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现代控制理论实际应用引言现代控制理论是控制工程领域中的重要理论体系，它具有广泛的实际应用。
在各个领域中，现代控制理论能够帮助我们设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
本文将介绍现代控制理论的一些实际应用，并探讨其在这些应用中的作用。
自动化生产线控制在自动化生产线中，现代控制理论可以帮助我们优化生产过程，提高生产效率和产品质量。
通过对生产线中的各个环节进行建模和控制，我们可以使用现代控制器来实现自动化控制，有效地减少人为操作的干预，提高生产线的稳定性和一致性。
此外，现代控制理论还可以应用于故障检测和诊断，及时发现和修复生产线中的故障，保证生产线的正常运行。
机器人控制现代控制理论在机器人控制方面也有着广泛的应用。
通过建立机器人的动力学模型，并利用现代控制器进行控制，可以实现机器人的高精度运动控制和轨迹规划。
在工业领域中，机器人的精确控制可以帮助我们完成各种复杂的任务，如焊接、装配和搬运等。
此外，现代控制理论还可以应用于机器人的感知和定位，提高机器人的自主导航能力。
飞行器姿态控制在航空领域，现代控制理论被广泛应用于飞行器姿态控制。
通过建立飞行器的动力学模型，并设计合适的控制器，可以实现飞行器的稳定飞行和精确姿态控制。
现代控制理论能够帮助我们解决飞行器受到外界干扰时的姿态调整问题，提高飞行器的飞行安全性和稳定性。
此外，它还可以应用于飞行器的自动导航和路径规划，实现飞行任务的自主完成。
轨道交通信号控制在轨道交通系统中，现代控制理论可以协助我们设计和优化交通信号控制系统，提高交通系统的效率和安全性。
通过对交通流的建模和分析，我们可以应用现代控制器来优化交通信号的控制策略，实现道路上交通流的合理分配和调度。
现代控制理论还可以应用于轨道交通列车的运行控制，提高列车的运行速度和准确性，有效地缩短乘客的出行时间。
结论现代控制理论是一个重要的理论体系，具有广泛的实际应用。
通过对各个领域中的控制问题进行建模和分析，并利用现代控制器进行控制，我们可以有效地提高系统的性能和稳定性。
现代控制原理
现代控制原理是指在工程技术中应用的一种控制理论，它主要是研究如何通过对系统的输入和输出进行监测和调节，以实现系统稳定运行或者达到特定的控制目标。
现代控制原理是自动控制领域中的重要理论基础，它在工业生产、航空航天、交通运输等领域都有着广泛的应用。
现代控制原理的核心概念包括反馈、稳定性、鲁棒性、性能等。
其中，反馈是指系统输出的一部分被返回到系统输入端，用于调节系统的运行状态；稳定性是指系统在受到外部干扰或参数变化时，能够保持稳定的运行状态；鲁棒性是指系统对于参数变化或者环境扰动具有一定的适应能力；性能则是指系统在实现控制目标时的效果和速度。
现代控制原理的研究内容主要包括建立系统的数学模型、设计控制器、分析系统的稳定性和性能等。
在建立系统的数学模型时，通常会采用传递函数或者状态空间模型来描述系统的动态特性；在设计控制器时，可以采用比例积分微分（PID）控制器、模糊控制器、神经网络控制器等不同类型的控制器；在分析系统的稳定性和性能时，可以利用根轨迹、频率响应等方法进行分析。
现代控制原理的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以利用现代控制原理实现对生产过程的自动化控制，提高生产效率和产品质量；在航空航天领域，可以利用现代控制原理设计飞行器的自动驾驶系统，提高飞行安全性和航行精度；在交通运输领域，可以利用现代控制原理设计交通信号灯控制系统，优化交通流量，减少交通拥堵。
总之，现代控制原理作为自动控制领域的重要理论基础，对于提高系统的稳定性、鲁棒性和性能具有重要意义。
随着科学技术的不断发展，现代控制原理的研究和应用将会更加深入和广泛，为人类社会的发展和进步做出新的贡献。
现代控制原理的应用1. 引言现代控制原理是控制工程领域中的重要理论基础，其应用广泛且日益重要。
通过应用现代控制原理，可以实现对各种复杂系统的控制和优化，从而提高系统的性能和效率。
本文将介绍现代控制原理的基本概念和应用领域，并列举几个典型的应用案例。
2. 现代控制原理的基本概念现代控制原理是基于控制系统理论的一种控制方法，它主要包括了反馈控制、PID控制、状态空间方法等多种技术。
下面我们将对其中的几个基本概念进行介绍。
2.1 反馈控制反馈控制是现代控制原理的核心概念之一，它通过监测系统的状态或输出信号，并将其与期望的状态或输出进行比较，从而调整控制输入，使系统的实际状态或输出逼近期望值。
反馈控制能够提高系统的稳定性和鲁棒性，减小系统受到扰动的影响。
2.2 PID控制PID控制是一种反馈控制的方法，它包括比例、积分和微分三个控制环节。
比例环节根据当前误差大小进行控制输入调整，积分环节根据过去的误差累积值进行控制输入调整，微分环节根据误差变化率进行控制输入调整。
