圆锥曲线与立体几何

圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。

通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。

(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。

(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。

高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：+ y2 = 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x = -3于点D（-3，m）.（1）求m2 + k2的最小值；（2）若∣OG∣2 =∣OD∣·∣OE∣, ①求证：直线l过定点；②试问点B、G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+ = 1相交于P（x1，y1），Q（x2，y 2）两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+和+均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求∣OM ∣·∣PQ ∣的最大值；（3）椭圆C 上是否存在三点D, E, G ，使得S △ODE = S △ODG = S △OEG =？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．(2009年山东卷)设m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a =(mx,y+1),向量b =(x,y-1),a⊥b ,动点M(x,y)的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m=1/4,设直线l 与圆C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于A 1,且l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,当R 为何值时,|A 1B 1|取得最大值?并求最大值. 一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

立体几何知识点总结立体几何知识点总结「篇一」(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的.圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

立体几何知识点总结「篇二」1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

高中立体几何知识点总结学好立几并不难，空间想象是关键。

点线面体是一家，共筑立几百花园。

点在线面用属于，线在面内用包含。

四个公理是基础，推证演算巧周旋。

下面是为大家整理的关于高中立体几何知识点总结，希望对您有所帮助。

欢迎大家阅读参考学习!高中立体几何知识点总结1点在线面用属于，线在面内用包含。

四个公理是基础，推证演算巧周旋。

空间之中两条线，平行相交和异面。

线线平行同方向，等角定理进空间。

判定线和面平行，面中找条平行线。

已知线与面平行，过线作面找交线。

要证面和面平行，面中找出两交线，线面平行若成立，面面平行不用看。

已知面与面平行，线面平行是必然;若与三面都相交，则得两条平行线。

判定线和面垂直，线垂面中两交线。

两线垂直同一面，相互平行共伸展。

两面垂直同一线，一面平行另一面。

要让面与面垂直，面过另面一垂线。

面面垂直成直角，线面垂直记心间。

一面四线定射影，找出斜射一垂线，线线垂直得巧证，三垂定理风采显。

空间距离和夹角，平行转化在平面，一找二证三构造，三角形中求答案。

引进向量新工具，计算证明开新篇。

空间建系求坐标，向量运算更简便。

知识创新无止境，学问思辨勇攀登。

多面体和旋转体，上述内容的延续。

扮演载体新角色，位置关系全在里。

算面积来求体积，基本公式是依据。

规则形体用公式，非规形体靠化归。

展开分割好办法，化难为易新天地。

高中立体几何知识点总结2三角函数。

注意归一公式、诱导公式的正确性数列题。

1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，要建系;3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系。

