平面向量数乘运算及其意义试题(含答案)4

6.2.3向量的数乘运算课标解读课标要求核心素养1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则.2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重点)3.理解两个平面向量共线的含义.(难点)1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学运算核心素养.2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算律,培养类比推理的能力.3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.问题1:兔子3秒的位移一共是多少?答案设兔子第1秒的位移是向量a,则3秒的位移是向量3a.问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少?答案-3a(用a表示向东跑1秒).1.向量的数乘定义实数λ与向量a的积是一个①向量记法λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向②相同λ<0λa的方向与a的方向③相反几何意义λa中的实数λ是向量a的系数λ>0λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④|λ|倍得到λ<0λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到特别提醒当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.思考1:实数与向量能否进行加减运算?提示不能.2.向量的数乘运算的运算律设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=⑤λa +μa; (3)λ(a+b )=λa +λb.思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系? 提示两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律. 3.向量的线性运算(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量. (2)对于任意向量a,b 以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b. 思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系? 提示在形式上类似. 4.共线向量定理向量a(a ≠0)与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b =λa. 思考4:λ与向量a,b 的方向有什么关系?提示若λ>0,则a 与b 同向;若λ<0,则a 与b 反向.探究一向量的线性运算例1(1)化简下列各式:①3(6a+b)-9(a +13b);②12[3a +2b -(a +12b)]-2(12a +38b); ③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.(2)已知向量a,b,m,n 满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b 表示向量m,n. 解析(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a. ②原式=12(2a +32b)-a-34b=a+34b-a-34b=0. ③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. (2)a=3m+2n ①,b=m-3n ②, 则①×3+②×2得3a+2b=11m, 即m=311a+211b. ①-②×3得a-3b=11n,即n=111a-311b. 思维突破向量的线性运算的技巧向量的线性运算类似于代数多项式的运算.(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也可以使用.(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 1-1化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2)16[2(2a+8b)-4(4a-2b)]; (3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).解析(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=16×(4a+16b-16a+8b)=16×(-12a+24b)=-2a+4b. (3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b) =(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b =2na-2mb.探究二共线向量定理及其应用例2设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),求证:A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b 与a+kb 共线. 解析(1)证明:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b, CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B,∴A 、B 、D 三点共线. (2)∵ka+b 与a+kb 共线, ∴存在实数λ,使ka+b =λ(a+kb), 即ka+b =λa +λk b,∴(k-λ)a =(λk -1)b. ∵a 、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1. 思维突破用向量法证明三点共线的关键与步骤(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b =λa(a 、b 为这三点构成的任意两个向量). (2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.2-1如图,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 的中点,点N 在线段BD 上,且有BN=13BD,求证:M,N,C 三点共线.证明设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a+13(b-a)=16a+13b,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b=3×(16a +13b)=3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点M,∴M,N,C 三点共线.探究三向量线性运算的应用例3(易错题)已知点E,F 分别为四边形ABCD 的对角线AC,BD 的中点,设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示EF⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析如图所示,取AB 的中点P,连接EP,FP. 在△ABC 中,EP 是中位线, 所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a. 在△ABD 中,FP 是中位线,所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12b.在△EFP 中,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF⃗⃗⃗⃗⃗ =-12·a-12b =-12(a+b).易错点拨在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.3-1已知四边形ABCD 是一个梯形,AB ∥CD,且AB=2CD,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析解法一:如图,连接CN, 易知AN 与DC 垂直且相等, 所以四边形ANCD 是平行四边形. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,又因为CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+14a. 解法二:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以a+BC⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)+(-b)=0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, 又因为在四边形ADMN 中有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以b+14a+MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)=0, 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a-b. 3-2设O 为△ABC 内任意一点,且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若D,E 分别是BC,CA 的中点. (1)求证:D,E,O 三点共线; (2)求S△ABC S △AOC的值.解析(1)证明:如图,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点O, ∴D,E,O 三点共线. (2)由(1)知2|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴S △AOC =2S △COE =2×23S △CDE =2×23×14×S △ABC =13S △ABC ,∴S△ABC S △AOC=3.1.已知非零向量a,b 满足a=4b,则() A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a,b 的方向相同 D.a,b 的方向相反答案C ∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|. ∵4b 与b 的方向相同, ∴a 与b 的方向相同.2.(多选题)下列向量中,a,b 一定共线的是() A.a=2e,b=-2e B.a=e 1-e 2,b=-2e 1+2e 2 C.a=4e 1-25e 2,b=e 1-110e 2 D.a=e 1+e 2,b=2e 1-2e 2答案ABCA 中,b=-a,则a,b 共线;B 中,b=-2a,则a,b 共线;C 中,a=4b,则a,b 共线;D 中,a,b 不共线.3.