宁夏银川九中2016届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试卷

2016年宁夏银川二中、银川九中、育才中学联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知是纯虚数，则a＝（）A．B．C．2D．﹣22．（5分）已知集合U＝R，函数的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝N B．M∩（∁∪N）＝∅C．M∪N＝UD．M⊆（∁∪N）3．（5分）某中学共8个艺术社团，现从中选10名同学组成新春社团慰问小组，其中书法社团需选出3名同学，其他各社团各选出1名同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区养老院参加“新春送欢乐”活动（每位同学被选到的可能性相同），则选出的3名同学来自不同社团的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知a，b∈R，则“”是“log a b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知，则sin2x＝（）A．B．C．D．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8+πB．8+2πC．8+3πD．8+4π7．（5分）执行如图所示的程序框图，则该程序运行后输出的i值为（）A．8B．9C．10D．118．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（﹣2）（3+4）＝（）A．B．C．D．9．（5分）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（）项．A．5B．4C．4或5D．5或6 10．（5分）已知抛物线C：x2＝8y，过点M（0，t）（t＜0）可作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB恰好过抛物线C的焦点，则△MAB的面积为（）A．2B．3C．6D．1611．（5分）函数f（x）＝3sin x•ln（1+x）的部分图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）在定义域内满足：（1）对于任意不相等的x1，x2，有x1f（x2）+x2f（x1）＞x1f（x1）+x2f（x2）；（2）存在正数M，使得|f（x）|≤M，则称函数f（x）为“单通道函数”，给出以下4个函数：①，x∈（0，π）；②g（x）＝lnx+e x，x∈[1，2]；③h（x）＝x3﹣3x2，x∈[1，2]；④φ（x）＝，其中，“单通道函数”有（）A．①③④B．①②④C．①③D．②③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b＝0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为．15．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，若满足a2+b2＝c2，即，△ABC为直角三角形，类比此结论：若满足a n+b n＝c n（n∈N，n≥3）时，△ABC的形状为．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．16．（5分）关于x的方程x3﹣x2﹣x+m＝0，至少有两个不相等的实数根，则m 的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足：．（1）记，求证：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和S n．18．（12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．19．（12分）如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A 的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），过点M（﹣1，1）作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B，直线AB的斜率为2．（1）求抛物线的标准方程：（2）与圆（x﹣1）2+y2＝1相切的直线1，与抛物线交于P，Q两点．若在抛物线上存在点C，使＝（λ＞0），求λ的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝﹣2，求f（x）的单调区间；（2）若x＞0时，恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为其直径，CH⊥AB于H延长后交⊙O于D，连接DB并延长交过C点的直线于P，且CB平分∠DCP．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC＝4，BC＝3，求的值．23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（其中t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（4cosθ+3sinθ）﹣m＝0（其中m为常数）．（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）若m＝4，求直线l被曲线C截得的弦长．24．已知定义在R上的连续函数f（x）满足f（0）＝f（1）．（1）若f（x）＝ax2+x，解不等式；（2）若任意x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|，求证：．2016年宁夏银川二中、银川九中、育才中学联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知是纯虚数，则a＝（）A．B．C．2D．﹣2【解答】解：＝＝，又已知是纯虚数，∴，解得：a＝．故选：A．2．（5分）已知集合U＝R，函数的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝N B．M∩（∁∪N）＝∅C．M∪N＝UD．M⊆（∁∪N）【解答】解：∵函数的定义域为M＝{x|x≤1}，集合N＝{x|x2﹣x≤0}＝{x|0≤x≤1}，∴M∩N＝{x|0≤x≤1}＝N，M∪N＝{x|x≤1}＝M，N＝{x|x＜0，或x＞1}，∴∁∪N）＝{x|x＜0}，∴M∩（∁∪故只有A正确，故选：A．3．（5分）某中学共8个艺术社团，现从中选10名同学组成新春社团慰问小组，其中书法社团需选出3名同学，其他各社团各选出1名同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区养老院参加“新春送欢乐”活动（每位同学被选到的可能性相同），则选出的3名同学来自不同社团的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设“选出的3名同学是来自互不相同社团”为事件A，则P（A）＝＝．故选：C．4．（5分）已知a，b∈R，则“”是“log a b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，平方可得a＞b≥1，可得log a b＜1，反之不成立，例如取a＝，b＝．∴”是“log a b＜1”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）已知，则sin2x＝（）A．B．C．D．【解答】解：已知＝，∴tan x＝，则sin2x＝＝＝，故选：C．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8+πB．8+2πC．8+3πD．8+4π【解答】解：根据三视图可知几何体是简单的组合体：上面是一个正方体，下面是半个圆柱，且正方体的棱长是2，圆柱的底面半径是1、母线长4，∴几何体的体积V＝2×2×2+＝8+2π，故选：B．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则该程序运行后输出的i值为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行n＝10，i＝2；第二次运行n＝5，i＝3；第三次运行n＝3×5+1＝16，i＝4；第四次运行n＝8，i＝5；第五次运行n＝4，i＝6；第六次运行n＝2，i＝7；第七次运行n＝1，i＝8．满足条件n＝1，程序运行终止，输出i＝8．故选：A．8．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（﹣2）（3+4）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴（﹣2）（3+4）＝3+4•﹣6﹣8＝3×1×1×cos120°+4×1×1×cos120°﹣6﹣8×1×1×cos120＝﹣，故选：B．9．（5分）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（）项．A．5B．4C．4或5D．5或6【解答】解：由题意可得＝，求得n＝7，故展开式第r+1项的系数为T r+1＝•（﹣1）r，故当r＝4，即第五项的系数最大，故选：A．10．（5分）已知抛物线C：x2＝8y，过点M（0，t）（t＜0）可作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB恰好过抛物线C的焦点，则△MAB的面积为（）A．2B．3C．6D．16【解答】解：抛物线C：x2＝8y的焦点坐标为（0，2），∵抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好过抛物线C的焦点，∴x2＝8×2，解得x＝±4，∴x B＝﹣4，x A＝4，∴A（4，2），B（﹣4，2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k AM＝×4＝1＝，解得t＝﹣2，∴|AB|＝4+4＝8，△MAB的高等于2﹣（﹣2）＝4，＝×8×4＝16，∴S△MAB（求出直线的斜率也可以这样求：设直线AM的方程为y﹣2＝k（x﹣4），由得到x2﹣8kx+8（4k+2）＝0，∴△＝64k2﹣32（4k﹣2）＝0，解得k＝1，继而求出y﹣2＝x﹣4，得到t＝﹣2，然后再求出面积）故选：D．11．（5分）函数f（x）＝3sin x•ln（1+x）的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）＝3sin x•ln（x+1）知x＞﹣1，当x＝时，f（）＝3sin ln（+1）＝3ln（+1）＜3lne＝3，∵f′（x）＝3cos xln（x+1）+3sin x•，令f′（x）＝0，即3cos xln（x+1）+3sin x•＝0，当0＜x＜π时，ln（x+1）＞0，sin x＞0，＞0，∴cos x＜0，∴＜x＜π，∴函数的极值点在（，π），故选：B．12．（5分）若函数f（x）在定义域内满足：（1）对于任意不相等的x1，x2，有x1f（x2）+x2f（x1）＞x1f（x1）+x2f（x2）；（2）存在正数M，使得|f（x）|≤M，则称函数f（x）为“单通道函数”，给出以下4个函数：①，x∈（0，π）；②g（x）＝lnx+e x，x∈[1，2]；③h（x）＝x3﹣3x2，x∈[1，2]；④φ（x）＝，其中，“单通道函数”有（）A．①③④B．①②④C．①③D．②③【解答】解：（1）对于任意不相等的x1，x2，有x1f（x2）+x2f（x1）＞x1f（x1）+x2f（x2）；即不等式（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，所以函数f（x）是定义在I上的单调减函数；（2）存在正数M，使得|f（x）|≤M，即﹣M≤f（x）≤M；对于①，f（x）＝sin（x+）+cos（x+）＝sin（x+）＝cos x，在x∈（0，π）时，f（x）是单调减函数，且|f（x）|＜≤，是“单通道函数”；对于②，g（x）＝lnx+e x，在x∈[1，2]上是单调增函数，不满足（1），不是“单通道函数”；对于③，h（x）＝x3﹣3x2，∴h′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），∴x∈[1，2]时，h′（x）≤0，h（x）是单调减函数，且h（1）＝﹣2，h（2）＝﹣4，∴﹣4≤h（x）≤﹣2，∴|h（x）|≤4，∴h（x）是[1，2]上的“单通道函数”；对于④，φ（x）＝，x∈[﹣1，0]时，φ（x）＝﹣2﹣x＝﹣是单调增函数，不满足（1），∴不是“单通道函数”．综上，是“单通道函数”的为①③．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知直线l：x+3y﹣2b＝0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为y＝±x．【解答】解：由题意可设F（c，0），代入直线l：x+3y﹣2b＝0，可得：c﹣2b＝0，即c＝2b，即有a＝＝＝b，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x．故答案为：y＝±x．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为9．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由得：y＝﹣x+z，显然直线过（0，2）时，z最大，z的最大值是9．故答案为：9．15．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，若满足a2+b2＝c2，即，△ABC为直角三角形，类比此结论：若满足a n+b n＝c n（n∈N，n≥3）时，△ABC的形状为锐角三角形．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．【解答】解：∵c n＝a n+b n，∴c＞a，c＞b，即c为最大边，∴c n﹣2＞a n﹣2，c n﹣2＞b n﹣2，即c n﹣2﹣a n﹣2＞0，c n﹣2﹣b n﹣2＞0，∴（a2+b2）c n﹣2﹣c n＝（a2+b2）c n﹣2﹣a n﹣b n＝a2（c n﹣2﹣a n﹣2）+b2（c n﹣2﹣b n﹣2）＞0，即（a2+b2）c n﹣2＞c n，∴a2+b2＞c2，∴cos C＝＞0，则△ABC也是锐角三角形，故答案为：锐角三角形．16．（5分）关于x的方程x3﹣x2﹣x+m＝0，至少有两个不相等的实数根，则m的最小值为．【解答】解：若方程x3﹣x2﹣x+m＝0，则m＝﹣x3+x2+x，设f（x）＝﹣x3+x2+x，则函数的导数f′（x）＝﹣3x2+2x+由f′（x）＝0得x＝1或x＝﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜1，函数f（x）单调递增，由f′（x）＞＜0得x＜﹣或x＞1，函数f（x）单调递减，则当x＝﹣时，函数f（x）取得极小值f（﹣）＝﹣（﹣）3+（﹣）2﹣＝，当x＝1时，函数f（x）取得极大值f（1）＝﹣1+1+1＝1，若方程x3﹣x2﹣x+m＝0，至少有两个不相等的实数根，则≤m≤1，故m的最小值为，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知数列{a n}满足：．（1）记，求证：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：数列{a n}满足：．变形为＝﹣，由，可得：b n+1＝﹣b n，其中b1＝a1﹣3＝﹣1，∴数列{b n}为等比数列，首项与公比都为﹣1．（2）解：由（1）可知：b n＝（﹣1）n，即a n＝3×2n﹣1+（﹣1）n．∴，…（6分）设，①，②①﹣②得，∴，…（8分）设，即，…（10分）∴，…（12分）18．