解析几何第二章 圆锥曲线

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中非常重要的一部分，它包括直角双曲线、抛物线和椭圆。

这些曲线都是由一个平面与一个旋转椭球体相交得到的，具有广泛的应用价值。

以下是对于圆锥曲线的知识点总结：一、直角双曲线直角双曲线由于其特殊的形状和性质，在物理学、工程学和数学等方面都有应用。

直角双曲线的方程可以表示为以下形式：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中a和b是正实数。

在直角双曲线上，存在两个焦点以及两个称为顶点的特殊点。

双曲线还具有渐近线，与其方程的斜率相关。

二、抛物线抛物线是一种类似于开口向上或开口向下的弧线。

它的方程通常表示为：y = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数且a不等于零。

抛物线的焦点是它的特殊点，而直径称为准线。

抛物线具有对称性质，其形状可以用焦点和准线的位置来确定。

三、椭圆椭圆是圆锥曲线中最常见的类型，它的形状类似于椭圆形。

椭圆的方程可以表示为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中a和b是正实数。

椭圆具有两个焦点，椭圆的形状和大小由焦距和长短轴决定。

椭圆还具有较为特殊的直径，它称为主轴。

四、参数方程与极坐标方程除了直角坐标系下的方程表示，圆锥曲线还可以用参数方程和极坐标方程来描述。

参数方程是将x和y表示为参数t的函数，通过参数的变化来确定曲线上的点。

极坐标方程是使用角度和极径来定义曲线上的点。

五、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要性质和性质。

其中一些重要的性质包括：切线的斜率、焦点与直线的关系、曲率和弧长等。

这些性质在求解问题和绘图中都有重要的应用。

总结：圆锥曲线是数学中的重要概念，它包括直角双曲线、抛物线和椭圆。

每种曲线都具有独特的形状和性质，可以通过方程、参数方程或极坐标方程来描述。

了解圆锥曲线的基本知识对于解决实际问题和深入理解数学概念都是非常重要的。

掌握圆锥曲线的知识点，将有助于我们在几何学和解析几何学领域更加灵活和熟练地运用相关概念。

圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。

它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。

下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。

一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。

在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。

在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。

二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。

2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。

3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。

4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。

三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。

2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。

3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。

4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。

四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。

2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。

3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。

高中数学-圆锥曲线知识点解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和变换。

其中，圆锥曲线是解析几何中的重要内容之一，下面将介绍椭圆和双曲线的知识点。

一、椭圆1、定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离之和（大于│F1F2│）为常数的点的轨迹。

其中，定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离│F1F2│叫做椭圆的焦距。

注：2a＞│F1F2│非常重要，因为当2a＝│F1F2│时，其轨迹为线段F1F2；当2a＜│F1F2│时，其轨迹不存在。

2、标准方程、图形和性质：椭圆的标准方程为│MF1│+│MF2│=2a(a＞0)，其中M为椭圆上任一点。

椭圆的焦点在y项系数的大小决定，由x、y项系数的大小关系可以确定椭圆的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率和顶点坐标等性质。

椭圆的离心率e＝(＜e＜1)，长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦点在长轴上，对称轴为x轴或y轴，原点是对称中心。

二、双曲线1、定义：双曲线是平面内与两定点F1、F2的距离之差（小于│F1F2│）为常数的点的轨迹。

其中，定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离│F1F2│叫做双曲线的焦距。

2、标准方程、图形和性质：双曲线的标准方程为│MF1│-│MF2│=2a(a＞0)，其中M为双曲线上任一点。

双曲线的焦点在y项系数的大小决定，由x、y项系数的大小关系可以确定双曲线的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率和顶点坐标等性质。

双曲线的离心率e＞1，长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦点在长轴上，对称轴为x轴或y轴，原点是对称中心。

以上是解析几何中椭圆和双曲线的基本知识点，掌握了这些知识，可以更好地理解和应用解析几何。

双曲线是一种与两个定点和一个常数有关的点的轨迹，其轨迹上满足两个定点到该点距离之差的绝对值小于定点之间距离的常数。

这两个定点分别称为双曲线的焦点，该常数为双曲线的焦距。

对于双曲线上的任意一点M，其到焦点F1和F2的距离之差的绝对值减去焦距的结果为常数2a。

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。

圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。

2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。

3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。

4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。

二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。

2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。

4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。

三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。

2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。

3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。

4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。

四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。

2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。

3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。

4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。

五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。

2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。

3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。

4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。

总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。

解析几何中的圆锥曲线解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形的性质和变换，其中圆锥曲线是解析几何中的重要概念之一。

圆锥曲线由平面与一个双曲面或者一个抛物面相交而产生，包括椭圆、双曲线和抛物线。

本文将对这些圆锥曲线的性质和应用进行一些解析。

椭圆是一种非常常见的圆锥曲线。

它的定义是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。

椭圆有很多有趣的性质，比如它的离心率小于1，离心率等于0时，椭圆就变成了一个圆。

椭圆也是一种对称图形，它的两个焦点和中心都在同一条直线上。

椭圆还有一些重要的应用，比如在天文学中，行星的轨道就可以近似看作是椭圆。

双曲线是另一种常见的圆锥曲线。

它的定义是平面上到两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。

这两个给定点同样称为焦点，而常数则是离心率。

与椭圆不同的是，双曲线的离心率大于1。

双曲线也有很多有趣的性质，比如它的两个焦点和中心不在同一条直线上。

双曲线在物理学和工程学中也有广泛的应用，比如电磁波的传播就可以用双曲线来描述。

抛物线是圆锥曲线中的最后一种形式。

它的定义是平面上到一个给定点的距离等于到一个给定直线的距离的点的集合。

这个给定点称为焦点，给定直线称为准线。

抛物线有很多有趣的性质，比如它是一种对称图形，焦点和准线都在对称轴上。

抛物线在物理学中也有重要的应用，比如抛物线的形状可以用来描述物体的抛射运动。

除了上述三种基本形式的圆锥曲线，解析几何还研究了它们的性质和变换。

例如，圆锥曲线的方程可以用代数的方法来表示，这样就可以通过方程来研究它们的性质。

此外，圆锥曲线还可以进行平移、旋转和缩放等变换，这些变换可以改变圆锥曲线的形状和位置。

在实际应用中，圆锥曲线有着广泛的应用。

比如在工程学中，圆锥曲线可以用来描述光的反射和折射现象，从而帮助设计光学器件。

在航天领域，圆锥曲线可以用来描述行星和卫星的轨道，从而帮助计算它们的运动轨迹。

在计算机图形学中，圆锥曲线可以用来描述曲线和曲面的形状，从而帮助生成逼真的图像。

圆锥曲线的分类及基本方程圆锥曲线是解析几何中最为重要的一类曲线，不仅在数学领域有广泛应用，在物理、化学、工程等多个领域中也有着重要的作用。

本文将围绕圆锥曲线的分类及基本方程展开讨论。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是指由一个固定点F（焦点）和一个固定直线L（直角母线）所确定的点P（动点）的轨迹。

如果点P在直线L同侧与焦点F的距离大于点P到直线L的距离，则称此为椭圆；如果点P在直线L同侧与焦点F的距离等于点P到直线L的距离，则称此为双曲线；如果点P在直线L的另一侧，且距离相等，则称此为圆。

二、圆锥曲线的分类根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为三类：椭圆、双曲线和圆。

下面分别进行讲解。

1. 椭圆椭圆是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之和为定值2a、固定数e小于1的点P所形成的轨迹。

其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，c为椭圆的焦距，e为椭圆的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，如果椭圆的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 12. 双曲线双曲线是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之差为定值2a、固定数e大于1的点P所形成的轨迹。

其中，a为双曲线的半轴，b为双曲线的次轴，c为双曲线的焦距，e为双曲线的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，如果双曲线的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 13. 圆圆是指在平面直角坐标系中离空间内一个固定点O距离相等的点P所组成的轨迹，该固定点称为圆心，离圆心最远的点称为圆的周围。

圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，（a，b）为圆心坐标，r为圆的半径。

三、圆锥曲线的性质1. 椭圆的离心率小于1，且对称轴平行于 y 轴，故对称于 x 轴的部分也是椭圆。

圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是解析几何中的重要内容，它是由圆(或椭圆、双曲线、抛物线)在一个平面上的投影形成的一类曲线。

