组二教材改编2．[P86T3]若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.3．[P100A组T9]过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.题组三 易错自纠4．(2018·石家庄模拟)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.5．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．6．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为____________． 答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0. 综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.题型一 直线的倾斜角与斜率典例 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为___________________． 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．引申探究1．若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围． 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，3.2．若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围． 解 如图，直线P A 的倾斜角为45°， 直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．跟踪训练 已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．不存在 答案 A解析 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)， 则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |1＋k 2， 弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°. 题型二 求直线的方程典例 (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程． 解 (1)设所求直线的斜率为k ， 依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．跟踪训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过(0,0)及(4,1)两点， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题典例 (2018·济南模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程． 解 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0， 直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题典例 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154， 当a ＝12时，四边形的面积最小．思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．跟踪训练 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解 方法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，把点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 由题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.求与截距有关的直线方程典例 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求a . 错解展示：现场纠错解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， 直线方程可写为x a －2a ＋1＋ya －2＝1，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)由a －2a ＋1＝－(a －2)，得a －2＝0或a ＋1＝－1，∴a ＝2或a ＝－2.纠错心得 在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°答案 B解析 化直线方程为y ＝3x ＋a ， ∴k ＝tan α＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2．(2018·北京海淀区模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2 答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.3．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－13C ．－32D.23答案 B解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4．(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合． 5.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.6．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4， ∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， ∴k ≥34或k ≤－4.7．已知直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点__________． 答案 (2，－2)解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2)．8．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是_____． 答案 [)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1；当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0，∴－3≤k <0. ∴k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1. 9．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为______．答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.10．直线l 过点(－2,2)且与x 轴、y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为_____．答案 x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0解析 若a ＝b ＝0，则直线l 过(0,0)与(－2,2)两点，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ， 即x ＋y ＝0.若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋yb＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.11．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解 (1)由题意知，直线l 存在斜率． 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别为－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，则它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.13．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －3＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x －4y －4＝0 D ．4x －3y －4＝0答案 D解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 14．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2. ∴b 的取值范围是[－2,2]．15．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( ) A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2答案 D解析 ∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.16．(2017·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π4答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以a ＝－b ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝ab ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.。

1.下列各组点中，三点共线的是（ ）A. ,,B.:--＜，'，.；C.-=， ，一」 — _ 2. 若直线：｛•和：丁总1 .厂 二.|互相垂直，则等于（）。

A*B. -C. J 或D.或3. 已知.［广，直线：和：：1 _・* _■的交点为 ，则玄：；|到原点的最大距离为（）。

A.B.C.D. 丁4. 设心二匸,过定点 的动直线■■■：■' ■1 一’，与过定点，的动直线、：•、：；••；.：■ J 一 1丿交于点•》：、、；；；「，贝U沢；■丿药的最大值为（）。

A. 一B.门十 iC.D.5. 已知直线■二—.d 的倾斜角为钝角，则实数 的取值范围是（）。

1111A. B.C.D.6. 点肿K ；;_j 在直线，- y - ：】上，则-卜『的最小值是（）。

A. B. -C.D. I7. 已知线段 两端点的坐标分别为、，若直线：小：-曲「十“与线段••有交点，则 的取值范围为（）。

B. H （2ife^-2 = B C.11 u 他乜） 8. 直线心-亠冷 」（， ）与两坐标轴围成的三角形的面积是（）。

9.已知直线二w 一 I. ■与m -；它一.J 互相垂直，则实数 等于（10.两条直线■■■■'■ -- ■-I ：和托-】｛的交点位于第二象限，则的取值范围是（）。

ii. 直线:士一—独__:-： j 与直线匕 n 沁…••:财目交，则实数 的值为（）A. 或B. 或C. 且12. 已知直线的方程为［一 |「空：：，则点』一关于的对称点的坐标为（）2019-2020高中数学专题汇编（八）直线与方程A. B. T>-\ C.1D.A. 一或B.或C. 或；D.-丄或A.A. J i.'B. _ ：C. i. -!D.（/ i13. 已知，工代、+1 y +叮聖-「门-『；则•的最小值是（）。