PID控制器广泛应用于工业控制系统中，能够实现良好的稳态和动态性能。
2.3 状态空间方法状态空间方法是一种对系统动态特性进行描述和分析的方法，它将系统的状态变量和输入输出变量用一组状态方程和输出方程进行表示。
状态空间方法能够全面而简洁地描述系统的动态特性，广泛应用于控制系统设计和分析中。
3. 现代控制原理的应用领域现代控制原理具有广泛的应用领域，包括但不限于以下几个方面。
3.1 工业自动化现代控制原理在工业自动化领域中起着重要的作用。
例如，在工业生产中，通过应用PID控制器可以实现对温度、压力、流量等参数的精确控制，提高生产效率和产品质量。
3.2 交通运输现代交通运输系统中的信号控制、车辆跟踪和路线规划等方面都需要运用现代控制原理。
通过运用反馈控制和状态空间方法，可以实现交通信号的智能控制和交通流量优化。
3.3 机器人技术机器人技术是现代控制原理的重要应用领域之一。
现代控制原理
现代控制原理是研究和设计控制系统的理论和方法，它广泛应用于工业、自动化、航空航天、机械、电子等各个领域。
现代控制原理主要包括系统建模、传递函数、状态空间、反馈控制、校正控制等内容。
在现代控制原理中，系统建模是一个重要的环节。
通过对被控对象进行建模，可以将其描述为数学方程或传递函数，从而方便进行后续的分析和设计。
传递函数是描述系统输入与输出之间关系的数学表达式，通过对传递函数的分析可以了解系统的动态特性和稳定性。
状态空间是现代控制原理中另一个重要的概念。
通过对系统的状态进行描述，可以更准确地表示系统的动态行为。
状态空间模型可以用来进行系统分析、控制器设计和状态估计等。
同时，利用状态反馈和状态估计可以提高系统的控制性能和鲁棒性。
在现代控制原理中，反馈控制是一种常用的控制策略。
通过将系统输出的信息反馈到控制器中进行调节，可以实现对系统性能和稳定性的控制。
反馈控制可以有效地抑制系统的扰动和误差，提高系统的稳定性和响应速度。
此外，校正控制是现代控制原理中的另一个重要内容。
校正控制可以根据实际系统的运行情况对控制器进行参数的校正和调整，以提高控制系统的性能和稳定性。
校正控制可以根据系统的动态响应和误差进行自适应调整，从而更好地适应实际应用需求。
总的来说，现代控制原理是一门应用广泛的学科，它通过对系统建模、状态空间、反馈控制和校正控制等内容的研究，为实际应用中的控制系统设计和优化提供了理论和方法。
通过不断深入研究和应用，现代控制原理在提高控制系统性能和稳定性方面发挥着重要的作用。
现代控制技术发展特点一、前言现代控制技术是指在工业自动化领域中，通过电子技术、计算机技术和通信技术等多种技术手段，对生产过程进行控制的一种技术。
随着科学技术的不断发展和进步，现代控制技术也在不断地发展和壮大。
本文将从多个方面来分析现代控制技术的发展特点。
二、智能化现代控制技术的发展特点之一就是智能化。
随着计算机技术的不断发展，人工智能、模糊逻辑等新兴科学理论得到了广泛应用。
在现代控制系统中，通过使用这些新兴理论，可以使得控制系统更加智能化、更加高效化。
例如，在工业生产中，通过使用人工智能算法，可以实现对生产过程的自动优化调整。
三、网络化另一个现代控制技术的发展特点就是网络化。
随着通信技术的不断进步，网络已经成为了人们日常生活和工作中必不可少的一部分。
同样，在现代控制系统中也广泛应用了各种网络通信协议。
通过使用网络通信协议，可以实现对生产过程的远程监控和控制。
例如，通过使用远程监控系统，可以实现对工业生产过程的实时监测和调整。
四、模块化现代控制技术的发展特点之三就是模块化。
在过去，工业自动化领域中的控制系统往往是由多个独立的部分组成。
这些部分之间缺乏有效的互联和协作，导致了整个系统的效率低下、故障率高等问题。
而现代控制技术则采用了模块化设计思想，将整个系统分成多个独立的模块，并通过统一接口进行互联和协作。
这种设计思想不仅提高了系统的可靠性和可维护性，还使得整个系统更加灵活、可扩展。
五、开放式现代控制技术的发展特点之四就是开放式。
在过去，工业自动化领域中的控制系统往往是封闭式的，只能由厂商自己进行维护和升级。
而现代控制技术则采用了开放式设计思想，在系统中引入了各种标准接口和通信协议，使得不同厂商生产的设备可以进行互联和协作。
这种设计思想不仅提高了系统的兼容性和可扩展性，还促进了整个行业的发展。
六、安全可靠现代控制技术的发展特点之五就是安全可靠。
在工业生产中，控制系统的安全性和可靠性是至关重要的。
现代控制技术通过采用各种先进技术手段，如故障诊断、备份机制、数据加密等，来保障系统的安全性和可靠性。
现代控制名词解释一最优控制：在可供选择的容许控制集U中，寻找一个控制矢量U(t)使受控系统在时间域[t1,t f]内，从初态X(t0)转移到终态X(t f)或目标集X(t f) ∈2f时，性能指标J取最小（大）值。
这时的控制U(t)称为最优控制U*(t)。
