河北省石家庄市师大附中田家炳中学2020届高二数学《5套合集》下学期期末模拟试卷

石家庄市2020年高二第二学期数学期末监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数sin 2y x =在,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为（ ）A ．1B ．1-C ．D 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，然后代入切点的横坐标，即可求得本题答案. 【详解】由sin 2y x =，得2cos 2y x '=，所以切线斜率2cos 213k π⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查在曲线上一点的切线斜率，属基础题.2．(1n+的展开式中各项系数之和为243，设()()()2220122111nn n x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则3a =（ ） A ．120 B ．120-C ．45D ．45-【答案】B 【解析】 【分析】先求出n 的值，再根据()()()()22202210111111nn n x a a x a x a x x =+++++⋅⋅⋅=-++⎡⎤⎣⎦++，利用通项公式求出3a 的值. 【详解】令1x =，可得(1n+的展开式中各项系数之和为3243n=，5n ∴=，设()()()()22202210111111nnn xa a x a x a x x =+++++⋅⋅⋅=-++⎡⎤⎣⎦++，则()733101120a C =⋅-=-.故选：B 【点睛】本题考查了二项式定理求多项式的系数和，二项式定理展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.3．若函数没有零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将问题转化为曲线与直线没有交点，并将函数表示为分段函数的形式，并作出该函数的图象，分析直线的斜率与函数图象每段折线的斜率的大小关系，结合图象得出实数的取值范围。

【详解】因为函数没有零点，所以方程无实根，即函数与的图像无交点，如图所示，则的斜率应满足，故选：A。

2020年石家庄市数学高二下期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B 【点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题.2．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．若点M 为圆22:(2)1C x y -+=上的动点，则点M 到双曲线2213y x -=渐近线的距离的最小值为（ ）AB1 CD1【答案】B 【解析】 【分析】首先判断圆与渐近线的位置关系为相离，然后利用圆上一点到直线距离的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，由此即可得到答案。

2020年石家庄市数学高二(下)期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．用指数模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝㏑y ，变换后得到线性回归直线方程0.34z x =+，则常数c 的值为（ ） A ．4eB ．0.3eC ．0.3D ．42．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，'()f x y e =的图象如图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,2)-∞C ．(0,1)D ．(1,2)3．,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则()cos α-的值为（ ）A ．45-B ．45C ．35D ．35-4．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（ ）A ．4284612C C CB ．3384612C C C C ．612612C A D ．4284612A A A 5．设向量(,4)a x r =-，(1,)b x r =-，若向量a r 与b r同向，则x =（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．06．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若cos c A b =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形D ．一定是斜三角形7．已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞8．下列命题中真命题的个数是（ ） ①x R ∀∈，42x x >；②若“p q ∧”是假命题，则,p q 都是假命题；③若“x R ∀∈，320x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>” A ．0B ．1C ．2D ．39．若复数(1)(2)ai i +-是纯虚数（a 是实数，i 是虚数单位），则a 等于（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-10．已知集合{}|1,M x a x a a =<+∈Z …，{}23|log 2P x x =…，若图中的阴影部分为空集，则a 构成的集合为（ ）A ．{}2,1,1,2--B ．{}3,2,1,0,1,2---C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}3,2,1,1,2---11．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，抛物线()220y px p =>的准线与双曲线C 的渐近线交于,A B 点，OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（ ） A ．24y x =B ．26y x =C ．28y x =D ．216y x =12．已知点P 在直径为2的球面上，过点P 作球的两两相互垂直的三条弦PA ，PB ，PC ，若PA PB =，则PA PB PC ++的最大值为 A ．23B ．4C ．222+D ．3二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．1d x x ⎰＝________.14．821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为______. 15．将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有______种.(用数字作答) 16．函数()123x f x a+=-(a>0且a≠1)的图象经过的定点的坐标是_____三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设不等式的解集为，且.（1）试比较与的大小；（2）设表示数集中的最大数，且，求的范围.18．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --6PF 的长度. 19．（6分）已知数列{}n a 满足：11a =，2114n n a a λ+=+（λ∈R ，n ∈N*）． （1）若1λ=，求证：02n a <<； （2）若2n a <，求证：1λ≤．20．（6分）已知112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；（2）求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项. 21．（6分）设函数()32132a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =． （1）求b ，c 的值；（2）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（3）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间()2,1--内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围． 22．（8分）某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，运费由厂家承担．若厂家恰能在约定日期（×月×日）将啤酒送到，则城市乙的销售商一次性支付给厂家40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给厂家2万；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给厂家2万元．为保证啤酒新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送．已知下表内的信息：（1）记汽车选择公路1运送啤酒时厂家获得的毛收入为X（单位：万元），求X的分布列和EX；（2）若13α=，14β=，选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多？（注：毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费）．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】【分析】我们根据对数的运算性质：log a（MN）=log a M+log a N，log a N n=nlog a N，即可得出lny=ln（ce kx）=lnc+lne kx=lnc+kx，可得z=lnc+kx，对应常数为1= lnc，c=e1.【详解】∵y=ce kx，∴两边取对数，可得lny=ln（ce kx）=lnc+lne kx=lnc+kx，令z=lny，可得z=lnc+kx，∵z=0.3x+1，∴l n c=1，∴c=e1．故选A．【点睛】本题考查的知识点是线性回归方程，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键．线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.2．B 【解析】分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果. 详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤， 所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞， 选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式. 3．B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系计算出cos α的值，再利用诱导公式可得出()cos α-的值. 【详解】,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ，cos 0α∴>，且4cos 5α===， 由诱导公式得()4cos cos 5αα-==，故选B. 【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系，同时也考查了诱导公式的应用，在利用同角三角函数基本关系求值时，先要确定角的象限，确定所求三角函数值的符号，再结合相应的公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题. 4．A【解析】按性别分层抽样男生 女生各抽4人和2人；从8名女生中抽4人的方法为48C 种；，4名男生中抽2人的方法为24C 种；所以按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为4284612.C C C 故选A 5．A 【解析】 【分析】由a v与b v平行，利用向量平行的公式求得x,验证a v与b v同向即可得解 【详解】由a v与b v平行得24x -=-，所以2x =±，又因为同向平行，所以2x =. 故选A 【点睛】本题考查向量共线（平行）的概念，考查计算求解的能力，属基础题． 6．C 【解析】分析：由已知构造余弦定理条件：2cos bc A b =，再结合余弦定理2222cos a b c bc A =+-，化简整理得222a b c +=，即ABC ∆一定为直角三角形.详解：由已知cos c A b =，得 2cos bc A b=①由余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ② 将①代入② 22222a b c b =+- 整理得 222a b c += ABC ∆一定为直角三角形 故选C点睛：判断三角形形状 （1）角的关系：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状． ① 若sin sin A B =；则A=B ； ②若sin2sin2A B =；则A=B 或2A B π+=（2）边的关系：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ① 若222a b c +=，则90C =o ； ② 若222a b c +>，则90C <o ； ③ 若222a b c +<，则90C >o ． 7．A 【解析】分析：先构造函数()()xf xg x e =，再根据函数单调性解不等式. 详解：令()()x f x g x e =，因为()()()0xf x f xg x e'-'=<，(0)2g = 所以()2()(0)0xf x eg x g x >⇒>⇒< 因此解集为(),0-∞ ， 选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 8．B 【解析】若1x =，42x x =则，故命题①假；若“p q ∧”是假命题，则,p q 至多有一个是真命题，故命题②是假命题；依据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”，即命题③是真命题，应选答案B ．9．B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】∵复数（1+ai ）（1﹣i ）＝1+a+（1a ﹣1）i 是纯虚数，∴20210a a +=⎧⎨-≠⎩，解得a ＝﹣1．故选B ． 【点睛】本题考查了复数的乘法运算、纯虚数的定义，属于基础题． 10．D 【解析】 【分析】先化简集合P ，注意0x ≠，由题意可知，M P ⊆，确定a 即可 【详解】Q {}{23|log 2|30P x x x x ≤==-≤<或}03x <≤，图中的阴影部分为空集，M P ∴⊆310a a ≥-⎧∴⎨+<⎩或013a a >⎧⎨+≤⎩，即30a -≤<或02a <≤又a Z ∈Q ，{}3,2,1,1,2a ∴∈---，故选D 【点睛】考查维恩图的识别、对数计算、列举法及集合的关系 11．C 【解析】由题意可知该双曲线是等轴双曲线，故渐近线方程是y x =±，而抛物线的准线方程为2px =-，由题设可得(,),(,)2222p p p pA B ---，则AB p =，所以OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为2144224p p S p p =⨯⨯==⇒=，应选答案C 。