（12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．【解答】解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…（2分）（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ， 由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），其和不低于32周的选法有（14、18）、（15、17）、（15、18）、（16、17）、（16、18）、（17、18），共6种， 由古典概型概率计算公式得…（6分）②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．，，，因而ξ的分布列为所以E（ξ）＝29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1＝32，…（12分）19．（12分）如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A 的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：如图，过点D作直线DO⊥BC交BC于点O，连接DO．因为平面ABC⊥平面BCD，DO⊂平面BCD，DO⊥BC，且平面ABC∩平面BCD ＝BC，所以DO⊥平面ABC，因为直线AE⊥平面ABC，所以AE∥DO，因为DO⊂平面BCD，AE⊄平面BCD，所以直线AE∥平面BCD；（2）连接AO，因为DE∥平面ABC，所以AODE是矩形，所以DE⊥平面BCD．因为直线AD与直线BD，CD所成角的余弦值均为，所以BD＝CD，所以O为BC的中点，所以AO⊥BC，且．设DO＝a，因为BC＝2，所以，所以．在△ACD中，AC＝2．所以AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，即，即．解得a2＝1，a＝1；以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则．假设存在点P，连接EP，BP，设＝λ，即有＝+λ（﹣），则．设平面ABE的法向量为＝{x，y，z}，由＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），则，即，取x＝1，则平面ABE的一个法向量为．设平面PBE的法向量为＝{x，y，z}，则，取x＝1+λ，则平面PBE的一个法向量为＝（1+λ，﹣λ，﹣2λ），设二面角P﹣BE﹣A的平面角的大小为θ，由图知θ为锐角，则cosθ＝＝＝，化简得6λ2+λ﹣1＝0，解得λ＝或（舍去），所以在CA上存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．其为线段AC的三等分点（靠近点A）．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），过点M（﹣1，1）作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B，直线AB的斜率为2．（1）求抛物线的标准方程：（2）与圆（x﹣1）2+y2＝1相切的直线1，与抛物线交于P，Q两点．若在抛物线上存在点C，使＝（λ＞0），求λ的取值范围．【解答】解：（1）设切线的斜率为k1，k2，设过点M（﹣1，1）作抛物线E的切线的方程为x+1＝k（y﹣1），即x＝ky﹣k ﹣1，代入y2＝2px，可得y2﹣2pky+2pk+2p＝0，△＝（﹣2pk）2﹣4（2pk+2p）＝0，∴pk2﹣2k﹣2＝0，k1+k2＝，∵A，B的纵坐标分别为pk1，pk2，∴A，B的横坐标分别为pk12﹣k1﹣1，pk22﹣k2﹣1，∴直线AB的斜率为＝＝2，∴p＝2∴抛物线的标准方程：y2＝4x（2）设直线l：x＝my+b，由题意可得，＝1∴m2＝2b+b2…①，∵，∴y2﹣4my﹣4b＝0，△＝（﹣4m）2+16b＞0②，由①②可知，b∈（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）；设P（x1，y1），Q（x2，y2），C（x，y）；则y1+y2＝4m，x1+x2＝4m2+2b，∵＝（λ＞0），∴x＝λ（x1+x2），y＝λ（y1+y2），则λ2（y1+y2）2＝4λ（x1+x2），即λ＝1+；∴λ∈（，1）∪（1，）．21．（12分）已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝﹣2，求f（x）的单调区间；（2）若x＞0时，恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得，则f'（1）＝0，而，∴函数f（x）在x＝1处的切线方程为．则，解得a＝2，那么，由，得或x＞1，因则f（x）的单调递增区间为与（1，+∞）；由，得，因而f（x）的单调递减区间为．（2）若，得，即在区间（0，+∞）上恒成立．设，则，由h'（x）＞0，得，因而h（x）在上单调递增，由h'（x）＜0，得，因而h（x）在上单调递减．∴h（x）的最大值为＝，因而，从而实数a的取值范围为．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为其直径，CH⊥AB于H延长后交⊙O于D，连接DB并延长交过C点的直线于P，且CB平分∠DCP．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC＝4，BC＝3，求的值．【解答】（1）证明：连接OC，由已知AB为⊙O的直径，CH⊥AB，则∠CAB＝∠DCB，且∠CAO＝∠ACO…（2分）又CB平分∠DCP，∠DCB＝∠PCB，因而，即OC⊥CP，所以PC是⊙O的切线…（5分）（2）解：AC＝4，BC＝3，则AB＝5，CH＝＝，CD＝，BD＝BC＝3，因为PC是⊙O的切线，所以∠PCB＝∠PDC，所以△PCD～△PBC，…（8分）所以，…（10分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（其中t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（4cosθ+3sinθ）﹣m＝0（其中m为常数）．（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；（2）若m＝4，求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程可化为直线坐标方程：4x+3y﹣m＝0，曲线C的参数方程可化为普通方程：y2＝4x，由，可得y2+3y﹣m＝0，因为直线l和曲线C恰好有一个公共点，所以△＝9+4m＝0，所以；（2）当m＝4时，直线l：4x+3y﹣4＝0恰好过抛物线的焦点F（1，0），由，可得4x2﹣17x+4＝0，设直线l与抛物线C的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，故直线l被抛物线C所截得的弦长为．24．已知定义在R上的连续函数f（x）满足f（0）＝f（1）．（1）若f（x）＝ax2+x，解不等式；（2）若任意x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|，求证：．【解答】解：（1）f（0）＝f（1），即a+1＝0，得a＝﹣1，所以不等式化为|﹣x2+x|＜﹣x+．①当x＜0时，不等式化为，所以；…（2分）②当0≤x≤1时，不等式化为﹣x2+x＜﹣x+，所以；…（3分）③当x＞1时，不等式化为，所以x∈∅…（4分）综上所述，不等式的解集为，…（5分）（2）由已知任意x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，则不妨设x2＞x1，则当时，，…（7分）当时，则，且，…（8分）那么…（10分）。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（银川一中第一次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0。

5毫米的黑色中性(签字）笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁,不折叠,不破损。

5．做选考题时,考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,21xM x x N x =<=>，则M N =A 。

∅B. {}01x x <<C. {}0x x <D 。

{}1x x <【知识点】集合的运算 【试题解析】因为,所以所以故答案为:B【答案】B 2．复数21iZ i=+的虚部是 A ．iB ．—iC ．1D ．-1【知识点】复数综合运算 【试题解析】因为=所以虚部是1 故答案为：C 【答案】C3．在等比数列{}n a 中,若119a =,43a =,则该数列前五项的积为A ．±3B ．3C ．±1D ．1【知识点】等比数列 【试题解析】因为，所以故答案为：D 【答案】D4．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 A ．43 B ．83 C ．123D ．243【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】因为底面积高所以故答案为:A 【答案】A5．二项式1022()x x -展开式中的常数项是 A ．360B ．180C ．90D ．45【知识点】二项式定理与性质 【试题解析】因为,令，得。

宁夏回族自治区银川一中2016届高三数学第一次模拟考试试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

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5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷12一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,21xM x x N x =<=>，则M N =A. ∅B. {}01x x <<C. {}0x x <D. {}1x x <【知识点】集合的运算 【试题解析】因为，所以所以故答案为：B 【答案】B 2．复数21iZ i=+的虚部是 A ．iB ．-iC ．1D ．-1【知识点】复数综合运算 【试题解析】因为=3所以虚部是1 故答案为：C 【答案】C3．在等比数列{}n a 中，若119a =，43a =，则该数列前五项的积为A ．±3B ．3C ．±1D ．1【知识点】等比数列【试题解析】因为，所以故答案为：D 【答案】D4．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 A ．43 B ．83C ．123D ．243【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为底面积高所以故答案为：A【答案】A5．二项式1022)x展开式中的常数项是A．360 B．180 C．90 D．45【知识点】二项式定理与性质【试题解析】因为，令，得。

2016年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|2x＞1}，则M∩N＝（）A．∅B．{x|x＜0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）复数的虚部为（）A．i B．1C．﹣i D．﹣13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1＝，a4＝3，则该数列前五项的积为（）A．±3B．3C．±1D．14．（5分）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．4B．8C．12D．245．（5分）二项式（﹣）10展开式中的常数项是（）A．360B．180C．90D．456．（5分）在△ABC中，tan A＝，cos B＝，则tan C＝（）A．﹣1B．1C．D．27．（5分）对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0B．C．D．98．（5分）函数f（x）＝3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）＝f（x），则φ的值为（）A．B．C．D．9．（5分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）＝e x（1﹣x）；②f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；③函数f（x）有2个零点；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2…9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种A．18B．36C．72D．108二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线与直线y＝x﹣1及x＝4所围成的封闭图形的面积为．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+，则＝．15．（5分）在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）＝x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是．16．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1＝3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2+S2＝12，q＝．（1）求a n与b n；（2）求++…+的取值范围．18．（12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE 沿BE 折起到A 1BE 的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．20．（12分）以椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的中心O 为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆C 的左顶点为P ，左焦点为F ，上顶点为Q ，且满足|PQ |＝2，S △OPQ ＝S △OFQ ．（Ⅰ）求椭圆C 及其“准圆”的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的“准圆”的一个弦ED （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，试证明：当•＝0时，试问弦ED 的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）＝ln （1+x 2）+ax ．（a ≤0） （1）若f （x ）在x ＝0处取得极值，求a 的值； （2）讨论f （x ）的单调性； （3）证明：（1+）（1+） (1)）＜（n ∈N *，e 为自然对数的底数）．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1；几何证明选讲]22．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连接CF 交AB 于点E ． （1）求证：DE 2＝DB •DA ；（2）若DB ＝2，DF ＝4，试求CE 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求△P AB面积的最小值．