4.1.1 复数项级数和复数序列

第四章复变函数的级数本章介绍复变函数级数的概念,重点是Taylor级数及其展开，解析函数零点的孤立性及唯一性定理.§4.1复数项级数1 复数列的极限2 复数项级数4.1.2 复数项级数!!++++=∑∞=n n n αααα211为复数项级数.称nnk k n S αααα+++==∑=!211为该级数的前n 项部分和.设是复数列, 则称{}{}n n n a ib α=+级数收敛与发散的概念定义4.2如果级数!!++++=∑∞=n n n αααα211的部分和数列收敛于复数S , 则称级数收敛, {}n S 这时称S 为级数的和, 并记做1.nn S α∞==∑如果不收敛，则称级数发散.{}n S复数项级数与实数项级数收敛的关系定理4.2 级数收敛的充要11()n n n n n a ib α∞∞===+∑∑条件是都收敛, 并且11, n n n n a b ∞∞==∑∑111.nn n n n n a i b α∞∞∞====+∑∑∑证明由及定理4.1, 易证.11,nnn k k k k S a i b ===+∑∑说明复数项级数的收敛问题!两个实数项级数的收敛问题级数收敛的必要条件lim 0.n n α→∞=推论4.1如果级数收敛, 则1n n α∞=∑证明由定理4.2及实数项级数收敛的必要条件知, lim 0, lim 0n n n n a b →∞→∞==lim 0.n n α→∞=重要结论:发散.1lim 0n n n n αα∞→∞=≠⇒∑于是在判别级数的敛散性时, 可先考察lim 0.n n α→∞=?为复变函数项级数.121()()()()nn n fz f z f z f z ∞==++++∑L L)()()()(21z f z f z f z S n n +++=!为该级数前n 项的部分和.设是定义在区域D 上的复变函数列, {}()n f z 称4.1.3 函数项级数的概念!!++++=)()()()(21z f z f z f z S n 称为该级数在区域D 上的和函数.如果对级数收敛, 即0,z D ∈01()n n f z ∞=∑00lim ()(),n n S z S z →∞=则称级数在点收敛, 且是级数和.1()n n f z ∞=∑0z 0()S z 如果级数在D 内处处收敛, 则称其在1()n n f z ∞=∑区域D 内收敛. 此时级数的和是函数和定理4.6(优级数判别法)121()(1,2,),.|()|,(1,2,)()n n n n n n f z n E a a a E f z a n f z E ∞==++++≤=∑L L L L 设在点集上有定义且是一收敛的正项级数 设在上 那么复函数级数在上一致收敛.12(1)n a a a ++++L L 级数称为优级数;注：(2) 优级数判定的一致收敛级数是绝对一致收敛.1,.()(),{()}()(),()()n n n n E f z E f z f z ES z f z S z f z E ∞=∑ 设表示区域闭区域或简单曲线 设在上连续，复函数级数或复序列在上一致收敛于或那么或在上连续.定理4.71()(1,2,)(),{()}()(),n n n n f z n C f z f z C S z f z ∞==∑L 设在简单曲线上连续，并且复函数级数或复序列在上一致收敛于或那么定理4.81()(),lim ()().n CCn n CCn f z dz S z dz f z dz f z dz +∞=→∞==∑∫∫∫∫ 或11()(1,2,).(),{()},(),{()}.n n n n n n n f z n D f z f z D f z f z D ∞=∞==∑∑L 设定义于区域内 若复函数级数或复序列在内任一有界闭集上一致收敛则称复函数级数或复序列在内内闭一致收敛定义4.5注,D D 在内弱内闭于在内一致收敛一致收敛11()(()),()(()),.n n n n n n f z f z D f z f z D ∞∞==∑∑即若或在内一致收敛则或在内内闭一致收敛反之不真如1||1n n z z ∞=<∑不在内,但一致收敛内闭一致收敛.1()(1,2,)(),{()}()(),()(),1,2,n n n n f z n D f z f z D S z f z S z f z D D k ∞===∑L L设定义于区域内解析，且复函数级数或复序列在内内闭一致收敛于或那么或在内解析且在内对定理4.9()()1()()()(),()lim ().k k n n k k n n S z f z fz f z +∞=→∞==∑ 或§4.2 幂级数1 幂级数的概念2 幂级数的敛散性3 幂级数的性质设是定义在区域D 上的复变函数列, {}()n f z 4.2.1 幂级数的概念2010200()()()nnn c z z c c z z c z z ∞=−=+−+−+∑当或时,110()()n n n f z c z z −−=−11()n n n f z c z−−=函数项级数的形式为0(),nn c z z ++−+L L 1()nn fz ∞=∑对复变函数级数20121,nnn n n c zc c z c z c z ∞==+++++∑L L 这类函数项级数称为幂级数.或的特殊情形00z =收敛圆与收敛半径(1) 对所有的正实数都收敛.级数在复平面内绝对收敛.(2) 对所有的正实数都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收敛的正实数.设时, 级数收敛;时, 级数发散. 如图:z α=z β=由Abel 定理, 幂级数收敛情况有三种:0nn n c z ∞=∑幂级数()nnn c z z ∞=−∑的收敛范围是因此，事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以为中心的圆域.0z z =收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别, 0, .R +∞规定为论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.作业8第174页，第四章习题（一）：1; 2; 3; 4;习题（二）：1；2.。