圆锥的由来知识点总结一、圆锥的定义与类型圆锥是一种几何形状，由一个平面曲线——圆，绕着一条直线旋转形成。

具体来说，若固定一个尖锐的角，并且使一个圆绕着与该角相交的直线旋转，则所形成的几何体即称为圆锥。

根据圆锥的旋转轴与底面圆的位置不同，圆锥可以分为垂直圆锥与斜面圆锥两种类型。

垂直圆锥是指旋转轴和底面圆的圆心在同一直线上，并且旋转轴是底面圆的直径的圆锥；而斜面圆锥则是旋转轴和底面圆的圆心不在同一直线上的圆锥。

圆锥在实际应用中有着广泛的用途，它在建筑、工程、艺术等领域均有重要作用。

由于圆锥在基本几何形状中占有重要地位，因此我们将深入探讨圆锥的数学与实际应用。

二、圆锥的历史与发展1. 古代圆锥的应用古代文明中的数学家、天文学家和建筑师，对圆锥的理解与应用具有深远的影响。

例如，古希腊数学家尼西亚斯（Nicomachus）在其著作《算术引论》中对圆锥进行了深入的研究，他首次提出了平方锥与立方锥的概念，并探讨了关于它们的一系列性质。

古代埃及人与美索不达米亚人也使用圆锥作为建筑工程中的基本构件，如用圆锥形状建造的金字塔就是其中的代表。

古代建筑师巧妙地应用圆锥的形状，设计出了富有美学感染力和坚固稳定的建筑。

这些古代建筑不仅展示出了人类的创造力，同时也为后人提供了宝贵的建筑经验。

2. 数学对圆锥的理论探索古希腊数学家欧几里得提出了许多关于圆锥的理论，他在《几何原本》中详细阐述了平行截面圆锥与超越对象制图和分析的原理。

欧几里得的工作为继任的数学家奠定了基础，后来的数学家如阿基米德、阿波罗尼奥斯等也通过对圆锥的研究扩展了几何学的知识体系。

在十七世纪，泰勒与牛顿等人对圆锥曲线进行了最初的研究，这使得圆锥的形状进一步为人所洞悉。

从此之后，圆锥的相关理论逐渐丰富和完善，为后来的微积分学、向量分析等数学领域提供了丰富的理论支撑。

三、圆锥的数学性质与几何应用1. 圆锥的表面积和体积圆锥的表面积与体积是圆锥最基本的数学性质之一。

圆锥曲线的立体几何定义
圆锥曲线，是由一平面截圆锥面所得到的曲线。

它的立体几何定义是：一个圆锥面与一个平行于圆锥轴的平面相截，得到的曲线叫做圆锥曲线。

这个定义可以从以下几个方面进行解释：
1. 圆锥面：圆锥面是一个以定点为顶点、以一条母线为顶点的一条曲线为面的几何形状，它是由一个平面与一个圆锥相交得到的。

2. 平行于圆锥轴的平面：这个平面是与圆锥面的轴线平行的平面，它与圆锥面相交得到的曲线就是圆锥曲线。

3. 曲线的形状：圆锥曲线的形状是由圆锥面和平行于圆锥轴的平面的相对位置关系决定的。

不同的位置关系可以得到不同类型的圆锥曲线，如椭圆、双曲线、抛物线等。

4. 曲线的性质：圆锥曲线的性质包括曲线的范围、对称性、离心率、焦点等。

这些性质可以通过对圆锥面和平面进行分析，以及对曲线的几何形状进行计算和证明得到。

综上所述，圆锥曲线是圆锥面与平行于圆锥轴的平面相交得到的曲线，其形状和性质可以通过对圆锥面和平面的位置关系进行分析，以及对曲线的几何形状进行计算和证明得到。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A 版2019选择性必修第一册全册（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。

