初中数学利用公式法(完全平方公式)因式分解

数学 - 初二数学利用公式法完全平方公式因式分解课堂实录导语在初二数学课程中，因式分解是我们必须要掌握的一个基础技能。

而利用公式法求解因式分解问题，则是我们在这个过程中需要掌握并愉快地应用的一个方法。

下面，就让我来通过一节初二数学课堂的实录，向大家介绍关于数学利用公式法进行完全平方公式因式分解的方法。

课程主要内容一、知识铺垫在开始进入完全平方公式的因式分解时，老师首先做了一个知识铺垫，即对完全平方的概念进行了简要讲解。

在此，我们从初中数学的角度来看，将完全平方定义为一个数的平方可以分解成两个相同的因数相乘的形式。

例如，4是一个完全平方数，因为 $4 = 2 \\times 2$（因数为2，乘积为4）。

二、完全平方公式的介绍之后，老师介绍了完全平方公式的概念和公式式样，并带领我们大声地朗诵了完全平方公式的推导过程和公式：(a+b)2=a2+2ab+b2在这里，需要注意的是：•公式右侧的2ab部分是两个变量a和b的积的两倍。

•根据完全平方的定义，公式左侧和公式右侧的式子是完全一致的。

因此，在进行因式分解时，我们要找出公式右侧的三个部分，将它们与公式左侧的部分逐一进行对比。

三、课堂案例示范随后，老师示范了如何利用完全平方公式进行因式分解。

以下是他在课堂上给我们出的一道例题：x2+10x+25老师说，我们可以先考虑将这个式子放到公式右侧上对比：(x+5)2=x2+10x+25我们可以看到，公式右侧的三个部分恰好与原式匹配。

因此，我们的答案就是：x2+10x+25=(x+5)2四、课后练习在示范完这个案例以后，老师要求我们在课后自己完成3道类似的练习。

以下是其中一道示例练习：x2+8x+16同样地，我们可以将这个式子放到公式右侧上对比：(x+4)2=x2+8x+16因此，我们的答案就是：x2+8x+16=(x+4)2总结通过这节数学课的学习，我们掌握了通过公式法进行完全平方公式的因式分解的方法。

同时，我们也学到了完全平方的定义和推导过程，这些都是我们后续的数学学习中必备的知识点。

中考数学因式分解的九种方法2020中考数学因式分解的九种方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

二、平方差公式1、式子：a^2-b^2=(a+b)(a-b)2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 和 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。

2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项;②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同;③有一项是这两个数的积的两倍。

3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。

原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。

12.5.3因式分解（完全平方公式法）教学目标：1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力重点：掌握公式法进行因式分解. 难点：找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程:一、课前导入：1、分解因式学了哪些方法?⑴提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)⑵运用公式法：①a2-b2=(a+b)(a-b)练习把下列各式分解因式①②x4-162．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征：从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）二、讨论探究：四、巩固提高练习填空：（1）a2+ +b2=(a+b)2（2）a2-2ab+ =(a-b) 2（3）m2+2m+ =( ) 2（4）n2-2n + =( ) 2（5）x2-x+0.25=( ) 2 （6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 2例题（先观察再因式分解）①x2＋14x＋49 ②③3ax2＋6axy＋3ay2④-x2-4y2＋4xy⑤⑥16x4-8x2＋1判断因式分解正误，并写出正确过程(1）-x2-2xy-y2= -(x-y)2 （2）a2+2ab-b224axax-9)(6)(2++-+nmnm229124baba++2)(ba-=五、总结与反思： 1:、整式乘法的完全平方公式是：2:、利用完全平方公式分解因式的公式形式是：3:、完全平方公式特点：①含有三项；②两平方项的符号同号；③首尾2倍中间项六、检测与提高 1、知识检测：（1）25x 2＋10x ＋1（4）-a 2-10a -25（5）-a 3b 3+2a 2b 3-ab 3 （6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2（7）x 2-12xy+36y 2 (8)16a 4+24a 2b 2+9b 4(9) -2xy-x 2-y 2 (10)4-12(x-y)+9(x-y)22、知识提高：（1）若x 2-8x+m 是完全平方式,则m=（2） 若9x 2+axy+4y 2是完全平方式,则a=( ) A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12（3）提高计算：(y 2 + x 2 )2 - 4x 2y 2 （a+1)2-2(a 2-1) ＋(a-1)2（4）已知x 2+4x+y 2-2y+5=0,求 x-y 的值2269)2(b ab a +-ab b a 1449)3(22++()2222a b a ab b ±=±+()2222a ab b a b ±+=±)3(492b a b a --22363ay axy ax ++2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-。

