解析几何 圆锥曲线的方程与性质 教学案

城东蜊市阳光实验学校指定课题：圆锥曲线与方程〔起始课〕一、教学设计1．教学内容解析圆锥曲线与方程安排在普通高中A版选修2-1中．教材通过章引言介绍了圆锥曲线的名称由来、开展历史、实际用途和坐标方法，主要说明圆锥曲线是什么、为什么要学习圆锥曲线和怎样学习圆锥曲线．尤其是着重说明了类比研究直线与圆的坐标法，研究圆锥曲线的根本套路．同时教材又进一步通过【探究与发现】介绍了Dandelin双球证法，说明了为什么二次函数的图象是抛物线；通过【信息技术应用】介绍了用几何画板探究椭圆的轨迹；通过【阅读与考虑】介绍了圆锥曲线的光学性质及其应用．基于教材对本章内容设置的前后一致逻辑连接的构造顺序，作为本章起始课，拟定以理解圆锥曲线的开展过程和理解圆锥曲线的心理过程为根本线索，力图为学生构建前后一致逻辑连接的学习过程，使学生在领悟圆锥曲线名称由来、广泛应用和研究方法的过程中学会考虑，并侧重于椭圆定义的探究及初步应用．根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：椭圆的定义探究及初步应用〔Dandelin双球证法〕．2．学生学情诊断首先，学生在数学2中学习了研究直线与圆的坐标法，初步具备了运用代数方法研究几何问题的意识，初步感受了数形结合的根本思想，对椭圆、抛物线和双曲线的概念也仅仅停留在直观感性认识的层面上．因此，圆锥曲线作为学生再度理解坐标法和进一步感悟数形结合思想的学习内容，是螺旋上升的过程中掌握解析几何思想方法的一个打破口．其次，本节课授课班级是我校实验班，尽管数学根底总体程度较好，但如何将几何问题代数化仍然是多数学生所面临的难题．为此，在起始课中，为降低难点，只让学生初步尝试给定数据的详细椭圆方程的推导方法，而将引发学生推导椭圆标准方程一般式作为后继学习内容．根据以上分析，本节课的教学难点确定为教学难点：详细条件下椭圆方程的推导和化简；坐标法的应用．3．教学目的设置〔1〕通过动态演示平面与圆锥面的截线，学生经历从详细情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，感知圆锥曲线的来由；〔2〕通过丰富多彩的实例，学生体会圆锥曲线应用的广泛性，数与形的辩证统一的关系和圆锥曲线的内在美、和谐美和统一美，感受学习圆锥曲线的理由；〔3〕借助展板动手操作和类比圆的定义，学生探究椭圆的定义，能用文字和符号语言描绘椭圆的定义，会用Dandelin双球证明截口曲线为椭圆的情形，感悟圆锥曲线学法的来由．〔4〕通过详细画出的特殊椭圆，学生类比直线与圆的方程，会初步运用坐标法推导详细给定的椭圆方程，能说出圆锥曲线又作为二次曲线的特征，感触圆锥曲线方程的情由．4．教学策略分析根据章起始课应表达统领全局的地位和作用的特点，采用“引言导入—问题诱导—启发讨论—抽象概括—探究归纳—总结规律〞的探究式教学方法，紧紧围绕为什么学、学什么以及怎样学等问题展开，通过“引、思、探、练、归〞相结合的做法，让学生初识圆锥曲线的相关背景、知识构造、逻辑体系和应用价值，明晰本章的学习内容、学习特点和学习方法．为防止以教师讲解为主的告知式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的教学方式，形成师生互动的教学气氛，充分调动学生的积极性，引发学生对圆锥曲线进一步学习的强烈期待，为全章内容的后续学习起到较好的铺垫作用．详细教学策略分成如下五个环节：第一环节：引言启导，追溯缘由．从“嫦娥奔月〞的情景和阅读章引言出发，通过问题设疑，引导学生在不断考虑中获取圆锥曲线的来龙去脉；第二环节：应用开路，初识性质．从圆锥曲线广泛的应用性出发，通过引言解读和兴趣传说，引导学生初识圆锥曲线的几何特征和光学性质；第三环节：定义探究，双球验证．从抽象概括椭圆的定义出发，通过类比圆的定义、动手操作画椭圆和讨论Dandelin双球证法，引导学生归纳和运用椭圆的定义；第四环节：方程推导，方法研究．