2020年河北省石家庄市数学高二第二学期期末调研试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】 利用特殊值来得出“”与“”的充分必要性关系。

【详解】 若，则，但不成立； 若，，成立，但不成立。

因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D 。

【点睛】 本题考查充分必要条件的判断，常用集合的包含关系来进行判断，也可以利用特殊值以及逻辑推证法来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题。

2．已知3sin 5ϕ=，且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．35 B ．45- C ．35 D ．45【答案】B【解析】试题分析：根据函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，可得222T ππωω==∴=，．由3sin 5ϕ=，且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得34arcsin cos 55ϕπϕ=-=-，，∴()3sin(2arcsin )5f x x π=+-，则334sin arcsin cos arcsin 42555f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B ．考点：正弦函数的图象．3．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（ ）A ．2(1)y e x e =--+B ．2(1)y e x e =--C ．12(1)e e y e x e ++=--D ．1(1)e e y e x e +=--【答案】C【解析】【分析】 设出切点坐标00x x e （，），求出原函数的导函数，得到函数在0x x =时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则切线方程可求．【详解】由x y e x =-，得1xy e '=-， 设切点为00x x e （，）， 则00|1x x x y e -'＝＝ ，∴切线方程为()0001()x x y e e x x ---＝ ，∵切线过点(),e e -，∴−e x 0＝e x 0(1−x 0)，解得：0e 1x =+ ．∴切线方程为111e e y ee x e ++-=--（） ，整理得：()121e e y e x e ++=--. 故选C.．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．5．设i 是虚数单位，复数12i a i ++为实数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．32【答案】C【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0可得答案.【详解】解：2212(12)()222(21)()()11i i a i a i ai a a i a i a i a i a a ++--++++-===++-++， 复数12i a i++为实数，可得210a -=，12a =， 故选：C.【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算法则，属于基础题，注意运算准确.6．有一项活动,在4名男生和3名女生中选2人参加,必须有男生参加的选法有（）种.A ．18B ．20C ．24D ．30 【答案】A【解析】【分析】分类：（1）2人中有1人是男生；（2）2人都是男生.【详解】若2人中有1人是男生，则有1143C C =12⨯种；若2人都是男生，则有24C =6种；则共有24种选法.【点睛】排列组合中，首先对于两个基本原理：分类加法、分步乘法，要能充分理解，它是后面解答排列组合综合问题的基础.7．621(1)(1)x x -+展开式中2x 的系数为（） A ．30B ．15C ．0D ．-15【答案】C【解析】【分析】根据6(1)x +的展开式的通项公式找出6(1)x +中函数含2x 项的系数和4x 项的系数做差即可．【详解】 6(1)x +的展开式的通项公式为16r r r T C x +=⋅ ，故6(1)x +中函数含2x 项的系数是26C 和4x 项的系数是46C 所以621(1)(1)x x-+展开式中2x 的系数为26C -46C =0 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，熟练掌握二项式定理是解本题的关键．8．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（ ）A ．1B C ．2 D ．3【答案】B【解析】 分析：利用复数的除法求出z ，进而得到z .详解：由题()()()2121,111i z i z i i i ⋅-===-∴=++⋅- 故选B.点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题.9．已知集合{|20},{|M x x N x y =-<==，则M N ⋃= A ．{ | -1}x x >B ．{|12}x x -≤<C ．{ |-12}x x <<D ．R【答案】D【解析】【分析】先解出集合M 与N ，再利用集合的并集运算得出M N ⋃.【详解】 {}{}202M x x x x =-<=<，{{}{}101N x y x x x x ===+≥=≥-， M N R ∴=，故选D.【点睛】本题考查集合的并集运算，在计算无限数集时，可利用数轴来强化理解，考查计算能力，属于基础题．10．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．90 【答案】D【解析】【分析】设向量12PP 与13PP 的夹角为θ，计算出向量12PP 与13PP 的坐标，然后由12131213cos PP PP PP PP θ⋅=⋅计算出cos θ的值，可得出θ的值.【详解】设向量12PP 与13PP 的夹角为θ，()()()123,1,01,1,22,2,2PP =--=-，()()()130,1,31,1,21,2,1PP =--=-， 则12131213cos 0PP PP PP PP θ⋅==⋅，所以，90θ=，故选D. 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 11．函数2yx 在点1x =处的导数是（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】 【分析】求导后代入1x =即可.【详解】易得2y'x =,故函数2yx 在点1x =处的导数是212⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查了导数的运算,属于基础题.12．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：根据表中数据得()2277520450530015.96825750320455K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由210.828K ≥断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（ ）附表：A ．0.1B ．0.05C ．0.01D ．0.001【答案】D【解析】【分析】根据观测值K 2，对照临界值得出结论．【详解】由题意，210.828K ≥，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.001.故选D ．【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，理解临界值表格是关键，是基础题．二、填空题：本题共4小题13．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別是,,a b c ，已知22,2(1sin )a b c b C ==-，则 C =_______. 【答案】4π 【解析】【分析】化简已知等式可得sinC ＝1222c b-，又a ＝b ，由余弦定理可得：cosC ＝sinC ，利用两角差的正弦函数公式（C 4π-）＝0，结合范围C 4π-∈（4π-，34π），可求C 的值． 【详解】∵c 2＝2b 2（1﹣sinC ）， ∴可得：sinC ＝1222c b-， 又∵a ＝b ，由余弦定理可得：cosC 2222a b c ab+-==1222c b -=sinC ，∴sinC ﹣cosC ＝0sin （C 4π-）＝0， ∵C ∈（0，π），可得：C 4π-∈（4π-，34π）， ∴C 4π-=0，可得：C 4π=． 故答案为4π 【点睛】本题主要考查了余弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．14．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为60︒和30︒，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC 为______米.【答案】3【解析】【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．【详解】解：由题意可知30C ∠=︒，30BAC ∠=︒，30DAB ∠=︒，30AD m =，30203cos30BC AB ∴===︒． 故答案为203【点睛】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题．15．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22(4)z x y =++__________． 【答案】455【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，结合22(4)z x y =++z 的最小值即可．【详解】 画出x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，的平面区域，如图所示：而22(4)z x y =++()40-，的距离， 显然()40-，到直线240x y -+=的距离是最小值， 由8445541d -+==+，得最小值是455， 故答案为455． 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．16．已知函数()32x x f x e e x x -=-+-，若()()2320f m f m --≤，则m 的取值范围是___________.【答案】(][),31,-∞-+∞【解析】【分析】 求导得到()261x x f x e e x -'=++-，利用均值不等式判断()0f x '>，得到函数单调递增，故232m m -≤，解得答案.【详解】()22261612610x x x x f x e e x x e e x --'=++-≥-+⋅=+>，∴函数()f x 在R 上单调递增，又()()2320f m f m --≤，()()232f m f m ∴-≤，可得232m m -≤，解得m 1≥或3m ≤-.故答案为：(][),31,-∞-+∞.【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，均值不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