第四章 级 数 第一节 级数和序列的基本性质１、复数项级数和复数序列:复数序列就是:,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里,n z 是复数,,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。

按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列．设0z 是一个复常数。

如果任给0>ε，可以找到一个正数N ,使得当ｎ>N 时ε<-||0z z n , 那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ,或者说}{n z 是收敛序列,并且收敛于0z，记作 0lim z z n n =+∞→。

如果序列}{n z 不收敛,则称}{n z 发散，或者说它是发散序列.令ib a z +=0，其中a 和b 是实数.由不等式||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及 容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→ 因此，有下面的注解：注解１、序列}{n z 收敛（于0z )的必要与充分条件是：序列}{n a 收敛(于a )以及序列}{n b 收敛(于b ）。

注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列,于是点列}{n z 收敛于0z ,或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域,相应地可以找到一个正整数Ｎ,使得当n ＞N 时,n z在这个邻域内。

注解3、利用两个实数序列的相应的结果,我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

复数项级数就是 ......21++++n z z z或记为∑∞+=1n n z，或∑n z ,其中n z是复数．定义其部分和序列为: n n z z z +++=...21σ如果序列}{n σ收敛,那么我们说级数∑n z 收敛;如果}{n σ的极限是σ，那么说∑n z 的和是σ，或者说∑n z 收敛于σ，记作 σ=∑∞+=1n n z,如果序列}{n σ发散,那么我们说级数∑n z 发散.注解1、对于一个复数序列}{n z ,我们可以作一个复数项级数如下...)(...)()(123121+-++-+-+-n n z z z z z z z 则序列}{n z 的敛散性和此级数的敛散性相同．注解2、级数∑n z 收敛于σ的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀εεσ<-∑=||1nk k z ，注解3、如果级数∑n z 收敛,那么,0)(lim lim 1=-=++∞→+∞→n n n n n z σσ 注解4、令 σσIm ,Re ,Im ,Re ,Re =====b a z b z a z a n n n n n n ，我们有∑∑==+=nk k n k k n b i a 11σ因此，级数∑n z 收敛(于σ)的必要与充分条件是:级数∑n a 收敛(于a ）以及级数∑n b 收敛（于ｂ).注解5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数,例如下面的柯西收敛原理：柯西收敛原理(复数项级数)：级数∑n z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当n 〉N ，p=1，2，3，…时, ε<++++++|...|21p n n n z z z柯西收敛原理(复数序列):序列}{n z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当m 及n 〉Ｎ，ε<-||m n z z对于复数项级数∑n z ，我们也引入绝对收敛的概念:如果级数 ...||...||||21++++n z z z收敛，我们称级数∑n z 绝对收敛． 注解１、级数∑n z 绝对收敛必要与充分条件是：级数∑n a 以及∑n b 绝对收敛:事实上,有,||||||||||11122111∑∑∑∑∑∑======+≤+=≤k k n k k n k kk n k nk n k k n k k b a b a z b a 及注解2、若级数∑n z 绝对收敛,则∑n z 一定收敛。