A. ■B. _C.D.14・设直线1站+汕j的倾斜角为.，且Ji. Li -- | ::，则，满足（）。

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（3）掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0︒．（2）范围：直线l 倾斜角的范围是[0,180)︒︒． 2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝2121y y x x --．二、直线的方程 1．直线方程的五种形式2．必记结论常见的直线系方程（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)还可以表示为y －y 0＝k (x －x 0)，斜率不存在时可设为x ＝x 0.（2）平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )． （3）垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋C 1＝0.（4）过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．考向一 直线的倾斜角与斜率1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．典例1 若两直线12,l l 的倾斜角和斜率分别为12,αα和12,k k ，则下列四个命题中正确的是 A ．若12αα<，则两直线的斜率：12k k < B ．若12αα=，则两直线的斜率：12k k = C ．若两直线的斜率：12k k <，则12αα< D ．若两直线的斜率：12k k =，则12αα=【答案】D【名师点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.典例2 直线l 经过点)12(，A ，)1(2m B ，两点（m ∈R ），那么l 的倾斜角的取值范围是A ．[0,)πB ．[0,](,)42πππ C ．[0,]4πD ．[,)(,)422ππππ【答案】B【解析】由直线l 经过点)12(，A ，)1(2m B ，两点，则可利用斜率公式得2211121m k m -==-≤-.由tan 1k α=≤，则倾斜角取值范围是[0,](,)42πππ.故选B.1．已知()1,2M ，()4,3N ，直线l 过点()2,1P -且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是 A ．][(),32,-∞-+∞B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]3,2--D ．11,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭考向二 直线的方程求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4. 求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax +By +C =0，且A ≥0.典例3 已知7(3,),(1,2),(3,1)2M A B ，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A ．425x y += B ．425x y -= C ．25x y +=D ．25x y -=【答案】B典例4 △ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2, 3)，求： （1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 所在直线的方程； （3）BC 边的垂直平分线DE 的方程． 【思路分析】2．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线的方程为________________．考向三 共线问题已知三点,,A B C ，若直线,AB AC 的斜率相同，则,,A B C 三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.典例4 若三点()()12,33,2(,)2A B C m ，，共线，则实数m =_____________. 【思路分析】由三点共线构造两条直线的斜率相等，问题便转化为解方程AB AC k k =. 【解析】由题意得2331,13222AB AC m k k --==-=--. ∵,,A B C 三点共线，∴AB AC k k =，∴31122m -=--， 解得92m =．3．若三点()()()2,2,,,0)0,0(A B a C b ab ≠共线，则11a b+= .1．已知M (a ，b )，N (a ，c )(b ≠c )，则直线MN 的倾斜角是 A ．不存在 B ．45° C ．135°D ．90°2．如果直线l 过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是A ．[0,1]B ．[0,2]C ．1[0,]2D ．(0,3]3．已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为 A ． B ． C ．D ．4．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)5．若直线l 1:y =k (x −4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点 A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(−2,4)D ．(4,−2)6．若过不重合的()()2222,3,3,2A m m B m m m +---两点的直线l 倾斜角为45°，则m 的取值为 A ．1m =-B ．2m =-C ．12m =-或D ．12m =-或7．如图，已知直线l 1：y =－2x +4与直线l 2：y =kx +b （k ≠0）在第一象限交于点M ．若直线l 2与x 轴的交点为A （－2，0），则k 的取值范围是A ．－2＜k ＜2B ．－2＜k ＜0C ．0＜k ＜4D ．0＜k ＜28．直线l 过点()1,0P ，且与以()2,1A ，(B 为端点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围是A ．⎡⎤⎣⎦B ．(,[1,)-∞+∞C ．(,-∞D ．[)1,+∞9．设直线l 的倾斜角为αl 的斜率k 的取值范围是__________． 