5．难度系数：0.60。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1310y --=的倾斜角为（）A ．30oB ．135C ．60oD ．150【答案】A【解析】因为该直线的斜率为3，所以它的倾斜角为30o .故选A.2．在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，G 为ABC V 的重心，P 在OG 上，且12OP PG = ，则AP =（）A ．211999a b c-++ B ．811999a b c--C ．811999a b c-++D ．211999a b c--【答案】C【解析】延长BG 交AC 于点D ，则点D 为AC 的中点，因为12OP PG = ，所以13OP OG =，所以()1133AP OP OA OG OA OB BG OA =-=-=+- ，所以()1121233339AP OB BD OA OB OD OB OA =+⨯-=+-- ，所以()121118992999AP OB OA OC OA OB OC OA =+⨯+-=+- ，因为OA a = ，OB b =，OC c = ，所以811999AP a b c =-++ ，故选C.3．“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当3m =-时，直线11:02l x y --=与21:03l x y -+=平行；当直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行时，有()1230m m +-⨯=且1210m ⨯-⋅≠，解得3m =-，故“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的充要条件.故选A.4．直线:10l x y -+=与圆22:230C x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A 3B ．2C ．22D ．32【答案】B【解析】如图，由圆22:230C x y x +--=配方得，22(1)4x y -+=，知圆心为(1,0)C ,半径为2，过点(1,0)C 作CD AB ⊥于D ，由(1,0)C 到直线:10l x y -+=的距离为2||22CD =,则22||2||22(2)22AB AD ==-=,故AOB V 的面积为11||||222222AB CD ⋅=⨯=.故选B.5．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为3y x =，则C 的离心率为（）A 2B 3C ．2D ．4【答案】C【解析】由双曲线方程易知C 的渐近线为b y x a =±，所以b a2e ==.故选C.6．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的方程为（）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=【答案】A【解析】不妨设1,1,2,2，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得2222122122220x x y y a a b b -+-=，整理可得()()2121221212b x x y y x x a y y +-=--+，根据题意可知直线AB 的斜率为()011312--=-，由AB 的中点坐标为(1,1)-可得12122,2x x y y +=+=-；因此()()222121222212122122b x x y y b b x x a y y a a +-=-=-==-+-，可得222a b =，又焦点为()3,0F 可得2229a b c -==，解得229,18b a ==；所以椭圆E 的方程为221189x y +=.故选A.7．已知直线1:50l ax y -+=与直线2:40()l x ay a a +-+=∈R 的交点为P ，则点P 到直线:3l y x =-距离的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线1l ，2l 分别过定点(0,5)A ，(4,1)B -，且互相垂直，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含点()0,1），这个圆的圆心坐标为()2,3-，半径为圆心到直线l距离为d =圆上的点到直线l 距离最大值为(0,1)，因此取值范围是.故选D.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点,,(2,2)M N A 在抛物线C 上，0AM AN k k +=，其中1AM k >，则|sin sin |FMN FNM ∠-∠的最大值为（）ABCD 【答案】B【解析】点(2,2)A 在抛物线C 上，把点(2,2)A 代入2:2(0)C y px p =>中得2222p =⋅，则1p =，所以抛物线为2:2C y x =，直线()():221AM y k x k -=->，与抛物线方程联立可得，2244ky y k -+-0=，则442M k y k -⋅=，则22M ky k-=，0AM AN k k +=，则AN k k =-，所以用k -替换可得22N k y k+=-，则2222M N M NMN N M M Ny y y y k y y x x --===--212M N y y =-+，则()222122,k k M k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故()222122,k k N k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪⎝⎭，直线22:k MN y k --=()222112k x k ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即21112y x k =-+-，则点F 到直线MN的距离21)d k ==>，()()222221218M N k k x x kkk -+--=-=，()()()2222224412121M N k k k x x k k k--+=⋅=，()()222222212144M N k k k x x k k k -+++=+，而1111sin sin 1122M N FMN FNM dd FM FN x x ∠-∠=-=-=++()2342321125241624M N M N M N x x k d k k x x x x -=-++++44554k k kkk --=⎝⎭，令45=-t k k，因为1k >，所以451t k k =->，故211sin sin 16168t FMN FNM t t t ∠-∠⋅⋅⋅++当且仅当()161)t t t=>，即4t =时等号成立，故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===，点M 为线段11B D 上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）A ．当点M 为11B D 中点时，1C M ⊥平面11BBD DB ．当点M 为11B D 中点时，直线DM 与直线BC 所角的余弦值为23C ．当点M 在线段11BD 上运动时，三棱锥1C BDM -的体积是定值D ．点M 到直线1BC 距离的最小值为63【答案】ACD【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,2,1),(0,0,1),(2,2,1)D B C C D B ，设(,,1),02M t t t ≤≤，对于A ，1t =，(1,1,1)M ，1(1,1,0)MC =- ，1(0,0,1),(2,2,0)DD DB ==，1110,0MC DD MC DB ⋅=⋅=，即111,MC DD MC DB ⊥⊥，而11,,DD DB D DD DB =⊂ 平面11BB D D ，因此1C M ⊥平面11BB D D ，A 正确；对于B ，(1,1,1),(2,0,0)DM BC ==-，1cos ,3||||DM BC MC BC DM BC ⋅〈〉===，B 错误；对于C ，由选项A 知，点1C 到平面11BB D DBDM的面积112BD DD ⋅=因此三棱锥1C BDM -的体积23是定值，C 正确；对于D ，11(2,0,1),(,2,0)BC C M t t =-=-，则点M 到直线1BC的距离d ==53t =时取等号，D 正确.故选ACD10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB，圆2228C :(x a )(y -+=，则下列选项正确的是（）A ．当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B ．1ABC 的面积最大值为1C ．若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D ．