第四章 偏微分方程的有限差分法

有限差分法的原理与计算步骤有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。

其基本原理是将连续的偏微分方程转化为差分方程，通过逼近导数，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。

下面将详细介绍有限差分法的原理和计算步骤：一、基本原理：有限差分法基于Taylor级数展开，通过利用函数在其中一点附近的导数信息来逼近函数在该点处的值。

该方法将连续的偏微分方程转化为差分方程，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。

在有限差分法中，常用的差分逼近方式有前向差分、后向差分和中心差分。

二、计算步骤：1.网格划分：将求解区域划分为有限个离散点，并定义网格上的节点和网格尺寸。

通常使用等距离网格，即每个网格点之间的间距相等。

2.离散化：将偏微分方程中的各个导数项进行逼近，利用差分近似来替代和求解。

一般采用中心差分逼近方式，即通过函数值在两侧点的差来逼近导数。

3.代数方程系统：利用离散化的差分方程，将偏微分方程转化为代数方程系统。

根据问题的边界条件和初值条件，构建代数方程系统的系数矩阵和常数向量。

4. 求解代数方程：利用求解线性方程组的方法求解代数方程系统，常用的方法有直接法（如高斯消元法、LU分解法）和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）。

求解得到各个离散点的解。

5.后处理：根据求解结果进行后处理，包括结果的插值和可视化。

将离散点的解通过插值方法进行平滑处理，并进行可视化展示，以得到连续的函数解。

三、优缺点：1.直观：有限差分法基于网格划分，易于理解和实现。

2.精度可控：可通过调整网格大小和差分逼近方式来控制计算的精度。

3.广泛适用性：可用于求解各种偏微分方程，适用于不同的边界条件和初值条件。

然而，有限差分法也存在一些缺点：1.精度依赖网格：计算结果的精度受到网格划分的影响，因此需要谨慎选择网格大小。

2.限制条件：有限差分法适用于边界对应点处导数有定义的问题，不适用于奇异点和非线性问题。

偏微分方程的数值方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究的重要分支，广泛应用于物理学、工程学等领域中。

由于一些复杂的PDEs难以找到解析解，因此需要借助数值方法进行求解。

本文将介绍偏微分方程的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是解偏微分方程最常用的数值方法之一。

它将偏微分方程中的导数用差商来近似，将空间离散成若干个小区间和时间离散成若干个小时间步长。

通过求解离散化后的代数方程，可以得到原偏微分方程的数值解。

以二维的泊松方程为例，偏微分方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = f(x, y)其中，u(x, y)为未知函数，f(x, y)为已知函数。

我们可以将空间离散成Nx × Ny个小区间，时间离散成Nt个小时间步长。

利用中心差分法可以近似表示导数，我们可以得到离散化的代数方程组。

二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种重要的数值解PDEs的方法。

它将求解区域离散化成一系列的单元，再通过插值函数将每个单元上的未知函数近似表达。

然后，利用加权残差方法，将PDEs转化成代数方程组。

在有限元法中，采用形函数来近似未知函数。

将偏微分方程转化为弱形式，通过选取适当的形函数和权函数，可以得到离散化后的代数方程组。

有限元法适用于求解各种各样的偏微分方程，包括静态和动态、线性和非线性、自由边界和固定边界等问题。

三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于特殊函数（如正交多项式）的数值方法，用于解PDEs。

谱方法在求解偏微分方程时，利用高阶连续函数拟合初始条件和边界条件，通过调整特殊函数的系数来近似求解解析解。

谱方法具有高精度和快速收敛的特点，适用于各种偏微分方程求解。

偏微分方程的有限差分法
有限差分法：是一种数学计算概念，是指在计算过程中，以差分的形势来代替微分，从而使整个计算过程具有有限差分法的出发点，以此达到微分议程和积分微分方式数值解的一种计算过程。