河北省石家庄市2020年高二下数学期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，21iz =+，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】A 【解析】 【分析】先由复数的除法，化简z ，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-， 所以1z i =+. 故选A 【点睛】本题主要考查复数的运算，以共轭复数的概念，熟记运算法则与概念即可，属于基础题型.2．已知12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:22xn-2y =1的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且112PF F F ⊥，那么椭圆M 和双曲线N 的离心率之积为（ ）A B ．1 C ．2D ．12【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到21||||,||||PF m n PF m n =+=-，根据勾股定理得到2||mn c =，计算得到答案.【详解】12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:22x n-2y =1的公共焦点 故21212||,2||PF PF m PF PF n +=-=，故21||||,||||PF m n PF m n =+=-112PF F F ⊥，故()222||||(||||)4m n m n c +=-+即2||mn c =2121||||||c c c e e m n mn =⋅==故选：B 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.3．随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差2.4DX =，(4)(6)P X P X =>=，则期望EX =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】 【分析】X 服从二项分布，由二项分布的方差公式计算出p 的可能值，再根据(4)(6)P X P X =>=，确定p 的值，再利用均值计算公式计算()E X 的值. 【详解】因为()(1)10(1)0.24D X np p p p =-=-=，所以0.4p =或0.6，又因为 (4)(6)P X P X =>=，则4646461010C (1)C (1)p p p p ->-，解得0.5p <，所以0.4p =，则()100.44E X =⨯=. 故选：A. 【点睛】二项分布的均值与方差计算公式：()E X np =，()(1)D X np p =-. 4．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20 B ．24C ．28D ．32【答案】A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出.详解：,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号. x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.5．正弦函数是奇函数，()sin(1)f x x =+是正弦函数，因此()sin(1)f x x =+是奇函数，以上推理（ ） A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．大前提、小前提、结论都不正确【答案】C 【解析】分析：根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得到答案. 详解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提是：()()sin 1f x x =+是正弦函数，因为该函数()()sin 1f x x =+不是正弦函数，故错误； 结论：()()sin 1f x x =+是奇函数，，故错误. 故选：C.点睛：本题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式. 6．已知23log 4a =，342b =，343c =，则( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数及对数函数的性质比较大小,即可得出结论. 【详解】3344223log log 10,,12234a b c<==<<∴<< 故选:A. 【点睛】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用. 7．若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++，则2a = A ．10 B ．15C ．30D ．60【答案】B 【解析】【分析】 【详解】分析：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知对比可得2a 的值1．详解：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知()()()()()()()62345601234562111111x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++对比可得22615.a C ==故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用，观察分析得到6rr a C =是关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．8．下列说法中， 正确说法的个数是（ ）①在用22⨯列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时，随机变量2K 的观测值k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大②以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和 0.3③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a = A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】对题目中的三个命题判断正误，即可得出结论． 【详解】解：对于①，分类变量A 与B 的随机变量K 2越大， 说明“A 与B 有关系”的可信度越大，①正确； 对于②，以模型y ＝ce kx 去拟合一组数据时，设z ＝lny ，由y ＝ce kx ，两边取对数，可得lny ＝ln （ce kx ）＝lnc+lne kx ＝lnc+kx ， 令z ＝lny ，可得z ＝lnc+kx ， 又z ＝0.3x+4，∴lnc ＝4，k ＝0.3，c ＝e 4，②正确；对于③，根据回归直线方程为y ＝a+bx ，213b x y ===-，，， ∴a y =-b x =3﹣2×1＝1，∴③正确；综上，正确的命题为①②③，共3个． 故选：D ． 【点睛】本题考查了回归方程，对数的运算性质，随机变量K 2的概念与应用问题，是基础题．9．某随机变量ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>,若在(0,2)内取值的概率为0.6则ξ在(0,1)内取值的概率为( ) A ．0.2 B ．0.4C ．0.6D ．0.3【答案】D 【解析】分析：由正态分布曲线图，()0,2内取值的概率为0.6，区间关于x 1=对称，得解。