若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P的轨迹长度为【答案】ABD【解析】对于A ，圆221:(1)2C x y -+=的圆心为1,02228C :(x a )(y -+=的圆心为(a，半径为1C 和圆2C存在公共点时，12C C ≤≤2(1)a ≤-≤35a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[3,5]-，正确；对于B ，1ABC 的面积为1111sin sin 12ABC S AC B AC B =∠=∠≤ ，当1π2AC B ∠=时，1ABC 的面积有最大值为1，正确；对于C ，当弦AB 垂直x 轴时，()()0,1,0,1A B -，所以()0111OA OB ⋅=+⨯-=-，当弦AB 不垂直x 轴时，设弦AB 所在直线为y kx =，与圆221:(1)2C x y -+=联立得，()221210k x x +--=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12211x x k -=+，()()2221212121212211111OA OB x x y y x x k x x k x x k k -⋅=+=+=+=+⨯=-+ ，综上1OA OB ⋅=- ，恒为定值，错误；对于D ，设0,0，OP 中点00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点也是AB 中点，且AB OP =，又AB =，所以()220013x y -+=，所以点P 的轨迹为以1,0，正确.故选ABD.11．如图，曲线C 是一条“双纽线”，其C 上的点满足：到点()12,0F -与到点()22,0F 的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A ．点()D 在曲线C 上B ．点(),1(0)M x x >在C 上，则1MF =C ．点Q 在椭圆22162x y+=上，若12F Q F Q ⊥，则Q C∈D ．过2F 作x 轴的垂线交C 于,A B 两点，则2AB <【答案】ACD【解析】对选项A ，因为()()12224DF DF =+=，由定义知D C ∈，故A 正确；对选项B ，点(),1(0)M x x >在C 上，则124MF MF ==，化简得42690x x -+=，所以x =，1MF =B 错误；对选项C ，椭圆22162x y +=上的焦点坐标恰好为()12,0F -与()22,0F ，则12FQ F Q +=12F Q F Q ⊥，所以221216F Q F Q +=，故()()22212121242F Q F Q F Q F Q F Q F Q +-+⋅==，所以Q C ∈，C 正确；对选项D ，设()2,A y ，则2AB y =，因为A C ∈，则14AF y=，又22116AF y =+，所以221616y y=+，化简得4216160y y +-=，故28y =，所以2190y -=<，故y <1，所以2AB <，故D 正确，故选ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12AA =，D 为1B B 的中点，则异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值为．【答案】4【解析】以A 为坐标原点，在平面ABC 内作垂直于AC 的直线Ax 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示：则()10,0,2A，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()10,1,2C，1,12D ⎫⎪⎪⎝⎭，所以11,22A B ⎫=-⎪⎪⎝⎭，11,12C D ⎫=--⎪⎪⎝⎭，所以11111152cos ,4A B C D A B C D A B C D⋅<==>，则直线1A B 与1C D 所成角的余弦值为104，故答案为：10413．已知圆C ：()()22114x y ++-=，若直线5y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线夹角为60o ，则实数k 的取值范围是【答案】0k ≥或815k ≤-．【解析】圆()()22:114C x y ++-=，则圆心为()1,1C -，半径2r =，设两切点为,A B ，则PA PB =，因为60APB ∠=o ，在Rt PAC △中1302APC APB ∠=∠=o ，2AC r ==，所以||4PC =,因此只要直线l 上存在点P ，使得4PC =即可满足题意．圆心(1,1)C -，所以圆心到直线的距离4d =≤，解得0k ≥或815k ≤-．故答案为：0k ≥或815k ≤-．14．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN =，则C 的离心率为.【答案】2【解析】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ==，1230MF F ∠=o，设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅-= ，将()2N c 代入b y x a =中，故b a2c e a ===.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知(3,1),(1,2),A B ACB -∠的平分线所在的直线的方程为1y x =+．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求AC 的直线方程．【解析】（1）AB 的中点坐标为31123,1,222-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又211134ABk -==---，-----------------------------2分故AB 的中垂线斜率为4，---------------------------------------------------------------------------------------------4分故AB 的中垂线方程为()3412y x -=-，即8250x y --=；----------------------------------------------------6分（2）由对称性可知，()1,2B -关于1y x =+的对称点(),D s t 在直线AC 上，故21121122t s t s -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，-----9分解得10s t =⎧⎨=⎩，故()1,0D ，-----------------------------------------------------------------------------------------------11分故直线AC 的方程为130113y x --=--，即210x y --=.---------------------------------------------------------13分16．（15分）已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．(1)若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =，求实数a 的值；(2)过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．【解析】（1）圆C 的方程为：22(3)(1)4x y -++=，则圆C 的圆心为(3,1)-，半径为2，--------------2分直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B两点，且||AB =----------4分解得2a =-或6-；--------------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）当切线的斜率不存在时，直线1x =，与圆C 相切，-------------------------------------------------------8分切线的斜率存在时，可设切线为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，---------------------------------------9分2，解得512k =-，---------------------------------------------------------13分故切线方程为512290x y +-=，综上所述，切线方程为1x =或512290x y +-=．-------------------------15分17．（15分）如图，在圆锥PO 中，AC 为圆锥底面的直径，B 为底面圆周上一点，点D 在线段BC 上，26AC AB ==，2CD DB =.(1)证明：AD ⊥平面BOP ；(2)若圆锥PO 的侧面积为18π，求二面角O BP A --的余弦值.【解析】（1）PO ⊥ 平面,ABC BA BC ⊥，故以B 为坐标原点，BA 为x 轴正方向，BC 为y 轴正方向，与OP同向的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系.