已知向量a=e 1+λe 2,b=2e 1,λ∈R,且λ≠0,若a ∥b,则() A.e 1=0B.e 2=0C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或e 1=0或e 2=0 答案D4.已知x,y 是实数,向量a,b 不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=,y=. 答案12;12解析由已知得{x +y -1=0,x -y =0,解得x=y=12.5.已知两个非零向量e 1、e 2不共线,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2.求证:A 、B 、D 三点共线.证明∵AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2 =12e 1+18e 2=6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.又∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A, ∴A 、B 、D 三点共线.数学运算——在几何图形中进行向量线性运算如图所示,已知▱ABCD 的边BC,CD 上的中点分别为K,L,且AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理. 联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算. 解:解法一:设BC⃗⃗⃗⃗⃗ =a,则BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =①, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ +KB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,DL⃗⃗⃗⃗⃗ =12e 1-14a. 又AD⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得a+12e 1-14a=e 2, 解得a=②.由CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =③.解法二:设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n,则BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12m,DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12n. 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得④,得m=23(2e 2-e 1),n=⑤,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43e 1+23e 2. 解法三:如图所示,BC 的延长线与AL 的延长线交于点E,则△DLA ≌△CLE.从而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 由KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得32BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 2-e 1, 即BC⃗⃗⃗⃗⃗ =⑥. 同理可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =⑦.思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法进行运算,然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养.答案①12a ②43e 2-23e 1,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1 ③-43e 1+23e 2④{-n +12m =e 1m -12n =e 2⑤23(-2e 1+e 2)⑥43e 2-23e 1⑦-43e 1+23e 2如图所示,四边形OADB 是以向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b 为邻边的平行四边形,又BM=13BC,CN=13CD,试用a,b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(a-b)=16a-16b, ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+16a-16b=16a+56b. ∵CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ )=23a+23b, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a+23b-16a-56b=12a-16b.1.将112[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为() A.2a-bB.2b-a C.a-bD.b-a答案B2.在△ABC 中,如果AD,BE 分别为BC,AC 上的中线,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.23a+43bB.23a-23b C.23a-43bD.-23a+43b 答案A3.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+4b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b-a,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(a+b),则() A.A 、B 、C 三点共线B.A 、B 、D 三点共线 C.A 、C 、D 三点共线D.B 、C 、D 三点共线 答案B4.在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ等于() A.23B.13C.-13D.-23答案A 解法一:由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 解法二:CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) B.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) C.λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) D.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) 答案A 因为P 是对角线AC 上的一点(不包括端点A 、C),所以存在λ∈(0,1),使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1). 6.已知向量a,b 不共线,实数x,y 满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=,y=. 答案3;-4解析因为a 与b 不共线,所以{5x =3y +27,8-y =4x,解得{x =3,y =-4.7.若|a|=3,|b|=2,b 与a 反向,则a=b. 答案-32解析因为b 与a 反向,所以a =λb ,λ<0.又|a|=3,|b|=2,所以|a|∶|b |=|λ|, 所以λ=-32,所以a=-32b.8.如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别为BD,AB,AC,CD 的中点,求证:四边形EFGH 为平行四边形.证明∵F,G 分别是AB,AC 的中点, ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理,EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG=EH,FG ∥EH,∴四边形EFGH 为平行四边形.9.已知△ABC 和点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若存在实数m 使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则m=() A.2B.3C.4D.5答案B 由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,M 为△ABC 的重心,故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即m=3.10.(多选题)在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 可以是() A.-13B.-14C.0D.-√26答案BD 当点O 与点C 重合时,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-0)·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时x=0;当点O 与点D 重合时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 此时x=-13.因为点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),所以-13<x<0.故x 可以是-14,-√26.故选BD. 11.若对于△ABC 内部的一点O,存在实数λ使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )成立,则△OBC 与△ABC 的面积比为. 答案1∶2解析如图所示,设D,E 分别是AB,AC 的中点,连接OA,OB,OC,以OA,OB 为邻边作平行四边形OAGB,以OA,OC 为邻边作平行四边形OAFC,连接OG,OF.则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以点O 在线段DE 上.又因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以△OBC 与△ABC 的面积比是1∶2.12.如图,四边形ABCD 是一个梯形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示下列向量:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =;MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =. 