河北省石家庄市2020年高二(下)数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：利用祖暅原理分析判断即可. 详解：设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．Q 如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等，∴根据祖暅原理可知，p 是q 的充分不必要条件.故选：A.点睛：本题考查满足祖暅原理的几何体的判断，是基础题，解题时要认真审查，注意空间思维能力的培养.2．若二次函数2f x ax bx c =++（）图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f x '（）的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：先根据二次函数的判断出a b ，的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．详解：∵函数2f x ax bx c （）=++的图象开口向上且顶点在第四象限，0002ba b a＞，＞，＜，∴-∴ 2f x ax b Q （），'=+∴选项A 符合， 故选：A ．点睛：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题．3．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ）A B ．2C ．3D ．0【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x=2，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选B ． 【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).4．设函数()()g x f x 2x =+是定义R 在上的偶函数，且()()xF x f x 2=+，若()f 11=，则()F 1(-=)A ．12-B ．32C ．72D ．112【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出()1g 和()1f -的值即可得到结论．()()112123g f ∴=+=+=，()()()11213g f g -=--==，即()15f -=， 则()()1111112522F f --=-+=+=，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．5．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k +1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k +1代入等式，然后把n=k +1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k +1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 6．若是离散型随机变量，，且，已知，，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】本题考查期望与方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论． 【详解】 ∵∴∴或（舍）∴故选C.考点：离散型随机变量的期望方差.7．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的内切圆半径为( ) A ．27B 22C 32D ．427【答案】C 【解析】分析：根据韦达定理结合三角形面积公式求出1F AB ∆的面积S ，利用椭圆的定义求出三角形的周长c ，代入内切圆半径2Sr c=，从而可得结果. 详解：椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，则2F 的坐标为()1,0，过2F 且斜率为1的直线为1y x =-，即1x y =+，代入22143x y +=，得27690y y +-=，则2126479122y y +⨯⨯-==，1F AB ∆的周长48c a ==，故1F AB ∆的内切圆半径27S r c ==，故选C. 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质与椭圆定义的应用，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 8．已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（ ）A ．!!m nn C m =B ．!()!A mn n n m =-C ．111m m m n n n C C C --++=D ．111m m m n n n C C C -+++=【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断. 【详解】由组合数的定义可知()!!!mn n C m n m =-，A 选项错误；由排列数的定义可知()!!mn A n n m =-，B选项正确；由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.9．已知向量()a 1,2=v ，()b x,2=-v ，且a b ⊥v v ，则a b +v v 等于（ ）．A B ．5C ．D【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=r r ，求得x ，及向量b r 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运由a b ⊥v v ，可得0a b ⋅=r r ，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b v v + ()5,0=，得a b +v v =5，选B.【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+v v，二是利用性质2a a =v v，结合向量数量积求解.10．已知正实数a 、b 、c 满足log 22a =，311og 3b =，6192c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．a c b << C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】计算出a b 、的值，然后考虑666a b c 、、的大小. 【详解】因为1263192,3,2a b c ===，所以666198,9,2a b c ===，则a b c <<，故选：A. 【点睛】指对式的比较大小，可以从正负的角度来分析，也可以从同指数的角度来分析大小.11．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列【分析】由折线图逐项分析即可求解 【详解】选项A ，B 显然正确； 对于C ，2.9 1.60.81.6->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错. 故选：D 【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题12．ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1)b c a b sinA ==-,则A= A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=，故选C.【考点】余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某种活性细胞的存活率y （%）与存放温度x （℃）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示经计算得回归直线方程的斜率为-3.2，若存放温度为6℃，则这种细胞存活的预报值为_____%． 【答案】34 【解析】分析：根据表格中数据求出,x y ，代入公式求得a 的值，从而得到回归直线方程，将6x =代入回归方程即可得到结果.由表中数据可得1,50x y ==， 代入归直线方程可得53.2a =，所以回归方程为3,253.ˆ2yx =-+ 当6x =时，可得 3.2653.4ˆ23y=-⨯+=，故答案为34. 点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n ni i i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数$,a b$；④写出回归直线方程为$ˆy bx a =+$； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.14．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，点M 的坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且M 到直线1AF ，2AF 的距离相等，则1||AF = ___ 【答案】1 【解析】 【分析】画出图形，根据M 到直线1AF ，2AF 的距离相等得到M A 为12F AF ∠的平分线，然后根据角平分线的性质得到11222AF F M AF MF ==，再根据双曲线的定义可求得1AF ．【详解】由题意得()()122,0,2,0F F -，点A 在双曲线的右支上，又点M 的坐标为2,03⎛⎫⎪⎝⎭，∴1228242,23333F M MF =+==-=． 画出图形如图所示，12,MP AF MQ AF ⊥⊥，垂足分别为,P Q ， 由题意得MP MQ =，∴M A 为12F AF ∠的平分线， ∴11222AF F M AF MF ==，即122AF AF =．又122AF AF -=， ∴124,2AF AF ==． 故答案为1． 【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题． 15．在极坐标系中A(2,)3π-，2B(4,)3π两点间的距离______. 【答案】6 【解析】 【分析】求出BOA ∠的大小，得出A,O,B 三点共线，即可求解. 【详解】设极点为O ，由题意可知2=33BOA πππ∠+= 即A,O,B 三点在一条直线上 所以246AB OA OB =+=+= 【点睛】本题主要考查了极坐标的性质，要清楚极坐标(,)ρθ 的含义，属于基础题. 16．若()2~5,N ξσ，且(45)0.25P ξ<<=，(67)0.15P ξ<<=，则(3)P ξ<=_______.【答案】0.1 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出()()34670.15P P ξξ<<=<<=，可求出()35P ξ<<的值，再利用()()30.535P P ξξ<=-<<可得出答案．【详解】 由于()2~5,N ξσ，由正态密度曲线的对称性可得()()34670.15P P ξξ<<=<<=，因此，()()30.5350.50.40.1P P ξξ<=-<<=-=，故答案为0.1． 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键就是充分利用正态密度曲线的对称性，利用已知区间上的概率来进行计算，考查计算能力，属于中等题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()f x =R .（1）求实数m 的取值范围；（2）设实数t 为m 的最大值，若实数,,a b c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值. 【答案】（1）(],4-∞-（2）922【解析】 【分析】（1）由定义域为R ，只需求解231x x ---的最小值，即可得实数m 的取值范围； （2）根据（1）求得实数t 的值，利用基本不等式即可求解最小值． 【详解】（1）Q 函数()f x =的定义域为R .∴231x x m ---≥对任意的x ∈R 恒成立，令()231g x x x =---，则()()()()7,353,035,0x x g x x x x x ⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩，结合()g x 的图像易知()g x 的最小值为4-，所以实数m 的取值范围(],4-∞-.（2）由（1）得4t =-，则22216a b c ++=，所以()()()22212322a b c +++++=，()()()22222222211112311112312322a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭++=+++ 222222222322213132312132322b ac a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=922≥=，当且仅当22222123a b c +=+=+=，即219a =，216b =，213c =时等号成立，本题主要考查了含绝对值函数的最值，转化思想和基本不等式的应用，考查了分析能力和计算能力，属于难题.18．为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95％以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？（2）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X，求X的分布列和期望．参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．临界值表【答案】（1）有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据以上统计数据填写22⨯列联表,根据列联表计算2K的观测值k,对照临界值得出结论；（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列,求期望即可.（1）补充的22⨯列联表如下表：根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为()24094161125152020k ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.227 3.841≈>，所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，()3113150C P X C == 1653345591==， ()211143151C C P X C == 2204445591==， ()121143152C C P X C == 66455=， ()3P X == 343154455C C =，所以X 的分布列为012391914554555EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了独立性检验的问题和离散型随机变量的分布列与期望问题， 是中档题 ． 19．已知函数2()(1)ln(21)ln f x x a x b x =-+-+，,a b 为常数（Ⅰ）若0a =时，已知()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求b 的取值范围； （Ⅱ）若2b a =-，已知[1,)x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