设OP x =，故()()0,0,0,3,0,0B A，()33,,,22O P x D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，-----------------------------------------------------------2分()AD =-，33,,0,,,2222BO BP x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.33333330,302222AD BO AD BP ⋅=-⨯⨯=⋅=-⨯⨯= .-------------------------------5分故,AD BO AD BP ⊥⊥，,,BP BO B BP BO ⋂=⊂ 平面BOP ，AD ∴⊥平面BOP .---------7分（2） 圆锥PO 的侧面积3π18π,6S PA PA =⨯=∴=，OP x ∴===由（1）可知，()AD =-为平面BOP 的法向量，---------------------------------------------------------8分设平面ABP 的法向量为(),,m a b c =，而()3,0,0BA =，3,22BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故303022m BA a m BP a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1c =-得()0,2,1m =- ，-----------------------------------------------12分则5cos<,5m AD m AD m AD-⨯+⨯-⋅====⋅>，所以二面角O BP A --分18．（17分）已知双曲线C 和椭圆2214x y +=有公共焦点，且离心率e =．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()2,1P 作两条相互垂直的直线,PM PN 分别交双曲线C 于不同于点P 的M N 、两点，求点P 到直线MN 距离的最大值．【解析】（1）因为椭圆2214x y +=的焦点在x 轴上，所以双曲线C的c ==，又因为c e a ==，所以1a b =，所以双曲线C 的方程为2212x y -=.---------------------------------------5分（2）当直线MN 的斜率不存在时，设()()000,0M x y y >，则()00,N x y -，()()00002,1,2,1PM x y PN x y =--=---，依题意()()00002,12,10PM PN x y x y ⋅=--⋅---= ，()()2200210x y ---=，即22000450x x y --+=，由2200022004512x x y x y ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩解得006x y =⎧⎪⎨=⎪⎩0021x y =⎧⎨=⎩（舍去），所以((,6,M N ，此时P 到直线MN 的距离为624-=.------------------------------------------------------------------------------8分当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+.由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简得：()222214220k x kmx m -+++=，()()22222222Δ164212216880,210k m k m k m m k =--+=-++>-+>①，2121222422,2121km m x x x x k k -++==--，------------------------------------------------------------------------------10分依题意()()11222,12,10PM PN x y x y ⋅=----=，所以()()()()()()()()1212121222112211x x y y x x kx m kx m --+--=--++-+-()()()2212121225k x x km k x x m m =++--++-+()()22222224122502121m km k km k m m k k +-=+⋅+--⋅+-+=--，整理得22812230m km k m +++-=，即()()21630m k m k +-++=，由于P ∉直线MN ，12k m ≠+，所以630,63m k m k ++==--，函数()2226321343610y k k k k =---+=-+的开口向上，判别式为()2364341012961360640--⨯⨯=-=-<，故①成立.所以直线MN 的方程为63y kx k =--，即630kx y k ---=，------------------------------------------------------------------------------13分所以P 到MN的距离d ==22221221411d k k k k k ++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，当0k ≤时，22111k k +≤+；当0k >时222111211k k k k +=+≤+=++，当且仅当1,1k k k ==时等号成立.所以22,44d d d ⎛⎫≤≤≤ ⎪⎝⎭综上所述，点P 到直线MN的距离的最大值为分19．（17分）已知F 为椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左焦点，椭圆C过点(P ，且直线PF的斜率为.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点()11,M x y ，()22,N x y 在椭圆C 上，且90MFN ∠=︒，过M ，N 分别作椭圆C 的切线1l ，2l ，1l 与2l相交于点Q.（i）求点Q的轨迹方程；（ii）求PQF△周长的最小值.【解析】（1）由题意得，直线PF的方程为()224y x=-，即20x-+=，当0y=时，2x=-，故2c=，由224214a a+=-解得28a=或22a=（舍去），椭圆C的方程22184x y+=.------------------------------------------------------------------------------3分（2）（i）设直线MN：x my t=+，()00,Q x y，1,1，2,2，与C联立()22222228028x my tm y mty tx y=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，所以12222mty ym+=-+，212282ty ym-=+，------------------------------------------------------------------------------5分由90MFN∠=︒可得()()()()()()22121212122201220x x y y m y y m t y y t+++=⇔++++++=()()()()()222221822220m t m t t t m⇔+--++++=；化简可得223840t t m+-=①--------------------7分设1l的方程为()11y y k x x-=-，即()11y kx y kx=+-，与C联立()()()()2222211111128124280x yk x k y kx x y kxy kx y kx⎧+=⎪⇒++-+--=⎨=+-⎪⎩，令()()()22221111Δ1681240k y kx k y kx⎡⎤=--+--=⎣⎦，结合221128x y+=，解得112xky=-，所以切线方程为()11112xy x x yy=--+，即直线1l方程为：11184x x y y+=，k不存在时也满足此直线方程，同理可得2l方程为：22184x x y y +=，由Q 在直线1l ，2l 上，则10102020184184x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即1,1，2,2在直线00184x x y y +=上，所以直线MN 方程为：00184x x y y +=，即00028y x y x x =-+②，由①②可得()20043y x =+，00x =时也满足此方程，所以Q 的轨迹方程为()243y x =+.-------------------------------------------------------------14分（ii ）由（i ）可知Q 在以()2,0F -为焦点，以4x =-为准线的抛物线上，过,P Q 分别向直线4x =-作垂线，垂足分别为P '，Q '，由抛物线定义可得：6PQ PF QF PQ QQ PF PP PF ++=+++='≥+'当且仅当P ，Q ，Q '共线时取等，所以PQF△周长的最小值为6+分。