答案e 2+12e 1;14e 1-e 2解析因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2+12e 1.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-14e 1-e 2+12e 1=14e 1-e 2. 13.已知O,A,M,B 为平面上四点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ,λ≠1,λ≠0).(1)求证:A,B,M 三点共线;(2)若点B 在线段AM 上,求实数λ的取值范围.解析(1)证明:因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又λ∈R ,λ≠1,λ≠0,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A,所以A,B,M 三点共线.(2)由(1)知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若点B 在线段AM 上,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向且|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |(如图所示),所以λ>1.14.平面内有一个△ABC 和一点O(如图),线段OA,OB,OC 的中点分别为E,F,G,线段BC,CA,AB 的中点分别为L,M,N,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c. (1)试用a,b,c 表示向量EL⃗⃗⃗⃗⃗ ,FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明:线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.解析(1)因为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a,OL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c),所以EL ⃗⃗⃗⃗⃗ =OL ⃗⃗⃗⃗⃗ -OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c-a). 同理可得FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+c-b), GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b-c). (2)证明:设线段EL 的中点为P 1,则OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OL ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(a+b+c). 设FM,GN 的中点分别为P 2,P 3,同理可求得OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),所以OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.。

平面向量概念与运算测试卷姓名：_______________班级：______________得分：______________一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a b ≠，则||||a b ≠ ；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．32．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b > ，则a b > ；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD = ；③若m n = ，n k = ，则m k =；④零向量都相等.其中假命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知ABC 中，2B D D C =，设AB a = ，AC b = ，则AD = （）A ．1233a b+ B ．2133a b + C ．2133a b - D ．1233a b-4．ABC 中，AD DC =，点M 在BD 上，且满足37AM AB t AC =+ ，则实数t 的值为（）A ．67B ．47C ．27D ．595．设非零向量，a b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则（）A ．a ⊥b B ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |6．若平面向量a ，b满足1a = ，2b = ，且a b a b +=- ，则2a b + 等于（）AB ．C ．2D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共12分.7．已知|a |＝3，|b |＝4，求|a b - |的取值范围_____．8．已知非零向量,a b满足a b a b ==- ，则a b a b+=- _____________.9．如图所示，已知在矩形ABCD中，AD →=→→=AB a ，BC b →→=，BD c →→=.则a b c →→→++=______．三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.10（本小题10分）．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b，OC ＝c.（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a共线的向量有哪些？（3）请一一列出与a ，b ，c.相等的向量．11（本小题10分）．化简：（1）AB BC CA ++；（2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++；（4）AB AC BD CD -+-；（5）OA OD AD -+；（6）AB AD DC --；（7）NQ QP MN MP ++-.12（本小题10分）．计算：（1）()()()826222a b c a b c a c -+--+-+；（2）()()11284232a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦；（3）()()()()m n a b m n a b +--+⋅⋅+ ．13（本小题10分）．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA ，使|OA|＝4，点A 在点O 北偏东45°；（2）AB，使AB＝4，点B 在点A 正东；（3）BC，使BC u u u r ＝6，点C 在点B 北偏东30°.14（本小题12分）．如果a 表示“向东走10km ”，b 表示“向西走5km ”，c表示“向北走10km ”，d表示“向南走5km ”，那么下列向量具有什么意义？（1）a a +；（2）a b + ；（3）a c +；（4）b d + ；（5）b c b ++；（6）d a d ++.15（本小题12分）．如图，在ABC 中，O 为重心，点,,D E F 分别是BC ,AC ,AB 的中点，化简下列各式：(1)BC CE EA ++ ;(2)OE AB EA ++;(3)AB FE DC ++.参考答案1．B 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形ABCD中，//AB CD ，且=AB CD ，但AB CD ≠，故③错；a b ≠，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错．故选：B ．【点睛】本题考查向量共线的定义、向量相等的定义及它们之间的关系，考查共线向量、向量的模等概念，属于基础题．2．C 【分析】分别根据每个命题的条件推论即可判断.【详解】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题；对于②，在平行四边形ABCD 中，,C AB D 是大小相等，方向相反的向量，即AB CD=-，故②是假命题；对于③，显然若m n = ，n k = ，则m k =，故③是真命题；对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．A【分析】()2233AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-，即可得出答案.【详解】因为2B D D C= 所以()221212333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=++-=+=故选：A 【点睛】本题考查的是平面向量的加法法则，较简单.4．C 【分析】由题意，可设DM k DB =，结合条件整理可得11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+ ，得到关于k 与t 的方程组，解出t 即可．【详解】如图，因为AD DC =，所以12AD AC= 则12AM AD DM AC DM =+=+ ，因为M 在BD 上，不妨设1()()2DM k DB k AB AD k AB AC ==-=-，则1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB =+=+-=-+ ，因为37AM AB t AC =+ ，所以37{1(1)2k k t =-=，解得27t =，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．5．A 【分析】利用向量的加减法的平行四边形法则，结合模的意义即可做出判定.【详解】利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB＝a ，AD ＝b ，由| a ＋ b |＝| a －b |知AC DB = ，如图所示.从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选:A .【点睛】本题考查平面向量的加减运算的几何意义，向量的模，难度不大.6．B 【分析】由a b a b +=- ，可得0a b ⋅= ，再结合2a b +=.【详解】由a b a b +=- ，可知()()22a ba b +=- ，展开可得0a b ⋅=，所以2a b +=，又1a = ，2= b ，所以2a b +=== .故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，注意向量的平方等于模的平方，属于基础题.7．