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣2|．（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；（2）已知a＞2，求证：∀x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．2016年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|2x＞1}，则M∩N＝（）A．∅B．{x|x＜0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：由集合N中的2x＞1＝20，得到x＞0，即N＝{x|x＞0}，∵M＝{x|x＜1}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1}．故选：D．2．（5分）复数的虚部为（）A．i B．1C．﹣i D．﹣1【解答】解：．复数的虚部为1故选：B．3．（5分）在等比数列{a n}中，若a1＝，a4＝3，则该数列前五项的积为（）A．±3B．3C．±1D．1【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1＝，a4＝3，∴，∴q＝3，∴该数列前五项的积a1•a2•a3•a4•a5＝•q1+2+3+4＝＝1．故选：D．4．（5分）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．4B．8C．12D．24【解答】解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是一个直角三角形，斜边为6，斜边上的高为2，底面三角形面积为：S＝，三棱锥的高是h＝＝2，它的体积v＝＝××6×＝4，故选：A．5．（5分）二项式（﹣）10展开式中的常数项是（）A．360B．180C．90D．45【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝（﹣2）r令5﹣r＝0得r＝2所以展开式的常数项为＝180故选：B．6．（5分）在△ABC中，tan A＝，cos B＝，则tan C＝（）A．﹣1B．1C．D．2【解答】解：sin B＝＝，tan B＝＝tan C＝tan（180°﹣A﹣B）＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣1故选：A．7．（5分）对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0B．C．D．9【解答】解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故3⊗2＝＝2，（3⊗2）⊗4＝2⊗4＝＝故选：C．8．（5分）函数f（x）＝3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）＝f（x），则φ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）＝f（x），∴f（x）为偶函数，故有﹣+φ＝kπ+，即φ＝kπ+，k∈Z．当k＝0时，φ＝，故选：C．9．（5分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得3a+2b＝2，＝（）×＝故选：D．10．（5分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，代入抛物线方程y＝x2+1，得x2x+1＝0，由相切的条件可得，判别式﹣4＝0，即有b＝2a，则c＝＝＝a，则有e＝＝．故选：C．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）＝e x（1﹣x）；②f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；③函数f（x）有2个零点；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，故f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x）＝e﹣x（﹣x+1），所以f（x）＝e﹣x（x ﹣1），故①错误；因为当x＜0时，由f（x）＝e x（x+1）＞0，解得﹣1＜x＜0，当x＞0时，由f（x）＝e﹣x（x﹣1）＞0，解得x＞1，故f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故②正确；令e x（x+1）＝0可解得x＝﹣1，当e﹣x（x﹣1）＝0时，可解得x＝1，又函数f （x）是定义在R上的奇函数，故有f（0）＝0，故函数的零点由3个，故③错误；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，正确，因为当x＞0时f（x）＝e﹣x（x﹣1），图象过点（1，0），又f′（x）＝e﹣x（2﹣x），可知当0＜x＜2时，f′（x）＞0，当x＞2时，f′（x）＜0，故函数在x＝2处取到极大值f（2）＝，且当x趋向于0时，函数值趋向于﹣1，当当x趋向于+∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作出函数f（x）的图象，可得函数﹣1＜f（x）＜1，故有|f（x1）﹣f（x2）|＜2成立．综上可得正确的命题为②④，故选：B．12．（5分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2…9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种A．18B．36C．72D．108【解答】解：首先看图形中的3，5，7，有3种可能，当3，5，7，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能，共6种可能．4，8及9，与2，6及1，一样有6种可能并且与2，6，1，颜色无关．当3，5，7换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有3×6×6＝108种，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线与直线y＝x﹣1及x＝4所围成的封闭图形的面积为4﹣2ln2．【解答】解：由曲线与直线y＝x﹣1联立，解得，x＝﹣1，x＝2，故所求图形的面积为S＝＝＝4﹣2ln2．故答案为：4﹣2ln2．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+，则＝．【解答】解：∵a2＝b2+，∴解得：c2＝4a2﹣4b2，又∵由余弦定理可得：cos B＝，∴＝＝＝＝＝．故答案为：．15．（5分）在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）＝x3+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且只有一个零点的概率是．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a∈[0，2]，∴f'（x）＝3x2+a≥0∴f（x）是增函数，若f（x）在[﹣1，1]有且仅有一个零点，则f（﹣1）•f（1）≤0∴（﹣1﹣a﹣b）（1+a﹣b）≤0，即（1+a+b）（1+a﹣b）≥0，由线性规划内容知全部事件的面积为2×2＝4，满足条件的面积4﹣＝，∴P＝＝，故答案为：．16．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于8π．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，∴＝∴AA1＝2∵BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos60°＝4+1﹣2，∴BC＝设△ABC外接圆的半径为R，则，∴R＝1∴外接球的半径为＝∴球的表面积等于4π×＝8π故答案为：8π三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1＝3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2+S2＝12，q＝．（1）求a n与b n；（2）求++…+的取值范围．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，∵b2+S2＝12，b1＝1，q＝，∴，解得q＝3或q＝﹣4（舍），d＝3．故a n＝3n，b n＝3n﹣1…（4分）（2）S n＝＝，∴＝＝（﹣），∴++…+＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）…（8分）∵n≥1，∴0＜≤，≤1﹣＜1，∴≤（1﹣）＜，即≤++…+＜…（12分）18．（12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：．【解答】解：（1）设各组的频率为f i（i＝1，2，3，4，5，6），由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…（1分）因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18…（2分）所以视力在5.0以下的频率为：＝0.82，故全年级视力在5.0以下的人数约为…（3分）（2）因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（6分）（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X 可取0、1、2、3，…（7分），，，，∴X的分布列为：…（11分）X的数学期望…（12分）19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE 的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝，∴BE⊥AC，即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，则BE⊥平面A1OC；∵CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC，∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，∴∠A1OC＝，如图，建立空间坐标系，∵A1B＝A1E＝BC＝ED＝1．BC∥ED∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），＝（﹣，，0），＝（0，，﹣），设平面A1BC的法向量为＝（x，y，z），平面A1CD的法向量为＝（a，b，c），则得，令x＝1，则y＝1，z＝1，即＝（1，1，1），由得，取＝（0，1，1），则cos ＜＞＝＝＝， ∴平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为．20．（12分）以椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的中心O 为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆C 的左顶点为P ，左焦点为F ，上顶点为Q ，且满足|PQ |＝2，S △OPQ ＝S △OFQ ．（Ⅰ）求椭圆C 及其“准圆”的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的“准圆”的一个弦ED （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，试证明：当•＝0时，试问弦ED 的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（I ）设椭圆的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）， 由S △OPQ ＝S △OFQ 得，化为．由|PQ |＝2可得，联立，解得a 2＝3，b 2＝1，c 2＝2．∴椭圆C 的标准方程为，椭圆C 的“准圆”的方程为x 2+y 2＝4．（II ）设直线ED 的方程为y ＝kx +t ，与椭圆的交点为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立，化为（1+3k 2）x 2+6ktx +3t 2﹣3＝0，∴，，可得y1y2＝（kx1+t）（kx2+t）＝，由，得x1x2+y1y2＝0，即＝，∴，此时满足△＝36k2t2﹣4（1+3k2）（3t2﹣3）＝27k2+3＞0成立．则点O到弦ED的距离d＝＝＝，∴是定值．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x2）+ax．（a≤0）（1）若f（x）在x＝0处取得极值，求a的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）证明：（1+）（1+）…（1+）＜（n∈N*，e为自然对数的底数）．【解答】解：（1）∵，∵x＝0使f（x）的一个极值点，则f'（0）＝0，∴a＝0，验证知a＝0符合条件．（2）∵①若a＝0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减；②若得，当a≤﹣1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立，∴f（x）在R上单调递减．③若﹣1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0∴再令f'（x）＜0，可得∴上单调递增，在综上所述，若a≤﹣1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；若﹣1＜a＜0时，上单调递增上单调递减；若a＝0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．（3）由（2）知，当a＝﹣1时，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）＝0∴ln（1+x2）＜x，∴ln[（1+）（1+）…（1+）]＝ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+＝＝（1﹣）＜，∴（1+）（1+）…（1+）＜＝四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1；几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F 作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2＝DB•DA；（2）若DB＝2，DF＝4，试求CE的长．【解答】（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD＝90°．所以∠OFC+∠CFD＝90°．因为OC＝OF，所以∠OCF＝∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO＝90°．所以∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，所以DF＝DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2＝DB•DA．所以DE2＝DB•DA．（2）解：∵DF2＝DB•DA，DB＝2，DF＝4．∴DA＝8，从而AB＝6，则OC＝3．又由（1）可知，DE＝DF＝4，∴BE＝2，OE＝1．从而在Rt△COE 中，．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求△P AB面积的最小值．【解答】解：（1）由，化简得：，消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2＝2，∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2＝2．由ρcos（θ+）＝﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ＝﹣，即ρcosθ﹣ρsinθ＝﹣2，即x﹣y+2＝0，则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2＝0；（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），第21页（共22页）∴|AB|＝＝2，设P点的坐标为（﹣5+cos t，3+sin t），∴P点到直线l的距离为d＝＝，∴d min ＝＝2，则△P AB面积的最小值是S ＝×2×2＝4．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣2|．（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；（2）已知a＞2，求证：∀x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．【解答】解：（1）f（x+1）+f（x+2）＜4，即|x﹣1|+|x|＜4，①当x≤0时，不等式为1﹣x﹣x＜4，即，∴是不等式的解；②当0＜x≤1时，不等式为1﹣x+x＜4，即1＜4恒成立，∴0＜x≤1是不等式的解；③当x＞1时，不等式为x﹣1+x＜4，即，∴是不等式的解．综上所述，不等式的解集为．…（5分）证明：（2）∵a＞2，∴f（ax）+af（x）＝|ax﹣2|+a|x﹣2|＝|ax﹣2|+|ax﹣2a|＝|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a ﹣ax|＝|2a﹣2|＞2，∴∀x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．…（10分）第22页（共22页）。