在数学和物理学等领域，圆锥曲线有着广泛的应用。

下面将对圆锥曲线的相关知识点进行整理和说明。

一、圆锥曲线的定义及基本概念1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是平面上的一条曲线，它是由一个固定点(焦点)和一个固定直线(准线)所确定的点的集合。

2. 圆锥曲线的焦点和准线：焦点是确定圆锥曲线形状的重要参数，准线是直线，在圆锥曲线的定义中起着重要作用。

3. 圆锥曲线的形状：圆锥曲线有四种形状，分别是圆、椭圆、双曲线和抛物线。

它们的形状由焦点、准线和离心率等参数确定。

二、圆锥曲线的方程及性质1. 圆的方程：圆的方程可以用一般式表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径。

2. 椭圆的方程：椭圆的方程可以用标准方程表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)表示椭圆中心的坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

3. 双曲线的方程：双曲线的方程可以用标准方程表示为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，或(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=-1。

其中(h,k)表示双曲线中心的坐标，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。

4. 抛物线的方程：抛物线的方程可以用标准方程表示为y²=4ax，其中a表示抛物线的焦点到准线的距离。

5. 圆锥曲线的性质：圆锥曲线具有许多重要的性质，如对称性、离心率、焦点与准线的关系等。

这些性质对于理解和分析圆锥曲线的形状起着重要作用。

三、圆锥曲线在实际应用中的意义1. 圆锥曲线在物理学中的应用：在物理学中，圆锥曲线被广泛应用于描述物体的运动轨迹、电场和磁场分布等问题。

解析几何中的圆锥曲线方程推导圆锥曲线是解析几何中的一类重要的曲线，主要包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

在解析几何中，我们常常需要推导圆锥曲线的方程，以便研究曲线的性质和解决与曲线相关的问题。

本文将详细介绍几种常见圆锥曲线方程的推导方法。

一、圆的方程圆的方程是解析几何中最简单的曲线方程之一。

设圆心坐标为$(a,b)$，半径为$r$。

则圆心到圆上任一点的距离为$r$，设$(x,y)$为圆上任一点，则有：$$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$$移项并平方得到圆的标准方程：$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$这是圆的一般形式，当圆心在坐标原点时，圆的方程可以简化为：$$x^2+y^2=r^2$$如图所示，圆的方程描述了平面上距离固定点距离相等的一组点，这些点围绕着圆心形成一个圆。

二、椭圆的方程椭圆是平面上距离固定两点距离之和为定值的一组点构成的曲线。

设椭圆两焦点坐标分别为$(c,0)$和$(-c,0)$，焦距为$2a$，则椭圆的方程可以表示为：$$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$移项并平方可得椭圆的标准方程：$$\frac{(x-c)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，$b^2=a^2-c^2$。

定值的一组点构成的曲线。

三、双曲线的方程双曲线分为两种类型：正弦型和双曲型。

这里以双曲型为例进行介绍。

双曲线是平面上距离固定两点距离之差为定值的一组点构成的曲线。

设双曲线两焦点坐标分别为$(c,0)$和$(-c,0)$，焦距为$2a$，则双曲线的方程可以表示为：$$\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$移项并平方可得双曲线的标准方程：$$\frac{(x-c)^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，$b^2=a^2+c^2$。

