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外汇期权定价研究外汇期权定价是一个重要的问题，它涉及到外汇市场的风险管理和交易策略。
外汇期权是一种金融衍生品，其价值和风险来自于汇率波动。
因此，外汇期权的定价需要考虑到汇率变动的不确定性和概率分布。
外汇期权的定价理论主要有两种方法：一种是基于风险中立定价原理的Black-Scholes模型，另一种是基于随机波动性和复杂概率分布的Monte Carlo模拟方法。
Black-Scholes模型是一种基于风险中立的定价模型，它假设市场参与者对于未来的汇率波动是持相同的看法，并且市场是无摩擦和无风险套利的。
在Black-Scholes模型中，外汇期权的定价取决于五个变量：当前汇率，行权价格，无风险利率，期权时间和波动率。
其中，波动率是一个关键的变量，它反映了汇率波动的程度和方向。
Monte Carlo模拟方法是一种基于随机性和概率分布的定价方法。
它将汇率波动建模为随机过程，并通过模拟随机路径来计算期权的价值和Delta等Greeks。
Monte Carlo模拟方法的优点是可以处理复杂的波动性和分布特征，而缺点是计算复杂度高，并且需要大量的模拟次数才能得到准确的定价结果。
除了这些主流的定价方法，还有一些其他的定价方法，如数值积分和树形结构模型等。
数值积分方法主要是基于数学积分理论，通过数值计算来得到期权价值和Hedge参数。
而树形结构模型则是一种仿生学方法，它将期权价格建模为一棵树状结构，并通过向下生长和向上回溯的方法来计算期权的价值和风险敞口。
综上所述，外汇期权的定价是一个复杂的问题，需要考虑到汇率波动的概率分布和复杂性，以及市场参与者的行为和套利等因素。
不同的定价方法有各自的优缺点，并且需要在实际操作过程中进行不断地校正和改进。
因此，外汇市场参与者需要充分理解不同的定价方法和风险敞口，以便制定有效的交易策略和风险管理计划。
外汇期权定价研究外汇期权是一种金融工具，它允许购买人在未来某个时间内以预先约定的价格买入或卖出一种外汇。
外汇期权定价是一个至关重要的问题，因为定价决定了买卖双方的风险和收益。
传统期权定价模型，如布莱克-斯科尔斯模型，已经被广泛用于股票等资产的期权定价。
但是，外汇市场的特殊性质——包括高度流动性、波动性大、国际政治和经济因素的影响——使传统期权定价模型不适用于外汇期权。
在外汇期权定价中，重要的因素包括汇率变化的波动性、时间价值、利率差异等。
常用的外汇期权定价模型包括格林斯底双曲正弦模型、加布雷尔赫姆-墨顿模型、二项式树模型等。
格林斯底双曲正弦模型是一种基于历史波动率和随机游走思想的期权定价方法。
该方法认为未来汇率波动性与过去波动性相同，且汇率随机游走。
它可以用于欧式外汇期权的定价，但不适用于美式期权。
加布雷尔赫姆-墨顿模型基于期货市场和货币期权理论，考虑了利率和市场波动性的影响。
该模型假定汇率遵循布朗运动，并采用期权市场的期货价格进行外推。
它可以用于欧式和美式期权的定价。
二项式树模型则是一种离散化的期权定价方法。
该方法将时间分割成若干期，并在每一期内将汇率的变化视为上涨或下跌。
二项式树模型可以用于欧式和美式期权的定价，但由于其离散化特性，可能引入误差。
无论采用何种定价模型，外汇期权定价都必须充分考虑各种因素的影响，包括市场波动性、时间价值、利率差异、汇率预期等。
这些因素的综合影响确定了外汇期权合理的价格。
在实际交易中，外汇期权定价还需要根据市场价格、市场需求和供给等因素进行动态调整。
因此，外汇交易员需要不断更新自己的定价模型，以适应市场的变化。
总之，外汇期权定价是外汇衍生品市场的重要问题。
无论采用何种定价模型，都需要充分考虑市场的特殊性质和各种因素的影响，并在实践中不断完善和调整。
只有这样，外汇期权市场才能更加成熟和稳定。
外汇期权定价方法研究综述作者：张晓黎孟卫东来源：《商场现代化》2008年第11期[摘要] 外汇期权是一种有效的规避外汇风险的金融衍生工具。
定价方法的研究是研究外汇期权的核心问题。
本文针对目前国内外外汇期权定价方法的研究现状进行了总结归纳，并得出了相应的结论。
[关键词] 外汇期权期权定价汇率我国人民币汇率机制改革以来，人民币汇率波动的幅度扩大，各类涉外经济主体面临的外汇风险敞口日益明显，迫切需要外汇市场提供有效的外汇衍生产品来规避回来风险。