从特殊椭圆方程的推导出发，通过类比直线与圆的方程的推导方法，引导学生尝试运用坐标法的根本步骤导出详细给定的椭圆方程；第五环节：课堂小结，有效建构．从学生自主归纳小结出发，通过引言提炼的内容概述图和交融三种圆锥曲线的知识构造图，让整章的知识体系和逻辑线索鲜活地展如今学生面前．其教学流程如下：二、课堂实录〔一〕情景引入引言：随着我国航天技术的开展日新月异，“嫦娥奔月〞这一古老而美丽的传说正在逐步变为现实．请同学们观看视频．师：这是嫦娥3号环月运行时变轨的过程．变轨后轨道是什么曲线生：椭圆．师：对！椭圆这一类曲线正是我们在本章将要研究的主要内容．请同学们翻开课本第33页，阅读本章引言．〔板书标题：圆锥曲线与方程〕〔二〕课内建构1．名称由来师：好！请同学们停下来，看大屏幕，同学们看书之后，知道圆锥曲线包括哪几种曲线吗生：圆，椭圆，双曲线，抛物线．师：对！那么为什么称为圆锥曲线呢与圆锥有怎样的关系吗请看动画．我们知道，用平面截一个圆锥，当平面与圆锥的轴垂直时，截口曲线是一个圆．用平面截圆锥面还能得到哪些曲线〔教师以flash动画给学生展示：当平面与轴所成的角 变化〔其中截面不过顶点〕时，截口曲线的变化情况．〕师：早在公元前约200年时，古希腊数学家阿波罗尼奥斯〔Apollonius，约前262年～约前190年〕对圆锥曲线的性质就做了系统的研究〔纯几何方法〕，并几乎网罗殆尽，使后人难以有新的发现．阿波罗尼奥斯和欧几里得、阿基米德合称为古希腊三大数学家．【评析】借助动画演示介绍名称由来，嵌入数学史话，加深认知印象．2．广泛应用圆锥曲线不仅在数学历史开展的过程中熠熠生辉，而且在科学文化的其他领域闪烁光．比方，圆锥曲线为开普勒、牛顿、哈雷等数理天文学家研究行星和彗星轨道提供了数学根底．师：让我们回到本章引言，这一段话的主要内容是什么呢生：圆锥曲线的应用．师：那么有哪些方面的应用呢请看图片，这是太阳系行星的运行轨迹，是什么曲线生：椭圆．师：对！有些彗星的轨迹是椭圆，比方著名的哈雷彗星，这是鹿林彗星，不为我们熟知一些，轨迹是双曲线．它的轨迹是如此的长，图片中显示的只是其中一部分．师：当人造天体被以不同的速度从地球发射出去的时候，它的轨迹分别是圆，椭圆，抛物线，双曲线．这涉及到物理中所讲的三大宇宙速度．师：这是热电厂的通风塔，同学们见过吗我们作它的轴截面，取出两侧的轮廓线，是什么曲线生：双曲线．师：这是橄榄球和探照灯．它们的外表分别是由椭圆和抛物线绕其对称轴旋转一周而来〔显示旋转动画〕．为什么探照灯要做成这种形状呢，只是为了美观吗生：应该是为了实用性．师：实际上由于圆锥曲线具有特殊的光学性质，在消费生活中具有广泛的应用．请同学们也来解决一个问题，请看传说：“杰尼西亚的耳朵〞：据说，很久以前，意大利西西里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里．囚犯们屡次密谋逃跑，但每次方案都被杰尼西亚发现．起初囚犯们认为出了内奸，但始终未发现告密者．后来他们觉察到囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒耳朵里去了，于是囚犯们诅咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵〞．师：其中的奥秘，同学们解开了吗生：囚洞的剖面近似于椭圆，犯人聚居的地方恰好在椭圆的一个焦点附近，狱卒在另一个焦点处偷听．师：很好！恭喜你揭开了这个奥秘！这里是声波，不过声波和光波具有一样的传播性质．【评析】用传说创设情境，激发学生兴趣，到达引入课题的目的．师：事实上有很多美丽的建筑也与圆锥曲线有关，比方抛物面形天线，双曲线形建筑．师：喷泉是什么形状生：抛物线．师：中国国家大剧院．美吗生：很美．【评析】理解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，激发起学生学习圆锥曲线的兴趣．3．定义探究师：既然到处都有圆锥曲线美丽的身影，那么我们就有必要理解和研究它们，如何理解呢首先就要知道它的定义．那么圆锥曲线的定义是怎样的呢我们重点看一看椭圆的定义．