为定值的一组点构成的曲线。

第2讲 圆锥曲线【自主学习】第2讲 圆锥曲线(本讲对应同学用书第47~50页)自主学习 回归教材1. (选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F 1(-2，0)，F 2(2，0)，且经过点P 53-22⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为 .【答案】210x +26y=1【解析】设椭圆方程为22x a +22yb =1，由题意得2222259144-4⎧+=⎪⎨⎪=⎩a b a b ，，解得a 2=10，b 2=6，所以所求方程为210x +26y =1.2. (选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为 .【答案】264x -236y =1或264y -236x =1【解析】由b =6，c a =54，结合a 2+b 2=c 2，解得a =8，c =10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x -236y =1或264y -236x =1.3. (选修2-1 P51例2改编)经过点P(-2，-4)的抛物线标准方程为 . 【答案】y 2=-8x 或x 2=-y【解析】由于点P(-2，-4)在第三象限，所以满足条件的抛物线方程有两种情形.y 2=-2p 1x 或x 2=-2p 2y ，分别代入点P 的坐标，解得p 1=4，p 2=12，所以抛物线的标准方程为y 2=-8x 或x 2=-y .4. (选修2-1 P57练习5改编)已知抛物线y 2=4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 . 【答案】2【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x =-1，点M 到焦点的距离为3，说明到准线的距离为3，所以点M 到y 轴的距离为2.5. (选修2-1 P58练习8改编)设P(x ，y )是椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)上一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，则PF 1·PF 2的最大值为 . 【答案】a 2【解析】由于PF 1·PF 2=PF 1·(2a -PF 1)=-P 21F +2a PF 1=-(PF 1-a )2+a 2，由于a -c ≤PF 1≤a +c ，所以当PF 1=a时，PF 1·PF 2有最大值a 2.【要点导学】要点导学 各个击破求圆锥曲线的标准方程例1 (2021·扬州中学)在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上.【分析】(1) 利用直线与圆相切求出b 的值，然后利用离心率可求出a 的值，从而求出椭圆方程.(2) 解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1) 由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b =22=2.由于离心率e =ca =32，所以b a =21-⎛⎫ ⎪⎝⎭c a =12，所以a =22， 所以椭圆C 的标准方程为28x +22y =1.(2) 由题意可设M ，N 两点的坐标分别为(x 0，y 0)，(-x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y =00-1y x x +1， ① 直线QN 的方程为y =00-2-y x x +2. ②设点T 的坐标为(x ，y ).联立①②解得x 0=2-3x y ，y 0=3-42-3y y .由于208x +202y =1，所以2182-3⎛⎫ ⎪⎝⎭x y +213-422-3⎛⎫ ⎪⎝⎭y y =1， 整理得28x +2(3-4)2y =(2y -3)2， 所以28x +292y -12y +8=4y 2-12y +9，即28x +22y =1，所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再依据条件建立关于a ，b 的方程组.假如焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题便利，也可把椭圆方程设为mx 2+ny 2=1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.变式 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知动点P 到定点2，0)的距离与点P 到定直线l ：x 222，求动点P 的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础学问，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1) 依题意，可设椭圆C 的方程为22x a +22y b =1(a >b >0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358=⎧⎨=+=+=⎩c a AF AF ，， 解得24.=⎧⎨=⎩c a ，又a 2=b 2+c 2，所以b 2=12， 故椭圆C 的方程为216x +212y =1.(2) 设点P(x ，y )22(-2)|-22|+x y x 22，整理，得24x +22y =1，所以动点P 的轨迹C'的方程为24x +22y =1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，从而利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，明显没有利用定义来得简洁.求离心率的值或范围例2 (2021·苏州调研)如图，A，B是椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆C的右准线. (例2)(1) 若椭圆C的离心率为12，直线l：x=4，求椭圆C的方程；(2) 设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于点Q，若直线PQ恰好经过原点，求椭圆C的离心率.【分析】(1) 依据离心率和准线公式列出方程组进行求解.(2) 若用斜率参数，设直线AM的方程为y=k(x+a)，然后解得M，P的坐标求解，则运算量较大；若用点参数，设点M的坐标，然后通过求得点P的坐标求解，则运算量较小，然后，通过A，M，P三点共线，求出点P的坐标，再利用相互垂直的直线的斜率之积为-1建立a，b，c的方程进行求解.【解答】(1) 由题意得2222124⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩caaca b c，，，23=⎧⎪⎨=⎪⎩ab，解得，所以椭圆C的方程为24x+23y=1.(2) 设M(x，y)，P2⎛⎫⎪⎝⎭ayc，.由A，M，P三点共线得+yx a=2+yaac，所以y0=2⎛⎫+⎪⎝⎭+ay acx a.由于点M在椭圆上，所以y2=2222(-)b a xa.又MP为直径，所以OP⊥BM，所以kOP·kBM=22()⎛⎫+⎪⎝⎭+acy aca x a·-yx a=222()(-)+y a ca x a=23()-+b a ca=223(-)()-+a c a ca=-1，所以c2+ac-a2=0.所以e2+e-1=0，又0<e<1，解得e=5-1.【点评】本题有两个地方值得留意.一是第(2)问简洁错误利用第(1)问得到的椭圆方程，第(2)问没有了第(1)问的条件，所以不行用第(1)问的结论.二是没有合理选择参数，造成运算错误.如“以MP为直径的圆交MB于点Q，若直线PQ恰好过原点”反映的数量关系即为kOP·kBM=-1，若写出圆的方程求解就繁琐了.变式1 (2021·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为.【答案】1 2(变式1)【解答】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2⎛⎫⎪⎝⎭Mayc，.由2ABk=kAM，得b a=2+Myaac，所以yM=b1⎛⎫+⎪⎝⎭ac.由1FBk=kFM，得bc=2-Myacc，所以yM=2-⎛⎫⎪⎝⎭b acc c.从而b1⎛⎫+⎪⎝⎭ac=2-⎛⎫⎪⎝⎭b acc c，整理得2e2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2021·泰州期末)若双曲线22xa-22yb=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解答】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b”，得b=2+a c，所以a2+22+⎛⎫⎪⎝⎭a c=c2，整理得3c2-2ac-5a2=0，所以3e2-2e-5=0，解得e=53.直线与圆锥曲线问题例3 (2021·南京调研)给定椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)，称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1).(1) 求实数a，b的值；(2) 若过点P(0，m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值.【分析】(1) 由两个条件可得出两个方程，进而可求出实数a，b的值.(2) 由题意设出直线l 的方程为y=kx+m，由直线与椭圆只有一个公共点可得关于k，m的一个方程，再由直线被圆所截得的弦长，又可得到关于k，m的一个方程，这样可以解出k，m的值.【解答】(1) 记椭圆C的半焦距为c.由题意得b=1，ca=3，a2=c2+b2，解得a=2，b=1.(2) 由(1)知，椭圆C的方程为24x+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5.明显直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，即kx-y+m=0.由于直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以方程组2214=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx mxy，(*)有且只有一组解.由(*)得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0， 从而Δ=(8km )2-4(1+4k 2)(4m 2-4)=0， 化简，得m 2=1+4k 2. ①由于直线l 被圆x 2+y 2=5所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l 的距离d =5-2=3.即2||1+m k =3. ② 由①②解得k 2=2，m 2=9. 由于m >0，所以m =3.变式 (2021·泰州二模)如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆E ：22x a +22y b =1(a >b >0)的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过B ，C 两点且分别与直线AB ，AC 垂直的直线相交于点D.已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455.(变式)(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 求证：点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； (3) 求△BCD面积的最大值.【解答】(1) 由题意得ca =253a c ，-c =55，解得a =3，c 5b 22-a c ，所以椭圆E 的标准方程为29x +24y =1.(2) 设B(x 0，y 0)，C(-x 0，y 0).明显直线AB ，AC ，BD ，CD 的斜率都存在，设为k 1，k 2，k 3，k 4，则k 1=003+y x ，k 2=00-3+y x ，k 3=-003+x y ，k 4=00-3x y ，所以直线BD ，CD 的方程为y =-003+x y ·(x -x 0)+y 0，y =00-3x y (x +x 0)+y 0， 消去y ，得-003+x y (x -x 0)+y 0=00-3x y ·(x +x 0)+y 0，化简得x =3，所以点D 在定直线x =3上运动.(3) 由(2)得点D 的纵坐标为y D =00-3x y ·(3+x 0)+y 0=200-9x y +y 0. 又209x +204y =1，所以20x -9=-2094y ，则y D =2009-4y y +y 0=-54y 0，所以点D 到直线BC 的距离h =|y D -y 0|=005--4y y =94|y 0|.将y =y 0代入29x +24y =1，得x 201-4y 所以S △BCD =12BC·h=12201-4y 94|y 0| 20271-24y ·12|y 0|≤272·22001-442+y y =274，当且仅当1-204y =204y ，即y 02y 02时，△BCD面积取最大值为274.1. (2021·苏锡常镇宿一调)双曲线x2-22y=1的离心率为.【答案】3【解析】由标准方程可得a2=1，b2=2，所以c2=3，所以e=ca =3.2. (2021·苏锡常镇二调)已知双曲线22xa-22yb=1(a，b>0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为. 【答案】3x2-y2=1【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，故焦点到渐近线的距离为d=22||+bca b=|b|=1，即b2=1.又由于ca=2，故c2=a2+b2=4a2，所以a2=13，故所求双曲线的方程为3x2-y2=1.3. (2021·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系x O y中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，定点A(22，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM∶MN=.【答案】13【解析】方法一：由题意得F(0，1)，所以直线AF的方程为22x+1y=1，将它与抛物线的方程联立，解得2-2212.2⎧=⎧=⎪⎪⎨⎨==⎪⎩⎪⎩xxyy，，或依题意知交点在第一象限，故取M122⎛⎫⎪⎝⎭，.准线方程为y=-1，故易求得点N(42，-1)，所以由三角形相像性质得FMMN=11-21-(-1)2=13.(第3题)方法二：如图，设点M到准线的距离为MB，则依据条件得FMMB=1.又由于F(0，1)，所以直线FA的斜率为k=1-22=-24，从而sin∠ANB=218=13，即MBMN=13，所以FMMN=13.4. (2021·扬州期末)如图，A，B，C是椭圆M：22xa+22yb=1(a>b>0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC=2AC.(第4题)(1) 求椭圆M的离心率；(2) 若y轴被△ABC的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M的方程.【解答】(1) 由于BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB.又由于AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C 为直角的等腰直角三角形，则A(a ，0)，C -22⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，，B -22⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，， 所以222⎛⎫ ⎪⎝⎭a a +22-2⎛⎫⎪⎝⎭a b =1，则a 2=3b 2， 所以c 2=2b 2，e =63， 所以椭圆M 的离心率为63.(2) △ABC的外接圆圆心为AB 的中点P 44⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，，半径为104a ，则△ABC的外接圆为2-4⎛⎫ ⎪⎝⎭a x +2-4⎛⎫ ⎪⎝⎭a y =58a 2.令x =0，得y =a 或y =-2a， 所以a --2⎛⎫ ⎪⎝⎭a =9，解得a =6.所以所求椭圆M 的方程为236x +212y =1.【融会贯穿】完善提高 融会贯穿典例 如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知A ，B ，C 是椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)上不同的三点，且A32322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，B(-3，-3)，点C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上.(典例)(1) 求椭圆的标准方程； (2) 求点C 的坐标；(3) 设动点P(异于点A ，B ，C)在椭圆上，且直线PB ，PC 分别交直线OA 于点M ，N ，求证：OM ·ON 为定值，并求该定值.【思维引导】【规范解答】(1) 由已知，得222218912991⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩a b a b ，，解得2227272⎧=⎪⎨=⎪⎩a b ，，…………………………………………………………………………2分所以椭圆的标准方程为227x+2272y=1……………………………………………………3分(2) 设点C(m，n)(m<0，n<0)，则BC的中点为-3-322⎛⎫ ⎪⎝⎭m n，.由已知可得直线OA的方程为x-2y=0，从而m=2n-3. ①又由于点C在椭圆上，所以m2+2n2=27. ②由①②，解得n=3(舍去)或n=-1，从而m=-5 ……………………………………5分所以点C的坐标为(-5，-1)…………………………………………………………6分(3) 设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).由于P，B，M三点共线，所以11323++yy=33++yx，整理得y1=00003(-)-2-3y xx y………………8分由于P，C，N三点共线，所以22125++yy=15++yx，整理得y2=00005--23+y xx y……………10分由于点P在椭圆上，所以2x+22y=27，即2x=27-22y，从而y1y2=2200002200003(5-6)4-4-9++x y x yx y x y=200020003(3-627)2-418++y x yy x y=3×32=92，……………………………………………………………14分所以OM·ON=5y1y2=452，…………………………………………………………15分所以OM·ON为定值，且定值为452………………………………………………16分【精要点评】此题考查了椭圆的一些性质，结合了动点问题和向量，运用解析法可以解决这道题目，本身难度并不高，计算量也不是很大.论证椭圆性质问题往往接受如下的命题思路：由于椭圆可以由圆经过仿射变换得到，依据仿射变换前后长度比值不变原理，所以圆中的结论在椭圆中同样成立.如图，在圆O中，B，C为圆上的两个定点，BC中点为Q，直线QO交圆O于点A，且P(异于A，B，C)为圆O上的动点，BP，CP分别交直线QO于N，M两点. 依据△ONP∽△OPM，明显有OM·ON=OA2为定值.变式如图，已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)为椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)上的任意两点，直线PQ 与x轴交于点M，点R与点P关于x轴对称，直线QR与x轴交于点N.(变式)(1) 试用x1，x2，y1，y2表示点M和点N的横坐标；(2) 求证：OM·ON为定值.【解答】(1) 由题知直线PQ：(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，即(y2-y1)x-(x2-x1)y-(x1y2-x2y1)=0.令y=0，则xM=122121--x y x yy y.又R(x1，-y1)，所以直线QR：(y2+y1)(x-x1)-(x2-x1)(y+y1)=0，即(y2+y1)x-(x2-x1)y-(x1y2+x2y1)=0，令y=0，则xN=122121++x y x yy y.(2) 由(1)可得OM ·ON=122121--x y x yy y·122121++x y x yy y=222212212221--x y x yy y=22222212212222211--1--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y ya y a yb by y=a2，为定值.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第29-30页.【课后检测】第2讲圆锥曲线一、填空题1. (2021·常州期末)已知双曲线ax2-4y2=1的离心率为3，那么实数a的值为.2. (2021·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3. (2022·苏中三市、连云港、淮安二调)若在平面直角坐标系x O y中，双曲线C的离心率为2，且过点(1，2)，则双曲线C的标准方程为.4. 若抛物线x=1m y2的准线与双曲线212x-24y=1的右准线重合，则实数m的值是.5. (2022·辽宁卷)已知椭圆C：29x+24y=1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于椭圆C的焦点的对称点分别为点A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则AN+BN= .6. 如图，已知A，B，C是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上的三点，其中点A的坐标为(23，0)，BC过椭圆的中心，且AC·BC=0，|BC|=2|AC|，那么椭圆的标准方程为.(第6题)7. (2021·盐城中学)设椭圆22xm+22yn=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为.8. (2021·丹阳中学)设A，B分别是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点，点P是椭圆C上且异于A，B的一点，若直线AP与BP的斜率之积为-13，则椭圆C的离心率为.二、解答题9. (2022·南京、淮安三模)已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)过点P(-1，-1)，c为椭圆的半焦距，且c2b.过点P作两条相互垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若直线l1的斜率为-1，求△PMN的面积.10. (2021·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB=1，|OF|=1.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使得点F恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11. 如图，椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎝⎭，.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题) 【课后检测答案】第2讲圆锥曲线1. 8 【解析】将双曲线方程ax2-4y2=1化成标准式可得21xa-214y=1，所以c2=1a+14.又由于e2=1141+aa=1+4a=3，所以a=8.2. y=±5x【解析】5+m，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为y=5m x，即y=±52x.3. y2-x2=1 【解析】由于双曲线的离心率e2.设双曲线方程为x2-y2=m，则由点(12)在双曲线上得1-2=m=-1，故所求的双曲线方程为y2-x2=1.4. -12 【解析】212x-24y=1的右准线为x=2ac=124=3，所以抛物线y2=mx的开口向左，-4m=3，解得m=-12.5. 12 【解析】取MN的中点为G，点G在椭圆C上.设点M关于椭圆C的焦点F1的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F2的对称点为B，则有GF1=12AN，GF2=12BN，所以AN+BN=2(GF1+GF2)=4a=12.6. 212x +24y =1 【解析】由于|BC |=2|AC |，直线BC 过点(0，0)，则|OC |=|AC |.又由于AC ·BC =0，所以∠OCA=90°，即又由于a，所以椭圆方程为212x +22y b =1，把点C 的坐标代入上式，得b 2=4，所以椭圆的方程为212x +24y =1.7.【解析】由题意可知，抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c =2，由于离心率为12，所以a =4，所以b8. 3 【解析】由题意知A(-a ，0)，B(a ，0)，取P(0，b )，则k AP ·k BP =b a ×-⎛⎫ ⎪⎝⎭b a =-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=.9. (1) 由条件得21a +21b =1，且c 2=2b 2，所以a 2=3b 2，解得b 2=43，a 2=4， 所以椭圆的方程为24x +234y =1. (2) 设直线l 1的方程为y +1=k (x +1)，联立22-134=+⎧⎨+=⎩y kx k x y ，，消去y ，得(1+3k 2)x 2+6k (k -1)x +3(k -1)2-4=0. 由于点P 的坐标为(-1，-1)，解得M 2222-36132-11313⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭k k k k k k ，. 当k ≠0时，用-1k 代替k ，得N 2222-6-3--2333⎛⎫+ ⎪++⎝⎭k k k k k k ，.将k =-1代入，得M(-2，0)，N(1，1). 由于P(-1，-1)， 所以，，所以△PMN的面积为12=2.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b =1(a >b >0)，则c =1. 又由于AF ·FB =1， 即(a +c )(a -c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM的垂心， 则设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由于M(0，1)，F(1，0)，故k PQ =1， 于是可设直线l 的方程为y =x +m ，联立2222=+⎧⎨+=⎩y x m x y ，，得3x 2+4mx +2m 2-2=0. 由于MP ·FQ =0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)， 又y i =x i +m (i =1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m -1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m -1)+m 2-m =0.由韦达定理得2·22-23m -43m(m -1)+m 2-m =0，解得m =-43或m =1(舍去). 经检验m =-43符合条件，所以直线l 的方程为y =x -43.11. (1) 由题意得2222212312-=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩c a b a b c ，，，解得a 2=4，b 2=3， 故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 由于F(1，0)，N(4，0).设A(m ，n )，M(x 0，y 0)，则B(m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y =-1nm (x -1)， 直线BN 的方程为y =4-nm (x -4)，解得点M 的坐标为5-832-52-5⎛⎫⎪⎝⎭m n m m ，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54⎛⎫ ⎪⎝⎭m m +232-53⎛⎫⎪⎝⎭n m =222(5-8)124(2-5)+m n m . 由24m +23n =1，得n 2=321-4⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，代入上式得204x +23y =1.所以点M 恒在椭圆C 上.。

