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6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第1课时）【学习目标】一．平面向量的正交分解把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解． 二．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ ，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．在向量的直角坐标中i ，j ，0的坐标分别为i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 三．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则①a ＋b ＝ ； ②a －b ＝ ； ③λa ＝ ．(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 坐标减去 坐标． 注意：(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(2)已知向量AB→的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )．( )(2)若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2.( ) (3)若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O .( ) (4)若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．( )2.已知A (3，1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( )A ．(－2，－1)B ．(2，1)C ．(1，2)D ．(－1，－2)【经典例题】题型一 平面向量的坐标表示点拨： (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．例1 分别用基底{ i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标。
第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示教学内容前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。
一、教学目标1、掌握向量数乘的坐标运算法则及简单应用.2、体验向量的几何形式与坐标表示的数形转化，培养学生数学运算的核心素养.二、教学重点、难点重点：向量数乘的坐标运算法则难点：向量数乘的坐标运算法则的简单应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【向量a 的坐标表示为(,)a x y =.1212(,)a b x x y y +=++ 1212(,)a b x x y y -=--已知1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212x x a b y y =⎧=⇔⎨=⎩【向量共线定理】向量(0)a a ≠与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b a λ=.【探究1】已知(,)a x y =，那么a λ=？（二）阅读精要，研讨新知【发现】()a xi y j xi y j λλλλ=+=+，即(,)a x y λλλ=【结论】实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.【例题研讨】例6 已知(2,1),(3,4)a b ==-，求34a b +的坐标.解：34a b +3(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)(6,19)=+-=+-=-【探究2】如何用坐标表示两个向量共线（平行）的条件?【发现】设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠.因为向量,a b 共线的充要条件是存在实数λ，使a b λ=.所以1122(,)(,)x y x y λ=1212x x y y λλ=⎧⇒⎨=⎩，消去λ，得12210x y x y -=【结论】向量,a b 共线（平行）的充要条件是12210x y x y -=.【例题研讨】阅读领悟课本31P 例7、例8、例9（用时约为1-3分钟，教师作出准确的评析.）例7 已知(4,2),(6,)a b y ==，且//a b ，求y .解：因为//a b ，所以4260y -⨯=，所以3y =例8已知(1,1),(1,3),(2,5)A B C --，判断,,A B C 三点之间的位置关系. 解：作图观察，猜想,,A B C 三点共线，然后证明. 因为(2,4),(3,6)AB AC == 因为26340⨯-⨯= 所以//AB AC又直线,AB AC 有公共点A所以,,A B C 三点共线.例9设P 是线段12P P 上的一点，点111222(,),(,)P x y P x y . （1）当P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标； （2）当P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标. 解：（1） 如图6.3-16，P 是线段12P P 的中点所以1212121()(,)222x x y y OP OP OP ++=+= 所以点P 的坐标是1212(,)22x x y y ++---中点坐标公式（2）如图 6.3-17,当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，有两种情况，即1212PP PP =或122PP PP =.如果1212PP PP =，那么11OP OP PP =+11213OP PP =+1211()3OP OP OP=+- 1212122221(,)3333x x y y OP OP ++=+=，P 点坐标为121222(,)33x x y y ++. 同理，如果122PP PP =，那么P 点坐标为121222(,)33x x y y ++.【小组互动】完成课本33P 练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.（三）探索与发现、思考与感悟1. 已知向量(3,2),(5,1)OA OB =-=--，则向量12AB 的坐标是（ ） A.1(4,)2- B. 1(4,)2- C.3(1,)2-- D.(8,1) 解：1111()(53,12)(4,)2222AB OB OA =-=---+=-，故选A2. 已知向量(1,2),(2,3),(3,4)a b c ===,且12c a b λλ=+，则12,λλ的值分别为 ( ) A. 2,1- B. 12-， C. 21-，D. 1,2-解：因为12c a b λλ=+，所以121212(3,4)(1,2)(2,3)(2,23)λλλλλλ=+=++ 所以121223234λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得121,2λλ=-=。