[1，7]．【分析】运用向量的模的不等式可得，||a|﹣|b ||≤|a b - |≤|a |+|b |，注意向量共线时取得最值，即可得到所求范围．【详解】由向量的模的不等式可得，||a|﹣|b ||≤|a b - |≤|a |+|b |，即有1≤|a b -|≤7，当a，b反向共线时，取得最大值7，当a ，b同向共线时，取得最小值1．故所求取值范围是[1，7]．故答案为：[1，7]．【点睛】本题主要考查向量模的取值范围，注意运用向量的模的不等式，考查运算能力，属于中档题．8【分析】设,OA a OB b == ,则,OA OB a b BA OA B O O a b C +=+=-=-=,由a b a b ==- 可得OAB 为等边三角形,设其边长为1,进而求解即可【详解】如图,设,OA a OB b == ,则,OA OB a b BA OA B O O a b C +=+=-=-=,∵a b a b ==- ,∴BA OA OB ==,∴OAB 为等边三角形,设其边长为1,则31,22a b BA a b -==+=⨯=,∴331a b a b+==- 故答案为3【点睛】本题考查向量的加法,向量的减法在集合中的应用,考查向量的模的应用9．83【分析】根据题意，得a b c AB BC BD AC BD →→→→→→→→++=++=+，延长BC 至E ，使CE BC =，连接DE ，证出四边形ACED 是平行四边形，从而AC BD DE BD BE →→→→→+=+=，最后得出22a b c BE BC AD →→→→→→++===，即可得出结果.【详解】解：a b c AB BC BD AC BD →→→→→→→→++=++=+，延长BC 至E ，使CE BC =，连接DE ，由于CE BC AD →→→==，∴=∥CE AD ，∴四边形ACED 是平行四边形，AC DE →→∴=，AC BD DE BD BE →→→→→∴+=+=，22a b c BE BC AD →→→→→→∴++====故答案为：【点睛】本题考查平面向量运算法则的应用，属于中档题，平面向量的运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.10．（1）OD uuu r，BC ，AO ，FE.（2）EF，BC，OD uuu r，FE ， CB ，DO ，AO ，DA，AD .（3）与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA ；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB.【分析】（1）根据正六边形的性质，图形中各线段长度都相等，只要方向相反即可.（2）根据共线向量定理求解.（3）根据相等的向量的定义求解.【详解】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD uuu r，BC ，AO ，FE .（2）由共线向量定理得：EF，BC，OD uuu r，FE ， CB ，DO ，AO ，DA ，AD.与a共线.（3）由相等向量的定义得：与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB .【点睛】本题主要考查平面向量的相关概念和共线向量定理的应用，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.11．（1）0 .（2）AB （3）BA.（4）0 （5）0 （6）CB .（7）0【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可.【详解】解：（1）原式0AC AC =-= .（2）原式AB BO OM MB AB=+++= （3）原式OA OC OB OC BA =+--= .（4）原式0AB BD DC CA =+++=（5）原式0OA AD DO =++= （6）原式()AB AD DC AB AC CB =-+=-=.（7）原式0MN NQ QP PM =+++= 【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.12．（1）64a b + ．（2）2b a - ．（3）()2m n b -+ ．【分析】（1）利用向量加法、减法结合律和向量数乘的分配律可得计算结果.（2）利用向量的加法、减法结合律和向量数乘的分配律可得计算结果.（3）利用向量数量积的运算律可得计算结果.【详解】（1）原式1688612642a b c a b c a c=-+-+--- ()()()1664812862a b c--+-++-=- 64a b =+ ．（2）原式()()()4423361321a b a b a b b a ⎡⎤=+--+==--⎣⎦ ．（3）原式()()()()()2m n a m n b m n a m n b m n b =+⋅-+⋅-+⋅-+⋅=-+⋅ ．【点睛】本题考查向量加法、减法、数乘运算以及向量数量积的运算，正确使用运算律是关键，本题属于基础题.13．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由点A 在点O 北偏东45°处和|OA |＝，可得出点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量OA ；（2）由点B 在点A 正东方向处，且AB ＝4，得出在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量AB ；（3）由点C 在点B 北偏东30°处，且BC u u u r＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为，作出向量BC u u u r ．【详解】（1）由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA |＝，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA如下图所示．（2）由于点B 在点A 正东方向处，且AB ＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB 如下图所示．（3）由于点C 在点B 北偏东30°处，且BC u u u r＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为，于是点C 位置可以确定，画出向量BC u u u r 如下图所示．【点睛】本题考查方位角和向量的几何表示，关键在于明确方位角的含义和向量的模，得出向量在横向和纵向的小方格的个数，属于基础题.14．（1）向东走20km ；（2）向东走5km ；（3）向东北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走.【分析】由向量加法及其几何意义和位移的关系可得.【详解】由题意知：a 表示“向东走10km ”，b 表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”（1）a a +r r 表示“向东走20km ”（2）a b +表示“向东走5km ”（3）a c + 表示“向东北走”（4）b d +r u r 表示“向西南走”（5）b c b ++表示“向西北走”（6）d a d ++ 表示“向东南走”【点睛】本题考查向量加法及其几何意义，属于基础题.15．(1)BC CE EA BA ++= (2)OE AB EA OB ++= (3)AB FE DC AC++= 【分析】（1）根据向量加法的三角形法则即可求解.（2）由三角形的运算法则即可求解.（3）由O 为重心且点,,D E F 分别是BC ,AC ,AB 的中点可得FE BD = ，再由向量的加法运算法则即可求解.【详解】解:（1）BC CE EA BE EA BA ++=+=（2）()OE AB EA OE EA AB OA AB OB++=++=+= （3）易知FE 为三角形ABC 的一条中位线，1//,2FE BC FE BC ∴=又∵点D 是BC 的中点，12BD BC ∴=FE BD∴= AB FE DC AB BD DC AD DC AC ∴++=++=+= .【点睛】本题主要考查向量加法的运算法则，需掌握向量加法的运算律，属于基础题.。

…………………………装…………………………订…………………………线…………………………向量数乘运算及其几何意义班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题）1．设实数 与量a 的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ．3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点： 相同点 ； 不同点 ． 二、理解与应用 1．已知Rλ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．a a λλ= B ．a a λλ=C ．a a λλ=D ．0a λ>2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a =u u u r ，BA b=u u u r ，则EFu u u r =（ ） A ．1()2a b + B ．1()2a b -+ C ．1()2a b -- D ．1()2b a -3．若a b c=+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+（ ） A ．aB ．bC ．cD ． 以上都不对4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP u u u r=（ ）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈u u u r u u u rB ．().AB BC λλ+∈u u u r u u u rC ．().(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u rD ．().(0,2AB BC λλ-∈u u u r u u u r5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b =④若ma na =，则m n =其中正确命题为_____________________． 6．计算：（1）3(53)2(6)--+a b a b =__________； （2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________．7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ，则x =__________．8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则x =__________； y =___________．…………………………装…………………………订…………………………线…………………………9．已知1e ，2e 是两个不共线的向量，122=-a e e ，12k =+b e e ．若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．10．证明：如果存在不全为0的实数,s t ，使s t +=0a b ，那么a 与b 是共线向量；如果a 与b 不共线，且s t +=0a b ，那么0s t ==．11． 如图，已知：在四边形ABCD 中，M 、N 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形MNEF 是平行四边形．AD BC EF N12．如图，在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()=+13u u u r u u u r u u u rAG AB AC。