请大家考虑这样的问题：〔1〕绳子一端固定在平整草地上，另一端拴着一只羊，小羊活动的最大边界是什么曲线生：圆．师：圆的定义是什么生：平面内到两定点的间隔等于定长的点的轨迹．〔2〕绳子两端都固定在草地上〔绳长大于两固定点间的间隔〕，绳上套个小环，环上拴一只羊，小羊活动的最大边界是什么曲线师：我们请每组同学互相配合，来画出小羊活动的最大边界．〔事先发给学生每组一块黑板，两个图钉，一根绳子，绳长240cm a =；每组选一位同学做代表画图，学生画图，教师走动，指导；画完后请三组画的好一些的，2c 的取值不同的三位同学拿着黑板上台展示．〕【评析】学生以小组为单位互相配合，动手操作，体验自主、的探究理念，印象更加深化．师：这三个椭圆，给我们最直观的感受，区别在哪儿生：扁平程度不同．师：你觉得椭圆的扁平程度与什么有关生：两定点间的间隔，绳长．师：很好！我来采访一下，这位同学椭圆画得这么好，有什么窍门吗生：在画的过程中要使得绳子绷直．师：使得绳子绷直，也就是说——生：保证绳长为定值．师：非常好！假设细绳长度等于12||F F ，画出的图形是什么不妨在小黑板上试试．小于呢生：绳长等于12||F F ，画出的图形是线段12F F ；小于12||F F 时，画不出任何图形．师：同学们答复得很好．那么大家能类比圆的定义，能给出椭圆的定义吗〔学生归纳，互相补充，教师再汇总．〕椭圆的定义：平面内与两个定点12,F F 的间隔的和等于常数〔大于12||F F 〕的点的轨迹叫做椭圆，两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的间隔叫做椭圆的焦距． 即12{||||2(22)}.M MF MF a a c +=>师：在前面三种用平面截圆锥的过程中，为什么第一种情况得到的截口曲线是椭圆呢事实上在19世纪，法国数学家Dandelin 就想到一种绝妙的方法证明了这个问题．他是怎么做的呢？让我们一起来分享一下：〔Dandelin 双球证法〕如图，Dandelin 在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切〔切点分别为12,F F 〕，且与圆锥的侧面相切，两球与圆锥侧面的公一一共点分别构成圆1O 和圆2O ．设点M 是截口曲线上任一点，Dandelin 过M 点作圆锥的一条母线〔辅助线〕分别交圆1O 和圆2O 于,P Q 两点．如今我们要证明点M 的轨迹是椭圆，用我们刚刚得到的椭圆的定义，如何来证明呢？根据定义，只需证明M 点到某两个定点的间隔之和为常数即可．应该是哪两个定点呢是12,F F 吗 〔学生讨论，说明12,F F 为何是定点．〕师：好！我们只需证明12||||MF MF +为定值即可．下面请同学们以小组为单位，开始讨论．〔学生分组讨论，教师走动指导〕〔几分钟后，相关小组的代表上台讲解〕学生讲解图中所示线段长度之间的关系：1||||MF MP =，2||||MF MQ =，并说明理由：因为过球外一点所作球的切线段的长相等．故12||||MF MF +_______||||MP MQ +________||PQ ．师：线段PQ 的长度是常数吗生：||PQ 是常数．师：为什么生：||||||PQ VP VQ =-，即为圆台的母线．师：也就是说，截口曲线上任意一点到两个定点12,F F 的间隔的和等于常数〔大于12||F F 〕．这就说明了截口曲线是椭圆．事实上Dandelin 还利用双球证明了截口曲线是双曲线的情形，利用单球证明了截口曲线是抛物线的情形．这位卓越的数学家实在是具有非凡的天才．【评析】介绍历史上数学家的巧妙方法，并引导学生自主考虑，自主讲解，不仅强化了椭圆的定义，更浸透了数学家追求完美的理性精神．4．研究方法师：让我们再一次回到本章引言，如何来研究圆锥曲线呢在古希腊时代是如何研究圆锥曲线的生：几何法．师：后来呢生：代数的方法，也就是坐标法．师：是谁创造了坐标系生：笛卡尔．〔简要介绍笛卡尔的生平〕师：事实上我们以前已经用坐标法研究过直线与圆了，请同学们回忆一下直线方程及方程的形式． 