2020年石家庄市高中必修二数学下期末模拟试卷(附答案)一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．如图，在ABC V 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．103．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U I A ．{1,1}- B ．{0,1} C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}4．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,55．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7?6．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，sin 4B =，4ABC S =△，则b =（ ）A ．B ．C D 7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1768．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 29．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．23⎡⎢⎣⎦，C ．23⎡⎢⎣⎭，D ．2,3⎛ ⎝⎦10．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 11．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．3412．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上二、填空题13．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．14．函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 15．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 剟时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.16．函数y =的定义域是 _________.17．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．18．若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____． 19．在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______．20．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．三、解答题21．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.分数段[)90,100[)100,110[)110,120:x y6:51:21:122．a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，已知tan 3sin a B b A =. （1）求cos B ；（2）若3a =，17b =，求ABC ∆的面积.23．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；24．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=. (1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的取值范围.25．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为362，求a 的值. 26．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥Q 平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴Q V 是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆Q 是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．3．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.4．C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C5．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.6．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c，由sin 4B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC V中，sin 4B =，4ABC S =△1sin 24ABC S ac B ==V ，联立521sin 24sin 4a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin 4B =，所以3cos 4B ==所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =（负数舍去） 故答案选D本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 8．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.9．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得23x <<.故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 10．B 解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.11．D解析：D 【解析】∵()sin cos (0)4f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭ ∴令22,242k x k k Z ππππωπ-+≤-≤+∈，即232,44k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 ∴42ππω-≤-且342ππω≥ ∴102ω<≤故选D. 12．A 解析：A 【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．二、填空题13．36π【解析】三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S −ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半解析：36π 【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径， 若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得112932r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3. 球O 的表面积为：2436r ππ= .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答解析：5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用． 【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.15．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题 解析：511-【解析】 【分析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 剟时，()21x f x =-即可求解 【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈， 则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题16．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出解析：()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域. 【详解】函数有意义，则：2cos 10x +≥，即1cos 2x ≥-， 求解三角不等式可得：()222233k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 则函数的定义域为()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．17．x －y ＋2＝0【解析】【分析】设直线l 方程为y ＝kx+b 由题意可得圆心C1和C2关于直线l 对称利用得k 由C1和C2的中点在直线l 上可得b 从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的解析：x －y ＋2＝0 【解析】 【分析】设直线l 方程为y ＝kx +b ，由题意可得圆心C 1和C 2关于直线l 对称，利用121C C l k k ⨯=-得k,由C 1和C 2的中点在直线l 上可得b ，从而得到直线方程． 【详解】由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2）， ∵圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y +4＝0关于直线l 对称， ∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y ＝kx +b ， ∴2020k ---n ＝﹣1且022+＝k •022-+b ， 解得k ＝1，b ＝2，故直线方程为x ﹣y ＝﹣2， 故答案为：x －y ＋2＝0． 【点睛】本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题．18．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题解析：3+【解析】 【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】解：x 1>Q ，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++--33≥=，（当且仅当13x =+取等号）故答案为3． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．19．【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC 使用二倍角公式求出cos2C 【详解】由题意在中面积为12则解得∴故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形 解析：725【解析】 【分析】利用面积公式即可求出sinC ．使用二倍角公式求出cos2C ． 【详解】由题意，在ABC ∆中，8a =，5b =，面积为12， 则120122S absinC sinC ===，解得35sinC =． ∴297212122525cos C sin C =-=-⨯=． 故答案为725． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．20．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象解析：3010【解析】【分析】先找出线面角，运用余弦定理进行求解【详解】连接1AB交1A B于点D，取11B C中点E，连接DE，则1DE ACP，连接1A E1A DE∴∠为异面直线1A B与1AC所成角在111Rt AC Bn中，111AC=，1111122C E C B==15A E∴=同理可得162A D=,52DE=222165530cos65222A DE+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,∴异面直线1A B与1AC30故答案为3010【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题21．（1）0.005m=（2）平均数为93（3）140人【解析】【分析】(1)根据面积之和为1列等式解得.(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, (3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可. 【详解】解：()1由()1020.020.030.041m ⨯+++=, 解得0.005m =.()2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[)90,120的有140人. 【点睛】本题考查了频率分布直方图,属中档题.22．（1）1cos 3B =；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B 的值；（2）利用余弦定理求出c 的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sin B 的值，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）因为tan 3sin a B b A =，所以sin tan 3sin sin A B B A =， 又sin 0A >，所以sin 3sin cos BB B =，因为sin 0B >，所以1cos 3B =； （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，则21179233c c =+-⨯⨯⨯， 整理得2280c c --=，0c >Q ，解得4c =.因为1cos 3B =，所以sin B ==，所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B == 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）0.9（2）0.085,0.125a b == 【解析】试题分析：（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由频率/组距求出a 、b 的值试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9（2）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距， 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距 考点：频率分布直方图24．（1）3B π=；（2）(]2,4.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简()20a c cosB bcosC --=得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，再由正弦两角和差公式和化为：()2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C =+=+，再由()sin B C sinA +=得出cos B的值即可；（2）由sin 3b B =得出a A =，3c C =，得到sin 33a c A C +=+，进而得到sin 6a c A π+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到sin 6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭+的范围即可.【详解】(1)Q 由()20a c cosB bcosC --=， 可得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+，可得：()2sinAcosB sin B C sinA =+=，(0,)A π∈Q ，0sinA >，∴可得12cosB =， 又由(0,)B π∈得：3B π=，(2)sin 3b B =Q，a A =，3c C =， Q 23A C π+=，]sin sin sin()333a c A C A A B ∴+=+=++1sin sin()sin sin 32A A A A A π⎤⎤=++=+⎥⎥⎣⎦⎣⎦14cos 4sin()26A A A π⎤=+=+⎥⎣⎦，203A π<<Q ，5666A πππ<+<， 可得：1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，∴a c +的取值范围(]2,4.【点睛】本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.25．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ）6a =. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解. 试题解析:（1）在图1中，易得//,BE AOC OE CD CD AO CD OC ⊥∴⊥⊥Q 所以，在图2中，1,CD OC CD AO CD ⊥⊥∴⊥平面1A OC （2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE , 1CD A O ⊥ 所以1A O ⊥平面BCDE2111633BCDEAO S a a ∴⋅=== 考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用．26．（1）k＝－12.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.log44141xx－＋＋＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－12x＝log44•23xa a⎡⎤⎢⎥⎣⎦－有且只有一个实根，化简得方程2x＋12x＝a·2x－43a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－43at－1＝0有且只有一个正根．①a＝1t＝－34，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝34或－3.若a＝34t＝－2，不合题意，若a＝－3t＝12；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即11a--<0a>1.综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．。