银川市高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知函数的定义域为的值域为B，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高三上·太原期末) 设复数z=1+2i，则 =（）A .B .C .D . 13. （2分） (2017高二下·伊春期末) 若，则角的终边在第几象限（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2016高一下·郑州期末) 已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足| |=| |，则• 的最小值是（）A . ﹣B . ﹣C . ﹣D . ﹣15. （2分）(2018·广东模拟) 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，是抛物线的准线与轴的交点，则（）A . 45°B . 30°C . 15°D . 60°6. （2分）已知x，y满足约束条件，则z=-2x+y的最大值是（）A . -1B . -2C . -5D . 17. （2分） (2015高三上·临川期末) “m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2=1为双曲线”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）(2017·天津) 设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A . ω= ，φ=B . ω= ，φ=﹣C . ω= ，φ=﹣D . ω= ，φ=9. （2分）(2017·山东) 执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A . 0，0B . 1，1C . 0，1D . 1，010. （2分） (2017高二下·长春期中) 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A . 140种B . 120种C . 35种D . 34种11. （2分）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）A . 4B .C .D . 612. （2分）不等式的解集为（）A . {x|x<-2或x>3}B . {x|x<-2或1<x<3}C . {x|-2<x<1或x>3}D . {x|-2<x<1或1<x<3}二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·扬州期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=________14. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 已知a＞0，且二项式展开式中含项的系数是135，则a=________．15. （1分） (2016高一下·定州期末) 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1：4，截去的小圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长________ cm．16. （1分）(2019·金华模拟) 在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为________．三、解答题： (共7题；共65分)17. （10分）(2018·河北模拟) 已知等差数列的前项和为， .（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和 .18. （10分） (2018高二下·中山月考) 某班名同学的数学小测成绩的频率分布表如图所示，其中，且分数在的有人.（1）求的值;（2）若分数在的人数是分数在的人数的，求从不及格的人中任意选取3人，其中分数在50分以下的人数为，求的数学期望.19. （10分） (2016高二下·汕头期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（1）求证：EF⊥平面PAC；（2）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．20. （10分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆短轴的两个端点和两个焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆过点（﹣1，）．（1）求椭圆的方程；（2）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．21. （5分） (2016高三上·呼和浩特期中) 已知函数．（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．22. （10分） (2019高三上·广东月考) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 .（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点，l和C交于A，B两点，求 .23. （10分）(2020·晋城模拟) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）正数满足，证明： .参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2016年宁夏银川市长庆高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．已知集合A=｛﹣1，1｝,B={x|ax+2=0｝，若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为（）A．｛﹣2} B．｛2} C．｛﹣2，2} D．{﹣2，0，2｝2．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（)A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i3．已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点(1，2）；命题q:若函数y=f(x﹣1）为偶函数,则函数y=f（x)的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种5．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．6．已知实数x，y满足,则目标函数z=x﹣y的最小值为()A．﹣2 B．5 C．6 D．77．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（)A．28+6B．30+6C．56+12 D．60+128．已知向量=（x﹣1，2）,=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（)A．2 B． C．6 D．99．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（）A．30°B．135°C．45°或135°D．45°10．函数y=的图象大致为(）A．B．C．D．11．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线相交于点C，｜BF｜=，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．12．对于任意实数a，b,定义min{a，b}=,定义在R上的偶函数f （x）满足f (x+4）=f（x),且当0≤x≤2时，f (x）=min｛2x﹣1，2﹣x}，若方程f (x）﹣mx=0恰有两个根,则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，)∪（,ln2）B．［﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2,）∪(,ln2） D．（，）∪（,）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若tan（π﹣α）=2，则sin2α=．14．展开式中不含x4项的系数的和为．15．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈(0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为，则a=．16．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0。

2016年宁夏银川市普通高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x∈N*|x≤5}，A={1，4}，B={4，5}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，2，3，5}B．{1，2，4，5}C．{1，3，4，5}D．{2，3，4，5}2．设z=（i是虚数单位），则z的模是（）A．iB．1C．D．3．设p：1＜x＜2，q：lnx＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．6．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=B．（x+2）2+y2=10C．（x+2）2+y2=D．（x﹣2）2+y2=107．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．28．程序框图如图所示，其输出S的结果是（）A．6B．24C．120D．7209．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．10．函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0 11．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若|FA|=5|FB|，则|FA|=（）A．B．35C．D．4012．已知函数f（x）=，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设点P是△ABC所在平面内一点，且，则=．14．已知n=dx，那么的展开式中的常数项为．15．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．16．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别位于x轴、y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}中，a1=1，其前n项的和为S n，且满足a n=（n≥2）（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）证明：．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．19．已知A类产品共两件A1，A2，B类产品共三件B1，B2，B3，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时，检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用50元，设X表示直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值．20．已知M（﹣2，0），N（2，0）为椭圆的左、右顶点，P是椭圆上异于M，N的动点，且△PMN的面积最大值为4．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）四边形ABCD的顶点都在椭圆上，且对角线AC，BD过原点，k AC•k BD=﹣，求的取值范围．21．设函数f（x）=x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣（m+1）x，m＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请在答题卡涂上题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系．曲线C1的参数方程为，曲线C2的极坐标方程为θ=且C1与C2交点的横坐标为．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程；（Ⅱ）设A，B为曲线C1与y轴的两个交点，M为曲线C1上不同于A，B的任意一点，若直线AM与MB分别与x轴交于P，Q两点，求证：|OP|•|OQ|为定值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．2016年宁夏银川市普通高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={x∈N*|x≤5}，A={1，4}，B={4，5}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，2，3，5}B．{1，2，4，5}C．{1，3，4，5}D．{2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的定义与性质，进行计算即可．