微分方程和积分微分方程数值解的方法。

基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。

有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
3、逼近求解。

换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程（Leon，Lapidus，GeorgeF。

Pinder，1985）。

第四章有限差分方法4.1引言有限差分法：数值求解常微分方程或偏微分方程的方法。

物理学和其他学科领域的许多问题在被分析研究之后, 往往可以归结为常微分方程或偏微分方程的求解问题。

一般说来，处理一个特定的物理问题，除了需要知道它满足的数学方程外，还应当同时知道这个问题的定解条件，然后才能设计出行之有效的计算方法来求解。

有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。

在有限差分方法中，我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注独立变量离散取值后对应的函数值。

但是从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。

因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值插值计算来近似得到。

这种方法是随着计算机的诞生和应用而发展起来的。

其计算格式和程序的设计都比较直观和简单，因而，它的实际应用已经构成了计算数学和计算物理的重要组成部分。

有限差分法的具体操作分为两个部分：(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式； (2)求解差分方程组。

在第一步中，我们通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。

通常采用的是规则的分割方式。

这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。

网络线划分的交点称为节点。

若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点；反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。

在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近似值。

有限差分法的差分格式：一个函数在x 点上的一阶和二阶微商，可以近似地用它所临近的两点上的函数值的差分来表示。

如对一个单变量函数f(x)，x 为定义在区间[a,b]的连续变量。

以步长h=Δx 将[a,b]区间离散化，我们得到一系列节点x = a , x = x + h , x = x + h = a + 212132Δx , ..., x = x + h = b , 然后求出 f(x)在这些点上的近似值。

偏微分方程的数值求解方法偏微分方程是描述自然现象的重要工具，例如描述热传导、电磁波传播、流体运动等。

然而大多数情况下，这些方程很难通过解析方式求解，因此需要数值求解方法。

本文将介绍偏微分方程的数值求解方法及其应用。

一、有限差分法有限差分法是一种常见的偏微分方程数值求解方法。

它将原本连续的区域离散化，将偏微分方程转化为差分方程。

例如对于一维热传导方程：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$其中 $u(x, t)$ 是温度，$\alpha$ 是热扩散系数。

我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，时间分成 $M$ 个步骤。

则有：$$u_i^{m+1} = u_i^m + \frac{\alpha\Delta t}{\Deltax^2}(u_{i+1}^m - 2u_i^m + u_{i-1}^m)$$其中 $u_i^m$ 表示在位置 $i\Delta x$，时间 $m\Delta t$ 时的温度值。

这是一个显式求解方程，可以直接按照时间步骤迭代计算。

不过由于它的误差可能会增长，因此需要小心选择时间步长和空间步长，以保证误差不会过大。

二、有限元法有限元法是一种更加通用的偏微分方程数值求解方法。

它将连续区域离散化成一些小段，称为单元。

然后针对每个单元，将其上的偏微分方程转化为局部插值函数的方程求解。

例如对于一维波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，用有限元方法将每个网格分成若干个单元。

则对于每个单元 $i$，我们可以得到一个局部插值函数 $u^i(x, t)$ 来近似解该单元上的偏微分方程。

这里不再赘述该函数的形式。

另外，我们还需要满足界面上的连续性和斜率匹配条件，以保证整体解是连续的。

科学计算中的偏微分方程有限差分法
偏微分方程是描述自然界中许多现象的重要工具，例如流体力学、电磁学和量子力学等。

然而，解析解通常只能得到一些简单的特例，因此需要使用数值方法来求解偏微分方程。

有限差分法是求解偏微分方程的一种常用数值方法。

它的主要思想是将偏微分方程中的连续空间变量离散化为有限个离散点，然后使用差分近似求解。

这样得到的数值解与真实解的误差随着离散化的细度逐渐减小，可以得到足够精确的近似解。

有限差分法的基本步骤包括网格生成、差分近似、边界条件处理和迭代求解。

其中，网格生成是将空间变量离散化的过程，差分近似是将偏微分方程中的微分算子用有限差分算子替代的过程，边界条件处理是将问题的边界情况考虑进来的过程，迭代求解是使用差分方程求解数值解的过程。

有限差分法在科学计算中有着广泛的应用，例如在流体力学中求解Navier-Stokes方程、在地球物理学中求解地震波方程、在量子力学中求解薛定谔方程等。

通过有限差分法，科学家可以得到更加精确的数值解，进一步深入理解自然界的规律。

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有限差分法（Finite Difference Method）是一种数值方法，用于求解偏微分方程（PDEs）的近似解。

