第三章 图像变换
简 述
图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求： ①正交变换必须是可逆
的；②正变换和反变换的算法不能太复杂； ③正交变换的特点是在变换域中图像
能量集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图
象处理。因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编
码和形状分析等方面。图像变换的目的在于：①使图像处理问题简化；②有利于
图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信息的理解。在此讨论常用的傅立
叶变换 。
3.2 傅立叶变换
在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T 的函数在[-T/2,T/2]上满足狄利克
雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数
其复指数形式为：
其中
可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由那些频率分量组成及其所占的比重，
从而有利于对信号进行分析与处理。
3.2.1 连续函数的傅立叶变换
1. 一维连续函数的傅立叶变换 令f(x)为实变量x的连续函数,f(x) 的傅立叶变换以F(u)表示,则表达式为
若已知F(u)，则傅立叶反变换为
上两式称为称为傅立叶变换对。
这里f(x)是实函数,它的傅立叶变换F(u)通常是复函数.F(u)的实部、虚部、
振幅、能量和相位分别表示如下：
傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。
2. 二维连续函数的傅立叶变换
傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且
F(u，v)是可积的，则存在如下的傅立叶变换对
二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为
|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2 (u，v)]1/2 φ(u，v)=tan-1 [I(u，v)／R(u，v)]
E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)
3.2.2 离散函数的傅立叶变换
假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列
数字图像处理实验
—图像的几何变换
姓名：***
班级：信息10-1
学号：36号
实验三、图像的几何变换
一、 实验目的
1．学习几种常见的图像几何变换，并通过实验体会几何变换的效果；
2．掌握图像平移、剪切、缩放、旋转、镜像、错切等几何变换的算法原理及编程实现
3．掌握matlab编程环境中基本的图像处理函数
4．掌握图像的复合变换
二、 实验原理
1 初始坐标为（x, y）的点经过平移（0x，0y），坐标变为（'x，'y），两点之间的关系为：00''yyyxxx，以矩阵形式表示为：
11 0 0y 1 0 0 11''00yxxyx
2 图像的镜像变换是以图象垂直中轴线或水平中轴线交换图像的变换，分为垂直镜像变换和水平镜像变换，两者的矩阵形式分别为：
11 0 00 1 0 0 0 11''yxyx
11 0 00 1- 0 0 0 11''yxyx
3 图像缩小和放大变换矩阵相同：
11 0 00 0 0 0
1''yxyxSSyx
当1 ,1yxSS时，图像缩小；1 ,1yxSS时，图像放大。
4 图像旋转定义为以图像中某一点为原点以逆时针或顺时针方向旋转一定角度。其变换矩阵为：
11 0 00 cos sin0 sin cos1''yxyx
第5章 图像的几何变换
Image Geometric Transformation
图像灰度变换和空间域滤波的共同点是，仅改变图像像素的灰度值，而不会改变每一个像素的
位置，因此，图像中的几何结构不会变形。本章所讨论的几何变换，其目的是通过改变像素的位置
来实现图像几何结构的变形，在图像配准（image register）、计算机图形学（computer graphics）、电
脑动漫（Computer animation ）、视觉特效（Visual Effects）等领域有着广泛的应用。图5.1给出了几
种典型图像几何变换的效果。
(a) (b) (c) (d)
(e) (f) (g) (h)
图5.1几何变换的典型例子 (a)原始图像；( b)平移变换；(c)缩放变换；(d)旋转变换；(e)剪切变换；(f)旋转扭曲变换；
(g)球面变换；(h)波浪扭曲变换
图像几何变换改变了像素的位置并重新赋值，这一过程通常包括空间坐标变换和灰度插值两个
基本步骤。
1.空间坐标变换 （spatial transformation） 图像几何变换首先要建立描述源图像（输入图像）与目标图像（输出图像）之间坐标对应关系
的变换函数（又称坐标映射函数），然后，利用该变换函数将源图像中每个像素坐标(x,y)映射到目标
图像中的一个新位置(x,y)。从源图像到目标图像的坐标变换，又称前向映射（forward mapping），
变换函数可表示为：
=,
=,x
yxTxy
yTxy （5.0-1） 式中，源像素坐标(x,y)值为整数，变换计算结果坐标(x,y)的值不一定是整数。
或者采用式（5.0-1）的逆函数，将目标图像中的每一个像素坐标(x,y)映射到源图像中对应位置
(x,y)。这一从目标图像到源图像的坐标变换过程，又称为后向映射（backward mapping），表示为：
1
1=,
=,x
-精品- 第三章 图像变换
简 述
图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求： ①正交变换必须是可逆
的；②正变换和反变换的算法不能太复杂； ③正交变换的特点是在变换域中图像
能量集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图
象处理。因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编
码和形状分析等方面。图像变换的目的在于：①使图像处理问题简化；②有利于
图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信息的理解。在此讨论常用的傅立
叶变换 。
3.2 傅立叶变换
在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T 的函数在[-T/2,T/2]上满足狄利克
雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数
其复指数形式为：
其中
-精品- 可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由那些频率分量组成及其所占的比重，
从而有利于对信号进行分析与处理。
3.2.1 连续函数的傅立叶变换
1. 一维连续函数的傅立叶变换
令f(x)为实变量x的连续函数,f(x) 的傅立叶变换以F(u)表示,则表达式为
若已知F(u)，则傅立叶反变换为
上两式称为称为傅立叶变换对。
这里f(x)是实函数,它的傅立叶变换F(u)通常是复函数.F(u)的实部、虚部、
振幅、能量和相位分别表示如下：
傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。
2. 二维连续函数的傅立叶变换
傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且
F(u，v)是可积的，则存在如下的傅立叶变换对
-精品-
二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为
|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2 (u，v)]1/2
φ(u，v)=tan-1 [I(u，v)／R(u，v)]
E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)
3.2.2 离散函数的傅立叶变换