河北省石家庄市2020年高二(下)数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设函数()f x 定义如下表：x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是（ ）A ．4B ．5C ．2D ．32．下列命题中真命题的个数是（ ） ①x R ∀∈，42x x >；②若“p q ∧”是假命题，则,p q 都是假命题；③若“x R ∀∈，320x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>” A ．0B ．1C ．2D ．33．若6名男生和9名女生身高（单位：cm ）的茎叶图如图，则男生平均身高与女生身高的中位数分别为( )A ．179，168B ．180，166C ．181，168D ．180，1684．(61x 的展开式中有理项系数之和为（ ）A ．64B ．32C ．24D ．165．定义在R 上的函数()f x 若满足：①对任意1x 、()212x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦；②对任意x ，都有()()2f a x f a x b ++-=，则称函数()f x 为“中心捺函数”，其中点(),a b 称为函数()f x 的中心.已知函数()1y f x =-是以()1,0为中心的“中心捺函数”，若满足不等式()()2222f m n f n m +≤---，当1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m m n +的取值范围为（ ）A ．[]2,4B ．11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．3y x = B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭7．若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8．()sin 2x dx ππ-+⎰的值为（ ）A ．0B ．42π-C ．4πD ．42π+9．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．31cm 2B ．31cm 3C ．31cm 6D ．31cm 1210．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，直线PM ，PN 的斜率分别为1212,(0)k k k k ⋅≠，若12k k 的最小值为2，则双曲线的离心率为( )A 2B 5C 3D ．3211．已知函数()()22sin ,,123f x x x ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则()12f x x +的值为 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．012．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．有一个容器，下部分是高为2m 的圆柱体，上部分是与圆柱共底面且母线长为6m 的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为___________3m ． 14．若()21,X N σ~，()120.2P X <<=，()300.25P X -<<=，则()()015P X P X <<->=_____.15．某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分以上的人数为__________．16．已知双曲线2214y x -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)x py p =<的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为2，则p 的值为_______. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()ln f x x x x =+ ，(1)求()f x 的图象在1x = 处的切线方程并求函数()f x 的单调区间； (2)求证：()xe f x >' .18．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2=，b 3=，C 2A ∠∠=． （1）求c 的值； （2）求ABC 的面积．19．（6分）已知函数22()3ln ()f x x ax a x a R =-+∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的2x e ≥（e 为自然对数的底数），()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.20．（6分）（1）若6(0)ax a x ⎛-> ⎪⎝⎭展开式中的常数项为60，求展开式中除常数项外其余各项系数之和；（2）已知二项式nax x ⎛- ⎪⎝⎭（i 是虚数单位，*,a R n N ∈∈）的展开的展开式中有四项的系数为实数，求n 的值.21．（6分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的高为3，底面边长为3，点,D E 分别为棱11B C 和1AA 的中点．（1）求证：直线DE ⊥平面BCE ； （2）求二面角E BD C --的余弦值． 22．（8分）已知函数3211()(1)()32f x x a x ax a R =+-+∈. （1）若()f x 在13x =-处取得极值，求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】根据流程图执行循环，确定周期，即得结果 【详解】 执行循环得：(5)3,1;(3)2,2;(2)4,3;(4)5,4;x f t x f t x f t x f t ============所以周期为4，因此5,2020,x t ==结束循环，输出5x =，选B.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．B 【解析】若1x =，42x x =则，故命题①假；若“p q ∧”是假命题，则,p q 至多有一个是真命题，故命题②是假命题；依据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”，即命题③是真命题，应选答案B ．3．C 【解析】 【分析】根据平均数和中位数的定义即可得出结果. 【详解】6名男生的平均身高为1731761781801861931816+++++=,9名女生的身高按由低到高的顺序排列为162，163，166，167，168，170，176，184， 185，故中位数为168. 故选:C.【点睛】本题考查由茎叶图求平均数和中位数,难度容易. 4．B 【解析】分析：在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数为整数，求出r 的值，再利用二项式系数的性质，即可求得展开式中有理项系数之和．详解：（）6的展开式的通项公式为 T r+1=6rC •2rx ，令2r为整数，可得r=0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为 06C +26C +46C +66C =25=32， 故选：B ．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数 5．C 【解析】 【分析】先结合题中条件得出函数()y f x =为减函数且为奇函数，由()()2222f m n f n m +≤---，可得出2222m n n m +≥+，化简后得出()()20n m n m ---≤⎡⎤⎣⎦，结合1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求出13nm≤≤，再由11m n m n m=++结合不等式的性质得出m m n+的取值范围. 【详解】由()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦知此函数为减函数.由函数()1y f x =-是关于()1,0的“中心捺函数”，知曲线()1y f x =-关于点()1,0对称，故曲线()y f x =关于原点对称，故函数()y f x =为奇函数，且函数()y f x =在R 上递减，于是得()()2222f m m f n m +≤+，2222m n n m ∴+≥+.22220n m m n ∴-+-≤，()()20n m n m ∴---≤⎡⎤⎣⎦.则当1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令m=x ，y=n 则：问题等价于点（x，y）满足区域()y x2x0112yx⎧⎡⎤---≤⎣⎦⎪⎨≤≤⎪⎩，如图阴影部分，由线性规划知识可知n ym x=为（x，y）与（0，0）连线的斜率，由图可得[]13n ym x=∈，，111,421mnm nm⎡⎤∴=∈⎢⎥+⎣⎦+，故选：C.【点睛】本题考查代数式的取值范围的求解，解题的关键就是分析出函数的单调性与奇偶性，利用函数的奇偶性与单调性将题中的不等关系进行转化，应用到线性规划的知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 6．B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，逐一分析四个函数在(0,)+∞上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案.【详解】对于A:3y x=是奇函数，对于B:1y x=+为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增；对于C:21y x=-+为偶函数，但在(0,)+∞上单调递减；对于D:12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数；所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，()()f x f x -=±（正为偶函数，负为减函数）；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()1()f x f x -=±（1为偶函数，-1为奇函数）. 7．C 【解析】 【分析】先假设函数()f x 不存在增区间，则()f x 单调递减，利用()f x 的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数a 的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数a 的取值范围. 【详解】若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题. 8．C 【解析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：()()sin 2cos 2|x dx x x ππππ--+=-+⎰()cos 2cos 24πππππ=-+---=，故选C.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，考查计算能力，属于简单题. 9．C 【解析】分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1，高为1的三角形，三棱锥的高为1，根据三棱锥的体积公式得到结果.详解：由三视图可知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1cm ，高为1cm 的三角形，面积2111122S cm =⨯⨯=， 三棱锥的高是1cm ，所以31111326V cm =⨯⨯= 故选C.点睛：当已知三视图去还原成几何体直观图时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性． 10．A 【解析】 【分析】先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用12||||k k +的最小值为2，即可求得双曲线的离心率． 【详解】由题意，可设点(,)M p q ，(,)N p q --，(,)P s t ．∴22221p q a b -=，且22221s t a b-=． 两式相减得222222t q b s p a -=-．再由斜率公式得：22212222t q b k k s p a -==-． 122||||b k k a+ 根据12||||k k +的最小值为2，可知22ba=，所以a=b. 所以c =∴ce a== 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关 键． 11．C 【解析】由题意得，3224312πππω⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭，则2ω=，又012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2sin 2012πϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()2f x =，即2sin 226x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，262x ππ+=，解得该函数的对称轴为6x π=，则1226x x π+=，即123x x π+=，所以()122sin 21336f x x f πππ⎛⎫⎛⎫+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.12．A【解析】 【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2563π【解析】 【分析】设圆柱底面圆的半径为r ，分别表示出圆柱和圆锥的体积，利用导数求得极值点，并判断在极值点左右两侧的单调性，即可求得函数的最大值，即为容器的最大容积. 【详解】设圆柱底面圆的半径为r ，圆柱体的高为2m ，则圆柱的体积为22=22V r r ππ⨯=圆柱；圆锥的高为h =，则圆锥的体积2211=33V r h r ππ⨯=圆锥所以该容器的容积为221+2+3V V V r r ππ==圆柱圆锥2212+3r r π⎛= ⎝则22114+332V r r r π⎛⎫ '=⨯ ⎝324+3r r π⎛⎫= ⎝，令0V '=，即224+3=，化简可得224r -=232r =，当232r <时，0V '>，函数2212+3V r r π⎛= ⎝单调递增， 当232r >时，0V '<，函数2212+3V r r π⎛= ⎝单调递减， 所以当232r =时，2212+3V r r π⎛= ⎝取得最大值；代入可得1256+232+3233V V V πππ==⨯⨯=圆柱圆锥， 故答案为：2563π. 【点睛】 本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用，圆柱与圆锥的体积公式应用，属于中档题.14．0.15【解析】由题意可得：()()120.2,300.25P X P X <<=-<<=，则：()()50.50.20.250.05P X >=-+=，()()()()0151250.20.050.15P X P X P X P X <<->=<<->=-=.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.15．25【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率，再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果.详解：因为成绩在80分以下的概率为(0.0050.03+0.0410=0.75+⨯），所以成绩在80分以上的概率为10.750.25-=，因此成绩在80分以上的人数为0.25100=25.⨯点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.16．4p =-【解析】【详解】分析：求出双曲线2214y x -=的两条渐近线方程与抛物线22(0)x py p =<的准线方程，进而求出,A B 两点坐标，再由AOB ∆的面积为2，列出方程列方程求解即可. 详解：双曲线2214y x -=的两条渐近线方程2y x =±， 又抛物线()220x py p =>的准线方程是2p y =-， 故,A B 两点的横坐标坐标分别是14y p =±， 又AOB ∆的面积为1，12222p p ∴⋅⋅=， 0,p <∴得4p =-，故答案为4-.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质以及抛物线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）切线方程为：21y x =- ，单调增区间为2(,)e -+∞，单调减区间是2(0,)e -（2）见解析【解析】试题分析：(1)由函数的导函数可得切线的斜率为2，据此可得切线方程为：21y x =- ，单调增区间为()2,e -+∞，单调减区间是()20,e -；(2)构造新函数()()'ln 2x x g x e f x e x =-=--，结合函数的性质即可证得题中的结论.试题解析：(1) ()ln 2f x x ='+，∴，所以切线方程为： 单调增区间为()2,e -+∞，单调减区间是()20,e- (2)设，. ∵在上单调递增，且，.∴存在唯一的零点，使得，即∴在上单调递减，在单调递增， ∴=， 又，∴上式等号不成立，∴，即18．（110；（2315【解析】【分析】 （1）由正弦定理及C 2A ∠∠=，得c 2acosA =，再代入角A 的余弦定理，求得10c =。