6.2平面向量的运算练习一、单选题1．化简OP PS QS +-的结果等于（ ）． A ．QPB ．OQC ．SPD ．SQ2．如图，M 在四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，且13MN OM =，设OA a =，OB b =，OC c =，则下列向量与AN 相等的向量是（ ）A ．1133a b c -++B ．1133a b c ++C ．1166a b c -++D ．1166a b c ++3．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若AD BC =，则下面互为相反向量的是（ ）A ．AC 与CBB ．OB 与ODC ．AB 与DCD ．AO 与OC4．已知平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AC 与BE 相交于点F ，若EF xAB y AD =+，则（ ）A ．11,36x y ==-B ．11,24x y ==-C ．11,33x y ==-D ．11,23x y ==-5．()()32a b a b a +---=（ ） A ．5aB ．5bC ．5a -D ．5b -6．已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线7．已知向量a 、b 满足2a =，5b =，且a 与b 夹角的余弦值为15，则()()23a b a b +⋅-=（ ） A ．30-B ．28-C ．12D ．728．如图，在ABC 中，12AN NC =，P 是BN 上的一点，若1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为（ ）A ．19B ．29C ．23D ．13二、多选题9．如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是A ．AB AD AC += B ．AC CD DO OA ++= C ．++=AB AC CD ADD ．0AC BA DA ++=10．如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF DB -等于（ ）A ．FDB ．EC C ．BED ．DF11．在ABC 中，12,33AE AB AD AC ==，记,BC a CA b ==，则下列结论中正确的是（ ） A ．()13AE a b =-- B ．AD b =-C ．()13DE b a =- D ．AB a b =+12．设a ，b ，c 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b a b +=-，则a b ⊥ B ．若a b =，则()()a b a b +⊥- C ．若a c b c ⋅=⋅，则a b -不与c 垂直D ．()()b c a a c b ⋅-⋅不与c 垂直三、填空题13．在ABC 中，,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点，则AE DB -=___________. 14．下列四个等式：①a ＋b ＝b ＋a ；①－(－a )＝a ；①AB ＋BC ＋CA ＝0；①a ＋(－a )＝0. 其中正确的是______(填序号)．15．已知a ，b 是不共线的向量，OA a b λμ=+，32OB a b =-，23OC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数λ，μ满足__________．16．已知m 、n 是夹角为120°的两个单位向量，向量()1a tm t n =+-，若n a ⊥，则实数t =______．四、解答题17．如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG EA CB ++； (2)EG CG DA EB +++.18．化简：(1)BA BC-；(2)AB BC AD+-；(3)AB DA BD BC CA++--．19．已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B)，设AB=a→，AO=b→.（1）用向量a→与b→表示向量OC;（2）若35OE OA=，判断C，D，E是否共线，并说明理由.20．已知2,3,,a b a b ==的夹角为60︒，53,3c a b d a kb =+=+，当实数k 为何值时， (1)→→d//c(2)c d ⊥21．已知向量a 与b 的夹角3π4θ=，且3a =，22b =． (1)求a b ⋅，()(2)a b a b +⋅-； (2)求a b +；(3)a 与a b +的夹角的余弦值．22．已知向量,,a b c 满足：2a =，()R c a tb t =-∈，,3a b π=．(1)若1a b ⋅=，求b 在a 方向上的投影向量； (2)求||c 的最小值．答案1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 6．B 7．B 8．D 9．AD 10．BCD 11．AC 12．AB 13．AF 14．①①①① 15．513λμ+=. 16．2317．（1）DG EA CB GC BE CB GB BE GE +++++===； （2）0EG CG DA EB EG GD DA AE ED DE ==+=++++++. 18．(1)BA BC CA -=.(2)AB BC AD AC AD DC +-=-=.(3)AB DA BD BC CA AB BD AD AC CB AD AD AB AB ++--=+-++=-+=. 19．解(1)①AB =a →，AO =b →，点A 是BC 的中点，∴AC =-a →.①OC OA AC =+=-a →-b →. (2)假设存在实数λ，使CE =λCD .①CE CO OE =+=a →+b →+35(-b →)=a →+25b →，11(33CD CB BD CB BO CB BA AO =+=+=++)=2a →+13(-a →+b →)=53a →+13b →，①a →+25b →=λ5133a b →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，①5131235λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，此方程组无解， ①不存在实数λ，满足CE =λCD . ①C ，D ，E 三点不共线. 20．（1）若→→d//c ，得c d λ=，即53(3)a b a kb λ+=+，即35,3,k λλ=⎧⎨=⎩解得53λ=，95k =．（2）若c d ⊥，则0c d ⋅=，即53)(3)0(a b a kb +⋅+=，得()22159530k k ++⋅+=a a b b ， ()115495233902k k ⨯++⨯⨯⨯+⋅=，解得2914k =-． 21．（1）已知向量a 与b 的夹角3π4θ=，且3a =，22b =，则3πcos364a b a b ⎛⋅=⋅⋅=⨯=- ⎝⎭， 所以()22()(2)296281a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=---⨯=-；（2）()(222292a b a b a ab b +=+=+⋅+=+⨯-（3）a 与a b +的夹角的余弦值为()296cos ,535a a baa ba ab a a ba a b⋅++⋅-+====⨯⋅+⋅+ 22．（1）由数量积的定义可知：cos ,a bb a b a⋅=，所以b 在a 方向上的投影向量为： 11||cos ,||||||224a ab a a b a b a a a a ⋅<>=⋅=⋅=； （2）()()2222c a tb a tb a ta b tb =-=-=-⋅+又2a =，,3a b π=，所以()224c t bt b =-+令R x t b =∈所以22c x =-=所以当1x t b ==时，c 取到最小值为。

高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。

£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。

向量数乘运算及其几何意义(答案)班级___________ 姓名__________1. 若3x →—2(x →—a →) = 0→，则x →=( B )A. 2a →B. -2a →C. 25a →D. -25a →2. 将112[2(2a →+8b →)—4(4a →—2b →)]化简成最简形式为( B )A. 2a →—b →B. 2b →—a →C. a →—b →D. b →—a →3. 下面给出四个命题：① 对于实数m 和向量a →,b →,恒有m(a →—b →)=ma →—mb →；② 对于实数m,n 和向量a →，恒有(m —n )a →=ma →—na →；③ 若ma → = mb → ( m ∈ R), 则有a →=b →；④ 若ma → = nb → (m , n ∈ R, a → ≠ 0→), 则m = n .其中正确命题的个数是( B )A. 1B. 2C. 3D. 44. 若AB → = 3a →, CD → = —5a →, 且|AD →|=|BC →|, 则四边形ABCD 是( C )A. 平行四边形B. 菱形C. 等腰梯形D. 非等腰梯形5. 已知向量a →,b →, 且AB →=a →+2b →, BC →=—5a →+6b →, CD →=7a →—2b →,则一定共线的三点是( A )A. A 、B 、DB. A 、B 、CC. B 、C 、DD. A 、C 、D6. 已知O 是ΔABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →+OB →+OC → = 0→，那么( A )A. AO →=OD →B. AO →=2OD →C. AO →=3OD →D. 2AO →=OD →7. 设A 1, A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中四个不同的点，若A 1A 3→ = λA 1A 2→ (λ ∈ R), A 1A 4→ =μA 1A 2→ (μ ∈ R), 且 1 λ + 1μ = 2，则称A 3, A 4调和分割A 1A 2. 