生：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式．师：利用直线方程，我们可以研究与直线有关的位置关系与相应的性质．比方，我们在初中的时候，要证明两直线平行用的什么方法生：假设同位角相等，或者者内错角相等，那么两直线平行．师：建立了平面直角坐标系，得到直线方程后，又是怎么判断两直线平行的呢生：假设两直线斜率存在且斜率相等，截距不等，那么两直线平行．师：圆的方程有哪些形式呢生：标准方程和一般方程．师：对．假设我们将坐标原点选取在圆心，方程又将如何呢〔演示坐标平挪动画〕生：222x y r +=师：很好！坐标系不同，方程的形式也不同．一般来说，形式越简单，越易于我们研究曲线的性质． 师：我们知道，圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，那么，更一般的形式怎样的？〔屏幕显示〕220.Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=〔※〕〔探究〕〔※〕式方程能否表示我们今天介绍的圆锥曲线的方程在以前我们所学的函数中有没有表示椭圆、双曲线、抛物线的例子请同学们互相讨论一下．学生举出反比例函数和二次函数的例子．学生答完后显示动画，先显示双曲线． 师：这是反比例函数1y x =，我们将坐标系旋转一下．〔旋转动画〕方程还是1y x=吗 生：不是．师：那么方程是怎样的呢〔停顿片刻〕我们后面再研究．师：这是二次函数20y ax bx c a =++>()，如今将坐标系平移，如图，方程变为什么形式 生：2y ax =．师：对，方程的形式变简单了，对吧旋转一下呢方程是——我们后面将要学习．再旋转一下呢 生：2y ax =-．师：当〔※〕式方程中的系数满足一定关系的时候，就可以表示不同的圆锥曲线，所以圆锥曲线也称为二次曲线．【评析】由复习旧知引出新知，符合学生的认知规律．师：同学们在先前画椭圆时，绳长为4分米，其中有同学选取的两图钉间的间隔为2分米，那么这个椭圆的方程如何求呢第一步该做什么生：建立平面直角坐标系．师：如何建立平面直角坐标系呢生1：以两定点12,F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系． 生2：以两定点12,F F 所在直线为x 轴，点1F 为坐标原点，建立平面直角坐标系．师：分两大组分别在两种建系的情形下计算．〔将全班学生分两组，分别计算，再比较〕〔算出后教师在每组各选一个写的好一点的到实物投影展示；然后屏幕显示：建系，设点，列式，化简，方程的形式〕师：大家求出的椭圆方程也满足〔※〕方程；假设将详细数值换成2a ，2c ，椭圆方程的形式将是什么呢留给同学们下去研究．〔三〕课堂小结今天我们学习了圆锥曲线与方程，请同学们回忆一下，本节课我们学习了哪些内容呢〔2-3个学生归纳〕 师：同学们都归纳的很好！本章我们要研究的重点问题是曲线和方程，它们是我们关注的两个焦点．我们要运用的核心方法是坐标法．〔四〕课后作业1．ABC 中，BC 长为6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动建立适当的平面直角坐标系并推导其方程.2．查找Dandelin 研究截口曲线分别为双曲线、抛物线的相关资料．三、课后反思1．可取之处〔1〕注重学生的认知规律，教学过程突出“学生为主体，教师为主导〞的理念，强调自主、式学习，从而进步了课堂的效率；〔2〕注重问题的设置梯度，力求做到必要性、准确性、层次性、实效性和逻辑性，以问题促活动，以问题促探究，促成知识体系的生成与建构；〔3〕注重数学的人文价值，通过浸透数学史的相关知识，激发学生的学习兴趣和学习动机，加深学生对数学本质的理解．2．改进之处个别地方的语言欠准确，如“两焦点之间的线段〞；有些环节处理可以更开放一些，如推导给定的椭圆方程后，可让学生自我展示；有些设问不免有浅问浅答之嫌，可适度拓展延伸，为后继学习做好铺垫．。