这种方法通过将连续的微分方程离散化，将其转化为一系列代数方程，从而在计算机上进行求解。

有限差分法特别适用于求解具有固定边界条件和初始条件的偏微分方程。

以下是有限差分法求解偏微分方程的基本步骤：1. 网格划分：首先，将问题的连续域划分为离散的网格点。

对于二维问题，这通常涉及到在空间和时间上进行网格划分，形成网格点的集合。

2. 离散化：使用差分公式将微分方程中的导数替换为差分。

例如，一阶导数可以用前向差分或后向差分近似，而二阶导数可以用中心差分近似。

3. 构建差分方程：在每个网格点上应用差分公式，将微分方程转化为代数方程。

对于边界条件，也需要进行相应的离散化处理。

4. 求解线性方程组：差分方程通常会导致一个线性方程组。

对于大型问题，这可能需要使用迭代方法或直接求解器来找到解。

5. 稳定性分析：在求解过程中，需要确保数值解的稳定性。

这涉及到对时间步长和空间步长的选择，以满足CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）条件。

6. 迭代求解：对于时间依赖的问题，如热传导或波传播，可以通过时间步进方法（如显式或隐式方法）来迭代求解。

7. 结果分析：最后，分析数值解以验证其准确性，并与解析解（如果存在）进行比较。

有限差分法在处理规则区域和简单边界条件的问题时非常有效。

然而，对于具有复杂几何形状或边界条件的问题，可能需要更高级的数值方法，如有限元方法（FEM）或边界元方法（BEM）。

在实际应用中，有限差分法通常与计算机软件结合使用，如MATLAB、Python的SciPy库等，以便于高效地处理大规模问题。

偏微分方程的有限差分法及地球物理应用有限差分法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法。

它将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，通过近似求解差分方程，得到偏微分方程的数值解。

这种方法在地球物理学中有着广泛的应用，如地震波传播模拟、电磁场分布计算等领域。

首先，假设我们要研究地震波在地下介质中的传播，可以采用波动方程来描述地震波的传播过程。

波动方程可以写成：∂^2u/∂t^2 = c^2∇^2u其中，u是地震波场，c是地下介质中的波速。

为了用有限差分法求解波动方程，我们需要将连续的空间和时间离散化。

假设我们将空间离散化为网格点（i,j,k），其中i,j,k分别代表空间的x,y,z方向，将时间离散化为时间步长Δt。

对波动方程进行近似，我们可以得到：(u(i,j,k,t+Δt) - 2u(i,j,k,t) + u(i,j,k,t-Δt))/Δt^2 = c^2(u(i+1,j,k,t) + u(i-1,j,k,t) + u(i,j+1,k,t) + u(i,j-1,k,t) +u(i,j,k+1,t) + u(i,j,k-1,t) - 6u(i,j,k,t))/Δx^2将此差分方程应用于地震波传播模拟，我们可以得到地震波场在空间和时间上的离散解。

有限差分法在地球物理中有着广泛的应用。

例如，它可以用于模拟地震波在地下介质中的传播，帮助研究地震灾害的发生机制和地下构造的特征。

通过调整网格的大小和时间步长，可以模拟不同频率的地震波传播过程，从而了解地震波在不同介质中的传播规律。

此外，有限差分法还可以应用于电磁场的计算。

例如，在电磁勘探中，可以利用有限差分法求解麦克斯韦方程，计算电磁场在地下介质中的传播和散射过程。

通过模拟电磁场的分布情况，可以帮助研究地下矿产资源的寻找和勘探。

需要注意的是，有限差分法在应用过程中还需要考虑边界条件的处理。

通常情况下，边界条件是已知的，例如地震波在地表的边界条件可以假设为自由表面，电磁场计算中的边界条件可以假设为电场和磁场的边界条件等。

有 限 差 分 法流体运动的控制方程多为偏微分方程，在复杂的情况下不存在解析解。

但是对于一些简单的情况存在解析解，偏微分方程的解析解可用精确的数学表达式表示，该表达式给出了因变量在整个定义域中的连续变化状况。

有限差分法（Finite Difference Method ,FDM ）是数值计算中比较经典的方法，由于其计算格式直观且计算简便，因此被广泛地应用在计算流体力学中。