已知平面上的点C 、D 调和分割AB ，则下面说法正确的是( D )A. C 可能是线段AB 的中点B. D 可能是线段AB 的中点C. C 、D 可能同时在线段AB 上D. C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上8. 若O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，AB →=4e →1, BC →=6e →2, 则OA →= -2e 1→-3e 2→.9. 若a →=m →+2n →, b →=3m →—4n →，且m →, n →共线，则a →与b →的关系是 共线 .10. 在ΔABC 中，BC →=a →, CA →=b →, AB →=c →,三边BC,CA,AB 的中点依次是D,E,F ，则AD →+BE →+CF→=0→.11. 若AP →=t AB → （t ∈ R), O 为平面上任意一点，则OP →= (1-t )OA →+t OB → (用OA →,OB →表示).12. 在ΔABC 中，D 为BC 的一个三等分点，求证: AD → = 23AB → + 13AC →证：AD → = AB → + BD →⇒ 2AD → = 2AB → + 2BD →AD → = AC → + CD → = AC →— 2BD →⇒ 3AD → = 2AB → + AC →∴AD → = 23AB → + 13AC →13. 设e →1, e →2是两个不共线的向量，已知AB →=2e →1+k e →2, CB →=e→1+3e →2, CD →=2e →1—e →2. 若三点A,B,D 共线，求k 的值.解：AD → = AB →—CB →+CD → = 3e 1→ + (k —3—1)e 2→ = 3e 1→ + (k —4)e 2→BAD →//AB →⇒AD → = λAB →⇒⎩⎨⎧ 3=2λ，k -4=λk ，⇒⎩⎨⎧ λ=32，k =-8，14. 已知A 、B 、P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →=x OA → + y OB →，求x +y 的值.答案：x + y =115. 在四边形ABCD 中，AB →=2a →—3b →, BC →=—8a →+b →,CD →=—10a →+4b →，且a →,b →不共线，试判断四边形ABCD 的形状.答案： 是梯形。

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A ．P A →＋PB →＝0 B ．PC →＋P A →＝0 C ．PB→＋PC →＝0 D ．P A →＋PB→＋PC →＝0 【解析】 因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确．【答案】 B2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD→＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB→，所以A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．(2016·北京高一检测)四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形【解析】 因为AB→＝a ＋2b ， 又DC→＝BC →－BD →＝－4a －b －(－5a －3b )＝a ＋2b ＝AB →. 又因在四边形ABCD 中，有|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．【答案】 B4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A ．AO →＝OD →B ．AO →＝2OD →C ．AO→＝3OD → D ．2AO→＝OD → 【解析】 由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →，又因为OB →＋OC →＝2OD→，所以AO →＝OD →. 【答案】 A5.如图2－2－20，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF→＝( )图2－2－20A ．12AB →－13AD →B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12DA →D ．12AB →－23AD →【解析】 EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →.【答案】 D 二、填空题6．(2016·郑州高一检测)已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ等于________． 【解析】 因为P 1P →＝23PP 2→， 所以－PP 1→＝23(PP 1→＋P 1P 2→)， 即PP 1→＝－25P 1P 2→＝λP 1P 2→， 所以λ＝－25.【答案】 －257．(2016·南宁高一检测)若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________．(用OA→，OB →表示) 【解析】 AP→＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)，OP→＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. 【答案】 (1－t )OA →＋tOB →三、解答题8.如图2－2－21所示，OADB 是以向量OA→＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →. 【导学号：00680044】图2－2－21【解】 BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ，CN→＝13CD →＝16OD →， 所以ON→＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →) ＝23(a ＋b )＝23a ＋23b . MN→＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 9．(2016·绍兴高一检测)设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA →＝a ，OB →＝t b (t ∈R )，OC→＝13(a ＋b )，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ 【解】 ∵OA→＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AB→＝OB →－OA →＝t b －a ，AC→＝OC →－OA →＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ， ∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →， 即t b －a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －23a .由于a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13λ，－1＝－23λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，A 、B 、C 三点共线．[能力提升]1．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心【解析】 设BC 的中点为M ，则AB→＋AC →＝2AM →，又因为OP →－OA →＝AP →，且由题有OP→－OA →＝λ(AB →＋AC →)，所以AP →＝2λAM →，即AP →与AM →共线，又因为AM为△ABC 的BC 边上中线，过重心，所以点P 的轨迹通过△ABC 的重心．【答案】 C2．点E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF→.【解】 如图：取AB 的中点P ，连接EP ，FP ，在△ABC 中，因为EP 是△ABC 的中位线， 所以PE→＝12BC →＝12a ， 在△ABD 中，因为FP 是△ABD 的中位线，所以PF→＝12AD →＝－12b ， 在△EFP 中，EF→＝EP →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．。

第六章 6.2.3向量的数乘运算【基础篇】题型1 向量的数乘的定义与运算法则 1．已知λ∈R ，则下列结论正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a |D ．|λa |>02．若a ，b 为已知向量，且 23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，则c ＝________.题型2 向量的数乘的应用3．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，AG →＝2GD →，则用向量AB →，AC →表示BG →为( )A .BG →＝－23AB →＋13AC →B .BG →＝－13AB →＋23AC →C .BG →＝23AB →－13AC →D .BG →＝23AB →＋13AC →4．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 的中点，AD →＝m ，BC →＝n ，则EF →＝( ) A .12m ＋12n B .23m ＋13n C.34m ＋14nD .13m ＋23n题型3 向量共线的判定5．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线6．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形7．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2不共线．问是否存在实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？题型4 向量共线定理的应用8．如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是BN 上一点．若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A .911B .211C .311D .1119．在△ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，且BC →＝3CD →.