新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：6.2.3 平面向量的坐标及其运算学习 任 务核 心 素 养(教师独具)1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．(重点)3．会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(重点、难点)1．通过学习向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养．2．通过向量的直角坐标运算，提升数学运算的核心素养.通过上节学习我们知道，以单位向量e 为基底建立数轴，则数轴上的向量坐标等于它的终点坐标，类似地，请思考：问题：(1)平面直角坐标系的基底应满足什么条件？ (2)在直角坐标系中(如图)，向量OA →应怎样用基底表示？(3)若点A 的坐标为(x ，y )，则向量OA →的坐标与(x ，y )有什么关系？ [提示] (1)基底{e 1，e 2}中，e 1，e 2为单位向量且相互垂直． (2)OA →＝x e 1＋y e 2. (3)OA →的坐标也是(x ，y )． 1．向量的正交分解2．向量的坐标 (1)定义：一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e 1，e 2，对于平面内的向量a ，如果a ＝xe 1＋ye 2，则称(x ，y )为向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )．(2)意义：设点A 的坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )．符号(x ，y )在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．知识点2 平面上向量的运算与坐标的关系向量的 加、减法若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积 若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积向量的数乘、加、减混合运算 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，u ，v ∈R ，则u a ±v b ＝(ux 1±v x 2，uy 1±v y 2) 向量的模若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2注：平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等．1．已知点A (1，－3)，AB →的坐标为(3,7)，则点B 的坐标为( )A ．(4,4)B ．(－2,4)C ．(2,10)D ．(－2，－10)A [设点B 的坐标为(x ，y )，由AB →＝(3,7)＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)＝(3,7)，得B (4,4)．]2.已知a ＝(1，－1)，b ＝(3,0)，则3a －2b 等于( )A ．(5,3)B ．(4，－1)C ．(－2，－1)D ．(－3，－3)D [3a －2b ＝3(1，－1)－2(3,0)＝(3，－3)－(6,0)＝(－3，－3)．] 知识点3 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 平面上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2， AB 的中点坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.3.已知平面直角坐标系内的两点A (－1,2)，B (2,6)，则AB ＝________；若AB 的中点为M ，则M 的坐标为________．5 ⎝⎛⎭⎫12，4 [AB ＝(－1－2)2＋(2－6)2＝5.设M (x ，y )，则x ＝－1＋22＝12，y ＝2＋62＝4.] 知识点4 向量平行的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 2y 1＝x 1y 2.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果向量b 不平行于坐标轴，即x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2. 4.已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定B [∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )，∴a ＋b 与c 共线．]5.已知a ＝(－6,2)，b ＝(m ，－3)，且a ∥b ，则m ＝( )A ．－9B ．9C ．3D ．－3B [由a ∥b ，得－6×(－3)＝2m ，∴m ＝9.]类型1 平面向量的坐标表示【例1】 (1)如图所示，若向量e 1，e 2是一组单位正交向量，则向量2a ＋b 在平面直角坐标系中的坐标为( )A ．(3,4)B ．(2,4)C ．(3,4)或(4,3)D ．(4,2)或(2,4)(2)如图，在直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．①求向量a ，b 的坐标； ②求向量BA →的坐标； ③求点B 的坐标．[思路探究] (1)借助平面向量的正交分解直接求解．(2)①由OA ＝4，∠AOx ＝45°可求出点A 的坐标，从而求出a 的坐标，再由∠OAB ＝105°，得出∠COy ，进而得点C 的坐标，根据OC →＝AB →得出b 的坐标．②由①中b 的坐标及b 与BA →的关系得出BA →的坐标． ③可借助OB →＝OA →＋AB →求出点B 的坐标．(1)A [以向量a ，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系，因为e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)， 所以2a ＝(2,1)，b ＝(1,3)，所以2a ＋b ＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即2a ＋b 在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)，故选A ．](2)[解] ①作AM ⊥x 轴于点M (图略)， 则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， 所以A (22，22)．故a ＝(22，22)． 因为∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， 所以∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3，所以C ⎝⎛⎭⎫－32，332，所以AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.②由①知BA →＝－AB →＝－b ＝⎝⎛⎭⎫32，－332.③OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332，所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.求向量坐标的三个步骤[跟进训练]1．(1)已知{e 1，e 2}为单位正交基底且a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－3e 1，则a ，b 的坐标分别为________．(2)如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝__________；OD →＝________.(1)(3,4)，(－3,0) (2)(1，－1) (1,1) (－1,1) [(1)由平面向量坐标的定义知a ＝(3,4)，b ＝(－3,0)．(2)由题意知，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)，同理OD →＝(－1,1)．]类型2 平面向量的坐标运算【例2】 (1)设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →＝( ) A ．(1＋m,7＋n ) B ．(－1－m ，－7－n ) C ．(1－m,7－n )D ．(－1＋m ，－7＋n )(2)已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫－4，12 B ．