在U*(t)作用下状态方程的解成为最优轨线X*(t)，沿最优轨线X*(t)，使性能指标J所达到的最优值，称为最优指标J*。
二最优控制常用的几种方法：1古典变分法2 极小值原理3 动态规划三静态最优化问题：变量X与时间无关，或在所讨论的时间区间内为常量。
四动态最优化问题：受控对象是一个动态系统，所有变量都是时间的函数。
五泛函的概念：函数的函数，它的宗量不是独立的自变量，而是另一些独立的自变量的函数，则称该因变量是该宗量函数的泛函。
六所谓求最优控制U*(t)，就是寻求使性能泛函J取极值时的控制U(t)。
七强极值：从零阶接近度的曲线中通过比较而得到的极值。
强极大值≥弱极大值弱极小值≤强极小值八设函极值定理：可微泛函J[y(x)]在y0(x)上达到极值，则y= y0(x)上的变分等于零，即j=0。
九动态规划法：动态规划的核心是“最优性原理”。
首先，将一个多步决策问题转化为一系列单步决策问题，然后从最后一步状态开始逆向递推到初始步状态为止的一套求解最优策略的完整方法。
十动态规划的特点：1 与穷举算法相比，可使计算大大减少 2 最优路线的整体决策时从终点开始，采用逆推方法，通过计算，比较各段性能指标逐段决策逐步延伸完成的3 动态规划法体现了多步最优决策的一个重要规律，即所谓的最优性原理。
十一动态规划模型的五个要素：1 阶段：按时间，空间分 2 状态：描述系统的特征3 决策：多个决策组成了一个决策链对应决策链 4 状态转移方程X k+1=f(X k,U k) 5 指标阶段指标L[X(k),U(k)], J*是泛函的最优解。
现代控制理论实际应用1. 引言现代控制理论在工程技术中的应用越来越广泛。
它提供了许多强大和灵活的技术工具，可应用于各种控制系统的设计和优化。
本文将介绍现代控制理论的实际应用，从理论层面到实际工程应用，展示现代控制理论在实践中的重要性和优势。
2. 现代控制理论概述现代控制理论主要包括状态空间方法、滑模控制、自适应控制等。
这些方法在提高系统鲁棒性、响应速度和稳定性方面具有显著优势。
它们不仅能够处理线性系统，还能够有效应用于非线性系统，并且能够通过设计不同的控制器结构来满足不同的系统要求。
3. 现代控制理论在机械工程中的应用3.1 机器人控制机器人控制是现代控制理论在机械工程中的一个重要应用领域。
通过运用状态空间方法和自适应控制技术，可以实现对机器人系统的精确控制。
现代控制理论能够处理机械系统的非线性和时变特性，在机器人运动控制、路径规划和姿态控制等方面发挥重要作用。
3.2 汽车电子控制系统现代汽车通常配备了复杂的电子控制系统，用于控制引擎、制动系统、悬挂系统等。
现代控制理论可以应用于汽车电子控制系统的设计和优化。
滑模控制可以提供强大的鲁棒性，使得汽车在各种不确定性和外部干扰的情况下仍能保持稳定的控制。
3.3 机电一体化系统机电一体化系统是将机械、电子和计算机技术结合在一起的一种复杂系统。
现代控制理论在机电一体化系统的控制和优化方面发挥着重要作用。
通过状态空间方法和自适应控制技术，可以实现对机电一体化系统的高效控制和优化。
4. 现代控制理论在电力系统中的应用4.1 高压直流输电系统现代控制理论在高压直流输电系统的控制方面具有重要的应用价值。
滑模控制可以应用于高压直流输电系统的电流控制、功率控制和电压控制等方面，提供了较好的鲁棒性和动态响应。
4.2 智能电网智能电网是一种新型的电力系统，通过使用现代控制理论，可以对智能电网进行控制和优化。
智能电网的复杂性和高度动态性需要使用现代控制理论中的高级控制策略，以提高电力系统的效率、可靠性和稳定性。
现代控制理论及其在工程中的应用现代控制理论是指以数学和理论为基础的系统控制方法和技术，它通过对系统的建模、分析和设计，使得工程系统能够以最佳方式运行。
现代控制理论的应用广泛，可以涵盖从自动化工程到航空航天工程等各个领域。
本文将探讨现代控制理论的基本原理以及它在工程中的实际应用。
一、现代控制理论基本原理现代控制理论的基本原理包括控制系统原理、线性控制理论、非线性控制理论、自适应和鲁棒控制等。
在控制系统原理中，主要研究控制系统的基本概念和结构，包括反馈控制、前馈控制等。
线性控制理论主要用于研究线性控制系统的建模和设计方法，其中包括经典控制理论和现代控制理论。
非线性控制理论则是用于研究非线性系统的建模和分析方法，它考虑了系统中的非线性因素。
自适应和鲁棒控制则是用于处理控制系统中的不确定性和变化环境的方法。
二、现代控制理论在工程中的应用1. 自动化工程现代控制理论在自动化工程中得到了广泛的应用。
例如，在工业生产中，通过引入现代控制理论，可以提高生产效率和质量。
自适应和鲁棒控制方法可以应对系统参数变化和外部干扰，使得系统能够更加稳定地运行。
另外，在自动化系统中，控制器的设计对系统性能至关重要，通过利用现代控制理论的方法，可以设计出更优秀的控制器，提高系统的响应速度和稳定性。
2. 电力工程在电力工程中，现代控制理论被广泛应用于电力系统的运行和控制中。