若AO →＝xAB →＋(1－x)AC →，－13<x<0，则点O 在( ) A ．线段BC 上 B ．线段CD 上 C ．线段AC 上D ．线段AD 上10．在△ABC 中，点D 满足AD →＝16AB →＋12AC →，直线AD 与BC 交于点E ，则|CE →||CB →|的值为( ) A .12 B .13 C .14D .1511．设e 1，e 2是空间内两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋ke 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．【提升篇】1．在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，则( ) A .AO →＝AB →＋AD → B .AO →＝12(AB →＋AD →)C .AO →＝AB →－AD → D .AO →＝12(AB →－AD →)2．已知向量a ，b 不共线．若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ的值为( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．±13．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，已知PTAP ＝5－12，则( )A .CT →＝3－52CA →＋3－52CE →B .CT →＝5－12CA →＋5－12CE →C .CT →＝3－54CA →＋3－54CE →D .CT →＝3－54CA →＋5－12CE →4．已知O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．(多选)[重庆南开中学2022质量检测]已知点P 是△ABC 的中线BD 上一点(不包含端点)且AP →＝xAB →＋yAC →，则下列说法正确的是( ) A ．x ＋2y ＝1B ．2x ＋y ＝1C ．2x ＋4y ≥2 2D ．log 2x ＋log 2y≥－36．(多选)[山东师范大学附属中学2022高一月考]已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →＋2PB →＋3PC →＝0.若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．向量PA →与PC →可能平行 B ．点P 在线段EF 的延长线上 C ．点P 在线段EF 上 D ．PE ∶PF ＝2∶17．已知M 是△ABC 所在平面内的一点．若满足6AM →－AB →－2AC →＝0，且S △ABC ＝λS △ABM ，则实数λ的值是________．8．[山东历城二中、章丘四中等校2022高一联考]在△ABC 中，点P 满足BP ＝2PC ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)，求1λ＋1μ的最小值．9．已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，且AB →＝k e 1－4e 2，CD →＝－e 1＋k e 2，BD →＝e 1＋2e 2.(1)若AB →，CD →方向相反，求k 的值； (2)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值．答案及解析1.【答案】C【详解】当λ<0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量，B 错误；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误．故选C. 2.【答案】1213b －839a【详解】∵23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，∴83a －2c ＋15c －12b ＝0，化简得13c ＝12b －83a ，∴c ＝1213b －839a . 3.【答案】A【详解】由题意可得BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋23AD →＝BA →＋23×12(AB →＋AC →)＝BA →＋13AB →＋13AC →＝13AC→－23AB →.故选A. 4.【答案】A【详解】由已知可得CF →＋DF →＝0，EA →＋EB →＝0，由平面向量的加法可得⎩⎪⎨⎪⎧EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →，上述两个等式相加可得2EF →＝AD →＋BC →＝m ＋n ，则EF →＝12(m ＋n )．故选A. 5.【答案】B【详解】∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，∴BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b .∵AB →＝a ＋5b ，∴BD →＝AB →，即BD →与AB →共线，则A ，B ，D 三点共线，故选B. 6.【答案】B【详解】∵2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，∴2(OA →－OD →)＝3(OB →－OC →)，∴2DA →＝3CB →，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.7.【答案】由题意得d ＝λa ＋μb ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2， 若d 与c 共线，则存在实数k ≠0，使d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，解得λ＝－2μ. 故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d 与c 共线． 8.【答案】D【详解】由题意可得AC →＝5AN →，则AP →＝mAB →＋211×5AN →＝mAB →＋1011AN →.因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋1011＝1，即m ＝111.9.【答案】B【详解】由向量共线定理可知O ，B ，C 三点共线． ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3AD →－3AC →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.又∵－13<x <0，∴点O 在线段CD 上，且不与C ，D 两点重合．10.【答案】C【解析】设AE →＝λAD →＝λ6AB →＋λ2AC →，则CE →＝AE →－AC →＝λAD →－AC →＝λ6AB →＋λ2AC →－AC →＝λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →， CB →＝AB →－AC →，且CE →，CB →共线，设CE →＝kCB →， 则λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →＝k (AB →－AC →)， 所以⎩⎨⎧λ6＝k ，λ2－1＝－k ，所以λ6＝1－λ2，解得λ＝32，此时CE →＝14AB →－14AC →，所以CE →＝14CB →，故|CE →||CB →|＝14.故选C. 11.【答案】1【详解】依题意，CD →＝e 1＋2e 2， 故AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 已知A ，B ，D 三点共线，可设AD →＝λAB →， 则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋ke 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝λ，k ＋6＝kλ，解得k ＝1.1.【答案】B【详解】如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，由平行四边形法则得AB →＋AD→＝AC →＝2AO →，所以AO →＝12(AB →＋AD →)．故选B.2.【答案】C【详解】∵向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，∴(a ＋λb )∥(b ＋λa )．由向量共线的充要条件可知，存在一个实数m ，使得a ＋λb ＝m (b ＋λa )，即(1－mλ)a ＝(m －λ)b .∵a 与b 不共线，∴1－mλ＝m －λ＝0，可得m ＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a ＋b 与b ＋a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.3.【答案】A【详解】设AP ＝1，则PT ＝5－12＝TS ，CP ＝1＋5－12＝5＋12＝CS ， CT →＝CA →＋AT →＝CA →＋25－1TS →＝CA →＋25－1(CS →－CT →)＝CA →＋25－1(1＋5－122＋5－12CE →－CT →)＝CA→＋CE →－5＋12CT →，所以5＋32CT →＝CA →＋CE →，所以CT →＝3－52CA →＋3－52CE →. 故选A. 4.【答案】B【详解】AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，设∠BAC 的平分线为AD ，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为AD → 的方向． 又∵λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在射线AD 上移动． ∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 5.【答案】AC【详解】因为AP →＝xAB →＋yAC →，所以AP →＝xAB →＋2yAD →.又B ，P ，D 三点共线，所以x ＋2y ＝1，所以选项A 正确，选项B 错误．x ＋2y ＝1，所以2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥2 2x ·22y ＝2 2x＋2y＝2 2(当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立)，所以选项C 正确．因为x ＋2y ＝1≥2 2xy ，所以xy ≤18⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 218＝－3，所以选项D 错误．故选AC. 6.