2020学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =（ ）A ．34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i - 2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0'()0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确3.在回归分析中，2R 的值越大，说明残差平方和（ ）A ．越小B ．越大C ．可能大也可能小D ．以上都不对4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）A ．62n -B ．82n -C ．62n +D ．82n + 5.如果函数()y f x =的图象如图所示，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6.某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表： 广告费用x （万元） 4 2 3 5销售额y （万元）5026 38m根据以上数据可得回归直线方程$$y bxa =+$，其中9.4b =$，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则$a，m 的值为（ ） A ．$9.4a=，52m = B ．$9.2a =，54m = C ．$9.1a =，54m = D ．$9.1a =，53m =7.利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n +++⋅⋅⋅+<-*(2,)n n N ≥∈的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．21k -项D ．2k 项8.如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5769.设复数(1)(,)z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A ．3142π+B ．112π+C ．112π- D ．1142π-10.设函数()y f x =的定义域为{|0}x x >，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()k K f x K f x f x f x K≤⎧=⎨>⎩，则当函数1()f x x =，1K =时，定积分214()k f x dx ⎰的值为（ ）A ．2ln 22+B ．2ln 21-C ．2ln 2D ．2ln 21+11.已知等差数列{}n a 的第8项是二项式41x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则91113a a -=（ ）A ．23B ．2C ．4D ．612.已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2x f x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ） A ．[1,0]- B ．[2,0]- C ．[0,1] D ．[0,2] 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量服从正态分布2(2,)X N σ:，若()0.32P X a <=，则(4)P a X a ≤<-等于 ．14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）15.63(2x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是 ．16.已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，()ln f x x ax =-，（12a >），当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值等于 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.复数213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，若12z z +是实数，求实数a 的值.18.某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.19.在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*n N ∈）.（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明. 20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X .①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X 的数学期望和方差.（()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）21.已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数；（2）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为5ρ=，直线l 过点P 且与曲线C 相交于A ，B 两点. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若8AB =，求直线l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数2()f x ax x a =+-的定义域为[1,1]-. （1）若(0)(1)f f =，解不等式3()14f x ax -<+； （2）若1a ≤，求证：5()4f x ≤.2020学年度期末试题高二数学 理科答案 一、选择题1-5: CAACA 6-10: CDBDD 11、12：CB 二、填空题13. 0.36 14. 660 15. 243 16. 1 三、解答题 17.解：2123(10)5z z a i a +=+-+2(25)1a i a++-- 232[(10)(25)]51a a i a a ⎛⎫=++-+- ⎪+-⎝⎭213(215)(1)(5)a a a i a a -=++--+.∵12z z +是实数， ∴22150a a +-=，解得5a =-或3a =， 由于50a +≠， ∴5a ≠-，故3a =.18.解：（1）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1， 故()0.20.20.10.050.55P A =+++=.（2）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3， 故()0.10.050.15P B =+=. 又()()P AB P B =， 故()()0.153(|)()()0.5511P AB P B P B A P A P A ====. 因此所求概率为311.19.解：（1）由已知条件得12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=，由此算出26a =，312a =，420a =，29b =，316b =，425b =.（2）由（1）的计算可以猜想(1)n a n n =+，2(1)n b n =+， 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，由已知12a =，14b =可得结论成立.②假设当n k =（2k ≥且*k N ∈）时猜想成立，即(1)k a k k =+，2(1)k b k =+. 那么，当1n k =+时，2122(1)(1)k k k a b a k k k +=-=+-+232(1)(2)k k k k =++=++，2222112(1)(2)(2)(1)k k k a k k b k b k ++++===++， 因此当1n k =+时，结论也成立.由①和②和对一切*n N ∈，都有(1)n a n n =+，2(1)n b n =+成立.20.解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：2K 的观测发传真2300(1201560105)180********k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯16.66710.828≈>，所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中43(0)5P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭；31423(1)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 222423(2)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；313423(3)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；44423(4)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：②由于24,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，则28()455E X =⨯=，2224()415525D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 21.解：（1）'()ln 1f x x =+，所以切线斜率'(1)1k f ==. 又(1)0f =，∴曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩得2(1)10x a x +-+=. 由22(1)423(1)(3)a a a a a ∆=--=--=+-， 可得当0∆>时，即1a <-或3a >时，有两个公共点； 当0∆=时，即1a =-或3a =时，有一个公共点； 当0∆<时，即13a -<<时，没有公共点. （2）2()()2ln y f x g x x ax x x =-=-++， 由0y =，得2ln a x x x=++， 令2()ln h x x x x =++，则2(1)(2)'()x x h x x -+=. 当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由'()0h x =，得1x =.所以()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,e 上单调递增，因此min ()(1)3h x h ==.由1121h e e e⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2()1h e e e =++，比较可知1()h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，结合函数图象可得，当231a e e <≤++时，函数()()y f x g x =-有两个零点.22.解：（1）由5ρ=，可得225ρ=，得2225x y +=， 即曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=.（2）设直线l 的参数方程为3cos 3sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）， 将参数方程①代入圆的方程2225x y +=， 得2412(2cos sin )550t t αα-+-=，∴216[9(2cos sin )55]0αα∆=++>，上述方程有两个相异的实数根，设为1t ，2t ，∴128AB t t =-==， 化简有23cos 4sin cos 0ααα+=，解得cos 0α=或3tan 4α=-，从而可得直线l 的直角坐标方程为30x +=或34150x y ++=. 23.解：（1）(0)(1)f f =，即1a a a -=+-，则1a =-， ∴2()1f x x x =-++，∴不等式化为234x x x -+<-+，①当10x -≤<时，不等式化为234x x x -<-+，∴02x -<<； ②当01x ≤≤时，不等式化为234x x x -+<-+， ∴102x ≤<.综上，原不等式的解集为12x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）证明：由已知[1,1]x ∈-，∴1x ≤. 又1a ≤，则22()(1)(1)f x a x x a x x =-+≤-+2211x x x x ≤-+=-+2155244x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭.。