高中数学人教A版2003课标版选修1-1第二章圆锥曲线与方程→2.3抛物线→阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用《圆锥曲线的光学性质及其应用》的教学设计第一课时抛物线的光学性质及其应用一、教学目标1.理解抛物线的光学性质，并会应用数学推理得出抛物线的光学性质，并会应用它解决数学问题。

2.会用数学建模的思想将实际生活问题数学化，也会用数学建模的思想将数学问题生活化。

二、教学重点理解抛物线的光学性质并会推导。

三、教学难点数学建模思想的应用。

四、教学过程（一）课题引入问题一：手电筒一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线。

这是为什么呢?设计意图：从生活中的一个例子出发，提出问题，引发学生的求知欲，从而提出课题。

（二）课题提出抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．问题二：生活问题数学化要探究抛物线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证，那么我们如何用数学语言阐述并证明抛物线的光学性质?设计意图：提出抛物线的光学性质，并通过列举它在生活中的大量应用，让学生感知数学无处不在，并有将生活问题数学化的欲望。

圆锥曲线一、教学内容分析圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。

二、学生学习情况分析我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。

三、设计思想由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率.四、教学目标1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。

2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力;通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。

3.借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.五、教学重点与难点:教学重点1.对圆锥曲线定义的理解2.利用圆锥曲线的定义求“最值”3.“定义法”求轨迹方程教学难点:巧用圆锥曲线定义解题六、教学过程设计【设计思路】(一)开门见山，提出问题一上课，我就直截了当地给出——例题1:(1) 已知A(-2，0)，B(2，0)动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是( )。

(A)椭圆(B)双曲线(C)线段(D)不存在(2)已知动点M(x，y)满足(x1)2(y2)2|3x4y|，则点M的轨迹是( )。

(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)两条相交直线【设计意图】定义是揭示概念内涵的逻辑方法，熟悉不同概念的不同定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件，而通过一个阶段的学习之后，学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识，他们是否能真正掌握它们的本质，是我本节课首先要弄清楚的问题。

高中文科数学圆锥曲线教案
学科：数学
年级：高中
课时：1课时
教学目标：
1. 了解圆锥曲线的基本概念和性质；
2. 掌握圆、椭圆、双曲线和抛物线的方程及其图像特征；
3. 能够通过方程判断图像种类和位置。

教学内容：
1. 圆锥曲线的定义和分类；
2. 圆的方程和图像特征；
3. 椭圆的方程和图像特征；
4. 双曲线的方程和图像特征；
5. 抛物线的方程和图像特征。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引导学生回顾基础知识，复习圆的相关概念；
2. 提出问题：“什么是圆锥曲线？有哪些种类？”
二、讲解（20分钟）
1. 解释圆锥曲线的概念和分类；
2. 介绍圆、椭圆、双曲线和抛物线的方程和图像特征；
3. 分别讲解每种圆锥曲线的方程及其图像形状。

三、练习（20分钟）
1. 给学生练习一些简单的题目，让他们通过方程确定图像的种类；
2. 提示学生注意每种圆锥曲线的特征，做好区分。

四、总结（10分钟）
1. 总结本节课学习的重点内容，强调圆锥曲线的分类和特征；
2. 提醒学生在以后的学习中要注意圆锥曲线的应用。

五、作业布置（5分钟）
1. 布置相关练习题目，巩固今天学习的知识；
2. 提醒学生复习圆锥曲线的相关理论。

教学反思：
本节课内容相对简单，主要是让学生掌握圆锥曲线的基本概念和特征。

教学中应注意引导学生运用所学知识解决问题，培养他们的思维能力和分析能力。

同时，也要注重引导学生合理安排学习时间，将知识运用到实际问题中，提高学习效果。

高二数学第八章圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质优秀教案教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中c,的几何意义a,b3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±bya x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b y a x对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-by a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x轴为双曲线12222=-b y a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-b y a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。