【答案】CD【详解】点P 为△ABC 所在平面内一点，E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则P A →＋PC →＝2PE →，PB →＋PC →＝2PF →，而P A →＋2PB →＋3PC →＝0，即(PA →＋PC →)＋2(PB →＋PC →)＝0，于是得2PE →＋4PF →＝0，即EP →＝2PF →，所以点P 在线段EF 上，且PE ∶PF ＝2∶1，即点P ，A ，C 不共线，则向量PA →与PC →不可能平行，A 不正确，B 不正确，C 正确，D 正确．故选CD .7.【答案】3【详解】如图，记2AM →＝AN →.∵AN →－AB →＋2AN →－2AC →＝0， ∴BN →＝2NC →，S △ABC ＝32S △ABN .又∵S △ABM ＝12S △ABN ，∴S △ABC ＝3S △ABM ，∴λ＝3.8.【答案】【详解】连接AP ，如图．∵△ABC 中，BP →＝BA →＋AP →，PC →＝PA →＋AC →， 点P 满足BP →＝2PC →， ∴－AB →＋AP →＝2(AC →－AP →)， ∴AP →＝23AC →＋13AB →.又∵AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)， ∴AP →＝2μ3AN →＋λ3AM →.又∵M ，P ，N 三点共线， ∴2μ3＋λ3＝1，λ>0，μ>0， ∴1λ＋1μ＝⎝⎛⎭⎫1λ＋1μ·⎝⎛⎭⎫2μ3＋λ3＝2μ3λ＋λ3μ＋1≥2 2μ3λ·λ3μ＋1＝2 23＋1, 当且仅当2μ3λ＝λ3μ，即⎩⎪⎨⎪⎧μ＝3（2－2）2，λ＝3（2－1） 时取“＝”，则1λ＋1μ的最小值为2 23＋1. 9.【答案】(1)由题意知，AB →∥CD →，则存在λ∈R ，使得AB →＝λCD →，即k e 1－4e 2＝λ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋λ)e 1＝(kλ＋4)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋λ＝0，kλ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝2. 又AB →，CD →方向相反，则λ＝－2，k ＝2，故k 的值为2.(2)由题意知，AD →＝AB →＋BD →＝(k ＋1)e 1－2e 2.由A ，C ，D 三点共线得，存在μ∈R ，使得AD →＝μCD →，即(k ＋1)e 1－2e 2＝μ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋μ＋1)e 1＝(kμ＋2)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋μ＋1＝0，kμ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，μ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，μ＝1.综上，k ＝1或k ＝－2.。

2．2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理 1．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考 共线向量定理中为什么规定a ≠0?答案 若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示 当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确． 3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示 若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.题型一 向量的线性运算例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算答案 9a解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b －3a解析 由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， 所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟 向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .题型二 向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量解 因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .向量的综合应用典例 如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3解析 如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，则OB →＋OC →＝2OD →，① OA →＋OC →＝2OE →，② 由①×2＋②可得OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)． 又因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0， 所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →， 所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2D ．k ＝12考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →D.PC →与AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 答案 B解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →， 所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0， 即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →共线．5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 D解析 显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12bD ．6a －12b考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 D解析 利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1D ．－1或2考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在实数k 使AB →＝kAC →. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ， 所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2＝k (λ－1)，解得λ＝2或λ＝－1.4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于( )A ．－13a ＋34bB.512a －34b C.34a ＋13b D ．－34a ＋512b考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b ，故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 连接CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB ＝12×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的运算及运算律 答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ， 联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .二、填空题8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 a ＋10b9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ， 使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b表示)考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 14b －14a解析 如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a .11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 ±6解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )， ∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0， ∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6.12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用 答案 3解析 设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →， ∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k .又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3. 故t ＝λ－μ的最大值为3. 三、解答题 13．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )． 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c ) ＝6a ＋2b .14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b . ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a .∵在△ADM 和△ABN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用证明 如图所示．→＝AB→＋BC→＋CD→∵AD＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，→＝2BC→.∴AD→与BC→共线，且|AD→|＝2|BC→|.∴AD又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．。