2023—2024学年河北省石家庄师大附中高二下学期期末数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知，则（）A．B．C．D．(★) 3. 设向量，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（）A．B．C．D．(★★) 6. 在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列且，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★)8. 在平面坐标系中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为，则该质点移动的方法总数为（）A．120B．135C．210D．225二、多选题(★★★) 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（）A．展开式的所有系数和为1B．展开式的第4项二项式系数最大C．展开式中不含项D．展开式的常数项为240(★★) 10. 已知，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（）A．到直线的距离为2B．以为圆心，为半径的圆与相切C．直线斜率的最大值为2D．若，则的面积为2三、填空题(★) 12. 已知变量和的统计数据如下表：123451.54若由表中数据得到经验回归直线方程为，则 _________ ．(★★) 13. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若，则的最小值为 ___________ ．(★★) 14. 不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出2个球（不放回），学生乙在剩下的3个球中随机取一个，已知甲至少取走了1个黑球，则乙取出白球的概率为 _________ ．四、解答题(★★★) 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设为的前项和，求的最小值．(★★★) 16. 如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，且．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．(★★★) 17. 某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复．已知食堂今天供应套餐甲，(1)求接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率；(2)用随机变量表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求的分布列与期望．(★★★) 18. 设函数．(1)讨论的单调性；(2)已知为的两个极值点，证明：．(★★★) 19. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，．(1)求的方程；(2)过的另一条直线交于两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的最大值．。

石家庄市2020年高二(下)数学期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,0][,)4-∞⋃+∞ B ．1(,][0,)4-∞-⋃+∞C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(,1]-∞【答案】B 【解析】 【分析】由求导公式和法则求出()'f x ，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a 的取值范围． 【详解】由题意得，()211'f x a x x=+-， 因为()f x 在[)1,+∞上是单调函数，所以()'0f x ≥或()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立， 当()'0f x ≥时，则2110a x x+-≥在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≥-， 设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当11x=时，()g x 取到最大值为0， 所以0a ≥； 当()'0f x ≤时，则2110a x x+-≤在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≤-， 设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当112x =时，()g x 取到最小值为14-，所以14a -≤， 综上可得，14a -≤或0a ≥， 所以数a 的取值范围是][1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭， 故选B. 【点睛】本题主要考查导数研究函数的的单调性，恒成立问题的处理方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．等差数列中的是函数的两个极值点，则（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据导数得到是方程的实根，根据等差数列的性质得到答案.【详解】 由题意可知：，又是函数的极值点，∴是方程的实根，由韦达定理可得.等差数列的性质可得，∴.【点睛】本题考查了等差数列的性质，函数的极值，对数运算，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 3．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若4610a a +=，则9S = A ．20 B ．35C ．45D ．90【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和的性质得到S 9=()()19469922a a a a +=+，直接求解． 【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4+a 6=10， ∴S 9=()()19469945.22a a a a +=+=【点睛】这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

2020年河北省石家庄市数学高二下期末调研试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1 6.5PF =，则2PF 等于（ ）． A ．0.5 B ．12.5C ．4或10D ．0.5或12.5【答案】D 【解析】由230x y +=，可得23y x =-， 又由题意得双曲线的渐近线方程为2y x a=±， ∴223a = ∴3a =，根据双曲线的定义可得126PF PF -=， ∴20.5PF =或212.5PF =．经检验知20.5PF =或212.5PF =都满足题意．选D ．点睛：此类问题的特点是已知双曲线上一点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离，实质上是考查双曲线定义的应用．解题时比较容易忽视对求得的结果进行验证，实际上，双曲线右支上的点到左焦点的最小距离为c a +，到右焦点的最小距离为c a -．同样双曲线左支上的点到右焦点的最小距离是c a +，到左焦点的最小距离是c a -．2．已知集合{A x y ==，{}B x x a =≥，若AB A =，则实数a 的取值范围是( )A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．(],0-∞D ．[)3,+∞【答案】A 【解析】由已知得[]3,3A =-，由AB A =，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A.3．设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．BC ．D ．7+【答案】C求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离. 【详解】圆()2262x y +-=的圆心为M(0,6)，设()00,Q x y ，则2200110x y +=， 即[]01,1y ∈-，MQ ==[]0 ,?1,1y ∈-∴当0y =- 23时，MQ =最大PQ 的最大值为. 故选C. 【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于060，反证假设正确的是( ) A ．假设三内角都大于060 B ．假设三内角都不大于060 C ．假设三内角至多有一个大于060 D ．假设三内角至多有两个大于060【答案】B 【解析】 【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案. 【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于060不成立，即假设三内角都不大于060，故本题选B. 【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.5．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为（） A ．5400海里 B ．2700海里C ．4800海里D ．3600海里【答案】D求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。

2020年河北省石家庄市河北师范大学附属实验中学高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在二项式（的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=72，则展开式中常数项的值为（）A．18 B．12 C．9 D．6参考答案：C2. 已知点，若直线l过点与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C3. 若函数的图象在点处的切线方程是，则（）A. 0B. 2C. －4D. 4参考答案：C【分析】由切线方程可以得到，从而可求两者之和.【详解】因为函数的图象在点处的切线方程是，所以，所以，故选C.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.4. 设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有( )A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N参考答案：A 5. 过抛物线的焦点任作一条射线交抛物线于点，以为直径的圆必与直线（）A．相切 B．相切 C．相切 D．相切参考答案：A6. △ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．参考答案：B【分析】由题意可得2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2﹣2ac．①又△ABC的面积为，且∠B=30°，由S△ABC=acsinB=ac?sin30°=ac=，解得ac=6，代入①式可得a2+c2=4b2﹣12，由余弦定理cosB====．解得b2=4+2，又∵b为边长，∴b=1+．故选：B【点评】本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题．7. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是A 设数列﹛a n﹜的前n项和为s n，由a n=2n﹣1，求出s1 =12 ，s2=22，s3=32，…推断s n=n2B由cosx，满足对x∈R都成立，推断为奇函数。