解析几何中的圆锥曲线性质圆锥曲线是解析几何中的重要概念，是由圆锥与平面相交产生的图形。

它包括椭圆、双曲线和抛物线三种，并具有许多重要的性质。

一、椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，具有很多独特的性质。

椭圆的中心为O，两个焦点分别为F和F'，长轴为2a，短轴为2b。

则有以下性质：1、椭圆两焦点到中心的距离相等。

即OF=OF'=c，c是椭圆离心率。

椭圆为两焦点间距的等差中项轨迹。

2、椭圆满足反射定律。

即从一个焦点出发的光线照射到椭圆上的任意点P，然后反射出去后的光线将直接通过另一个焦点。

这是最初发现椭圆的方式之一。

3、椭圆的周长公式周长为C=4a (1-e²) 的等效标准式，其中e是离心率。

4、椭圆面积公式面积为S=πab。

二、双曲线双曲线与椭圆相似，也是圆锥曲线的一种。

其中心为O，两个焦点分别为F和F'，距离为2a，离心率为c/a。

则有以下性质：1、双曲线离心率大于1。

离心率c/a＞1，两焦点同时在x轴中心两侧。

2、双曲线的渐近线。

双曲线上有两根等角的斜渐近线，在两根直线的中间，双曲线成了自己的渐近线。

渐近线k是y=±(a/c)x.3、双曲线的公切线从椭圆的任一点P引一条与焦点之间连线的中垂线M，与焦点之间连线交椭圆于A、B两点，P到A、B的两条公切线交于双曲线上的另一点Q。

三、抛物线抛物线也是圆锥曲线中的一种，拥有自己独特的性质。

其上的每个点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

抛物线的焦点为O，准线为x轴。

则有以下性质：1、抛物线的反射定律抛物线反射定律是一个光学原理，指入射光线垂直于抛物线，在焦点后方入射时，经过反射后的光线都汇聚到焦点上。

2、抛物线的标准式抛物线的标准式为 y²=2px，其中p为焦距；若以顶点为起点，则顶点V为坐标原点，到焦点的距离p为负，此时抛物线开口向上；反之，抛物线开口向下。

3、抛物线面积公式面积为S=2/3px²。

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，由平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到。

在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的。

本文将对圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用进行总结。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线就是平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到的曲线，在平面上的图像可以呈现出不同的形状。