立体几何和圆锥曲线的珠联壁合之——空间轨迹问题【考点解析】立体几何中的轨迹问题因立意新颖，综合性强，而倍受高考命题者的青睐。

正方体是空间图形中既简单熟悉、又重要的几何体，它具有丰富的内涵，而在正方体中所涉及的轨迹问题，更是别具一格。

求解此类问题的的关键是要把相关的平行与垂直的位置关系，以及距离与角度的数量关系化归转化为平面问题来解决。

通常有以下三种解题策略。

一、阿波罗尼法2000多年前，古希腊数学家最先研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。

古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到与圆锥的母线平行时，得到的是抛物线；继续倾斜得到的是双曲线。

记锥轴为m ,母线为l , 切割圆锥的平面为α，令m 与l 所成的轴线角为θ，m 与平面α所成路的轴面角为ψ，则当0≤ψ<θ时，所截得的曲线是双曲线；当ψ=θ时，所截得的曲线是抛物线；当θ<ψ≤π2时，所截得的曲线是双曲线.例1.(1)如图，AB 是平面α的斜线段，点A 是斜足，若点P 在平面α内运动，且△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行线答案 B解析：∵AB 的长是定的，∴ S △ABP =12 |AB |×d p -l 为定值，即点P 到AB 的距离d p -l 为定值. ∴动点P 的轨迹是平面α截圆柱面所得的曲线，即为椭圆.(2)如图，设B ，C 为定点，且均不在平面α上，动点A 在平面α上，且sin ∠ABC =12 ，则动点A 的轨迹为（ ）A ．圆或椭圆 B.抛物线或双曲线 C. 椭圆或双曲线 D.以上均有可能 答案 D解析：∵sin ∠ABC =12 ，∴AB 和BC 的夹角是π6，即轴线角θ为300，设BC 与平面α所成的轴面角为ψ，则0≤ψ≤π2，∴0≤ψ<π6，ψ=π6，π6<ψ≤π2均有可能，故选D.【变式1】平面α的斜线AB 交α点B 且与α成π3角，平面α内一动点C 满足∠BAC =π6,则动点C 的轨迹为（ ）A ．一条直线 B. 一个圆 C. 一个椭圆 D.双曲线一支 答案 C解析：∵AB 是圆锥的轴，AC 是圆锥的母线，动点C 满足∠BAC =π6，∴轴线角θ为π6，∵平面α的斜线AB 交α点B 且与α成π3角，∴轴面角ψ为π3，∴ψ>θ,∴动点C 的轨迹为椭圆【变式2】平面α的斜线AB 交α点B 且与α成θ角，平面α内一动点C 满足∠BAC =π6，若动点C 的轨迹为椭圆，则θ的取值范围是 . 答案 π6<θ<π2解析：轴线角为π6，轴面角为θ，∵动点C 的轨迹为椭圆，∴θ>π6 ，又AB 是平面α的斜线，∴θ<π2.例2.(1)已知点P 在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的侧面BB 1C 1C 中，且满足∠PD 1D=∠BD 1D ，则动点P 轨迹所在曲线为（ ）A ．圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案 C解析：∵轴线角θ=∠PD 1D=∠BD 1D ，∴tan θ= 2 ，∵D 1D ∥面BB 1C 1C ，∴轴面角ψ=0，∴ψ<θ, ∴动点P 轨迹所在曲线为双曲线.【变式1】若改成P 在平面ABC 1D 1上，动点的轨迹是什么？ 答案 C解析：∵轴线角θ=∠PD 1D=∠BD 1D ，∴tan θ= 2 ，∵D 1D 与面ABC 1D 1所成的轴面角ψ满足tan ψ=1，∴ψ<θ, ∴动点P 轨迹所在曲线为双曲线. 【变式2】你还可以怎么出题？还可以变轴，如将条件置换为∠PD 1C=∠BD 1C ，此时轴线角θ满足tan θ=22，此时D 1C 与面BB 1C 1C 所成的轴面角ψ满足tan ψ=1，∴ψ>θ, ∴动点P 轨迹所在曲线为椭圆. 二、定义法运用解析几何中曲线定义，来识别动点轨迹的曲线类型. 例3(1)在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4中，点P 在面A 1BCD 1内运动，且点P 到直线AB 1和BC 的距离相等，则动点P 的轨迹为（ ） A ．圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 答案 D解析：设AB 1∩A 1B =O ,易证AB 1⊥面A 1BCD 1，∴AB 1⊥OP ，∴点P到直线AB 1的距离为|OP|，∴|OP|=d P -BC ，且定点O 不在定直线BC 上，∴动点P 的轨迹为抛物线的一部分【变式1】若将“P 到直线AB 1和BC 的距离相等”改为“P 到直线AB 1和BC 的距离之比为12”，则动点P 的轨迹所在的曲线是 . 解析：由圆锥曲线的统一定义得该曲线的离心率是12，故动点P 的轨迹是椭圆的一部分.【变式2】若将“P 到直线AB 1和BC 的距离相等”改为“P 到直线AB 1和BC 的距离之比为2”，则动点P 的轨迹所在的曲线是 .解析：由圆锥曲线的统一定义得该曲线的离心率是2，故动点P 的轨迹是双曲线的一部分.例3(2)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 ．(4) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 ．(5) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为 2 的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ．若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为 2 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为 2 的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ．(6)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，长为4的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 课后作业1、如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是( )2.若三棱锥A BCD -侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC ∆组成图形可能是 ()CC 1A1A1A A1A 1(2)(3)(4)(5)C D CD CA ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．3.四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A. B.C. D.4.在棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中, ,E F 分别是AD ,11A D 的中点,长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动,另一个端点N 在底面1111A B C D 上运动,则线段MN 的中点P 的轨迹(曲面)与二面角111A A D B --所围成的几何体的体积为 ( ) A.43π B. 23π C. 3π D. 6π5.四棱锥P ABCD -中,AD ⊥面PAB ,BC ⊥面PAB ,底面ABCD 为梯形，4AD =,8BC =,6AB =,APD CPB ∠=∠,满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是 ( )A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 球的一部分D. 抛物线的一部分6.在空间直角坐标系O -xyz 中，正四面体P —ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴和y 轴上移动.若该正四面体的棱长为2，则|OP |的取值范围是（ ）A ．[3-1，3+1] B. [0， 28] C. [3-1，2] D.[1，3+1]。