解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程解析几何是数学的一个分支，研究几何图形的性质和方程。

在解析几何中，曲线是一个重要的概念，而圆锥曲线则是曲线的一种特殊类型。

本文将探讨曲线与圆锥曲线的性质与方程。

一、曲线的基本概念在解析几何中，曲线是由一组点构成，这些点满足一定的几何条件。

曲线可以是一条直线，也可以是一条弧线。

曲线有很多重要的性质，比如长度、弧度等。

曲线的方程是将曲线上的点与坐标系中的数值进行对应的数学表达式。

二、圆锥曲线的定义圆锥曲线是解析几何中的一类曲线，其定义是通过一个点（焦点）和一个直线（准线）来确定的。

圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。

这三种曲线都具有独特的性质和方程。

1. 椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之和等于常数。

椭圆的中心是焦点所在的点，长轴和短轴是椭圆的两个重要参数。

椭圆的方程可以表示为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆的长轴和短轴长度。

2. 抛物线的性质与方程抛物线也是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离等于准线到点的距离。

抛物线具有对称性，焦点所在的直线称为对称轴。

抛物线的方程可以表示为y² = 4ax，其中a是抛物线的参数，代表焦点到准线的距离。

3. 双曲线的性质与方程双曲线是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之差等于准线到点的距离。

双曲线具有两个分支，每个分支都有一个焦点和一个准线。

双曲线的方程可以表示为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是双曲线的参数。

三、曲线与圆锥曲线的联系曲线可以包含圆锥曲线作为其特例。

例如，当圆锥曲线的焦点与准线重合时，圆锥曲线成为一条直线。

当圆锥曲线的参数满足一定条件时，圆锥曲线可以退化为点或者不存在任何实数解。

圆锥曲线（单元）教学设计一、教材的地位和知识结构：本单元是在学生学习完必修教材的直线与圆的基础上进行的.圆锥曲线是解析几何的重要内容，分为椭圆、双曲线、抛物线三部分。

而椭圆又是学生遇到的第一种圆锥曲线，能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。

而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，前面是二次曲线中最特殊的圆，后面是双曲线、抛物线。

圆→椭圆→双曲线→抛物线的定义、方程、性质知识链背后贯穿着一条暗线：点与距离和建立适当的直角坐标系求方程问题即坐标法。

在圆锥曲线的教学中始终贯穿坐标法这一重要思想。

因此改变原来的课时“匀速运动”的教学方式，在整个单元的知识结构、特有的育人价值思考的基础上，把椭圆的教学作为“教学结构”阶段；双曲线、抛物线的教学作为“运用结构”阶段。

即采取“长程两段”的教学策略。

二、“教学结构”阶段知识目标：掌握椭圆的定义、标准方程、简单几何性质；能力目标：培养学生的思维能力、探究能力、归纳抽象能力以及等价转化思想为重点的教学思想.情感与态度目标：通过动手实验，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值。

培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力。

教学重点：椭圆定义的形成、标准方程、几何性质；理解坐标法的基本思想。

教学难点：椭圆定义的语言表述、符号表示、标准方程的化简。

教学方法：“三放三收”的设计方案。

创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结.椭圆定义与方程的教学过程：椭圆的几何性质可采取数形结合方法学习。

重点是让学生改变线段的长度，多画几个椭圆，这样学生会发现影响椭圆扁圆程度因素，对“椭圆性质”的学习起重要作用。

整个椭圆教学阶段速度放慢，用圆锥曲线一半的教学课时，让学生从椭圆定义的形成→标准方程的建立→几何性质的问题出发，在问题解决的过程中发现和建构知识，充分地感悟和体验知识之间的内在关联的结构存在，逐渐形成学习的方法结构。

4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。