二、圆锥曲线的基本方程1. 双曲线：双曲线的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。

其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。

2. 椭圆：椭圆的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。

3. 抛物线：抛物线的基本方程为：$y^2=2px$。

其中，p为抛物线的焦距。

三、圆锥曲线的性质1. 双曲线的性质：双曲线的两个分支镜像对称于原点，焦点到曲线的距离之差为常数。

双曲线还具有渐近线，即曲线趋近于两根直线。

2. 椭圆的性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且焦点到任意点的距离之和为常数。

此外，椭圆也具有主轴、短轴和焦距等重要概念。

3. 抛物线的性质：抛物线的焦点位于抛物线的顶点上，且焦点到抛物线上任意点的距离等于焦点到该点的法线距离。

四、圆锥曲线的应用1. 双曲线的应用：双曲线在电磁学中有广泛的应用，例如电磁波的传播、天线的辐射以及电磁场分布等方面。

2. 椭圆的应用：椭圆在力学、天文学和导航等领域有着重要的应用。

例如椭圆轨道运动的物体、天体运动规律的研究以及导航系统中的卫星轨道等。

3. 抛物线的应用：抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用。

例如自由落体运动、射击运动以及卫星的发射轨道等。

综上所述，圆锥曲线是解析几何中的重要内容，通过本文的总结，我们了解了圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用。

在学习过程中，我们需要深入理解每个曲线的特点和应用领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。

希望本文对你对圆锥曲线的学习有所帮助。

平面解析几何的圆锥曲线性质与应用在平面解析几何中，圆锥曲线是指平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线具有独特的性质和广泛的应用，本文将从圆锥曲线的定义、性质和应用三个方面进行论述。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个动点和一个定点（焦点）确定的，动点到焦点的距离与动点到一定长度的有向线段的距离的比值（离心率）为常量。

根据离心率的大小，圆锥曲线可分为椭圆（离心率<1）、双曲线（离心率>1）和抛物线（离心率=1）三种类型。

二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆是一个较为常见的圆锥曲线。

它具有以下性质：（1）椭圆是一个闭合曲线，其形状像一个拉伸的圆；（2）椭圆的两个焦点位于椭圆的长轴上；（3）椭圆的长轴和短轴之间的比例关系与离心率有关；（4）椭圆的周长和面积的计算公式与其长轴和短轴有关。

2. 双曲线的性质双曲线是另一种常见的圆锥曲线，它具有以下性质：（1）双曲线是一个非闭合曲线；（2）双曲线的两个焦点位于双曲线的对称轴上；（3）双曲线的离心率决定了其形状，离心率越大，曲线越尖锐；（4）双曲线的渐近线是其两支曲线的夹角的平分线。

3. 抛物线的性质抛物线是一种常见的圆锥曲线，它具有以下性质：（1）抛物线是一个非闭合曲线；（2）抛物线的焦点位于其顶点的对称轴上；（3）抛物线可以通过焦点和直线的焦点到直线的距离来定义；（4）抛物线是一条对称曲线，其顶点为对称中心。

三、圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1. 天体运动的轨迹分析利用圆锥曲线的性质，可以研究行星和卫星的运动轨迹，预测其位置和速度等相关信息。

2. 信号传输与接收电磁波的传输和接收过程中，通常可以利用圆锥曲线的特性实现信号的聚焦和扩散，从而提高通信的效率和可靠性。

3. 工程建模与设计在建筑、航天航空和汽车工程等领域，圆锥曲线常被用于模型设计、数据分析和系统优化等方面。

4. 统计分析与数据拟合圆锥曲线可以用来拟合数据，在统计学和数据分析中广泛应用，用于预测趋势、拟合模型和作为数据分布的基础。

圆锥曲线重点知识点总结圆锥曲线是高中数学中一个重要的内容，是解析几何的重点之一。

在学习圆锥曲线时，我们需要掌握一些重要的知识点。

本文将对圆锥曲线的基本概念、方程与性质进行总结。

一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由切割一个锥体的过程中所得到的曲线。

根据切割方式的不同，圆锥曲线可分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。

1. 椭圆：通过一点F（焦点）到平面上任意一点P的距离之和恒定的点集所构成的曲线称为椭圆。

这个常数称为椭圆的焦距，用c表示。

椭圆还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。

2. 双曲线：通过一点F到平面上任意一点P的距离之差恒定的点集所构成的曲线称为双曲线。

这个常数称为双曲线的离心率，用e表示。

双曲线还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。

3. 抛物线：通过平面上任意一点P到一个定点F的距离等于点P到一条直线l的距离的点集所构成的曲线称为抛物线。

二、圆锥曲线的方程在解析几何中，我们常常使用方程描述曲线。

圆锥曲线的方程可以用多种形式表示，例如标准方程、一般方程和参数方程等。

1. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 （a > b > 0），其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。

2. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （a > 0，b > 0），其中a和b分别代表双曲线的距离焦点的距离和离心率。

3. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p为抛物线的焦距。

三、圆锥曲线的性质掌握圆锥曲线的性质对于解析几何的问题求解非常重要。

1. 椭圆的性质：a) 椭圆的离心率满足0<e<1，离心率越小，椭圆越圆。

b) 长半轴和短半轴的长度之间的关系是a>b。

c) 椭圆的离心率e满足等于c/a（其中c代表焦距）。

2. 双曲线的性质：a) 双曲线的离心率满足e>1，离心率越大，双曲线越开口。

二级结论专题11解析几何2二级结论1：圆锥曲线中的定值问题【结论阐述】1．在椭圆中：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，定点00(,)P x y （000x y ≠）在椭圆上，设A ，B 是椭圆上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PB k k +=．则直线AB 的斜率2020=AB b x k a y ．2．在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>中，定点00(,)P x y （000x y ≠）在双曲线上，设A ，B 是双曲线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PBk k +=．则直线AB 的斜率2020=AB b x k a y -．3．在抛物线C ：22(0)y px p =>，定点00(,)P x y （000x y ≠）在抛物线上，设A ，B 是抛物线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PB k k +=．则直线AB 的斜率0=AB p k y -．【应用场景】在圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点P （非顶点）与曲线上的两动点A ，B 满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数（倾斜角互补），则直线AB 的斜率为定值．【典例指引1】1．已知点P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为1-，则点P 坐标为（）A ．()1,2B ．()1,2-C ．(2,D ．(2,-【典例指引2】2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点为12,F F ，椭圆的离心率为12，点2⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)点T 为椭圆C 上的点，若点T 在第一象限，且2TF 与x 轴垂直，过T 作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C 交于点M ，N ，探究直线MN 的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由．【针对训练】3．已知抛物线2:4C y x =，点Q 在x 轴上，直线:(2)240l m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是_____.（2022·山西晋中·高二期末）4．已知点()2,1P -是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的一点，且椭圆C 的离心率2e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)两动点,A B 在椭圆C 上，总满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数，求证：直线AB 的斜率为定值.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率e 为12(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.6．已知动点M 到直线+2=0x 的距离比到点(1,0)F 的距离大1．(1)求动点M 所在的曲线C 的方程；(2)已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；7．如图，已知9(,3)4M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，直线AM ，BM 的斜率互为相反数，与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且均在M 点的下方．证明：直线AB 的斜率为定值．8．已知()1,2A 为抛物线22(0)y px p =>上的一点，E ，F 为抛物线上异于点A 的两点，且直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数．求直线EF 的斜率．9．已知点)Q，点P 是圆C ：22(x y 12+=上的任意一点，线段PQ 的垂直平分线与直线CP 交于点M ．()1求点M 的轨迹方程；()2过点()A 作直线与点M 的轨迹交于点E ，过点()B 0,1作直线与点M 的轨迹交于点F(E,F 不重合)，且直线AE 和直线BF 的斜率互为相反数，直线EF 的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF 的斜率；若不是定值，请说明理由．10．已知，椭圆C 过点35A ,22⎛⎫⎪⎝⎭，两个焦点为()0,2，()0,2-，,E F 是椭圆C 上的两个动点，直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数．()1求椭圆C 的方程；()2求证：直线EF 的斜率为定值．（2022沙坪坝·重庆八中）11．在平面直角坐标系xOy 中，设点()00,M x y 是椭圆22:1205x y C +=上一点，以M 为圆心的一个半径2r =的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q .（1）若点M 在第一象限且直线,OP OQ 互相垂直，求圆M 的方程；（2）若直线,OP OQ 的斜率都存在，且分别记为12,k k .求证：12k k 为定值；（3）探究22OP OQ +是否为定值，若是，则求出OP OQ ⋅的最大值；若不是，请说明理由.（2022沙坪坝·重庆南开中学）12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点为1F 、2F ，离心率2e =，过圆2221:C x y b +=上一点Q （Q 在y 轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E 于A 、B 两点，交圆2222:C x y a +=于C 、D 两点（如图所示）．当切线AB 与x 轴垂直时，2CDF V 的面积为3．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）（ⅰ）求ABO 的面积的最大值；（ⅱ）求证：2AC AF +为定值，并求出这个定值．13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过点()3,2A -，且离心率e =(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果B ，C 为双曲线上的动点，直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，证明直线BC 的斜率为定值，并求出该定值.（2021全国高考真题）14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.二级结论2：圆锥曲线中的定点问题【结论阐述】若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合，则斜边所在直线过定点．（1）对于椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点(,0)a ，则直线AB l 过定点2222()(+a b aa b -．同理，当以AB 为直径的圆过左顶点(,0)a -时，直线AB l 过定点2222()(+a b a a b --．（2）对于双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点(,0)a ，则直线AB l 过定点2222(+)(,0)a b aa b-．同理，对于左顶点(,0)a -，则定点为2222(+)(,0)a b aa b --．（3）对于抛物线22(0)y px p =>上异于顶点的两动点A ，B ，若0OA OB ⋅=，则弦AB所在直线过点(2,0)p ．同理，抛物线22(0)x py p =>上异于顶点的两动点A ，B ，若0OA OB ⋅=，则直线AB 过定点(0,2)p ．【应用场景】一般情况下，若方程(),0f x y =中含有一个或者多个参数，当x 取某个常数0x 时，求得的y 也是一个与参数无关的常数0y ，这样就可以说方程(),=0f x y 对应的曲线经过定点()00,x y ．有时圆锥曲线中的定点问题，可以充分考虑几何性质，从特殊情况出发，对可能的定点有初步的判断，争取确定出定点，这样可以转化为有方向、有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．【典例指引1】（2022·安徽蚌埠·高二期末）15．已知直线l 与抛物线24y x =交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若直线,OA OB 的斜率之积为1-，则直线l 恒过定点（）A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(0,4)-D ．(4,0)-【典例指引2】16．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【反思】在分析直线方程时，要考虑直线的特殊情况，注意分类讨论．要想整理得出k 和m 的关系，需要借助韦达定理建立关于k 和m 方程，注意化简运算的技巧．【针对训练】17．已知双曲线2212y x -=，点()1,0A -，在双曲线上任取两点P 、Q 满足AP AQ ⊥，则直线PQ 恒过定点__________；（2022·四川巴中·一模）18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）的左､右焦点分别为1F ，2F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足122MF MF a +=，且12MF F △的面积为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的上顶点为P ，不过点P 的直线l 交C 于A ，B 两点，若PA PB ⊥，证明直线l 恒过定点.19．已知椭圆22132x y E +=：的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点．(1)证明：直线PA 与直线PB 的斜率乘积为定值；(2)设()(0Q t t ≠，，过点Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点．问：是否存在实数t ，使得以MN 为直径的圆恒过定点B ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期检测）20．已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线20x y -+=的距离点()()000,0N x y y >为此抛物线上的一点，52NF =.直线l 与抛物线交于异于N的两点A ，B ，且2NA NB k k ⋅=-.(1)求抛物线方程和N 点坐标；(2)求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标.（2022届河南省焦作市高三上学期开学考试）21．在PAB 中，已知()2,0A -、()2,0B ，直线PA 与PB 的斜率之积为34-，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 为曲线C 上一点，直线AP 与BQ 交点的横坐标为4，求证：直线PQ 过定点.（2022届陕西省西安市高三上学期模拟）22．已知与圆22:(1)3C x y ++=相切的直线l ，过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F ，且直线l 的倾斜角为23π.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线1l 与抛物线E 交于点A ，B 两点，且A ，B 关于直线y x =+对称，在12y x=-上是否存在点N ，使得以AB 为直径的圆恰好过点N ，若存在，求出点N 的坐标；否则，请说明理由.（2022届河南省名校联盟高三上学期阶段性测试）23．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若AM MB =，且直线l 的斜率为4，求直线OM (点O 为坐标原点)的斜率．(2)若直线FA ，FB 的斜率互为相反数，且直线l 不与x 轴垂直，探究：直线l 是否过定点?若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．24．过点(0,2)D 的任一直线l 与抛物线220C :x py(p )=＞交于两点,A B ，且4OA OB =-．(1)求p 的值．(2)已知,M N 为抛物线C 上的两点，分别过,M N 作抛物线C 的切线12l l 和，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点．（2022届上海市进才中学高三上学期12月联考）25．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线4x =的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为12的直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点，若直线l 不过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线PA PB 、的斜率分别为PA PB k k 、，求PA PB k k +的值；(3)设点Q 为曲线C 的上顶点，点E 、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）26．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .离心率等于3，点P 在y 轴正半轴上，12PF F △为直角三角形且面积等于2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.二级结论3：圆锥曲线中的定直线问题【结论阐述】1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 必在定直线00221x x y ya b+=上；2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 必在定直线00221x x y ya b+=上；3．已知抛物线22y px =(>0)p ，定点00(,)P x y 不在抛物线上，过点P 的动直线交抛物线于,A B 两点，在直线AB 上取点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 在定直线00()y y p x x =+上．【应用场景】定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题．证明动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，解决这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：（1）设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；（2）待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；（3）验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证．【典例指引1】27．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 上顶点为A ，过点A与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过A ，Q ，2F 三点的圆与直线:30l x -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆C 的长轴两端点，直线m 过点()4,0P 交C 于不同两点G ，H ，证明：四边形MNHG 的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．【反思】解决直线与圆锥曲线相交的相关问题时，关键在于将目标条件转化为交点的坐标间的关系，交点坐标的韦达定理上去可得以解决．【典例指引2】（2022江苏南通·高二开学考试）28．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，右焦点为F ，离心率为2，过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知1A BF △的面积为92．(1)求双曲线的方程；(2)若过F 的直线l '与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【针对训练】29．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点)，且离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点F 且不与x 轴重合的直线与椭圆交于M ，N 两点，已知()3,0D ，过M 且与y 轴垂直的直线与直线DN 交于点P ，求证：点P 在一定直线上，并求出此直线的方程.30．已知点P 是离心率为12的椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上位于第一象限内的点，过点P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ，N 两点，交直线by x a=-于Q ，R 两点，记OMQ 与ONR 的面积分别为1S ，2S ，且12S S +=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的上、下顶点分别为1B ，2B ，过点()0,1D 的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．【反思】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．31．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点1F 与抛物线24y x =的焦点重合，原点到过点()(),0,0,A a B b -的直线距离是7（1）求椭圆C 的方程（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，过1F 作1PF 的垂线与直线l 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上，并求出定直线的方程32．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点()0,1．如图所示，斜率为()0k k >且过点()1,0-的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，若F 在射线OE 上，且2OG OE OF =⋅．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：点F 在定直线上．【反思】求定线问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．33．已知椭圆22:142x y C +=，点()4,1P 为椭圆外一点．（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围；（2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅ ，证明：点Q 总在某定直线上．【反思】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解．参考答案：1．A【分析】设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，求得直线AB 的斜率为1241AB k y y ==-+，可得124y y +=-，再由直线PA 和PB 的斜率互为相反数可求得0y 的值，进而可求得0x 的值，由此可求得点P 的坐标.【详解】设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的斜率为12221212414AB y y k y y y y -===--+，可得124y y +=-，同理可得直线PA 的斜率为014PA k y y =+，直线PB 的斜率为024PB k y y =+，PAPB k k =- ，所以，()()01020y y y y +++=，则12022y y y +=-=，20014y x ∴==，因此，点P 的坐标为()1,2.故选：A.【点睛】本题考查利用抛物线中直线的斜率关系求点的坐标，考查点差法的应用，属于中等题.2．(1)22143x y +=；(2)直线MN 的斜率为定值，且定值为12.【分析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a 、b ，即可得椭圆标准方程.（2）由题设得31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭，法一：设TM 为3(1)2y k x -=-，联立椭圆方程应用韦达定理求M的坐标，根据TM 与TN 斜率关系求N 的坐标，应用两点式求斜率；法二：设MN 为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立椭圆方程，应用韦达定理及0TM TN k k +=得到关于参数m 、k 的方程，即可判断是否为定值.