【解答】解：∵全集U={x∈N*|x≤5}={1，2，3，4，5}，A={1，4}，B={4，5}，∴A∩B={4}；∴∁U（A∩B）={1，2，3，5}．故选：A．2．设z=（i是虚数单位），则z的模是（）A．iB．1C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式计算．【解答】解：∵z==，∴．故选：C．3．设p：1＜x＜2，q：lnx＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】q：lnx＜1，0＜x＜e，即可判断出结论．【解答】解：对于：q：lnx＜1，0＜x＜e，则p是q成立的充分不必要条件．故选：A．4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得=，解得tanB=，结合范围0＜B＜π，可求B=，即可得解cosB=．【解答】解：∵=，又∵由正弦定理可得：，∴=，解得：cosB=sinB，∴tanB=，0＜B＜π，∴B=，cosB=．故选：B．6．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=B．（x+2）2+y2=10C．（x+2）2+y2=D．（x﹣2）2+y2=10【考点】圆的标准方程．【分析】由已知求出AB的垂直平分线方程，得到圆心坐标，由两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．【解答】解：由A（5，1），B（1，3），得AB的中点坐标为（3，2），且，则AB的垂直平分线的斜率为2，∴AB的垂直平分线方程为y﹣2=2（x﹣3），即2x﹣y﹣4=0．取y=0，得x=2，∴所求圆的圆心坐标为（2，0），半径r=．则所求圆的方程为（x﹣2）2+y2=10．故选：D．7．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）A．B．C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，由此能求出该四面体的体积．【解答】解：由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，△BDE面积，三棱锥C1﹣BDE的高h=CC1=2，∴该四面体的体积：V==．故选：A．8．程序框图如图所示，其输出S的结果是（）A．6B．24C．120D．720【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=5时满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为120．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，i=1执行循环体，i=2，S=2不满足条件i＞4，执行循环体，i=3，S=6不满足条件i＞4，执行循环体，i=4，S=24不满足条件i＞4，执行循环体，i=5，S=120满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为120．故选：C．9．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选A．10．函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0 【考点】函数的图象．【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）=，∴b＞0，由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣，即函数的零点x=﹣＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C11．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若|FA|=5|FB|，则|FA|=（）A．B．35C．D．40【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，由|FA|=5|FB|，确定A，B的坐标，即可求得|FA|．【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，∵|FA|=5|FB|，∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n，∴a=±20，∴|FA|==35．故选：B．12．已知函数f（x）=，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式求出f（x）的单调性和奇偶性，通过讨论x的符号，从而求出x 的范围即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴x＞0时，f（x）=﹣，和随着x的增大而减小，故x＞0时，f（x）是减函数，而f（x）在R是偶函数，故x＜0时，f（x）是增函数，若f（x）＞f（2x﹣1）成立，则|x|＜|2x﹣1|，解得：x＞1或x＜，又1+≠0，解得x≠﹣1，故选：D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设点P是△ABC所在平面内一点，且，则=．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】由向量加法的平行四边形法则可知+=2，点P为线段AC的中点．【解答】解：因为+=2，所以点P为线段AC的中点，如图：即+=．故答案为：14．已知n=dx，那么的展开式中的常数项为15．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用定积分求出n，再求出展开式通项，令x的指数为0，即可求出展开式中的常数项．【解答】解：n=dx=6lnx=6，的展开式通项为T r+1=，令6﹣3r=0，则r=2，∴的展开式中的常数项为=15，故答案为：15．15．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（5，2）将A的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．即z=2x﹣y的最大值为8．故答案为：816．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别位于x轴、y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．【解答】解：如图，设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，则B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．∵AD=1，∴a2+b2=1．∴=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2acosθ+2bsinθ=4+sin（θ+φ）=4+2sin（θ+φ）．∴的最大值是4+2=6．故答案为：6．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}中，a1=1，其前n项的和为S n，且满足a n=（n≥2）（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）证明：．【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定．﹣S n=2S n•S n﹣1，进而变形可知，【分析】（Ⅰ）通过作差可知当n≥2时S n﹣1整理即得结论；（Ⅱ）通过（I）计算可知，进而裂项、并项相加放缩即得结论．【解答】证明：（Ⅰ）依题意，当n ≥2时，，∴S n ﹣1﹣S n =2S n •S n ﹣1，∴，又∵a 1=1，∴数列构成以1为首项、2为公差的等差数列；（Ⅱ）由（I ）可知，，即，所以=．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD=1，点E ，F 分别为AB 和PD 中点． （Ⅰ）求证：直线AF ∥平面PEC ；（Ⅱ）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB 的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：作FM ∥CD 交PC 于M ． ∵点F 为PD 中点，∴．∵点E 为AB 的中点．∴，又AE ∥FM ，∴四边形AEMF 为平行四边形， ∴AF ∥EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．19．已知A类产品共两件A1，A2，B类产品共三件B1，B2，B3，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时，检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用50元，设X表示直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品”的事件为C事件，由此利用等可能事件概率计算公式能求出第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品的概率．（Ⅱ）X的可能取值为100、150、200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）记“第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品”的事件为C事件，依题意有．…（Ⅱ）X的可能取值为100、150、200，，，，…X．…20．已知M（﹣2，0），N（2，0）为椭圆的左、右顶点，P是椭圆上异于M，N的动点，且△PMN的面积最大值为4．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）四边形ABCD的顶点都在椭圆上，且对角线AC，BD过原点，k AC•k BD=﹣，求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由M（﹣2，0），N（2，0）为椭圆的左、右顶点，P是椭圆上异于M，N的动点，且△PMN的面积最大值为4，求出a，b，由此能求出椭圆方程及离心率．（Ⅱ）设l AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、椭圆性质，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵M（﹣2，0），N（2，0）为椭圆的左、右顶点，P是椭圆上异于M，N的动点，且△PMN的面积最大值为4．∴由题意知，，又因为△PMN的面积最大值为．∴，解得b=2，∴椭圆方程为，离心率…（Ⅱ）设l AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0∴，…∴…∵，∴，∴，解得m2=4k2+2，∴，∴…．当k=0时，取最小值﹣2，当k不存在，即AB⊥x轴时，取最大值2，∴．…21．设函数f（x）=x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣（m+1）x，m＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为求函数h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2﹣mlnx+（m+1）x的零点个数问题，通过求导，得到函数h（x）的单调区间，求出h（x）的极小值，从而求出函数h（x）的零点个数即f（x）和g（x）的交点个数．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），m＞0，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）f（x）与g（x）图象的交点个数，即函数h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2﹣mlnx+（m+1）x的零点个数问题，h′（x）=﹣，令h′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令h′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，∴h（x）在（0，1）递减，在（1，m）递增，在（m，+∞）递减，=h（1）=m+＞0，∴h（x）极小值∴h（x）和x轴有1个交点，即函数f（x）与g（x）图象的交点个数是1个．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请在答题卡涂上题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；（2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，求出x，利用（1）即可求解AC的长．【解答】（1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP，又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，∴，即AP•BC=AC•CP．又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴，∴…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系．曲线C1的参数方程为，曲线C2的极坐标方程为θ=且C1与C2交点的横坐标为．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程；（Ⅱ）设A，B为曲线C1与y轴的两个交点，M为曲线C1上不同于A，B的任意一点，若直线AM与MB分别与x轴交于P，Q两点，求证：|OP|•|OQ|为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C1的普通方程；曲线C2的直角坐标方程，求出交点坐标，代入曲线C1的普通方程求出a，即可得到结果．（Ⅱ）求出A的坐标为（0，1）设M（2cosφ，sinφ），P（x P，0），Q（x Q，0），利用k AM=k AP，k BM=k BQ，可得|OP|•|OQ|为定值4．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为，曲线C2的直角坐标方程为y=x（x≥0）可知它们的交点为，代入曲线C1的普通方程可求得a2=4所以曲线的普通方程为…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知曲线C1为椭圆，不妨设A为椭圆C1的上顶点，则A的坐标为（0，1）设M（2cosφ，sinφ），P（x P，0），Q（x Q，0）因为直线AM与MB分别与x轴交于P，Q两点，所以k AM=k AP，k BM=k BQ，由斜率计算公式得到所以|OP|•|OQ|=|x P|•|x Q|=4，可得|OP|•|OQ|为定值4…[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．【考点】分段函数的应用；基本不等式．【分析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．当且仅当=，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．2016年7月21日第21页（共21页）。