外汇期权就是其中一种规避外汇风险的有效工具。
外汇期权研究的核心问题，就是期权模型的定价问题。
本文就这些研究进行了归纳总结。
一、国内外外汇期权研究目前，外汇期权定价方法的研究主要集中于由Black-Scholes（下文简称B-S）模型衍生而来的闭合式解法。
1983年，German和Kolhage在B-S模型的基础上求解了欧式外汇平均期权的定价问题，称为G-K模型，这是首次明确提出的外汇期权定价模型。
G-K本身存在着一系列缺陷，随后的研究大多是根据对它的修正和扩展而来。
1.对标的变量所服从随机过程的修正和改进。
起初的研究一般假设汇率和利率分别为固定值或随机变量。
G-K模型即设定汇率变化为服从几何布朗运动的随机过程。
随后的研究引入了均值回归过程和跳跃。
Niklas等（1997）考虑了一个将汇率的对数表示为回归平均值的过程，国内外利率通过未抛补平价与汇率的对数相联系的外汇期权定价公式，在汇率和国内外利率方方面对G-K模型进行了较好的修正。
G-K模型中假设外汇价格服从几何布朗运动，而现实中外汇价格经常会出现随机跳跃现象。
Bernard等(1995)发现了引入Merton跳跃扩散模型后G-K模型的西格尔悖论问题；屠新曙，巴曙松(2001)考虑了外汇价格动态服从由连续布朗运动和一类特殊的间断跳跃点构成的马氏骨架过程时的外汇期权定价问题。
陈荣达(2006）研究了汇率回报呈厚尾分布的外汇期权定价问题。
第37卷 第3期陕西师范大学学报(自然科学版)Vol.37 No.3 2009年5月Journal of Shaanxi Normal University (Nat ural Science Edition )May.2009 文章编号:167224291(2009)0320017203收稿日期:2008208224基金项目:国家自然科学基金资助项目(40271037)作者简介:苗芳,女,硕士研究生,研究方向为金融数学.3通讯作者:刘新平,男,教授.E 2mail :liuxinping @.特殊运动下的外汇期权定价苗 芳, 刘新平3(陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062)摘 要:研究了外汇期权的定价问题.在分形市场下,以Black 2Scholes 模型的假设条件为基础,利用分形布朗运动的性质、微积分和偏微分方法,得出在未定权益有红利支付且红利率和无风险利率为常数时,外汇期权显式定价公式和平价公式.关键词:分形布朗运动;外汇期权;红利中图分类号:O211.6;F22417 文献标识码:APricing of foreign currency options under special movementM IAO Fang ,L IU Xin 2ping 3(College of Mat hematics and Information Science ,Shaanxi Normal University ,Xi ′an 710062,Shaanxi ,China )Abstract :A p ricing of foreign currency option is discussed.Under t he condition of f ractional market ,using t he nat ure of fractional Brownian motion ,calculus and partial differential ,according to t he hypot hesis of Black 2Scholes model ,prices of foreign currency options are given when t he asset has dividend paying and risk 2free interest rate and dividend rate are all constant.K ey w ords :f ractional Brownian motion ;foreign currency option ;dividend MR subject classif ication :91B28;91B30 外汇期权是以货币为标的物的期权,约定持有人在规定的时间内或规定到期日,有权按照约定汇率向持有人购买或出售货币的有价证券[1].