（1）由题意，12c a =则2a c =，又===b ，所以椭圆C 的方程为2222143x y c c +=，代入⎛ ⎝⎭有22331412+=c c ，解得1c =，所以2b a ==，故椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由题设易知：31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭，法一：设直线TM 为3(1)2y k x -=-，由221433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去y ，整理得()2223348412302k x k k x k k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭，因为方程有一个根为1x =，所以M 的横坐标为22412334M k k x k --=+，纵坐标()223121291286M M k k y k x k --+=-+=+，故M 为2222412312129,3486k k k k k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭，用k -代替k ，得N 为2222412312129,3486k k k k k k ⎛⎫+--++ ⎪++⎝⎭，所以12M N MN M N y y k x x -==-，故直线MN 的斜率为定值12．法二：由已知直线MN 的斜率存在，可设直线MN 为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，由22143x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得()2223484120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，而12123322011TM TN y y k k x x --+=+=--，又1122,kx m y kx m y =+=+，代入整理得()()1212123322022kx x m x x k x x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()24832(21)0-++-=k k m k ，即(21)(232)0--+=k k m ，若2320k m -+=，则直线MN 过点T ，不合题意，所以210k -=．即12k =，故直线MN 的斜率为定值12.【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及0TM TN k k +=得到关于直线斜率的方M 、N 程，或求出的坐标，应用两点式求斜率.3．(2,0)-【分析】将直线l 方程代入抛物线C 中，得到关于y 的一元二次方程，设出M ，N 两点坐标，利用韦达定理写出12y y +，12y y 的关系，利用斜率坐标公式结合已知条件，得到 0+=QM QN k k ，即可求解Q 的坐标.【详解】易知2m ≠，由(2)240m x y m ---+=得22y x m =+-，代入抛物线方程得24802y y m --=-，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1242y y m +=-①，128y y =-②.设(,0)Q a ，则11QM y k x a =-，22QN y k x a=-，依题意有1 1QM QN yk k x a +=+-220yx a =-，所以()()12210y x a y x a -+-=，即211222022y y y a y a m m ⎛⎫⎛⎫+-+⋅+-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理并把①②代入可得2a =-，故Q 点的坐标为(2,0)-.故答案为：(2,0)-.4．(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得22,a b ，从而求得椭圆C 的标准方程.（2）设出直线PA 的方程并与椭圆方程联立，由此求得A x ，同理求得B x ，从而化简求得直线AB 的斜率A BAB A By y k x x -=-为定值.（1）由题可知22222411c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，从而粚圆方程为22182x y +=.（2）证明设直线PA 的斜率为k ，则():12PA y k x +=-，21y kx k =--，联立直线与椭圆的方程，得()221248y k x x y ⎧+=-⎨+=⎩，整理得()(2221416k x k +-+()28)161640k x k k ++-=，从而2216164214A k k x k +-=+，于是2288214A k k x k+-=+，由题意得直线PB 的斜率为k -，则():12PB y k x +=--，21y kx k =-+-，同理可求得2288214B k k x k --=+，于是A BAB A B y y k x x -=-()2121A B A Bkx k kx k x x ----+-=-()4A B A Bk x x kx x +-=-2221644114.16214k k k k k k-⋅-+==-+即直线AB 的斜率为定值.5．(1)22143x y +=；(2)证明见解析，12.【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，结合代入法、椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（2）设出直线方程与椭圆方程联立，求出E 、F 两点坐标，最后根据直线斜率的公式进行求解即可.（1）根据题意，22222914112a bc e a a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=；（2）证明：设直线AE 的方程为：()312y k x -=-，由()22312143y k x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()2223442341230k x k k x k k +--+--=，显然1是该方程的根，因此有22224123412313434x x k k k k E E k k ----⋅=⇒=++，()2222412312129,34234k k k k E k k ⎛⎫----+ ⎪∴ ⎪++⎝⎭，由题可知直线AF 的方程为()312y k x -=--，同理可得()2222412312129,34234k k k k F k k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭，()()222222221212912129234234121412341232423434EF k k k k k k k k k k k k k k k -++--+-++∴===+----++，∴直线EF 的斜率为定值，且这个定值为12.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系求出两点坐标是解题的关键.6．(1)24y x =(2)证明见解析，1-.【分析】（1）由抛物线的定义即可求解；（2）分别设出直线,PA PB 的方程，与抛物线方程联立，求出点A B 、坐标，再求直线AB 的斜率即可.【详解】（1）已知动点M 到直线+2=0x 的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得：动点M 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，可得=2p ，抛物线开口向右，∴曲线C 的方程为24y x =．（2）设直线PA 的斜率为k ，∵直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，∴直线PB 的斜率为k -，则:2(1)PA l y k x -=-，:2(1)PB l y k x -=--，联立方程组22=(1)=4y k x y x--⎧⎨⎩，整理得2-4-4+8=0ky y k ，即[](24)(2)0ky k y +--=，42ky k-=或=2y （舍）可得22(2)42(,)k kA k k--联立方程组22=(1)=4y k x y x---⎧⎨⎩，整理得24480ky y k +--=，即[](24)(2)0ky k y ++-=，42ky k--=或=2y （舍）可得22(2)42(,)k kB k k+--则222242421(2)(2)ABk kk k k k k k k ----==-+--即直线AB 的斜率为定值1-．【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．7．证明见解析.【分析】设出直线MA 和MB 的方程，与抛物线方程联立求出点A B ，的坐标，再求直线AB 的斜率即可.【详解】证明：∵9(,3)4M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，∴9924p =⨯，得=2p ，∴抛物线方程为24y x =，设直线MA 的方程为93()4y k x -=-，由293=()4=4y k x y x--⎧⎪⎨⎪⎩，得241290y y k k -+-=，即4[(3)](3)0y y k +--=，解得43A y k=-或3A y =(舍)∵直线AM ，BM 的斜率互为相反数，∴直线BM 的方程为93(4y k x -=--，同理可得43B y k=--，∴224424433344B A B A AB B A B A B A y y y y k y y x x y y k k =====------+--+，∴直线AB 的斜率为定值23-，8．1-【分析】先利用已知条件求出抛物线得方程，然后利用直线斜率公式求直线,AE AF 的斜率，在由直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数，求出124y y +=-，在根据2121214==+EF y y k x x y y --即可求出答案.【详解】设()11,E x y ，()22,F x y ，∵点()1,2A 为抛物线()220y px p =>上的一点，∴42p =，解得=2p ，∴24y x =，同时，有211=4y x ，222=4y x ，()()()()()()11111111112+22444====11+21+2+2AE y y y x k x x y x y y ------，同理，22224==1+2AF y k x y --，∵直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数，∴1244=+2+2y y -，即124y y +=-，()22222121212121212144===44=1+EF y y y y y y k x x y y y y y y ------∴=-，故直线EF 的斜率为1-.9．（1）22x y 13+=；（2）定值【分析】（1）根据中垂线的性质得出MQ MP =，然后计算出MC MQ +=，结合椭圆的定义得知点M 的轨迹为椭圆，可得出a 和c 的值，进而求得b 的值，于是可得出点M 的轨迹方程；（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，将直线AE 、BF 的方程分别与曲线E 的方程联立，利用韦达定理求出的点,E F 的坐标，然后利用两点间的斜率公式求出直线EF 的斜率，从而证明结论．【详解】（1）如下图所示，连接MQ，则MC MQ MC MP CP +=+==又CQ =M 的轨迹是以,C Q 为焦点的椭圆，因为22a c ==1a c b ===．故点M 的轨迹方程是2213x y +=；（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，由(2233y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()222231930k x x k +++-=．设交点()11,E x y 、()22,F x y ，则1x()1111x y k x ==+=．由22133y kx x y =-+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得()223160k x kx +-=，则222222613,11313k k x y kx k k-==-+=++．所以，1212EFy y k x x -===-故直线EF的斜率为定值，其斜率为3-．【点睛】（1）求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.（2）当直线与椭圆的两个交点中有一个是定点时，我们常用动直线的斜率表示另一个动交点的坐标，进而讨论与动交点相关的数学问题（常称为知点求点法）.10．（1）22y x 1106+=；（2）见解析【分析】()1由焦点坐标求得2c =，可设椭圆方程为22221y xa b +=，可得22222591444a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解方程即可；()2设()11,E x y ，()22,F x y ，设直线AE 的方程为3522y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入221106y x +=，求出点E 的坐标，再将k 换为k -，求出F 的坐标，即可求出直线的斜率，再化简即可得结果.【详解】()1由题意c 2=，可设椭圆方程为22221y x a b +=，22222591444a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得210a =，26b =，∴椭圆的方程为221106y x +=.()2设()11E x ,y ，()22F x ,y ，设直线AE 的方程为3522y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入221106y x +=得()()22233353533()30022k x k k x k ++-+-+-=，()123353352k k x k -∴=-+，113522y kx k ∴=-+，又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，再上式中以k -代k ，可得()223353352k k x k ---=-+，2235y kx k 22∴=-++，∴直线EF 的斜率()()()()()2212212121223353353333523523133533533352352k k k k k k k k k x x k y y k k k k k x x x x k k ----⎛⎫-+-+ ⎪++-++-⎝⎭====--------+++.【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，考查了运算求解能力，化归与转化思想的应用，属于难题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.11．（1）()()22224x y -+-=；（2）证明见解析；（3）是，252.【分析】（1）由切线性质得OM =，由此可求得M 点坐标，从而得圆方程．（2）设切线方程为y kx =，由直线与圆相切得出k 的方程，结合韦达定理得12k k ，并结合M 在椭圆上可得．（3）当直线OP OQ ，不落在坐标轴上时，设()()1122,,P x y Q x y ，，利用1214k k =-可得22221212116y y x x =，利用,P Q 在椭圆上可求得2212x x +及2212y y +，从而得22OP OQ +，当直线OP OQ ，有一条落在坐标轴上求出22OP OQ +，从而得定值，再由基本不等式得最大值．【详解】（1）OM ==则22008x y +=，又2200220012058x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，又000,0x y >>，故解得0022x y =⎧⎨=⎩，所以()2,2M ，所以圆M 的方程为()()22224x y -+-=（2）因为直线12::OP y k x OQ y k x ==，与圆M 相切，所以直线1:OP y x k =与圆()()2200:4M x x y y -+-=联立，可得()()222210100012240k x x k y x x y +-+++-=同理()()222222000012240k x x k y x x y +-+++-=，由判别式为0，可得12k k ，是方程()2220004240xk x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∴20122044y k k x -=-因为点00(,)M x y 在椭圆C 上，所以220054x y =-，所以1214k k =-；（3）（i ）当直线OP OQ ，不落在坐标轴上时，设()()1122,,P x y Q x y ，，因为12410k k +=，所以22221212116y y x x =，因为()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上.所以2222221212121554416x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得221220x x +=，所以22125y y +=所以2225OP OQ +=.（ii ）当直线落在坐标轴上时，圆M 方程为22(2)(2)4x y -+-=，易求得2225OP OQ +=，综上：2225OP OQ +=，所以|()2212522OP OQ OP OQ ⋅≤+=所以OP OQ ⋅的最大值为252．【点睛】本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题，考查学生的运算求解能力，逻辑思维能力，对斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程y kx =，利用直线与圆相切得出关于k 的二次方程，由韦达定理得出结论；设()()1122,,P x y Q x y ，，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点M 在椭圆上求得22OP OQ +的值，注意分类讨论．12．（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）1；（ⅱ2.【分析】（1）由三角形面积得()3c b c +=+222a c b -=求得,,a b c 后得椭圆方程；（2）（ⅰ）直线AB 的斜率不会为零，设其方程为x ty m =+，由直线与圆相切求得,t m 的关系，设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立，消元后求出判别式的值（利用,t m 关系），应用韦达定理，得弦长AB ，计算OAB 面积，应用基本不等式得最大值；（ⅱ）CQ c ==，AC CQ AQ AQ =-=，用A 点坐标表示出2,AQ AF ，计算可得．【详解】（1）2CD c ==，于是有2()3CDF S c b c =+=+ 又222,2c a b c a =-=，解得2,1c a b ===，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．（2）（ⅰ）因Q 在y 轴左侧，故直线AB 的斜率不会为零，设其方程为x ty m =+，由直线AB 与圆1C 2211m t =⇒=+，由2244x ty m x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()2224240t y tmy m +++-=，()()()222222444416448t m t m t m ∆=-+-=+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12||AB y y =-=所以()2231212||124OABt S AB b t ++⋅=⋅⋅=≤=+ ，当且仅当213t+=，即t =时取等号．故ABO 的面积的最大值为1．（ⅱ）因点()11,A x y 在椭圆E 上，且在y 轴左侧，故10x <，221114x y +=，由（1）CQ c ==故12AC CQ AQ x =-====，2122AF x ====-，故2112222AC AF x +=+-=为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆标准方程的关键是列出关于,,a b c 的方程组，解得,,a b c ，直线与椭圆相交一般是设交点坐标，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，由韦达定理的结果求弦长等等．13．(1)221832x y -=(2)证明见解析，6【分析】（1）根据双曲线的离心率及双曲线过点A 可得方程；（2）设点B 与点C 的坐标，根据直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，可得直线BC 的斜率.【详解】（1）由题意22941a b c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得28a =，232b =，故双曲线方程为221832x y -=（2）设点()11,B x y ，()22,C x y ，设直线AB 的方程为()23y k x -=+，代入双曲线方程，得()()()222423232320kxk k x k --+-+-=，2126434k k x k +∴-+=-，21234124k k x k ++=-，21222484k k y k ++=-，222234122248,44k k k k B k k ⎛⎫++++∴ ⎪--⎝⎭同理222234122248,44k k k k C k k ⎛⎫-+-+ ⎪--⎝⎭，4868BC kk k∴==.14．（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【分析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值.【详解】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥.（2）[方法一]【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB =-=-．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21(2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-．因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=．[方法二]：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==，同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=，故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．[方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆．设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=．又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得：[]2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=，其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦．由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.15．A【分析】设出直线方程x my t =+，联立抛物线方程，得到12124,4y y m y y t +==-，进而得到。