有限差分法首先将求解区域划分为差分网格，变量信息存储在网格节点上，然后将偏微分方程的导数用差商代替，代入微分方程的边界条件，推导出关于网格节点变量的代数方程组，通过求解代数方程组，获得偏微分方程的近似解。

偏微分方程被包含离散点未知量的代数方程所替代，这个代数方程能求出离散节点处的变量，这种离散方法叫做有限差分法。

2.1有 限 差 分 逼 近2.1.1 有限差分网格 由于有限差分法求解的是网格节点上的未知量值，因此首先介绍有限差分网格。

图2.1 – 1是x-y 平面上的矩形差分网格示意图。

在x 轴方向的网格间距为△x ，在y 轴方向的网格间距为△y ，网格的交点称为节点，计算变量定义在网格节点上。

称△x 和△y 为空间步长，△x 一般不等于△y ，且△x 和△y 也可以不为常数。

取各方向等距离的网格，可以大大简化数学模型推导过程，并且经常会取得更加精确的数值解。

本章作为计算流体力学入门知识，假设沿坐标轴的各个方向网格间距分别相等，但是并不要求各方向的网格间距一致。

例如假设△x 和△y 是定值，但是不要求△x 等于△y 。

在图2.1 - 1中，网格节点在x 方向用i 表示，在y 方向用j 表示。

因此，假如（i ，j ）是点P 在图2.1 – 1中的坐标，那么，点P 右边的第一个点的就可以用（i+1，j ）表示；在P 左边的第一个点的就可以用（i —1，j ）表示；点P 上边的第一个点的就可以用（i ，j+1）表示；点P 下边的第一个点的就可以用（i ，j —1）表示。

第四章 抛物型微分方程有限差分法1设已知初边值问题22, 01, 0<(,0)sin , 01(0,)(1,)0, 0 u ux t t x u x x x u t u t t T π⎧∂∂=<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩T ≤, 试用最简显格式求上述问题的数值解。

取h=0.1,r=0.1.0 1/10 2/10 … 1 T 2τ τt解: 1.矩形网格剖分区域. 取空间步长1, 时间2510h =0.00τ=以及0.01τ=的矩形网格剖分区域, 用节点)表示坐标点(,j k (,)(,)j k x t jh k τ=, 0,1,...1/; 0,1,...,/j h k T τ==, 如图所示.显然, 我们需要求解这(1/1)(/1)h T τ+×+个点对应的函数值. 事实上由已知初边界条件蓝标附近的点可直接得到, 所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可. 沿用记号[]k(,)j j k u x t =。

u 2. 建立差分格式, 对于11,...1; 0,1,...,1Tj k hτ=−=−, 用向前差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式:1122k k k k k1jj j j u u u u u h ++−+=. 变形j τ−−有:1112(12) (k k k kj j j j u ru r u ru r h τ+−+=+−+=(4.1)用向后差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式最简隐格式:111122k k k k k j jj j j u u u u u h τ++++−−+=11+−1kj +,变形有:1111(12) k k k j j j ru r u ru u ++−−−++−= (4.2)(4.1)*0.5+(4.2)*0.5得CN 格式为:111112222k k k k k k k k j jj j j j j j u u u u u u u u h τ+++−+−−++−+=111++−1kj +x x变形有:111111(22)(22) k k k k k j j j j j ru r u ru ru r u ru ++−−+−−++−=+−+ (4.3)3 初边界点差分格式处理.对于初始条件u x (,0)sin , 01=π≤≤h 离散为(4.4)0sin 0,1,...1/j u jh j π==对于边界条件离散为(0,)(1,)0, 0 u t u t t T ==≤≤00 0,1,.../k k N u u k T τ===(4.5)总结: 联立方程(4.1)(4.4)(4.5)得到已知问题的最简显格式差分方程组:11100(12)1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N u ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ+−+⎧=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.2)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的最简隐格式差分方程组:1111100(12) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N ru r u ru u T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+⎧−++−=⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.3)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的CN 格式差分方程组:11111100(22)(22) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k k j j j j j jk k N ru r u ru ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+−⎧−++−=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩1k j + 4 求解并显示结果利用软件计算(Matlab)如上最简显格式差分方程组.h=1/10;tau=0.0025;T=0.5; r=tau/h^2;M=1/h+1;N=T/tau+1; u=zeros(M,N);for m=1:Mu(m,1)=sin((m-1)*h*pi); endu(1,1:N)=0;u(M,1:N)=0;for n=1:N-1for m=2:M-1u(m,n+1)=r*(u(m+1,n)+u(m-1,n))+(1-2*r)*u(m,n); end end u=u’ 这样我们就计算出不同时刻不同位置k t j x 对应的函数值(,)j k u x t 取tau=0.0025, 即r=0.25绘图, 取tau=0.01, r=1再绘图,如图()图4.2 习题1数值解图示(左r=0.25, 右r=1)2.试构造初边值问题 ()()()()(), 0.51, 0,,0, 0.51,0.5,0, 1,0.51,, 0u u x x x T t x x u x x x u ⎪∂u t t u t t T x ϕ⎧∂∂∂⎛⎞=<<<≤⎜⎟⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪=≤≤⎨⎪==−≤≤⎪∂⎩的显格式，并给出其按最大范数稳定的充分条件。