⎝⎛⎭⎫4，－12C ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8,1)(3)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．[思路探究] (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →＋CB →＋BA →来求解． (2)可借助AB →＝OB →－OA →来求12AB →坐标．(3)可利用AB →＝(x B －x A ，y B －y A )来求解． (1)B (2)A [(1)DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB → ＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n )． (2)12A B →＝12(OB →－OA →) ＝12[](－5，－1)－(3，－2) ＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，∴12AB →＝⎝⎛⎭⎫－4，12.] (3)[解] ∵AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， ∴AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)， BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3)．平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[跟进训练]2．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ； (3)12a －13b . [解] (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)．(3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 类型3 向量坐标运算的综合应用1．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[提示] ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.2．如果尝试发现1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．[提示] ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )， 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．3．已知在非平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，且A ，B ，D 三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C 的横坐标的取值范围是什么？[提示] 当ABCD 为平行四边形时，则AC →＝AB →＋AD →＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，故满足条件的顶点C 的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．【例3】 (1)已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R )，试求λ为何值时，①点P 在一、三象限角平分线上？ ②点P 在第三象限内？(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，求λ的值．[思路探究] (1)先用λ表示点P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解．(2)根据向量坐标的条件关系求出参数．[解] (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， A B →＋λA C →＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵A P →＝A B →＋λA C →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. ①若P 在一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，即λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上．②若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1．即λ<－1时，点P 在第三象限内．(2)a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)， 由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0， 解得λ＝12.1．待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．[跟进训练]3．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？[解] 由已知得，k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝⎝⎛⎭⎫－103，43＝－13(a －3b )，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．1．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a －2b 的坐标是( ) A ．(5,3) B ．(4,3) C ．(8,3) D ．(0，－1) B [3a －2b ＝3(2,1)－2(1,0)＝(4,3)．]2．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是( ) A ．a ＝(－2,4)，b ＝(0,3) B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(3,7) D ．a ＝(4，－2)，b ＝(－8,4)D [对于D 选项，b ＝－2a ，即a ∥b ，故a 与b 不能作为平面内所有向量的一组基底．] 3．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，那么AB →可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋jC [记O 为坐标原点，则OA →＝2i ＋3j ，OB →＝4i ＋2j ，所以AB →＝OB →－OA →＝2i －j .] 4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________．⎝⎛⎭⎫35，－45 [AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45.]5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则x ＝________. 12[因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)， u ＝a ＋2b ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2a －b ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)． 又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 解得x ＝12.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1．向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？[提示] 向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同．2．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式，对平面内的任意两点都成立吗？[提示] 都成立．3．用向量的坐标运算判断向量共线要注意什么问题？[提示] 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，当证明a ∥b 时，可利用x 2y 1＝x 1y 2进行证明，此种方法没有a ≠0的条件限制，便于应用；也可用x 2x 1＝y 2y 1进行证明，即两向量的对应坐标成比例，特别注意x 1y 1≠0的条件限制．。
