理论力学精品课程第十四章 动能定理

(a) CvABCrv1v1v1

(a) CCCvO

第10章 动能定理及其应用

10－1 计算图示各系统的动能：

1．质量为m，半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A、B两点的速度方向如图示，B点的速度为vB，= 45º（图a）。

2．图示质量为m1的均质杆OA，一端铰接在质量为m2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图b）。

3．质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为（图c）。

解：

1．222222163)2(2121)2(212121BBBCCCmvrvmrvmJmvT

2．222122222214321)(21212121vmvmrvrmvmvmT

3．22222222)2(212121mRRmmRmRT

10－2 图示滑块A重力为1W，可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为2W、长为l的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为1v，杆AB的角速度为1。当杆与铅垂线的夹角为时，试求系统的动能。

解：图（a）

BATTT

)2121(21222211CCJvgWvgW

21221121212211122]cos22)2[(22lgWllvlvlgWvgW

]cos31)[(2111221222121vlWlWvWWg

10－3 重力为PF、半径为r的齿轮II与半径为rR3的固定内齿轮I相啮合。齿轮II通过匀质的曲柄OC带动而运动。曲柄的重力为QF，角速度为，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。

解：

COCTTT

2222)21(212121CCCCOCOrmvmJ

22P2P22Q)2(41)2(21])2(31[21rrrgFrgFrgF

- 1 -

习 题

12–1 一刚度系数为k的弹簧，放在倾角为的斜面上。弹簧的上端固定，下端与质量为m的物块A相连，图12-23所示为其平衡位置。如使重物A从平衡位置向下沿斜面移动了距离s，不计摩擦力，试求作用于重物A上所有力的功的总和。

图12-23

))((2sin2st2stsksmgW

2st2sinskskmgs

22sk

12–2 如图12-24所示，在半径为r的卷筒上，作用一力偶矩M=a+b2，其中为转角，a和b为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B。设重物B的质量为m，它与水平面之间的滑动摩擦因数为。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。

图12-24

322π40π364π8d)+ (dbabaMWM

mgrrmgWFπ4π4

)3π16π6π(34π4π364π8232mgrbamgrbaW

12–3 均质杆OA长l，质量为m，绕着球形铰链O的铅垂轴以匀角速度转动，如图12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为，- 2 - 试求杆的动能。

图12-25

xxlmxxlmvmEd)sin2()sin)(d(21)(d21d2222k

2220222ksin61d)sin2(mlxxlmEl

12–4 质量为m1的滑块A沿水平面以速度v移动，质量为m2的物块B沿滑块A以相对速度u滑下，如图12-26所示。试求系统的动能。

图12-26

])30sin()30cos[(212122221kuvumvmE

)30cos2(212122221uvvumvm

)3(212122221uvvumvm

12–5 如图12-27所示，滑块A质量为m1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB，杆AB长为l，质量为m2。当AB杆与铅垂线的夹角为时，滑块A的速度为Av，杆AB的角速度为。试求在该瞬时系统的动能。

-1-C

v

A

BCrv1v

1v

1

(a)

CCCv

O

(a)第10章动能定理及其应用

10－1计算图示各系统的动能：

1．质量为m，半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘

上A、B两点的速度方向如图示，B点的速度为vB，=45º（图a）。2．图示质量为m1的均质杆OA，一端铰接在质量为m2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，

圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图b）。

3．质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上

作纯滚动，图示瞬时角速度为（图c）。

解：

1．222222

163

)

2(

21

21

)

2(

21

21

21

BBB

CCCmv

rv

mrv

mJmvT

2．2

22

122

22

22

143

21

)(

21

21

21

21

vmvm

rv

rmvmvmT

3．22222222)2(

21

21

21

mRRmmRmRT

10－2图示滑块A重力为1W，可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为2W、长为l的匀质

杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为1v，杆AB的角速度为1。当杆与铅垂线的夹角为时，试求系统

的动能。

解：图（a）

BATTT

)

21

21(

21222211CCJv

gWv

gW



21221121212211

122]cos22)2[(22





lgWllvlvl

gWvgW

]cos

31)[(

21

11221222121vlWlWvWWg

10－3重力为PF、半径为r的齿轮II与半径为rR3的固定内齿轮I相啮合。齿轮II通过匀质的曲

柄OC带动而运动。曲柄的重力为QF，角速度为，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。

解：

COCTTT

2222)

21(

21

21

21

CCCCOCOrmvmJ

22P2P22Q)2(

41)2(

21])2(

31[

21

rrr

gFr

gFr

gF

)92(

CvABCrv1v1v1(a)

CCCvO (a) ;

第10章 动能定理及其应用

10－1 计算图示各系统的动能：

1．质量为m，半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A、B两点的速度方向如图示，B点的速度为vB，= 45º（图a）。

2．图示质量为m1的均质杆OA，一端铰接在质量为m2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图b）。

3．质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为（图c）。

解：

1．222222163)2(2121)2(212121BBBCCCmvrvmrvmJmvT

2．222122222214321)(21212121vmvmrvrmvmvmT

3．22222222)2(212121mRRmmRmRT

10－2 图示滑块A重力为1W，可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为2W、长为l的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为1v，杆AB的角速度为1。当杆与铅垂线的夹角为时，试求系统的动能。

解：图（a）

BATTT

)2121(21222211CCJvgWvgW

21221121212211122]cos22)2[(22lgWllvlvlgWvgW

]cos31)[(2111221222121vlWlWvWWg

￥

10－3 重力为PF、半径为r的齿轮II与半径为rR3的固定内齿轮I相啮合。齿轮II通过匀质的曲柄OC带动而运动。曲柄的重力为QF，角速度为，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。

解：

COCTTT

]

2222)21(212121CCCCOCOrmvmJ

22P2P22Q)2(41)2(21])2(31[21rrrgFrgFrgF