高考数学简答题六大板块的考点以及知识点
1、三角函数
（1）正弦、余弦公式
（2）三角形基本性质：大角对大边etc
（3）三种基本三角函数之间的转化与角度的化简
Q1：带入求值，化简；Q2：利用正弦、余弦公式转化，根据角度取值范围确定正负号，求某角某边。

2、概率统计与期望
（1）排列、组合运用
（2）分布列罗列、期望计算
Q1：求某条件的概率；Q2：利用Q1所求的概率，求分布列以及期望3、立体几何
（1）直接逻辑法：面面，线面，线面垂直平行等性质的运用。

（2）空间向量法：线面垂直，平行时用向量如何表达，公式。

（3）等面积、体积法：找到最方便计算的图形
Q1：证明线面，线线，面面垂直；Q2：求距离，求二面角等
4、圆锥曲线
（1）椭圆，双曲线，抛物线方程：长短轴性质，离心率等
（2）直线与圆锥曲线联立，求解某点，证明某直线与圆锥曲线的关系等
Q1：求圆锥曲线方程式；Q2：证明某点在某线某面上，求位置关系，求直线方程等
5、数列
（1）求通项公式：和作差，积作商，找规律叠加化简等
（2）求求和公式:直接公式，错位相减，分组求和等
Q1：求某一项，求通项公式，求数列和通式
Q2：证明，求新数列第N项和，绝对值比较等
初等函数以及导数
（1）单调性，奇偶性，求导，推导规律。

（2）放缩，分类讨论，最大最小值，证明等。

Q1、2：函数表达式，求某函数值，求某常数值，求单调区间，最大最小值，证明等。

圆锥曲线与立体几何专题练习一．解答题（共16小题）1．（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．2．（2014•南充模拟）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．3．（2012•浙江）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．4．（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．5．（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．6．（2013•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E 和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．7．（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．8．（2011•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．AB=2EF．（Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；（Ⅱ）若AC=BC=2AE，求二面角A﹣BF﹣C的大小．9．（2010•安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）求二面角B﹣DE﹣C的大小．10．（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．11．（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．12．在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD∥P1D且P1D=6，BC=3，DC=，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB 折起到平面PAB的位置，使二面角P﹣CD﹣B成45°角，设E、F分别是线段AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小；（3）求点D到平面PEC的距离．13．如图四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=4正方形的边长为2（1）求点A到平面PCD的距离；（2）求直线PA与平面PCD所成角的大小；（3）求以PCD与PAC为半平面的二面角的正切值．14．（2007•浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．15．（2013•宝应县一模）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点，PA=2AB=2．（1）求证：PC⊥AE；（2）求证：CE∥平面PAB；（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BC=AA1=4，点O是AC的中点．（1）求证：AD1∥平面DOC1；（2）求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．圆锥曲线与立体几何专题练习参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．）设椭圆的方程为，，即，∴S=椭圆标准方程为；∴∵∴，∴∴2．（2014•南充模拟）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若，求k的值；）依题设得椭圆的方程为，，得或•的最大值为3．（2012•浙江）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．）由题意，解得：．．∴M上，∴|AB|=d=，则﹣﹣4．（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．D=BCG==所成角的正弦值5．（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．AD=CD=平行且等于PA=AC=2OD==PC==，可得=，∴=．和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．7．（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．AD=2PD==2S=DC=2PC==4PC=2BC=，PB=，可得异面直线所成的角的大小为EG∥AC．AB=2EF．（Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；（Ⅱ）若AC=BC=2AE，求二面角A﹣BF﹣C的大小．FG=BC，==AB=，HRC=，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）求二面角B﹣DE﹣C的大小．GH=EF=DE=KEF=，FKB==（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．）则=4==|MN|=|﹣|=8||=k=|MN|=22|MN|=2≥时，的最小值是11．（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，，∴，解得的方程为，其中的斜率，直线的斜率=的方程为．，解得Q=，∴．12．在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD∥P1D且P1D=6，BC=3，DC=，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB 折起到平面PAB的位置，使二面角P﹣CD﹣B成45°角，设E、F分别是线段AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小；（3）求点D到平面PEC的距离．CDAE=PD=CD，∴PD=CD=CPD==S×= =d=d=的距离为（1）求点A到平面PCD的距离；（2）求直线PA与平面PCD所成角的大小；（3）求以PCD与PAC为半平面的二面角的正切值．∵∵∵．中，∴AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．，所以的中点，PA=2AB=2．（1）求证：PC⊥AE；（2）求证：CE∥平面PAB；（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．BC=CD=2．则V=．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BC=AA1=4，点O是AC的中点．（1）求证：AD1∥平面DOC1；（2）求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．，D=所成的角的余弦值为。