10．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为__________．11．在平面直角坐标系xOy 中,经过点()1,1P 的直线l 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B .若2PA PB =-,则直线l 的方程是_________.12．一张坐标纸对折一次后，点()0,4A 与点()8,0B 重叠，若点()6,8C 与点(),D m n 重叠，则m n +=__________．13．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； （2）为使直线l 经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．14．求满足下列条件的直线的方程：（1）直线l 经过点()2,3A -，并且它的倾斜角等于直线13y x =的倾斜角的2倍，求直线l 的方程； （2）直线l 过点()2,4P ，并且在x 轴上的截距是y 轴上截距的12，求直线l 的方程.15．已知ABC △的三个顶点分别为是()4,0A ，()0,2B -，()2,1C -.（1）求AB 边上的高CD 所在的直线方程；（2）求过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.16．已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.△面积的最小值及此时直线l的方程；（1）求AOB的最小值及此时直线l的方程.（2）求PA PB1．【答案】A【解析】如图所示：∴直线的方程为193x y +=或1416x y+=-，即或．3．【答案】12【解析】易知直线BC 的方程为1x y a b +=，由点A 在直线BC 上，得221a b +=，故1112a b +=.故选A. 5．【答案】B【解析】因为直线l 1:y =k (x −4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l 2过定点(x ,y ),则422012x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得x =0,y =2.故直线l 2过定点(0,2).6．【答案】B【解析】过()()2222332A m m B m m m +---，，， 两点的直线l 的斜率2223223m mk m m m--=+-++， ∵直线l 的倾斜角为2223245123m mk m m m--︒∴==+-++，，解得1m =-或2m =-，当1m =-时，A B ， 重合，舍去，∴2m =-．故选B ． 7．【答案】D【解析】因为直线l 2与x 轴的交点为A （－2，0），所以2b k =，即()2:2l y k x =+，将其与1:24l y x =-+02k <<，故选D.【名师点睛】解答本题的关键是借助题设中提供的图象及函数的解析式联立方程组求出交点坐标，借助点的位置建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解. 8．【答案】B【名师点睛】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，属于简单题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.结合函数的图象，求出线段端点与点()1,0P 连线的斜率，从而求出斜率的范围即可.9．][1,)+∞【解析】∵直线l 的倾斜角为αl 的斜率k∴1k ≥或k <，∴直线l 的斜率k ][1,)+∞． 10．【答案】3240x y -+=【名师点睛】本题考查直线的各种方程间的互化以及直线中的系数求法，求斜率就要化简为斜截式，求截距就令0x =或0y =，要熟练掌握直线方程的不同形式所对应的不同已知条件，注意各种形式下的限制条件.11．【答案】230x y +-=【解析】设()(),0,0,A a B b ，由2PA PB =-，可得()()1201,0121a b -=---=--，则33,2a b ==，由截距式可得直线方程为:1332x yl +=，即230x y +-=，故答案为230x y +-=.【名师点睛】本题主要考查向量相等的性质以及直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式. 12．【答案】745【解析】（1）设线段AB 的中点为N ，则点()42N ，，则对折后,对折直线l 的方程为260x y --=;设直线CD 的方程为2'0x y C ++=，∵点()68C ，在直线CD 上，∴'22C =-，则直线CD 的方程为2220x y +-=;设直线CD 与直线l 的交点为M ，则解方程组2602220x y x y --=⎧⎨+-=⎩得345385x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即3438(,)55M745m n +=.13．【答案】（1）见解析；（2）a >3.【名师点睛】有关直线过定点的求法：当直线方程含有参数时，把含参数的项放在一起，不含参数的项放在一起，分别令其为零，可求出直线过定点的坐标；直线l 经过第一、三、四象限，只需斜率为正，截距为负，列出不等式组解出a 的范围.14．【答案】（1）34180x y --=；（2）280x y +-=或2y x =.【解析】（1）设直线13y x =的倾斜角为α，则1tan 3α=， ∴22122tan 33tan21tan 4113ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴直线l 的斜率为34， 又∵直线l 经过点()2,3A -，∴直线l 的方程为：()3324y x +=-，即34180x y --=. （2）若直线l 在两坐标轴上的截距均不为0，设直线l 在x 轴上的截距为a （0a ≠），则直线l 在y 轴上的截距为2a ，可设l ：12x ya a+=（0a ≠），将点()2,4P 代入，得4a =， ∴直线l ：148x y+=，即280x y +-=， 若直线l 在两坐标轴上的截距均为0，由直线l 过点()2,4P ，可得直线方程为2y x =.∴直线l 的方程是:280x y +-=或2y x =.【名师点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.15．【答案】（1）直线CD 的方程为230x y ++=；（2）20x y +=或10x y ++=.16．【答案】（1）8，40x y +-=；（2）8；40x y +-=.。