2016年宁夏银川市六盘山高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知A＝{x|x+1＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣2，0，1}D．{0，1} 2．（5分）已知复数z＝3+4i，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z2＞0B．C．|z|＝25D．3．（5分）已知α∈R，sinα+2cosα＝0，则tan2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣4．（5分）（）A．B．C．D．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣＝1，则数列{a n}的公差是（）A．B．1C．2D．36．（5分）如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆α千克，则共需油漆的总量为（）A．（48+36π）α千克B．（39+24π）α千克C．（36+36π）α千克D．（36+30π）α千克7．（5分）已知Ω＝{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是由直线y＝0，x＝a（0＜a≤1）和曲线y＝x3围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则a的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线的离心率为（）A．2或B．或C．2或D．或9．（5分）如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S表示（）A．a0+a1+a2+a3的值B．a3+a2x0+a1x02+a0x03的值C．a0+a1x0+a2x02+a3x03的值D．以上都不对10．（5分）三名同学去参加甲、乙、丙、丁四个不同的兴趣小组，去那个兴趣小组可以自由选择，但甲小组至少有一人参加，则不同的选择方案共有（）A．16种B．18种C．37种D．48种11．（5分）一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．2B．3C．1D．12．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x）对任意的x∈（0，+∞）都有f（f（x）﹣log3x）＝4，则不等式f（a2+2a）＞4的解集为（）A．{a|a＜﹣3或a＞1}B．{a|a＞1}C．{a|﹣3＜x＜1}D．{a|a＜﹣3}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13．（5分）已知点F是抛物线y2＝x的焦点，AB为过点F的直线且与抛物线交于A，B两点，|AB|＝3，则线段AB的中点M的横坐标为．14．（5分）若实数x，y 满足条件，则2x+y的最大值为．15．（5分）已知点O为△ABC内一点，且，则S△ABC：S△BOC＝．16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝33，a n+1﹣a n＝2n，则的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin2A+3cos （B+C）＝0．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积，求b+c的值．18．（12分）某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）请补全频率分布直方图，并求n 、a 、p 的值；（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ．19．（12分）已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． （Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小．20．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且．（1）求椭圆C的方程；（2）求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（e，f（e））（e为自然对数的底）处的切线方程；（2）当x∈（0，e]时，是否存在实数a，使得f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB＝4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE＝1（1）证明：AC平分∠BAD；（2）求BC的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（2，6），且倾斜角为，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l交于点A，B，求|P A|+|PB|．24．函数．（1）a＝5，函数f（x）的定义域A；（2）设B＝{x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈（B∩∁R A）时，证明：．2016年宁夏银川市六盘山高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知A＝{x|x+1＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣2，0，1}D．{0，1}【解答】解：∵A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，∴∁U A＝{x|x≤﹣1}，∴（∁R A）∩B＝{x|x≤﹣1}∩{﹣2，﹣1，0，1}＝{﹣2，﹣1}故选：A．2．（5分）已知复数z＝3+4i，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z2＞0B．C．|z|＝25D．【解答】解：∵复数z＝3+4i，∴z2＝9﹣16+24i＝﹣7+24i，＝（3+4i）（3﹣4i）＝32+42＝25＞0，|z|＝＝5，＝3﹣4i，因此只有B正确．故选：B．3．（5分）已知α∈R，sinα+2cosα＝0，则tan2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：由sinα+2cosα＝0，得sinα＝﹣2cosα，∴tanα＝﹣2，则tan2α＝．故选：A．4．（5分）（）A．B．C．D．【解答】解：∵可化为：，∴由正弦函数y＝sin x（0≤x≤）的图象可得其图象为D．故选：D．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣＝1，则数列{a n}的公差是（）A．B．1C．2D．3【解答】解：S3＝a1+a2+a3＝3a1+3d，S2＝a1+a2＝2a1+d，∴﹣＝＝1∴d＝2故选：C．6．（5分）如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆α千克，则共需油漆的总量为（）A．（48+36π）α千克B．（39+24π）α千克C．（36+36π）α千克D．（36+30π）α千克【解答】解：建筑物是由一个底面半径为3、母线长为5的圆锥和一个底面边长为3、高为4的长方体组成．油漆粉刷部位有三部分组成：一是圆锥的侧面（面积记为S1）；二是长方体的侧面（面积记为S2）；三是圆锥的底面除去一个边长为3的正方形（面积记为S3）．则S1＝π×3×5＝15π（m2），S2＝4×3×4＝48（m2），S3＝π×32﹣3×3＝9π﹣9（m2）记油漆粉刷面积为S，则S＝S1+S2+S3＝24π+39（m2）．记油漆重量为ykg，则y＝（39+24π）a．故选：B．7．（5分）已知Ω＝{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是由直线y＝0，x＝a（0＜a≤1）和曲线y＝x3围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1＝1，区域A即曲边三角形的面积为∫0a x3dx＝x4|0a＝a4，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则有＝，解可得，a＝，故选：D．8．（5分）已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线的离心率为（）A．2或B．或C．2或D．或【解答】解：双曲线C1：﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C2：﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，由渐近线将第一象限三等分，可得：＝tan30°或＝tan60°，即为b＝a或b＝a，可得c＝＝a或c＝2a，即e＝或e＝2．故选：A．9．（5分）如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S表示（）A．a0+a1+a2+a3的值B．a3+a2x0+a1x02+a0x03的值C．a0+a1x0+a2x02+a3x03的值D．以上都不对【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入a0，a1，a2，a3，x0，k＝3，S＝a3，k＞0，是，k＝2，S＝a2+S•x0＝a2+a3x0；k＞0，是，k＝1，S＝a1+S•x0＝a1+（a2+a3x0）x0＝a1+a2x0+a3x02；k＞0，是，k＝0，S＝a0+S•x0＝a0+a1x0+a2x02+a3x03．k＞0，否，输出S＝a0+a1x0+a2x02+a3x03．故选：C．10．（5分）三名同学去参加甲、乙、丙、丁四个不同的兴趣小组，去那个兴趣小组可以自由选择，但甲小组至少有一人参加，则不同的选择方案共有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【解答】解：满足题意的不同的分配方案有以下三类：①三名同学中只有一个参加甲兴趣小组，C31×32＝27种方案；②三名同学中有两个参加甲兴趣小组有C32×3＝9种方案；③三名同学中都参加甲兴趣小组有1种方案．综上可知：共有27+9+1＝37种不同方案．故选：C．11．（5分）一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．2B．3C．1D．【解答】解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：4××r××62＝××62×，所以r＝，设正方体的最大棱长为a，∴3a2＝（）2，∴a＝．故选：D．12．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x）对任意的x∈（0，+∞）都有f（f（x）﹣log3x）＝4，则不等式f（a2+2a）＞4的解集为（）A．{a|a＜﹣3或a＞1}B．{a|a＞1}C．{a|﹣3＜x＜1}D．{a|a＜﹣3}【解答】解：设f（x0）＝4，则f（x）﹣log3x＝x0，∴f（x）＝log3x+x0，∵f（x0）＝4，∴log3x0+x0＝4，解得x0＝3．∴f（x）＝log3x+3，∴f（x）是增函数，∵f（a2+2a）＞4，∴f（a2+2a）＞f（3）．∴a2+2a＞3，解得a＜﹣3或a＞1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13．（5分）已知点F是抛物线y2＝x的焦点，AB为过点F的直线且与抛物线交于A，B两点，|AB|＝3，则线段AB的中点M的横坐标为 1.25．【解答】解：由抛物线为y2＝x，可得p＝0.5．设A、B两点横坐标分别为x1，x2，设线段AB中点的横坐标为m，则x1+x2＝2m，由|AB|＝x1+x2+p＝2m+0.5＝3，解得m＝1.25．故答案为：1.25．14．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为4．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知：当x＝1，y＝2时，2x+y取最大值4故答案为：415．（5分）已知点O为△ABC内一点，且，则S△ABC：S△BOC＝3：1．【解答】解：如图，取AB中点D，连接OD，则：；∴；∴D，O，C三点共线；∴；∴S△ABC；∴S△ABC ：S△BOC＝3：1．故答案为：3：1．16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝33，a n+1﹣a n＝2n，则的最小值为．【解答】解：a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝33+n2﹣n所以设f（n）＝，令f′（n）＝，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin2A+3cos （B+C）＝0．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积，求b+c的值．【解答】解：（1）由2sin2A+3cos（C+B）＝0，得2cos2A+3cos A﹣2＝0，即（2cos A﹣1）（cos A+2）＝0，解得cos A＝或cos A＝﹣2（舍去），由0＜A＜π，可得A＝；（2）由，得bc＝20，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝21，即有（b+c）2﹣2bc﹣2bccos＝21，即（b+c）2＝21+3bc＝21+3×20＝81，所以b+c＝9．18．（12分）某班同学利用五一节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）请补全频率分布直方图，并求n 、a 、p 的值；（2）在所得样本中，从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ．【解答】解：（Ⅰ）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5＝0.3，所以高为．频率直方图如下：第一组的人数为，频率为0.04×5＝0.2，所以．由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，所以．第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a ＝150×0.4＝60．（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30＝2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．，，，．所以随机变量X的分布列为∴数学期望．19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥ABC，AB⊥AC，P A＝AC＝AB，N 为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．【解答】证明：设P A＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．（4分）（Ⅰ），因为，所以CM⊥SN（6分）（Ⅱ），设a＝（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则令x＝2，得a＝（2，1，﹣2）．因为，所以SN与平面CMN所成角为45°．20．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且．（1）求椭圆C的方程；（2）求m的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆，设c＞0，c2＝a2﹣b2，由条件知，解得，故椭圆C的方程为：．