专题1 《不等式》多选题1. 若101a b c >><<，,则( C D )A 、 c c a b <B 、 c c ab ba <C 、 log log b a a c b c <D 、c c b a log log >2、已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a （ ACD ）学科网A 、1≤abB 、 21≥ab C 、222≥+b a D 、422≤+b a3、已知：0>>y x ，则下列不等式恒成立的是（ BC ）A 、yx )31()31(> B 、y x 3131log log <C 、)1ln()1ln(22y y x x -+<-+D 、y xy xlg lg >4、如果a >b ，那么下列不等式中成立的是 （ AB ）A 、3131b a > B 、a 3 >b 3 C 、3131-->b aD 、3232b a >5、设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中恒成立的是（A B C ）A 、c b c a b a -+-≤-B 、a a aa 1122+≥+C 、a a a a -+<+-+213D 、21≥-+-ba b a 6、当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，记m 的取值范围为集合M ，则M 的子集不可能是（ CD ）A 、)9,13(--B 、)5,9(--C 、)1,5(--D 、)3,1(-【解】 5m -≤7、如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围不可能是（ ABD ）A 、[2,2]-B 、 3,2]C 、(3,2]-D 、[3,2]-【解】由230,a -<或2030a a >⎧⎨-=⎩，或⎪⎩⎪⎨⎧>->≥--=∆,03,0,0)3(4222a a a a 得，(3,2]a ∈-8、下列命题是假命题的是（ ACD ）A 、a b >是22ac bc >的充要条件B 、1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件C 、),2(+∞∈∀x ， x 2＞2xD 、0x ∃∈R ，≤xe ln 0 （e 为自然对数的底数）专题2 《圆锥曲线》多选题1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2 +1相切，则( BD )A 、a b 5=B 、渐近线与x 轴夹角的正切值为2C 、该双曲线的离心率等于5D 、该双曲线的离心率等于6 【解】设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x yx ==.由题意有002y x x =又2001y x =+ 解得: 2201,2,1()5b bx e a a=∴==+=.2、设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程不可能是( A C ).A 、x y 42-=B 、x y 82-=C 、24y x = D 、 28y x =【解】: 抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4a y x =-,它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±3、对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题，其中正确命题有（ AB ） A 、椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; B 、双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; C 、双曲线与椭圆共焦点; D 、椭圆与双曲线有两个顶点相同.4、已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．PQ 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆经过P 、Q 两点，则下列结论正确的是 （ A C ）A 、椭圆EB 、椭圆方程为162422=+y x ；C 、椭圆方程为221123x y +=； D 、椭圆长轴长为32【解】（I ）过点(c ,0),(0,b )的直线方程为0bx cy bc，则原点O 到直线的距离bcd a==，由12d c ，得2222a b a c ，解得离心率32c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b . (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段PQ 的中点，易知，PQ 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x ，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b设),(),,(2211y x Q y x P ， 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k由124x x ，得28(21)4,14k k k 解得12k. 从而21282x x b 22)10，解得23b.故椭圆E 的方程为221123x y .5、设O 为坐标原点，点AB若2OB OA =，则直线AB 的方程可以为（ BC ）A 、x y 2-=B 、x y -=C 、x y =D 、x y 2=【解】y x =或y x =-.提示：,A B 两点的坐标分别记为(,),(,)A A B B x y x y ，因为2OB OA =，所以,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =，将y kx =代入22(14)4k x +=，所以，将y kx =代入中，得22(4)16k x +=，所以 又由2OB OA =，得224B A x x =，即解得1k =±.故直线AB 的方程为y x =或y x =-. 6、已知椭圆2214x y +=，过点(1,0)M -作直线l 交椭圆于,A B 两点，O 是坐标原点．则 （ ACD ） A 、AB 中点P 的轨迹方程为2240x x y ++=；B 、OAB ∆面积的最大值为3，C 、OAB ∆面积的最大值为23， D 、 OAB ∆面积的最大值时直线l 的方程为1-=x ．【解】（1）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则221122221(1)41(2)4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（1）－（2），得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=，041x y y x +⋅=+，即2240x x y ++= （2）令:1l x hy =-代入2244x y +=，得22(4)230h y hy +--=，216(3)h ∆=+，1222112244S OM y y h h =⋅⋅-=⋅=++，t =≥22211t S t t t ==++在)+∞上单调递减，t =0h =时，max S =，:1l x =- ． 7、设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且1F 是2QF 的中点．过点2F Q A 、、的圆恰好与直线033=--y x 相切。