例如，在电力系统的稳定性分析中，线性控制理论可以用于建立电力系统的传输方程，从而评估系统的稳定性。
另外，在电力系统的控制中，现代控制理论的方法可以用于设计和优化发电机、变压器等设备的控制系统，提高电力系统的响应能力和稳定性。
3. 交通工程现代控制理论在交通工程中的应用也非常广泛。
例如，在交通信号控制中，现代控制理论可以用于对交通流进行建模和预测，从而在不同的交通状况下，自动调整交通信号的控制策略，使得交通流能够更加顺畅地运行。
另外，在交通系统中，现代控制理论的方法也可以用于设计和优化交通系统的控制器，提高交通系统的效率和安全性。
第2章 线性系统理论线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。
其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。
现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。
2.1 基本概念输入：外部施加到系统上的全部激励。
输出：能从外部测量到的来自系统的信息。
状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。
状态向量：若n 个状态变量)(1t x ，)(2t x ，…，)(t x n 是向量)(t x 的各个分量，即()[]T21)()()(t x t x t x t n =x)(t x 为状态向量。
状态空间：以各状态变量作为基底组成的n 维向量空间。
在特定的时间，状态向量)(t x 在状态空间中只是一个点。
状态轨迹：状态向量)(t x 在状态空间中随时间t 变化的轨迹。
连续时间系统：)(t x 的定义域为某时间域],[f 0t t 内一切实数。
离散时间系统：)(t x 的自变量时间t 只能取到某实数域内的离散值。
状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程组或一阶差分方程组。
一般形式为),,(t u x f x= 或)),(),(()(1k k k k t t t t u x f x =+式中 u ——输入向量；k ——采样时刻。
状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。
输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式),,()(t t u x g y =它是一个代数变换过程。
状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。
线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式： 1）连续时间系统⎭⎬⎫+=+=)()()()()()()()()()(t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x（2–1）式中 A (t )——系统矩阵或状态矩阵，n ⨯n 矩阵；B (t )——控制矩阵或输入矩阵，n ⨯p 矩阵；C (t )——观测矩阵或输出矩阵，q ⨯n 矩阵；D (t )——输入输出矩阵，q ⨯p 矩阵； x ——状态向量，n 维；u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维。
2）离散时间系统⎭⎬⎫+=+=+)()()()()()()()()()1(d d k k k k k k k k k k u D x C y u H x G x （2–2）式中 G d (k )——系统矩阵或状态矩阵，n ⨯n 矩阵；H d (k )——控制矩阵或输入矩阵，n ⨯p 矩阵； C (k )——观测矩阵或输出矩阵，q ⨯n 矩阵； D (k )——输入输出矩阵，q ⨯p 矩阵； x ——状态向量，n 维； u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维； k ——采样时刻。
线性连续时间系统的动态结构图如图2–1所示。
图2–1 线性连续时间系统的动态结构图若矩阵A 、B 、C 、D 各元素都是常数，则称为线性定常系统，若是时间的函数则称为线性时变系统。
2.2 状态空间表达式的建立2.2.1 直接根据系统机理建立针对具体对象，应用相应的物理机理与物理定律，列写对象满足的物理方程。
选取状态变量与输出变量，将物理方程转化为状态空间表达式的标准形式，如式（2–1）或式（2–2）所示。
例2–1 若以电容端电压)(t u C 为输出，试求图2–2所示电路的状态空间表达式，其中L 为电感，C 为电容，R 为电阻，)(t i 为电感电流，)(t u 为输入电压。