完全平方公式分解因式在代数学中，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将一个二次三项式分解为两个二次项的乘积。

它由以下公式给出：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2其中a和b是任意实数。

在这篇文章中，我们将详细介绍完全平方公式的应用和证明，并提供一些例子来帮助读者理解。

首先，让我们来看看为什么这个公式成立。

我们将用代数的方法来证明它。

首先，考虑一个二次三项式(a+b)^2、根据乘法法则，我们可以将其展开为：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2我们可以看到，展开后得到的结果是一个完全平方公式。

因此，我们证明了完全平方公式的正确性。

现在，让我们用完全平方公式来分解一些二次三项式。

考虑以下的二次三项式：x^2+6x+9我们注意到，这个三项式是一个完全平方公式。

具体来说，它可以分解为：x^2+6x+9=(x+3)^2通过使用完全平方公式，我们可以将一个二次三项式化简为一个更简单的二次项表达式。

这在解决数学问题和方程时非常有用。

接下来，我们将提供一些例子，以帮助读者更好地理解完全平方公式的应用。

例子1：将二次三项式x^2+10x+25分解为两个二次项的乘积。

根据完全平方公式，我们可以将其分解为：x^2+10x+25=(x+5)^2因此，x^2+10x+25可以写成(x+5)^2的形式。

例子2：将二次三项式4x^2-12x+9分解为两个二次项的乘积。

首先，我们要注意到这个三项式不是一个完全平方公式。

因此，我们需要找到适当的因式分解方法。

我们可以使用因式分解法将其分解为两个一次项的乘积：4x^2-12x+9=(2x-3)(2x-3)通过展开右边的表达式，我们可以验证等式的正确性。

因此，4x^2-12x+9可以写成(2x-3)^2的形式。

总结起来，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将二次三项式分解为两个二次项的乘积。

数学 - 初二数学利用公式法（完全平方公式）因式分解课堂实录引言数学的因式分解是一个重要的概念和技巧。

在初中数学教学中，因式分解通常作为解题的基础和扩展应用进行教授。

其中，利用公式法进行因式分解是一种高效且常用的方法。

在本文中，我们将记录下一堂初二数学课堂上，老师对于利用公式法进行因式分解的讲解和学生的实际操作。

通过这堂课的实录，我们可以更好地理解完全平方公式的运用和因式分解的思路。

一、概念复习在开始讲解利用公式法进行因式分解之前，老师首先对于完全平方公式进行了简要复习。

完全平方公式是一个非常重要的数学公式，可以用来将一个二次多项式进行因式分解。

完全平方公式的表达式如下：a2+2ab+b2=(a+b)2其中，a和b可以是任意实数。

利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。

二、利用完全平方公式进行因式分解老师在课堂上提供了几个实际的例子，以帮助学生更好地理解如何利用完全平方公式进行因式分解。

例子一题目：因式分解x2+6x+9解析：首先，根据完全平方公式，我们可以将x2+6x+9写成(x+3)2的形式。

因此，答案为(x+3)2。

例子二题目：因式分解4x2−12x+9解析：首先，可以观察到4x2−12x+9的首项系数是4，即4x2。

因此，我们需要将完全平方公式应用到4x2上。

通过计算可知，4的平方是16。

因此，我们需要将4x2−12x+9中的第二项系数−12x分解为两个数的乘积，使得这两个数的和为−12，且乘积为16。

通过观察和计算，我们可以得出−6和−6是满足条件的两个数。

因此，我们将4x2−12x+9进行因式分解，得到(2x−3)2。

例子三题目：因式分解9x2+12x+4解析：与上一个例子类似，我们需要将完全平方公式应用到9x2上。

