正比例函数图象及性质

函数的正比例知识点总结1. 定义和特点正比例函数是描述两个变量之间成正比关系的函数。

在正比例函数y=kx中，k被称为比例系数，表示y和x之间的比例关系。

当x增加时，y也随之增加；x减少时，y也随之减少。

因此，正比例函数的图象通常是一条通过原点的直线。

正比例函数的特点如下：- 通过原点：正比例函数的图像都通过原点(0,0)，因为当x=0时，y=0，即k*0=0。

- 一般形式：正比例函数的一般形式为y=kx，其中k为常数。

- 方向一致：当x增加时，y也增加；x减少时，y也减少。

2. 图像和性质正比例函数的图像通常是一条通过原点的直线。

例如，y=2x和y=0.5x分别表示比例系数为2和0.5的正比例函数，它们的图像分别是一条斜率为2和斜率为0.5的直线。

正比例函数具有以下性质：- 斜率固定：正比例函数的图像的斜率即为比例系数k，表示y和x之间的比例关系。

- 通过原点：正比例函数的图像都通过原点(0,0)。

- 正相关性：x和y之间是正相关的，即当x增加时，y也增加；x减少时，y也减少。

3. 实际应用正比例函数在日常生活和科学领域中有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。

以下是一些实际应用的例子：- 距离和时间：当一个物体以匀速直线运动时，它的位移和时间成正比。

位移和时间之间的关系可以用正比例函数来描述，即位移=速度*时间。

- 价格和数量：在经济学中，价格和数量之间通常有着正比例的关系。

当商品的价格上涨时，消费者购买的数量通常会减少；反之亦然。

- 温度和压强：在物理学中，温度和气体的压强之间也通常成正比。

当温度上升时，气体的压强也会相应上升。

4. 解题方法解决正比例函数问题的关键是确定比例系数k。

一旦得到比例系数k，就可以轻松地求出任意x对应的y值，或者求出任意y对应的x值。

另外，当已知正比例函数经过一点时，可以使用此点的坐标和函数的一般形式来求出比例系数k。

5. 难点及解决方法在学习正比例函数时，学生可能会遇到以下难点：- 理解比例系数k的意义：学生可能对比例系数k的含义不够理解，认为它只是一个数字，缺少具体含义。

WORD 格式整理版正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数， k 0）的图像是经过原点 O(0,0) 和点 M（1，k）的一条直线。

我们把正比例函数 y=kx 的图像叫做直线 y=kx。

2.正比例函数性质精讲名题x m 3例 1. 若函数 y=(m-1)是正比例函数，则m=,函数的图像经过象限。

解:m=4, 图像经过第一、三象限。

例 2. 已知 y-1 与 2x 成正比例，当 x=-1 时， y=5, 求 y 与 x 的函数解析式。

解：∵ y-1 与 2x 成正比例∴设y-1=k ·2x （k0 ）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴ y-1=-2·2x∴y=-4x+1例 3. 已知 y 与 x 的正比例函数，且当x=6 时 y=-2WORD 格式整理版(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点 P（a， 4）在这个函数的图像上，求 a 的值；(4)试问，点 A（-6 ， 2）关于原点对称的点 B 是否也在这个图像上？解： (1)设 y=k·x （ k 0）当 x=6 时， y=-2 ∴-2=6k ∴k 1∴这个函数的解析式为 y1x 33(2)y 1x 的定义域是一切实数，图像如图所示：3(3)如果点 P（a， 4）在这个函数的图像上，∴41a ，∴a=-12 3(4)点 A（-6 ，2）关于原点对称的点 B 的坐标（ 6，-2 ），当 x=6 时， y=162因此，点 B 也在直线y 1x 上33例 4. 已知点 ( x1, y1 ) ，( x2, y2 ) 在正比例函数 y=(k-2)x的图像上，当x1x2时， y1y2，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随 x 的值增大而减小，∴k-2<0, ∴k<2例 5. （1）已知 y=ax 是经过第二、四象限的直线，且 a 3 在实数范围内有意义，求 a 的取值范围。

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。

当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。

当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。

：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。

图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。

③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。

三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。

当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

练习题 1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。

正比例函数与一次函数的图象与性质1，正比例函数2，一次函数y=kx+b的性质（对比正比例函数的性质和图像的性质）3，函数是通过的观念研究已学过或未学过的知识。

4，变量的定义是：常量的定义是：5，函数的定义：则函数的本质是：6，在函数的定义中，自变量x在“在某一范围内”取值，这就是自变量的取值范围，它有两层含义，分别是：（1）（2）7，函数解析式是式子，写函数解析式必写8，函数的表示方法有种，它们分别是：；在运用时不是单独运用某一种，而综合运用它们。

9，由函数解析式画函数图像，一般步骤是10，一次函数的定义是正比例函数的定义是11，一次函数y=kx+b的平移：1）在y轴如何平移2）在x轴如何平移12，正比例函数是一次函数的特例，特殊在什么地方13，一次函数y=kx+b的趋势是由什么决定的如何决定的14，函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2： 1）平行的条件2）相交的条件3）重合的条件15，作图与作题正比例函数的图像是由决定的而一次函数的图像是由决定的16，一次函数是函数中最简单、最基本的一种函数。

函数与方程不同，方程是从静态的角度看待问题，是求方程所代表的未知数，如x+y=1，就方程而言一个二元一次方程没有意义，要想有意义就要是方程组，才能有一对实数解，这个解用平面直角坐标系来解释就是一个点；而函数是运用运动的观念来研究问题的，是从动态的角度看待问题的，也就是说自变量在某一变化过程中有一定的取值范围，从函数图像上看其就是点的集合，运用方程思想或方法只能求出一点，因此要想确定函数解析式或画出函数图像就要知道函数解析式中自变量的系数与常数即可，这就是待定系数法的由来。

17，待定系数法的定义是：待定系数法是解出函数解析式的方法，是运用方程思想解出函数解析式中未知的系数与常数，其步骤有：（1）根据图像或条件设定函数解析式；（2）运用方程思想方法解出未知的系数与常数。

那么一次函数系数的确定需要的条件是：正比例函数系数的确定需要的条件是：18，一次函数与二元一次方程组二元一次方程组有解是二元一次方程组无解是阅读——函数与方程的联系与区别：区别：（1）方程有若干个未知数，而函数则有若干个变量；（2）方程用等式表示若干个未知数的关系，而函数既可以用等式表示变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系。

第九讲 一次（正比例）图像及其性质目录必备知识点........................................................................................................................................1考点一 函数的概念理解................................................................................................................1考点二 一次函数概念的理解........................................................................................................4考点三 一次函数图像....................................................................................................................5考点四 一次函数图像性质1.........................................................................................................9考点五 一次函数图像性质2. (13)必备知识点知识点1 正比例函数图像（y=kx ）1.正比例函数图像是一条经过原点的直线。

2.性质（1）正比例函数图像必过（2）k>0，函数图像经过 象限，y 随x 的增大而 （3）K<0，函数图像经过 象限，y 随x 的增大而知识点2 一次函数图像（y=kx+b ）1.一次函数图像是一条直线。