图2–2 RLC 电路解 根据电路定律，列写图2–2对应的动态方程为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==++⎰)(d )(1)()()(d )(d 0t u t t i C t u t u t Ri t t i LC t t C （2–3） 对于该系统，若已知i (t )与)(t u C 的初始条件及其在0t t ≥后的输入)(t u ，则可确定该电路任何时刻的行为，并称i (t )与)(t u C 为该系统的状态，而每一个变量被称为该电路的状态变量。
另一方面，状态变量应是完整的、最小的。
完整是指系统所有的运动情况都能被表达出来，最小则指变量个数最少。
具体地，若再加一个变量时对完整确定电路运动状态没有必要，但若去掉一个变量时又不足以完整确定系统的全部运动情况。
由式（2–3）可得图2–2电路的状态方程为)(1d )(d )()()(d )(d t i Ct t u L t u L t u t i L Rt t i C C =+--= 将电容电压)(t u C 作为输出量时，状态空间表达式为Cxy B Ax x=+=u式中 [][]T T 21)()(t i t u x x C ==x ；[]01=C ；[]T/10L =B ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=L R L C //1/10A 。
对该电路系统而言，其某一时刻的状态可用状态空间中一点表示，状态轨迹则表征了系统运动的行为，如图2–3所示。
-0.2-0.100.10.20.3020406080100120V/1x A/2x图2–3 状态空间及其轨迹此外，该系统为单输入/单输出系统，称为单变量系统，若是多输入/多输出系统，则称为多变量系统。
状态变量的选取应视所研究问题的性质而定，从便于监测、控制的角度，尽量选能测量的物理量为状态变量，无特殊要求时，一个物理系统常选取独立储能元件的特征量为状态变量。
但是，状态变量选取并非惟一，所选状态变量不同时将导致不同的状态空间表达式，但两者之间存在一种线性变换关系。
例如，对上例若取)(1t u x C =，C t i x /)(2=，则状态空间表达式中各系数矩阵分别为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=L R LC110A ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=LC 10B ，[]01=C 显然，两者的状态变量选取不同，导致系统方程也各异，但是系统状态变量的数目是惟一的，它等于系统微分方程的阶数（延迟元件除外）。
2.2.2 由微分方程求状态空间表达式1. 微分方程中不含有输入信号导数项当微分方程中不包含输入信号导数项时，系统具有如下一般形式：u b y a ya y a y n n n 001)1(1)(=++++-- 取系统状态变量y x =1，y x =2，⋅⋅⋅，)1(-=n n y x ，则可推导得到如下关系：u b x a x a x a x a x a y xn n n n n n 010*******)(+------==--- 相应的状态空间表达式为u b x x x x a a a a x x x xn n n n n ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0121121121000100001000010⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x 21]001[y2. 微分方程中含有输入信号的导数项 以三阶系统为例，其一般形式为u b u b u b u b y a ya y a y 01)2(2)3(301)2(2)3(+++=+++ (2–4) 为了消除控制输入作用u 的导数项，取状态变量为u y x 01β-=u x u u yx 11102βββ-=--= u x u uu y x 2221)2(0)2(3ββββ-=---= 且定义u x u uu u y Q y 3332)2(1)3(0)3(βββββ-=----=对上式变换得u x y 01β+= u u x y102ββ++= u uu x y 21)2(03)2(βββ+++= u uu u Q y y 32)2(1)3(0)3(ββββ++++= 代入式（2–4），使等号两端u 的同次幂项系数相等，于是需要满足30b =β0221ββa b -= 120112βββa a b --=22110003ββββa a a b ---=u xx a x a x a Q y 33322110β-=---= 整理上列各式，得u u x x x a a a x x x B Ax +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132121321100010βββ []u u x x x u x D Cx y +=+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=032101001ββ 将上述内容推广到n 阶系统：u b u b u b u b u b y a ya y a y a y n n n n n n n 01)2(2)1(1)(01)2(2)1(1)(+++++=+++++---- 则，取状态变量u y x 01β-=，u xx 112β-= ，…，u x x n n n 11---=β 时，状态空间表达式系数矩阵具有下列形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-121100001000010n a a a aA ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n ββββ121 B ，[]0001 =C ，][0β=D 式中 n b =0β；0111ββ---=n n a b ；110222βββ-----=n n n a a b ； 1111000------=n n n a a a b ββββ 。
2.2.3 根据传递函数列写状态空间表达式一个n 阶线性系统的传递函数具有如下一般形式：1110111)()(a s a s a s b s b s b s b s U s Y n n nn n n n ++++++++=---- （2–5） 式中 Y (s )——系统输出函数)(t y 的拉普拉斯变换；U (s )——系统输入函数)(t u 的拉普拉斯变换；110,,,-n a a a ——常系数； n b b b ,,,10 ——常系数。
将式（2–5）变换为nn n nn n n sa s a s a sb s b s b b s U s Y ----------++++++++=0)1(1110)1(1111)()( 令)()(s U s =εnn n sa s a s a -----++++0)1(11111则)()()()()(02211s s a s s a s s a s U s n n n εεεε---------= （2–6）())()()()()()(0)1(1110)1(111s s b s sb s s b s b s b s b s b b s s Y nn n n nn n n εεεεε----------++++=++++= （2–7）状态变量取为)(1s s x n ε-=，···，)(1s s x n ε-= 则n n n n n x a x a x a x a u x1122110--------= )(1211011210n n n n n n n x a x a x a u b x b x b x b y --------++++=整理上列各式，得状态空间表达式的各系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-121100001000010n a a a aA ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000 B ，][n b =D []11221100--------=n n n n n n n n a b b a b b a b b a b b C2.3 线性变换2.3.1 等价系统方程1. 线性定常系统的等价变换 设以某状态向量x 为基底的系统方程为⎭⎬⎫+=+=Du Cx y Bu Ax x（2–8）引入非奇异变换阵矩P ，对基底x 进行如下线性变换Pxx =则原系统方程被变换为Dux CP y PBu x PAP x+=+=--11令1-=PAP A ，PB B =，1-=CP C ，D D =则基底变换后原系统的等价系统方程为⎭⎬⎫+=+=u D x C y u B x A x（2–9）2. 线性时变系统的等价变换 设有一线性时变系统⎭⎬⎫+=+=u D x C y u B x A x)()()()(t t t t （2–10）引入n n ⨯时变的变换矩阵P (t )，P (t )对所有t 都非奇异且连续可微，则存在线性变换x P x )(t =使u B P x P A P x P P x P x P x)()()()()()()()()(11t t t t t t t t t ++=+=-- u D x P C y )()()(1t t t +=-令)()]()()([)(1t t t t t -+=ΡA P PA ，)()()(t t tB P B =，)()()(1t t t -=PC C ，)()(t tD D = 于是，原线性时变系统的等价状态空间表达式为⎭⎬⎫+=+=u D x C y u B x A x)()()()(t t t t （2–11）由于P (t )非奇异，故系统方程之间的等价变换是可逆的。