平面解析几何中的圆锥曲线与参数方程圆锥曲线是平面解析几何中非常重要的一类曲线，由参数方程描述。

本文将介绍圆锥曲线的定义、常见类型以及参数方程的应用。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上由一个动点P到两个定点F1和F2的距离之和恒定的点的轨迹。

这个恒定的距离称为焦距，定点F1和F2称为焦点，直线F1F2称为焦点连线，称为焦线。

圆、椭圆、双曲线和抛物线是四类常见的圆锥曲线。

二、圆圆是一种特殊的圆锥曲线，它的焦点和焦线重合。

圆的参数方程为：x = a*cosθ, y = a*sinθ，其中a为半径。

三、椭圆椭圆是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之和恒定。

椭圆可以通过参数方程来描述，参数方程为：x = a*cosθ, y = b*sinθ，其中a 和b分别为椭圆的长半轴和短半轴的长度。

四、双曲线双曲线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之差恒定。

双曲线的参数方程有两种形式：x = a*secθ, y = b*tanθ和x = a*coshθ, y =b*sinhθ。

五、抛物线抛物线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离等于焦点到该点的垂直距离的平方。

抛物线的参数方程为：x = a*t, y = b*t^2，其中a 和b分别为抛物线的形状参数。

六、参数方程在圆锥曲线中的应用参数方程在解析几何中有广泛的应用，特别是在描述曲线的轨迹时非常有用。

在圆锥曲线中，参数方程可以帮助我们精确描述曲线的形状和位置。

通过改变参数a和b的值，我们可以获得不同形状和大小的圆锥曲线。

例如，改变参数a可以使椭圆的长半轴变长或变短，改变参数b可以使椭圆的短半轴变长或变短。

参数方程的灵活性使得我们能够根据需要绘制各种各样的曲线。

此外，参数方程还可以用来求解圆锥曲线上的点的坐标。

给定一个参数值，我们可以通过代入参数方程中求出对应的点的坐标。

这在计算机图形学和物理学等领域有着广泛的应用。

结束语圆锥曲线与参数方程是平面解析几何中的重要内容，了解它们的定义和应用对于深入理解曲线的性质和特征具有重要意义。