6.3.1 平面向量基本定理本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二次承认》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量基本定理及其应用。
本节课是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算(向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理)之后的又一重点内容,它是引入向量坐标表示,将向量的几何运算转化为代数运算的基础,使向量的工具性得到初步的体现,具有承前启后的作用。
平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系,是向量解决问题的理论基础本节内容用1课时完成。
A.理解平面向量基本定理及其意义；B.会用基底表示某一向量；C.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。
1.教学重点：平面向量基本定理及其意义；2.教学难点：平面向量基本定理的探究。
多媒体一、复习回顾，温故知新 1.共线向量定理【答案】向量)0(≠a a 与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使a b λ=。
2.向量的加法法则【答案】三角形法则AC BC AB =+。
特点:首尾相接，连首尾。
平行四边形法则OC OB OA =+特点:同一起点,对角线。
二、探索新知探究：如图6.3-2（1），设21e e ，是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内与21e e ，都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O ，作,,,21a OC e OB e OA ===将a 按21e e ，的方向分解，你有什么发现？【答案】如图，2211e e ON OM OC a λλ+=+==思考1.若向量a 与21e e 或共线，a 还能用2211e e a λλ+=表示吗？ 【答案】当向量a 与1e 共线时，2110e e a +=λ。
当向量a 与2e 共线时，2210e e a λ+=。
思考2.当a 是零向量时，a 还能用2211e e a λλ+=表示吗？ 【答案】2100e e a +=思考3.设21e e ，是同一平面内两个不共线的向量，在2211e e a λλ+=中，21λλ，是否唯一？【答案】假设221122112211e e e e e e a μμλλμμ+=++=，则， 即0,00)()(2211222111=-=-=-+-μλμλμλμλ且，所以e e ，通过探究，利用向量加法的平行四边形法则，用两个不共线的向量表示另一个向量，引出平面向量基本定理，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量数乘运算的坐标表示、共线向量的坐标表示。
引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.课程目标学科素养A.掌握向量数乘运算的坐标表示；B.会根据向量的坐标，判断向量是否共线；1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示；2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示；3.数学运算：由向量共线求参数的值；4.直观想象：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系；5.数学模型：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
1.教学重点：向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线；2.教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性。
多媒体一、复习回顾，温故知新 1.已知),(),,(2211y x b y x a ==，则b a b a -+，的坐标是什么？ 【答案】),(),(21212121y y x x b a y y x x b a --=-++=+，二、探索新知思考：已知),(y x a = ，你能得到a λ的坐标吗？【分析】因为),(y x a =，所以j y i x j y i x a λλλλ+=+=)( 即),(y x a λλλ=。
结论：这就是说，实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标.例1.已知b a b a 43)43()1,2(+-==，求，，的坐标。
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解数乘向量的坐标运算和法则.(数学运算)2．理解用坐标表示向量共线的条件.(数据分析)数乘运算的结果仍然是向量，所以数乘运算的结果也仍然是坐标.通过坐标的计算来处理向量的共线问题，体现了向量代数与几何的完美结合.必备知识·探新知知识点1 平面向量数乘运算的坐标表示设向量a ＝(x ，y )，则有λa ＝__(λx ，λy )__，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.知识点2 平面向量共线的坐标表示利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0．向量a ，b (b ≠0)共线的充要条件是__x 1y 2－x 2y 1＝0__.知识点3 中点坐标公式若P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.[知识解读] 两个向量共线条件的三种表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2). (1)当b ≠0时，a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系. (2)x 1y 2－x 2y 1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2.即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.关键能力·攻重难题型探究题型一 向量的坐标运算典例1 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .[分析] 可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算. [解析] (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. [归纳提升] 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.【对点练习】❶ (1)已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( A )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)(2)已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点坐标为__⎝⎛⎭⎫－1，－32__. [解析] (1)由3a －2b ＋c ＝0，∴c ＝－3a ＋2b ＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，∴c ＝(－23，－12).