2019吉林高考数学二轮练习—直线与方程注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！I 卷【一】选择题1、直线0=++c by ax 同时要经过第一第二第四象限，那么c b a 、、应满足〔〕A 、0,0<>bc abB 、0,0>>bc abC 、0,0><bc abD 、0,0<<bc ab 【答案】A2、将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90度，再向右平移1个单位，所得的直线方程为M 〔1,－1〕，那么直线l 的斜率为〔〕 A 、3131+-=x y B 、131+-=x y C 、33-=x y D 、131+=x y 【答案】A3、假设直线y x b =+与曲线3y =有公共点，那么b 的取值范围是〔〕A 、1-,1+B 、1,3C 、1-,3D 、-1,1+【答案】C4、假设直线2ax －b y +2=0(a >0,b>0〕被圆x 2+y 2+2x －4y +1=0截得的弦长为4，那么ba 11+的最小值〔〕 A 、21 B 、41 C 、2 D 、4【答案】D 5、直线01:,03:21=+=-y l y x l ，1l 与2l 的夹角为〔〕A 、45°B 、60°C 、90°D 、120°【答案】B6、“a =1”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的〔〕A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】C7、假设直线()()084123=+-++y a x a 和直线()()07425=-++-y a x a 相互垂直,那么a 值为〔〕A 、0B 、1C 、0或1D 、0或－1【答案】C 8、直线220210x y m x y x -+=+--=与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是(〕A 、31m -<<B 、42m -<<C 、01m <<D 、1m <【答案】C9、直线l 的倾斜角为300，那么直线的斜率k 值为〔〕、A 、33B 、21C 、3D 、23 【答案】A10、设点(2,3)A -，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，那么l 的斜率k 的取值范围是〔〕 A 、34k ≥或4k ≤-B 、344k -≤≤ C 、344k -≤≤D 、4k ≥或34k ≤-【答案】A11、直线03=+-y x 的倾斜角是〔〕A 、6πB 、56πC 、4πD 、23π【答案】C12、过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是(〕A 、2120x y +-=B 、2120x y +-=或250x y -=C 、210x y --=D 、210x y --=或250x y -=【答案】B解析:考查直线方程的截距式以及截距是0的易漏点,当直线过原点时方程为250x y -=,不过原点时,可设出其截距式为12x ya a +=再由过点(5,2)即可解出.13、两条直线y=ax －2和y=〔a ＋2〕x ＋1互相垂直，那么a 的值为〔〕A 、2B 、1C 、0D 、－1【答案】D 14、直线10x --=的倾斜角为〔〕.30A .60B .120C .150D【答案】A15、点A(x 1，y 1)；B(x 2，y 2)是定义在区间M 上的函数)(x f y =的图象任意不重合两点，直线AB 的斜率总小于零，那么函数)(x f y =在区间M 上总是〔〕A 、偶函数B 、奇函数C 、减函数D 、增函数【答案】C16、直线x=3的倾斜角是〔〕A 、0B 、2πC 、πD 、不存在【答案】B17、直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是(〕A、||b =B 、11b -<≤或b =C、1b -≤≤ D、1b <<【答案】B解析:y x b =+是斜率为1的直线,曲线x =是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆,画出他们的图像如右图,由图可以看出:两种情况两个曲线有且仅有一个公共点,当b =时相切,当11b -<≤时,相交且有唯一公共点;这里考查直线与圆位置关系,数形结合,是中档题.18、椭圆13422=+y x 的离心率为e ，那么过点〔1，e 〕且被圆044422=+--+y x y x 截得的最长弦所在的直线的方程是〔〕A 、0423=-+y xB 、0764=-+y xC 、0223=--y xD 、0164=--y x 【答案】C19、设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，那么a 、b 满足〔〕A 、1=+b aB 、1=-b aC 、0=+b aD 、0=-b a【答案】D20、如果不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥01,2,0y kx x y x 表示的平面区域是一个直角三角形，那么该三角形的面积为A 、5121或 B 、3121或 C 、4151或 D 、2141或 【答案】C解析：有两种情形：〔1〕直角由x y 2=与01=+-y kx 形成，那么21-=k ，三角形的三个顶点为〔0，0〕，〔0，1〕，〔54,52〕，面积为51；〔2〕直角由0=x 与01=+-y kx 形成，那么0=k ，三角形的三个顶点为〔0，0〕，〔0，1〕，〔1,21〕，面积为41。

1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

2．掌握确定直线位置的几何要素。

3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系。

热点题型一 直线的倾斜角与斜率例1、(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎭⎫π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________。

直线PB 的斜率k PB ＝0－23－(－1)＝－12。

当直线l 绕着点P 由P A 旋转到与y 轴平 行的位置PC 时，它的斜率变化范【提分秘籍】已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤 (1)求出斜率k 的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90°)。

(2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围。

【举一反三】直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B ．(0，π) C.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π【答案】D【解析】直线x ·sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α， 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，∴当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4；当－1≤k ＜0时，倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫34π，π。

故选D 。

热点题型二 直线的方程 例2、根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12。

【提分秘籍】求直线方程时的注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。

(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用。