D_变分法建模

2.端点变动的情况(横截条件)
容许曲线在始端固定,在末端不固定,是沿给定曲线变动, 端点条件为
以参数形式表述为 仿照前面推导可得
n 对每一个固定的 ， 都满足欧拉方程，即上式右端 第一项积分为0.
n 对于上式第二项、第三项，建立 与 之间的关系 .
n 两端对 求导,并令
有
n即
n 于是,前面的式子变为
n 由于 的任意性,得到横截性条件为
n 两种常见情形 n (1)当 时垂直于横轴,且终端时刻固定,终端自由. 此
时 及 的任意性,得到横截性条件为
n (2)当 时平行于横轴,且终端时刻自由,终端固定. 此
时
,得到横截性条件为
三、有约束条件的泛函极值
n 基本思想：将条件极值转化为无条件极值. n 寻找最优性能指标(目标泛函)
(用于确定 ) (用(于用确于定确定 ) )
解最优控制问题的步骤： （１）解控制方程得u＊。
（2）将上述u＊代入 正则方程，即可求得 和
在考虑边值条件可得 和 。
（3）将（2）中求得的代入（1）即可得到u＊。
四、最大值原理
如果受控系统为
其控制策略u(t)在有界集U中，求u(t)使得性能指标最优 (达到最大值或者最小值)
都有一个实数J与之对应,则称定义在S 上的泛函,记为
.
例如,函数的定积分 是一个泛函.
4.泛函的连续性 如果对于任意给定的正数 ,存在正数 ,当
时,能使
,则称泛函 在
阶接近的连续泛函.
处是k
n 5.泛函的变分
设 在 处的增量记为
,
如果泛函 在 处的增量
可以表示为
其中，L是 线性函数，R是 的高阶无穷
最大值原理是：如果
都是连续可微的，那么最优
策略和最优轨线有下列条件决定：
最优轨线和协态变量满足正则方程：
哈密顿函数 做为最优策略u(t)，必须有
(3)满足相应边界条件：
n 若两端点固定，则正则方程的边界条件为
n 若始端固定，终端时刻固定，而终端自由，则正则方程
的边界条件为
.
n 若始端固定，终端时刻和终端自由，则正则方程的边界 条件为
用这种关系为使得总利润最大，如何制定最佳调 价方案？
n 一、建模假设 (1)调价决策是积极的,正确的,在一年之内不会发生
对A的其它调价决策.市场的供需矛盾不会发生大 的变化.
(2)公司关于知道的A产品的销售量S和其价格p和其价格变化 率p’的关系是可靠的,S=S(p, p’).
(3)公司的生产能力能满足市场的需求.设每周生产S件产品 的生产费用为C(S).
n 转化为无条件极值
n 其中
密顿函数.原来的泛函变为
称为哈
n 类似于前面的无条件极值的推导
n 有极值必要条件和 n (1) 必须满足正则方程:
n 状态方程 n 协态方程
的任意性,可得
(2)哈密顿函数 作为u的函数，也必须满足
控制方程
n 并由此求得u.
(3)求
时,必须利用边界条件
其总利润为
这是固定边界的泛函极值.满足欧拉方程: 化简得 其通解为 由边界条件，得到 所以最佳调整方案为
模型二（条件极值问时刻价格调整u(t)称为控制策略.则动态模型为
性能指标 哈密顿函数
令
即 对t求导，得 即 再求正则方程，得
由前面可得
所以
利用边界条件
上的某一点 的邻域
M(t) 在 该邻域内恒为正，定义函数
，使得
变分引理的另一形式
引,理易在 知设M(t)满具在足有二定阶理内连的可续条导导，件数若，，对这且任使样意积满分足化为 的
则在因被积内函，数恒大于0，故积分值为正，得出矛 盾，从而有
同样，对于多维依然成立。（ 参见《最优控制计算方法》张光 澄编，成都科大和《最优控制应 用基础》,刑继祥等编,科学出版 社以及《变分法》吴迪光编,高教）
例1 已知
求 在t1=1处满足
x1(1)+x2(1)=1,且使 取最小．
解设
,则
由横截条件的 再由 及 有 故
最后由限制条件x1(1)+x2(1)=1，可得 从而
二 产品价格最佳调整
物价管理部门根据市场预测和经济协调发展 的需要,决定将A产品的价格p(t)由现在的p0 =70元调 整到p1 =100元，便要求各公司自行在一年内完成这 一调价任务.某公司经营A 产品多年,知道A产品的 销售量S和其价格p和其价格变化率p’的关系，利
二、无约束条件极值
1.端点固定的情况
即是容许曲线 满足边界条件 且二次可微. 计算变分
右端第二项做分部积分,并利用 代入前面,并利用泛函极值的必要条件,有
因为 的任意性,及 欧拉方程
,由变分引理可得
它是这类最简单泛函的极值的必要条件.
二元泛函
对于多元泛函仍然有欧拉方程
取极值的必要条件-欧拉方程
(4)函数S(p, p’)和C(S)有统计方法拟合成连续可微函数. S(p, p’)=p+100 p’+100,
(5)约定一年以52周计算,资金的时间价值不计. (6)所制定的调价方案应该满足p0 =70,pf =100.
二、模型构造 模型一(无条件极值问题) 根据假设,可以构造固定边界条件下的模型: p0 =70,pf =100.
小项 ， 变分，记为
称为泛函
在 处的
.也称为 在
处可微.
证明 由L对 于是
的线性性质,有
同样,对于n元泛函的变分为
6.泛函的极值
可微泛函的 在 处有极值的必要条是
,
对于n元泛函的变分也同样如此.
7.变分引理
引理 设M(t) 在 内连续，若对任意满足
的
,在 具有二阶连续导数，且使
则在 内，
证明 假设M(t) 在
得到解
最优控制策略为
最大利润为
元.
三、评注
采用两种不同的观点和方法建立了不同的数学模型 ，但是结果一样，学习用系统观点建模很重要.由于调价 不可能随时进行.应为离散的参见陈理荣主编的《数学建 模导论》161页.
三 生产设备的最大经济效益
某工厂购买一台新设备投入生产，一方面该设 备随着运行时间的推移其磨损程度越来越大，价 值随时间的增加而减小；另一方面生产设备的日 常保养可以减缓磨损程度，提高转卖价格.应该如 何确定最优的保养费和设备的转卖时间.
变分法建模 1变分法简介 2 产品价格最佳调整 3 生产设备最大经济效益
1 变分法简介
一、变分法的基本概念
1.容许函数集
满足条件
(1) 在 上逐段连续可导;
(2)满足边界条件的一切函数 构成容许函数集
2. 适合不等式
的容许
函数集,称为函数 的 邻域.
3.泛函的概念
设S为一个容许函数集,若对于每一个函数