（2）当直线斜率不存在时：，当直线斜率存在时，设l为y＝kx+m，与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），∴，得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）＝0∴△＝（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）＝4（k2﹣2m2+2）＞0，（*），∵，∴﹣x1＝3x2，∴，消去x2，得，∴，整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2＝0，时，上式不成立，时，，∴时，∴或，把代入（*）得或，∴或．综上m的取值范围为（﹣1，﹣）∪（，1）．21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（e，f（e））（e为自然对数的底）处的切线方程；（2）当x∈（0，e]时，是否存在实数a，使得f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当a＝1时，函数f（x）＝x﹣lnx的导数为，所以切线斜率，所以切线方程为，即．（2）假设存在实数a，使得f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]的最小值为3，，0＜x≤e，①当a≤0时，因为x∈（0，e]，所以f'（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min＝f（e）＝ae﹣1＝3得（舍去）；②当，即时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，得a＝e2满足．③当，即时，因为x∈（0，e]，所以f'（x）≤0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min＝f（e）＝ae﹣1＝3，得（舍去）．综上，存在实数a＝e2满足题意．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB＝4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE＝1（1）证明：AC平分∠BAD；（2）求BC的长．【解答】证明：（1）∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，（2分）∵CD是圆的切线，∴OC⊥CD，（4分）∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA故∠DAC＝∠OAC，即AC平分∠BAD．（6分）解：（2）由（1）得：，∴BC＝CE，（8分）连结CE，则∠DCE＝∠DAC＝∠OAC，∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC∴，故．（10分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（2，6），且倾斜角为，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为．（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l交于点A，B，求|P A|+|PB|．【解答】解：（1）∵直线l过点P（2，6），且倾斜角为，∴直线l 的参数方程为（t为参数），由得ρ＝10cosθ，即ρ2＝10ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣10x＝0．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，，△＝82＞0，可设是t1，t2上述方程得两个实根，则有，又直线l过点P（2，6），所以．24．函数．（1）a＝5，函数f（x）的定义域A；（2）设B＝{x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈（B∩∁R A）时，证明：．【解答】解：（1）由|x+1|+|x+2|﹣5≥0，|x+1|+|x+2|≥5得到得A＝{x|x≤﹣4或x ≥1}，（2）由A＝{x|x≤﹣4或x≥1}，∴∁R A＝（﹣4，1），第21页（共22页）∵B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴B∩∁R A＝（﹣1，1），又而4（a+b）2﹣（4+ab）2＝4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）＝4a2+4b2﹣a2b2﹣16＝a2（4﹣b2）+4（b2﹣4）＝（b2﹣4）（4﹣a2），∵a，b∈（﹣1，1），∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|∴，第22页（共22页）。

12016届高三第一次大联考理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知21()1i a R ai -∈+是纯虚数，则a =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-22.已知集合U R =，函数1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0N x x x =-≤，则下列结论正确的是（ ）A ．M N N =B ．()MC N ⋃=∅ C ．M N U =D ．()M C N ⋃⊆4.已知,a b R ∈，则“11a b ->-”是“log 1a b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5.已知tan()24x π+=，则sin 2x =（ ）A ．110 B ．15 C ．35 D ．9106.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．8π+B ．82π+C ．83π+D ．84π+7.执行如图所示的程序框图，则该程序运行后输出的i 值为（ ）2A ．8B ．9C ．10D ．118.已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，则(2)(34)AB BC BC CA -+=（ ）A ．132-B ．112-C ．362--D ．362-+ 9.已知1()nx x-的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（ ）项． A ．5 B ．4 C ．4或5 D ．5或610.已知抛物线2:8C x y =，过点(0,)(0)M t t <可作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，若直线AB恰好过抛物线C 的焦点，则MAB ∆的面积为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．1611.函数()3sin ln(1)f x x x =+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．12.若函数()f x 在定义域内满足：（1）对于任意不相等的12,x x ，有12211122()()()()xf x x f x xf x x f x +>+；（2）存在正数M ，使得()f x M ≤，则称函数()f x 为“单通道函数”，给出以下4个函数： ①()sin()cos()44f x x x ππ=+++，(0,)x π∈；②()ln x g x x e =+，[]1,2x ∈； ③[]32()3,1,2h x x x x =-∈；④122,10()log (1)1,01x x x x x ϕ⎧--≤<⎪=⎨+-<≤⎪⎩，其中，“单通道函数”有（ ）3A ．①③④B ．①②④C ．①③D ．②③第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知直线:320l x y b +-=过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F ，则双曲线的渐近线方程为________．14.已知实数,x y 满足不等式组24024000x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则92z x y =+的最大值为________．15.已知,,a b c 是ABC ∆的三边，若满足222a b c +=，即22()()1a b c c+=，ABC ∆为直角三角形，类比此结论：若满足(,3)n n na b c n N n +=∈≥时，ABC ∆的形状为________．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．16.关于x 的方程320x x x m --+=，至少有两个不相等的实数根，则m 的最小值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：1112,92n n n a a a -+=+=⨯． （1）记132n n n b a -=-⨯，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n na 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数48 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为4多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望． 19.（本小题满分12分）如图，空间几何体ABCDE 中，平面ABC ⊥平面BCD ，AE ⊥平面ABC ． （1）证明：//AE 平面BCD ；（2）若ABC ∆是边长为2的正三角形，//DE 平面ABC ，且AD 与BD ，CD 所成角的余弦值均为24，试问在CA 上是否存在一点P ，使得二面角P BE A --的余弦值为104．若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过点(1,1)M -作抛物线E 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 的斜率为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆22(1)1x y -+=相切的直线l ，与抛物线交于,P Q 两点，若在抛物线上存在点C ，使()(0)OC OP OQ λλ=+>，求λ的取值范围．21.（本小题满分12分） 已知函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+．5（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y =-，求()f x 的单调区间； （2）若0x >时，()()2f x f x x '<恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）如图，ABC ∆内接于O ，AB 为其直径，CH AB ⊥于H 延长后交O 于D ，连接DB 并延长交过C 点的直线于P ，且CB 平分DCP ∠．（1）求证：PC 是O 的切线； （2）若4,3AC BC ==，求PCPB的值． 23.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（其中t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4cos 3sin )0m ρθθ+-=（其中m 为常数）． （1）若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值； （2）若4m =，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 24.（本小题满分10分）已知定义在R 上的连续函数()f x 满足(0)(1)f f =． （1）若2()f x ax x =+，解不等式3()4f x ax <+； （2）若任意[]12,0,1x x ∈且12x x ≠时，有1212()()f x f x x x -<-，求证：121()()2f x f x -<．6参考答案1．A 2．A 3．C 4．A 5．C 6．B 7．A 8．B 9．A 10．D 11．Ｂ 12．A 13．30x y ±= 14．6 15．锐角三角形 16．527-所以132(1)n n n na n n -=⨯+⨯-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设01221122232(1)22n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ，①12312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ，②① –②得012122222212n n n n n T n n --=++++-⨯=--⨯ ，所以1(1)2n n T n =+-⨯，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设123(1)n n Q n =-+-++- ，即1,2,2n n n Q n n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以53(1)2,2363(1)2,2nn n n n n n n S T Q n n n -⎧-⨯-⎪⎪=+=⎨+⎪-⨯+⎪⎩为奇数为偶数, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==； 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P == ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种）， 其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种， 由古典概型概率计算公式得63()105P A ==． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分7②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============，因而ξ的公布列为ξ 29 30 31 32 33 34 35P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，．．．．．．．．．12分 19．（1）证明：如图，过点D 作直线DO BC ⊥交BC 于点O ，连接DO ． 因为平面ABC ⊥平面BCD ，DO ⊂平面BCD ，DO BC ⊥，且平面ABC 平面BCD BC =，所以DO ⊥平面ABC ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 因为直线AE ⊥平面ABC ，所以//AE DO ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为DO ⊂平面BCD ，AE ⊄平面BCD ，所以直线//AE 平面BCD ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）连接AO ，因为//DE 平面ABC ， 所以AODE 是矩形，所以DE ⊥平面BCD ． 因为直线AD 与直线,BD CD 所成角的余弦值均为24， 所以BD CD =，所以O 为BC 的中点，所以AO BC ⊥，且2cos 4ADC ∠=． 设DO a =，因为2BC =，所以1,3OB OC AO ===， 所以221,3CD a AD a =+=+． 