(2)解法1：设P (x ，y )，∴MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8，1)，由MP →＝12MN →得P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 解法2：由MP →＝12MN →得P 为MN 中点，由中点坐标公式得.题型二 向量平行(共线)的判定典例2 (1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( B )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 (2)已知a ＝(2,1)，b ＝(3，－4)，当λ为何值时，λa －b 与a ＋2b 平行？平行时，它们是同向还是反向？[解析] (1)A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B ．(2)λa －b ＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ，λ)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，a ＋2b ＝(2,1)＋2(3，－4)＝(2,1)＋(6，－8)＝(8，－7)， ∵(λa －b )∥(a ＋2b )，∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0⇒22λ＋11＝0⇒λ＝－12.∴－12a －b ＝(－12×2－3，－12＋4)＝(－4，72)，即λa －b ＝－12(a ＋2b ).故当λ＝－12时，λa －b 与a ＋2b 平行；平行时它们反向.[归纳提升] 1．向量共线的判定方法2．利用向量平行的条件求参数值的思路 (1)利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.【对点练习】❷ 若a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝__π3__.[解析] ∵a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，a ∥b ， ∴3sin α－3cos α＝0，即tan α＝3， 又0<α<π2，故α＝π3.题型三 三点共线的判定及应用典例3 (1)已知OA →＝(3,4)，OB →＝(7,12)，OC →＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？ [解析] (1)证明：∵AB →＝OB →－OA →＝(4,8)，AC →＝OC →－OA →＝(6,12)， ∴AC →＝32AB →，即AB →与AC →共线.又∵AB →与AC →有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线.(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线，∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0．解得k ＝－2或k ＝11．[归纳提升] 若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法： ①直接利用上述条件，计算(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)·(y 2－y 1)是否为0；②任取两点构成向量，计算出两向量，如AB →，AC →，再通过两向量共线的条件进行判断. 【对点练习】❸ 已知OA →＝(k,2)，OB →＝(1,2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A ，B ，C 共线，则实数k ＝__－14__.[解析] AB →＝OB →－OA →＝(1－k,2k －2)，AC →＝OC →－OA →＝(1－2k ，－3)， 由题意可知AB →∥AC →，所以(－3)×(1－k )－(2k －2)(1－2k )＝0， 解得k ＝－14(k ＝1不合题意舍去).题型四 向量法在解析几何中的应用典例4 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求直线AC 与OB 交点P 的坐标.[分析] (1)AC 与OB 相交于点P ，则必有O ，P ，B 三点共线和A ，P ，C 三点共线；(2)根据O ，P ，B 三点共线可得到点P 坐标应满足的关系，再根据A ，P ，C 三点共线即可求得点P 坐标.[解析] 解法一：由O ，P ，B 三点共线， 可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)， AC →＝OC →－OA →＝(－2,6).由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3).解法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)，∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →.∴4x －4y ＝0． 又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )， AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →.∴6(x －4)＋2y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6(x －4)＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3. ∴点P 的坐标为(3,3).[归纳提升] 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤：首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向量化，再利用题目条件，寻找向量关系，列出方程(组)求出有关变量，最后回归到几何问题中.【对点练习】❹ 已知两点A (3，－4)，B (－9,2)，在直线AB 上求一点P ，使AP →＝13AB →.[解析] 设点P (x ，y )，则AP →＝(x －3，y ＋4)，AB →＝(－12,6)， ∴(x －3，y ＋4)＝13(－12,6)＝(－4,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋4＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2).易错警示处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况典例5 已知a ＝(3,2－m )与b ＝(m ，－m )平行，求m 的值.[错解] 由题意，得3m ＝2－m －m，解得m ＝5．[错因分析] 本题中，当m ＝0时，b ＝0，显然a ∥b 成立.错解中利用坐标比例形式判断向量共线的前提是m ·(－m )≠0，漏掉了m ＝0这种情况.[正解] ∵a ∥b ，∴3(－m )－(2－m )m ＝0，解得m ＝0或m ＝5．[误区警示] 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a 与b 共线的条件为x 1y 2－x 2y 1＝0．要注意此条件与条件x 1x 2＝y 1y 2的区别，应用x 1x 2＝y 1y 2时，分母应不为零.【对点练习】❺ 已知向量a ＝(－1，－1)，b ＝(－m,4m ＋5)，且a ∥b ，则m 等于( A ) A ．－1 B ．－53C ．－1或－53D ．0或－2[解析] 由a ∥b 得：－(4m ＋5)－m ＝0，－5m －5＝0，解得m ＝－1．。