通过计算可知，9的平方是81。

因此，我们需要将9x2+12x+4中的第二项系数12x分解为两个数的乘积，使得这两个数的和为12，且乘积为81。

利用完全平方公式因式分解当我们遇到一个多项式无法因式分解的时候，可以考虑使用完全平方公式来进行因式分解。

完全平方公式是一种通过加减法将一个二次多项式转化为一个平方的方法。

完全平方公式如下：(a+a)^2=a^2+2aa+a^2(a−a)^2=a^2−2aa+a^2我们以一个具体例子来说明这个方法。

假设我们要因式分解a^2+6a+9这个二次多项式。

我们可以将这个多项式写成一个完全平方的形式。

根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以将a^2+6a+9写成(a+3)^2的形式。

因此，a^2+6a+9=(a+3)^2接下来我们来看一个更复杂的例子。

假设我们要因式分解a^2+8a+12这个二次多项式。

我们可以尝试将这个多项式写成两个完全平方的和的形式。

首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于12，而它们的和等于8、通过试错的方法，我们可以得出这两个数是2和6然后，我们可以使用这两个数将a^2+8a+12进行因式分解。

a^2+8a+12=(a+2)(a+6)通过这种方法，我们成功将a^2+8a+12因式分解为两个一次多项式的乘积。

(a+2)(a+6)即为该多项式的因式分解形式。

除了上述的二次多项式，我们还可以使用完全平方公式来因式分解更复杂的多项式。

例如，a^4+10a^2+25这个四次多项式。

我们可以将a^4+10a^2+25写成一个完全平方的形式。

根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以尝试将a^4+10a^2+25写成(a^2+5)^2的形式。

通过这种方法，我们成功将a^4+10a^2+25因式分解为一个完全平方的平方。

(a^2+5)^2即为该多项式的因式分解形式。

总结一下，完全平方公式是一种因式分解多项式的方法。

通过将一个二次多项式转化为一个平方的形式，我们可以更容易地因式分解一个多项式。

通过试错的方法或其他的求解技巧，我们可以找到适合使用完全平方公式的例子来进行因式分解。

如何解(公式法的因式分解完全平方公式)因式分解是数学学习中的一个重要内容，而公式法中的完全平方公式更是其中的关键。

别担心，咱们一起来把这个难题给攻克掉！先来说说完全平方公式到底是啥。

它有两个形式：(a + b)² = a² + 2ab + b²以及 (a - b)² = a² - 2ab + b²。

那怎么用这两个公式来进行因式分解呢？咱们通过一些例子来瞅瞅。

比如说，有个式子 x² + 6x + 9 ，咱们来分解它。

先看，6x 正好是 2乘以 3 乘以 x ，而 9 是 3 的平方，这不就符合 (a + b)² = a² + 2ab + b²这个形式嘛，其中 a 就是 x ，b 就是 3 ，所以可以分解为 (x + 3)²。

再比如 4x² - 12xy + 9y²，这里 4x²可以看成 (2x)²，9y²可以看成(3y)²，而 -12xy 正好是 -2 乘以 2x 乘以 3y ，所以它可以分解为 (2x -3y)²。

我记得我以前教过一个学生，叫小李。

这孩子特别聪明，就是一碰到因式分解就犯迷糊。

有一次上课，我就专门讲完全平方公式的因式分解，出了一道题 16x² + 24x + 9 让大家做。

小李一开始眉头皱得紧紧的，嘴里还嘟囔着：“这可咋整啊！”我走到他身边，轻声问他：“来，咱们先看看，16x²是不是可以写成 (4x)²呀？9 是不是 3 的平方？那24x 是不是 2 乘以 4x 乘以 3 呢？”小李眼睛一下子亮了，兴奋地说：“老师，我懂啦，这就是一个完全平方！”然后很快就写出了正确答案(4x + 3)²。