欧式看涨(看跌)外汇期权,赋予其持有人在期权到期日,有权以预定汇率用即其本国货币购买(出售)一定单位外国货币的权利.1973年,Black 和Scholes 两位美国金融学家,根据无套利原理,在有效市场和股票价格满足几何Brown 运动的假设条件下推导出著名的Black 2Scholes 期权定价模型[2].在Black 2Scholes 模型下,Garman 和K ohlhagen 假定汇率服从几何布朗运动,给出了相应的外汇期权定价公式[3].但是,经过对金融市场的大量研究及实证检验,表明金融资产并非遵循几何布朗运动,金融资产的对数收益率并非服从正态分布,而是服从一种“尖峰厚尾”的分布,而且存在长期的相关性.Peters 称这种现象为资本市场的分形结构,并由此提出分形市场假说,指出利用分形布朗运动能更好地解释资本市场的这种现象.分形布朗运动是高斯过程的一种,其性质主要是加法不变性、自相似性、厚尾性、不连续性和长期相关性等,这些性质使得分形布朗运动成为刻画金融市场的良好工具.文献[426]研究了分形市场下一些外汇期权的定价;文献[7]证明了在分形市场下欧式外汇期权的定价,但没有考虑支付红利的情况.本文在此前提下,推导出有红利支付的外汇期权的一般定价公式,从而推广了文献[7]的结果.1 分形布朗运动的定义定义1[8] 设(Ω,F H ,P H )为概率空间,常数H ∈(0,1).具有Hurst 参数的H 的分形布朗运动是18 陕西师范大学学报(自然科学版)第37卷一个满足下列条件的Gauss过程{B H(t)}t∈R+:(ⅰ)B H(0)=E PH[B H(t)]=0,对所有t∈R+;(ⅱ)E PH [B H(t)B H(s)]=12{|t|2H+ |s|2H-|t-s|2H},s、t∈R+.其中E PH(・)表示随机变量在概率测度P H下的期望,F H=σ{B H(s),s>0}.2 分形外汇市场的模型假设给定概率空间(Ω,F H,F H t,P H)及其上的分形布朗运动{B H(t)}t∈R+,其中F H t=σ{B H(s),0≤s≤t},且F H T=F H.对本币兑外币的分形外汇市场做如下假设:(ⅰ)分形外汇市场只依赖于汇率S(t)、国内市场无风险利率r和国外市场无风险利率r f;(ⅱ)分形外汇市场无摩擦,即不存在交易费用和税收;(ⅲ)分形外汇期权支付红利率,红利率为ρ;(ⅳ)t时刻的本币兑外币汇率S(t)服从几何分形布朗运动,其微分形式为S(0)=x>0,d S(t)=S(t)(μd t+σd B H(t)), 0≤t≤T.(1)其中,{B H(t)}t∈R+为分形布朗运动,μ、σ≠0为常数,且σ>0.随机方程的解为S(t)=x expσB H(t)+μt-12σ2t2H,0≤t≤T.3 分形外汇市场的未定权益定价及套期保值 考虑一个资产组合θ(t)=(u(t),v(t)),其中u(t)和v(t)分别表示t时刻持有的外币和本币数量,并均为F H t适应过程,则t时刻相应的资产组合用外币表示的价值为V(t)=u(t)+v(t)S(t).(2)定义2 资产组合θ(t)=(u(t),v(t))称为自融资的,如果满足:d V(t)=ru(t)d t+r f v(t)S(t)d t+v(t)d S(t)+ρv(t)s(t)d t, 0≤t≤T.(3)定理1 存在(Ω,F H,F H t,P H)下的分形布朗运动^B H(t),使得d珟V(t)=σv(t)珟S(t)d^B H.(4)其中珟V t=e-rt V t,珟S(t)=e-rt S t,珟P H为(Ω,F H)上的概率测度.证明 由(3)式可知d V(t)=ru(t)d t+r f v(t)S(t)d t+v(t)d S(t)+ρv(t)S(t)d t=ru(t)d t+r f v(t)S(t)d t+v(t)S(t)[μd t+σdB H(t)]+ρv(t)S(t)d t=rv(t)d t+σv(t)S(t)[(u+r f+ρ-rσ)d t+d B H(t)].即 d珟V(t)=σV(t)珟S(t)d珟B H(t),d^B H(t)=u+r f+ρ-rσd t+d B H(t),且存在(Ω,F H)上的测度^P H,使得^B H(t)为^P H下的分形布朗运动.