理论力学第十一章 动能定理[精]

李禄昌

第十一章

动量定理

动量定理、动量矩定理和动能定理统

称为动力学普遍定理.李禄昌§11--1 动量与冲量

1、动量的概念：

物体传递机械运动时产生的相互作用力不仅与物体的速度变化有关，而且与它们的质量有关。例如：飞针穿透玻璃；高速路上的飞石；飞鸟撞击飞机；子弹击中目标。据此，可以用质点的质量与速度的乘积，来表征质点的这种运动量。

⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，

-----记为mv。质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。

s/mkg单位李禄昌

1()n

iiipmv质点系的动量

()iiiicimrmrrmm质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。

11()()nniiiiiidrpmvmdt

()iidmrdt注意：质量mi是不变的

如何进一步简化？

参考重心、形心公式。李禄昌()iiiicimrmrrm

m

()( )iicddpmrmrdtdt cmv

质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。

求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。

cωvC=0vCcω

covC李禄昌2．冲量的概念：tFI

常力的冲量：

tFIdd

变力的元冲量：

0tIFtd在作用时间t内的冲量: 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。

用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。

冲量是矢量，方向与常力的方向一致。冲量的单位是N.S。李禄昌

§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系

1、质点的动量定理由牛顿第二定律：Ftvmd

)(dtFvmd)(d或

称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量

等于作用于质点上的力的元冲量。

1t2t1v2v在~ 内，速度由~ ，有

2

1d12t

tItFvmvm李禄昌称为质点动量定理的

积分形式

，即在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。2

1 y'x'yOCxCxmvCymvzk第十一章 动量矩定理 习题解

[习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：23txC，24tyC，321t，其中长度以m计，角度以rad计，时间以s计。设刚体质量为kg10，对于通过质心C且垂直于图平面的惯性半径m5.0，求st2时刚体对坐标原点的动量矩。

解：

)(1223|22mxtC

)(1624|22mytC

ttdtddtdxvCCx6)3(2

)/(1226|2smvtCx

ttdtddtdyvCCy8)4(2

)/(1628|2smvtCy

2323)21(ttdtddtd

)/(6223|22sradt

kvmMJLCZCzO)]([

kymvxmvmLCCxCCyO][2

kLtO]1612121665.0[10|22

kLtO15|2 )/(2smkg，k是z轴正向的单位向量。

[习题11-2] 半径为R，重为W的均质圆盘固结在长l，重为P的均质水平直杆AB的B端，绕铅垂轴Oz以角速度旋转，求系统对转轴的动量矩。

解：

gPllgPJABz33122, 2 zOABWPxy11vm22vm1OC平动 )(a1OC转动绕定轴C )(b1OC转动绕定轴1 )(Oc1OC在圆弧上作纯滚动 )(dCvglRWlgWgJlz4)4(RW412222,圆盘

圆盘,,zABzzJJL

]4)4(3[222glRWgPlLz

)4443(222gWRgWlgPlLz

)4333(222gWRgWlgPlLz

)433(22RgWlgWPLz

[习题11-3] 已知均质圆盘质量为m，半径为R，当它作图示四种运动时，对固定点1O的动量矩分别为多大？图中lCO1。

《动力学I》第一章

运动学部分习题参考解答

1－3

解：

运动方程：tanly，其中kt。

将运动方程对时间求导并将030代入得

34coscos22lklklyv

938cossin2232lklkya

1－6

证明：质点做曲线运动,所以ntaaa,

设质点的速度为v,由图可知:

aavvyncos，所以:

yvvaan

将cvy，2nva

代入上式可得 cva3

证毕

1－7

证明：因为n2av，vaavasinn

所以：va3v

证毕

x y

o a

na vyv

 

x y

o a

na ta

 1－10

解：设初始时,绳索AB的长度为L,时刻t时的长度

为s,则有关系式：

tvLs0，并且 222xls

将上面两式对时间求导得：

0vs，xxss22

由此解得：xsvx0 （a）

(a)式可写成：svxx0，将该式对时间求导得：

2002vvsxxx (b)

将(a)式代入(b)式可得：3220220xlvxxvxax（负号说明滑块A的加速度向上）

1－11

解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以RvB，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：

cosABvv （a）

因为

xRx22cos （b）

将上式代入（a）式得到A点速度的大小为： ov

ov

A

x 

O 

AvA

x 

(a) CvABCrv1v1v1

(a) CCCvO

第10章 动能定理及其应用

10－1 计算图示各系统的动能：

1．质量为m，半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A、B两点的速度方向如图示，B点的速度为vB，= 45º（图a）。

2．图示质量为m1的均质杆OA，一端铰接在质量为m2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图b）。

3．质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为（图c）。

解：

1．222222163)2(2121)2(212121BBBCCCmvrvmrvmJmvT

2．222122222214321)(21212121vmvmrvrmvmvmT

3．22222222)2(212121mRRmmRmRT

10－2 图示滑块A重力为1W，可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为2W、长为l的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为1v，杆AB的角速度为1。当杆与铅垂线的夹角为时，试求系统的动能。

解：图（a）

BATTT

)2121(21222211CCJvgWvgW

21221121212211122]cos22)2[(22lgWllvlvlgWvgW

]cos31)[(2111221222121vlWlWvWWg

10－3 重力为PF、半径为r的齿轮II与半径为rR3的固定内齿轮I相啮合。齿轮II通过匀质的曲柄OC带动而运动。曲柄的重力为QF，角速度为，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。

解：

COCTTT

2222)21(212121CCCCOCOrmvmJ

22P2P22Q)2(41)2(21])2(31[21rrrgFrgFrgF