从那以后，小李对因式分解的题目就越来越得心应手啦。

咱们再深入一点，有些式子可能不是一下子就能看出来是完全平方的形式，这时候就需要咱们稍微变一变。

因式分解—完全平方公式因式分解是一种数学运算，用于将一个多项式表示为它的因式的乘积。

因式分解是数学中一个基本的操作，它在解决方程、简化代数表达式等问题中起着重要的作用。

其中，完全平方公式是一种特殊的因式分解方法，用于将一个二次多项式表示为两个完全平方的乘积。

在解决因式分解问题时，首先需要了解完全平方公式。

完全平方公式指出，一个二次多项式可以表示为两个完全平方的和或差。

具体地说，如果一个二次多项式为x²+2ax+a²，则它可以分解为(x+a)²，即平方的和。

而如果一个二次多项式为x²-2ax+a²，则它可以分解为(x-a)²，即平方的差。

运用完全平方公式分解一个二次多项式的步骤如下：1.检查二次多项式的形式，确保它符合完全平方公式的形式。

2.提取二次项和线性项的系数。

3.根据完全平方公式的形式，将二次项和线性项的系数带入公式中。

4.计算和、差的平方，并展开得到简化的形式。

下面我们通过几个实例来具体说明如何运用完全平方公式进行因式分解。

例1：将多项式x²+6x+9进行因式分解。

解：首先我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形式x²+2ax+a²。

然后我们提取二次项和线性项的系数，得到a=3、接下来，我们带入完全平方公式中，得到(x+3)²。

因此，多项式x²+6x+9可以分解为(x+3)²。

例2：将多项式x²-10x+25进行因式分解。

解：同样地，我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形式x²-2ax+a²。

我们提取二次项和线性项的系数，得到a=5、然后，我们带入完全平方公式中，得到(x-5)²。

因此，多项式x²-10x+25可以分解为(x-5)²。

通过上述两个例子可以看出，使用完全平方公式进行因式分解可以简化计算，使我们能够更快地找到多项式的因式。

运用完全平方公式因式分解因式分解这玩意儿，就像是数学世界里的开锁匠，而完全平方公式就是那把神奇的钥匙。

咱们今天就来好好聊聊怎么用这把钥匙打开因式分解的大门。

我先给大家讲讲完全平方公式是啥。

它就像一对双胞胎，一个叫(a+ b)² = a² + 2ab + b²，另一个叫(a - b)² = a² - 2ab + b²。

这俩公式看着有点复杂，但其实就像是搭积木，只要你掌握了规律，就能轻松拼出想要的形状。

比如说，给你一个式子 x² + 6x + 9，这时候咱们就可以把它看成是(a + b)²的形式。

那谁是 a，谁是 b 呢？很明显，a 就是 x，b 就是 3，因为 2ab = 6x，所以 2×x×3 = 6x。

那按照公式，它就可以分解为(x + 3)²。

是不是感觉挺神奇的？再比如 4x² - 12xy + 9y²，咱们也来找找 a 和 b。

a 就是 2x，b 就是3y，因为 2×2x×3y = 12xy。

所以这个式子就可以分解为(2x - 3y)²。

我记得之前有个同学，叫小李，他刚开始学这个的时候总是晕头转向的。

有一次做作业，遇到一个式子 16x² + 24x + 9，他怎么都分解不出来。

我就问他：“你想想完全平方公式，先找找 a 和 b 呀。

”他苦着脸说：“老师，我找不到。

”我就引导他：“那 16x²可以写成谁的平方呀？”他想了想说：“4x 的平方。

”我又问：“那 9 呢？”他马上回答：“3 的平方。

”“那 2ab 是不是 24x 呢？”他一拍脑袋：“哎呀，我知道了，a 是 4x，b 是 3，所以可以分解为(4x + 3)²。

”从那以后，小李遇到这种题就再也不害怕了，还经常主动给其他同学讲呢。

咱们再来说说用完全平方公式因式分解的一些小窍门。

因式分解——完全平方公式
完全平方公式（Quadratic Formula），是一类中学数学问题，它用来求解格式为ax2+bx+c=0，a≠0 的二次方程的根（即x）的一种方法。

它的公式是：
x1 = [-b+√(b2-4ac)]/2a；
x2 = [-b-√(b2-4ac)]/2a。

二、完全平方分解
完全平方分解是一种方法对一个数进行因式分解，以求得它最原始的因式。

它让我们将一个数分解到最简单的形式，比如n²或者n²+2n+1、常见的完全平方分解公式如下：
a² +2ab +b² = (a+b)²；
a² -2ab +b² = (a-b)²；
a² +2ma + m²= (a+m)²。

它可以用于分解多项式，因为它可以有效地将多个项分解成一个项并求得它们的乘积；如果需要相减，完全平方分解也可以将一个含有两个负号的多项式分解成两部分，使其易于求和。

完全平方分解的步骤如下：
步骤一：将原式拆分成平方项的和；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数；
步骤三：选出两个数的积，使其和等于已被拆分的平方项；
步骤四：将拆分的平方项的和写成完全平方式；
步骤五：最后，将原式分解为完全平方式形式。

示例：
令x²-4x+4=0。

步骤一：将原式拆分成平方项的和，即x²=4x-4；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数;x可以选择2，4；。