在ACD ∆中，2AC =．所以2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-∠，8即222224312314a a a a =+++-⨯+⨯+⨯， 即2221322a a a ++= ．解得21,1a a ==． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分以O 为坐标原点，,,OA OB OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则(0,1,0),(0,1,0),(3,0,0),(3,0,1)C B A E -．假设存在点P ，连接,EP BP ，设AP AC λ=，则(33,,0)P λλ--．设平面ABE 的法向量为{},,m x y z =，则030m AE z m BA x y ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩ ，取1x =，则平面ABE 的一个法向量为(1,3,0)m =． 设平面PBE 的法向量为{},,n x y z =，则(33)(1)030n PB x y n BE x y z λλ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩， 取1x λ=+，则平面PBE 的一个法向量为(1,33,23)n λλλ=+--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 设二面角P BE A --的平面角的大小为θ，由图知θ为锐角， 则22213310cos 42(1)3(1)12m n m nλλθλλλ++-===⨯++-+ , 化简得2610λλ+-=，解得12λ=-（舍去），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分9所以在CA 上存在一点P ，使得二面角P BE A --的余弦值为104．其为线段AC 的三等分点(靠近点A ) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．（1）设{}1122,,(,)A x y B x y ，则点A 处抛物线的切线为{}11y y p x x =+，过点(1,1)M -，因而11(1)y p x =-； 同理，点B 处抛物线的切线为22()y y p x x =+，过点(1,1)M -，因而22(1)y p x =-． 两式结合，说明直线(1)y p x =-过,A B 两点，也就是直线AB 的方程为(1)y p x =-． 由已知直线AB 的斜率为2，知2p =，故所求抛物线的方程为24y x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）显然当直线l 的斜率不存在与斜率为0时不合题意．（6分） 故可设直线l 的方程为y kx m =+． 又直线l 与圆22(1)1x y -+=相切，所以211k mk+=+，即221(1)2m km m -=≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 与抛物线方程联立，即24y kx my x=+⎧⎨=⎩， 化简消y 得2222(2)0k x km x m +-+=，22224(2)41616880km k m km m ∆=--=-=+>设3344(,),(,)P x y Q x y ，则3422(2)km x x k-+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 34344()2y y k x x m k+=++=． 由()(0)OC OP OQ λλ=+>，则22(2)4(,)km OC k kλλ-= ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又点C 在抛物线上，则222168(2)km k k λλ-=．即2233244km m λ-+==>，由于0km ≠，因而1λ≠．1所以λ的取值范围为3|14λλλ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．（1） 由已知得1()(1)f x ax a x'=+-+，则(1)0f '=， 而(1)ln1(1)122a a f a =+-+=--，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为12ay =--．则122a--=-，解得2a =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分那么21()ln 3,()23f x x x x f x x x '=+-=+-，由21231()230x x f x x x x-+'=+-=>，得102x <<或1x >， 因则()f x 的单调递增区间为1(0,)2与(1,)+∞；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分由1()230f x x x '=+-<，得112x <<， 因而()f x 的单调递减区间为1(,1)2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）若()()2f x f x x '<，得ln 11(1)2222x a ax a x a x x ++-+<+-， 即ln 1122x a x x +-<在区间(0,)+∞上恒成立． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设ln 1()2x h x x x =-，则2221ln 132ln ()22x xh x x x x --'=+=， 由()0h x '>，得120x e <<，因而()h x 在12(0,)e 上单调递增，由()0h x '<，得12x e >，因而()h x 在12(,)e +∞上单调递减 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以()h x 的最大值为1122()h e e -=，因而1212a e -+>， 从而实数a 的取值范围为12|21a a e -⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．（1）连接OC ，由已知AB 为O 的直径，CH AB ⊥，则CAB DCB ∠=∠，且CAO ACO ∠=∠ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又CB 平分,DCP DCB PCB ∠∠=∠，因而2PCB OCB ACO OCB π∠+∠=∠+∠=，即OC CP ⊥，所以PC 是O 的切线． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分1（2）4,3AC BC ==，则12245,,55AC BC AB CH CD AB ==== ，3BD BC ==，因为PC 是O 的切线，所以PCB PDC ∠=∠，所以PCD PBC ∆∆ ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 所以85PCPDCDPB PC BC ===，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．（1）直线l 的极坐标方程可化为直线坐标方程：430x y m +-=，曲线C 的参数方程可化为普通方程：24y x =，由24304x y m y x +-=⎧⎨=⎩，可得230y y m +-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为直线l 和曲线C 恰好有一个公共点，所以940m ∆=+=，所以94m =-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）当4m =时，直线:4340l x y +-=恰好过抛物线的焦点(1,0)F ，由243404x y y x +-=⎧⎨=⎩，可得241740x x -+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为1122(,),(,)A x y B x y ， 则12174x x +=，故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为1217252244AB x x =++=+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．（1）(0)(1)f f =，即10a +=，得1a =-， 所以不等式化为234x x x -+≤-+．1① 当0x <时，不等式化为234x x x -<-+，所以302x -<<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分② 当01x ≤≤时，不等式化为234x x x --<-+，所以102x ≤<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分③ 当1x >时，不等式化为234x x x -<-+，所以x ∈∅．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 综上所述，不等式的解集为31|22x x ⎧⎫⎪⎪-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由已知任意[]12,0,1x x ∈且12x x ≠，则不妨设21x x >， 则当2112x x -≤时，12121()()2f x f x x x -<-≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 当2112x x ->时，则112x <,且 2112x -<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 那么1212211()(0)(1)()011()2f x f f f x x x x x -+-<-+-=--<． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分1。

银川九中2015届高三年级第一次模拟数学(理科)试卷（时间：120分钟 满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s13V Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh 24S R 343V R其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数1a ii为纯虚数，则它的共轭复数是( ) A. 2i B. 2i C. i D. i2. 下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数； (3)是偶函数.这样的函数是 ( )A . y ＝x 3＋1B . y ＝log 2(|x|＋2)C . y ＝(12)|x| D . y ＝2|x|3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1=3，前三项和为21，则a 3+a 4+a 5=（ ） A.33B.72C.84D.1894．角 的终边经过点A (3,)a ，且点A 在抛物线214y x 的准线上，则sin （ ）A ．12B ．12C ．32D ．325．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ）A ．1B ．0C ．2D ．1 6.—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位cm 3)（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知实数m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线22y x m＝1的离心率为（ ） A ．32 B ．5 C ．5 与32D ．以上都不对 8．曲线y=11x x 在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ） A ．41B ．－12C ．43D ．189.为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点.已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.110．设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x x ，且其图象关于直线0x 对称，则（ ）A ．()y f x 的最小正周期为 ，且在(0,)2上为增函数B ．()y f x 的最小正周期为 ，且在(0,)2上为减函数C ．()y f x 的最小正周期为2，且在(0,)4 上为增函数开始n =n +1x =2x +1 n ≤4输出x结束是否 n =1，x =aD ．()y f x 的最小正周期为2，且在(0,)4上为减函数11.已知正方形ABCD 的边长为2，点P,Q 分别是边AB ，BC 边上的动点且,AQ DP ，则QP CP 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412. 已知0,230,2)(2x x x x x f ,若ax x f |)(|在]1,1[ x 上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.),0[]1(B.]0,1[C.]1,0[D.)0,1[ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上（只填结果，不要过程）13.已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 .14. 已知圆C ：x 2+y 2-6x-4y+8=0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .15． 如图,为了测得河的宽度CD ，在一岸边选定两点A 、B ，使A 、B 、D 在同一直线上.现测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m ，则河的宽度是 .16.球内接正六棱锥的侧棱长与底面边长分别为22和2，则该球的体积为 ； 三、解答题：本大题共解答5题，共60分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．17.（本小题满分12分）已知函数22()2(1)57f x x n x n n ．（Ⅰ）设函数()y f x 的图像的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证：{}n a 为等差数列； （Ⅱ）设函数()y f x 的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{}n b ，求{}n b 的前n 项和n S ． 18. （本小题满分12分）为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10.（1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5】的概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，43.5】和（43.5，45.5】的顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5】内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX 。