定理2[7] 分形外汇市场(1)是完备的,即对任意未定权益F∈L2(P H),若F是F H T可测的,则F是可贴现的,且未定权益F的价格为g(t)=e-r(T-t)珟E PH[F|F H t],t∈[0,T].(5)其中珟E PH[F|F H t]为F在测度P H下关于F H t的拟条件希望.4 分形布朗运动下的欧式外汇期权定价 下面考虑当未定权益为欧式外汇期权的定价公式.定理3 设到期日为T,执行价格为K的欧式外汇期权的标的为本币兑换外币汇率S(t),且本国汇率为r,外国汇率为r f.记欧式看涨外汇期权在t 时刻的价格为C t,欧式看跌外汇期权在t时刻的价格为P t,则(ⅰ)对于欧式看涨外汇期权f(S T)=(S T-K)+,t时刻的价格为C t=S(t)e-r f(T-t)N(d1)-K e-r(T-t)N(d2), t∈[0,T].(6)其中N(・)为累积正态分布函数,d1={ln(S(t)/K)+(r-r f-ρ)(T-t)+σ22(T2H-t2H)}/(σT2H-t2H), d2={ln(S(t)/K)+(r-r f-ρ)(T-t)- 第3期苗芳等:特殊运动下的外汇期权定价19σ22(T2H-t2H)}/(σT2H-t2H).(ⅱ)对于欧式看跌外汇期权f(S T)=(K-S T)+,t时刻价格为P t=K e-r(T-t)N(-d2)-S(t)e-r f(T-t)N(-d1).(ⅲ)欧式外汇看涨期权与欧式外汇看跌期权平价公式为C t+K e-r(T-t)=S t e-r f(T-t)+P t.证明 欧式看涨外汇期权在t时刻的价格为C t=e2r(T-t)珟E PH[(S(T)-K)+|F H t]=e-r(T-t)珟E PH[S(T)I{S(T):K}(B H)|P H t]-e-r(T-t)K珟E PH[I{S(T):K}(B H)|F H t].令 ^B H(t)=μ+rf+ρ-rσt+B H(t),由定理1知B H(t)为P H下的分形布朗运动的定义知{^B H(t)}t∈R+为Gauss过程,令 d32=ln(K/x)-(r-r f-ρ)(T-t)+σ22T2Hσ. 珟E PH[I{S(T):K}(B H(T))|F H t]= 珟E PH [I{^BH(T):d32}(^B H(T))|F H t]= ∫∞d312π(T2H-t2H)・ exp-(x-^B H(t))22(T2H-t2H)d x=N(d2).其中d2=^B H (t)-d32T2H-t2H={ln(S(t)/K)+(r-r f-ρ)・(T-t)-σ22(T2H-t2H)}/(σT2H-t2H).令B3H(t)=^B H(t)-σt2H,则{B3H(t)}t∈R+为Gauss 过程,且存在(Ω,F H)上的测度P3H使B3H(t)为P3H 下的分形布朗运动.令Z(t)=expσ^B H(t)-12σ2t2H,则 S(t)=x e(r-r f-ρ)t Z(t).令 d31=ln(K/x)-(r-f f-ρ)(T-t)-σ22T2Hσ.珟E PH[I{S(T):K}(B H(T))|F H t]=珟E PH[I{^BH(T):d31}(^B H(T))|F H t]=∫∞d3112π(T2H-t2H)・exp(x-^B H(t))22(T2H-t2H)d x=N(d1).其中d1=^B H(t)-d31T2H-t2H={ln(S(t)/K)+(r-r f-ρ)・(T-t)+σ22(T2H-t2H)}/(σT2H-t2H).故(6)式得证.同理可证明(ⅱ),由(ⅰ)、(ⅱ)可证明(ⅲ).5 结语本文以Black2Scholes模型为基础,根据分形市场的假设,研究了外汇期权的定价问题,给出外汇期权在支付红利的条件下的定价公式.但是,在现实的金融市场中,期权的价格会和波动率、交易成本及时间有关,价格会出现泊松跳等现象,这些复杂的情况有待进一步研究.参考文献:[1]John C Hull.期权、期货和其它衍生产品[M].张陶伟译.北京:华夏出版社,2000:2042222.[2]Black F,Scholes M.The pricing of option and corporateliabilities[J].Journal of Political 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