偏微分方程数值解的计算方法偏微分方程是研究自然和社会现象的重要工具。

然而，大多数偏微分方程很难用解析方法求解，需要用数值方法求解。

本文将介绍偏微分方程数值解的计算方法，其中包括有限差分方法、有限体积法、谱方法和有限元方法。

一、有限差分方法有限差分法是偏微分方程数值解的常用方法，它将偏微分方程中的空间变量转换为网格点上的差分近似。

例如，对于一个二阶偏微分方程：$$\frac{\partial^{2}u}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=f(x,y,u)$$可以使用中心差分方法进行近似：$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\approx \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^{2}}$$$$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\approx \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Delta y)^{2}}$$其中，$u_{i,j}$表示在第$i$行第$j$列的网格点上的函数值，$\Delta x$和$\Delta y$表示网格步长。

将差分近似代入原方程中，得到如下的差分方程：$$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Deltax)^{2}}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Deltay)^{2}}=f_{i,j,u_{i,j}}$$该方程可以用迭代法求解。

有限差分方法的优点是易于实现，但在均匀网格下准确性不高。

二、有限体积法有限体积法是将偏微分方程中的积分形式转换为求解网格单元中心值的方法。

例如，对于如下的扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partialx}\left(D(u)\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$可以使用有限体积法进行近似。

偏微分方程的离散化方法4偏微分方程的离散化方法4偏微分方程是描述自然现象和物理过程的重要数学工具。

离散化方法是对偏微分方程进行数值求解的一种常用方法，通过将连续的自变量离散化成一系列离散点，将偏微分方程转化为一组代数方程，从而实现通过数值计算求解偏微分方程的目的。

离散化方法有多种，本文将介绍四种常用的离散化方法：有限差分法、有限元法、谱方法和配点法。

一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常用的离散化方法，它将偏微分方程中的导数项用差商逼近。

对于偏微分方程中的一阶导数项，可以使用一阶中心差分公式进行离散化：\[f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h},\]其中$h$为离散步长。

对于二阶导数项，可以使用二阶中心差分公式：\[f''(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-2f(x_i)+f(x_{i-1})}{h^2}.\]根据具体问题的边界条件，可以将偏微分方程离散化为一组代数方程，通过求解这组代数方程得到数值解。

二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种广泛应用于结构力学、流体力学等领域的离散化方法。

与有限差分法类似，有限元法也将偏微分方程中的导数项离散化，但是它将求解区域划分为若干个小区域，称为有限元。

每个有限元内部的离散点称为节点，假设在每个有限元内，问题的解可以用一个简单的多项式逼近，如线性多项式或二次多项式。

在每个有限元内，偏微分方程的解用这些节点的函数值进行近似，通过确定节点上的函数值可以得到整个求解区域上的数值解。

三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于函数空间变换的离散化方法，它可以达到很高的精度。

谱方法基于傅里叶分析的思想，使用特定选择的基函数进行近似。

对于一维偏微分方程，可以使用傅立叶级数或切比雪夫多项式作为基函数。