四川省岳池县第一中学高中数学《§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积》学案 新人教A版必修2

第一章 § 1.3 空间几何体的表面积与体积第1课时　柱体、锥体、台体的表面积学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法；2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题；3.培养空间想象能力和思维能力.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积思考1　正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？答案　相等.思考2　棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？答案　是.图形表面积多面体多面体的表面积就是的面积的和，也就是的面积各个面展开图知识点二　圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1　圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案　S＝2πrl，侧S＝2πr(r＋l).表思考2　圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案　底面周长是2πr，利用扇形面积公式得：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l).表思考3　圆台OO ′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案　如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ，所以，S 圆台侧＝π(r ＋R )l ，S ＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2).图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝题型探究 重点难点 个个击破类型一　棱柱、棱锥、棱台的表面积例1　已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.跟踪训练1　在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？类型二　圆柱、圆锥、圆台的表面积例2　(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋4解析　由三视图可知：该几何体为：故表面积为：＝π＋2π＋4＝3π＋4.D解析　如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA ＝20，同理可得SB ＝40，所以AB ＝SB －SA ＝20，所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S下＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2).故圆台的表面积为1 100π cm 2.(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是___________ (结果中保留π)1 100π cm 2跟踪训练2 (1)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A.4倍B.3倍 D.2倍解析　设圆锥底面半径为r，由题意知母线长l＝2r，则S侧＝πr×2r＝2πr2，D(2)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧A面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A.7B.6C.5D.3解析　设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r，S＝π(r＋3r)×3＝84π，侧∴r＝7.类型三　简单组合体的表面积例3　某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是________cm2.跟踪训练3　一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为__________m2.解析　由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积为123达标检测 45 1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )解析　设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.S 表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，A2.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )C解析　由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，3.一个几何体的三视图(单位长度：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )解析　该几何体是四棱锥与正方体的组合，A4.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面2直径为___.解析　设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.∴r＝1，即圆锥的底面直径为2.12345解析答案5.如图所示，直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积.规律与方法1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).返回。

2021年高中数学1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积新人教A版必修2【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。

（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。

2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。

3．几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。

（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表） 体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？ 五）交流展示 略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。

人教高一数学教学设计之《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》一. 教材分析《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》这一节内容，主要让学生掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法。

在高一数学教材中，这部分内容属于立体几何的范畴，是学生进一步学习空间几何的基础。

通过本节课的学习，学生将能够熟练运用公式计算柱体、锥体、台体的表面积和体积，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。

二. 学情分析在导入这一节内容之前，学生已经学习了平面几何的基础知识，对几何图形的性质和公式有一定的了解。

同时，学生也掌握了初等函数的相关知识，这为学习立体几何奠定了基础。

然而，由于立体几何与平面几何在思考方式和解决问题上存在较大差异，学生可能需要一定的时间来适应。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答疑问。

三. 教学目标1.让学生掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法。

2.培养学生空间想象能力，提高解决实际问题的能力。

3.通过对立体几何的学习，增强学生对数学的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.重难点：柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的记忆和运用。

2.难点：空间想象能力的培养，以及如何将实际问题转化为几何问题。

五. 教学方法1.采用直观教学法，通过模型、图片等直观教具，帮助学生建立空间几何观念。

2.采用启发式教学法，引导学生主动探索、发现和总结几何图形的性质和公式。

3.采用小组合作学习法，鼓励学生互相讨论、交流，提高解决问题的能力。

4.运用案例教学法，结合生活实际，让学生学会将几何知识应用于解决实际问题。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件、图片、模型等直观教具。

2.准备练习题和案例，用于巩固所学知识。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实物，如圆柱形的饮料瓶、锥形的雪糕棒等，引导学生关注柱体、锥体的特征。

然后提问：“如果我们想知道这些物体的体积和表面积，应该如何计算呢？”从而引出本节课的主题。

第一章空间几何体（复习）学习目标：1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2. 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型；3. 会用斜二侧画法画几何体的直观图；4. 会求简单几何体的表面积和体积.学习重点：各空间几何体的特征，计算公式，空间图形的画法。

学习难点：空间想象能力的建立，空间图形的识别与应用。

课前预习（预习教材P2~ P37，找出疑惑之处）复习1：空间几何体的结构①多面体、旋转体有关概念；②棱柱、棱锥、棱台结构特征及其分类；③圆柱、圆锥、圆台结构特征；④球的结构特征；⑤简单组合体的结构特征.复习2：空间几何体的三视图和直观图①中心投影与平行投影区别，正投影概念；②三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等；③斜二测画法画直观图：x'轴与y'轴夹角045，平行于x轴长度不变，平行于y轴长度减半；复习3：空间几何体的表面积与体积①柱体、锥体、台体表面积求法（利用展开图）；②柱体、锥体、台体的体积公式；③球的表面积与体积公式.课内探究例1 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是______. （写出所有正确结论的编号）①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四边体；④每个面都是等边三角形的四边体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.例2 将正三棱柱截去三个角（如图1所示，A、B、C分别是GHI△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为（）.例3 如下图，已知一平面图形的直观图是底角为45°，上底和腰均为1的等腰梯形，画出原图形，并求出原图形的面积.例4已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中的尺寸，这个几何体的体积是多少?练1. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）.①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④练2. 正四棱锥S ABCD-的底面边长和各侧棱长都为2，点,,,,S A B C D都在同一个球面上，则该球的体积为多少?x'45O'y'B'C'A'2020 20102010练3. 一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为2m 、高为4m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体，如果每平方米大约需要鲜花200朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.14）?当堂检测1. 已知ABC ∆是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（ ）.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能2. 某棱台上、下底面半径之比为1﹕2，则上、下底面的面积之比为（ ）.A.1﹕2B.1﹕4C.2﹕1D.4﹕13. 长方体的高等于h ，底面积等于S ，过相对侧棱的截面面积为S '，则长方体的侧面积等于（ ）.A.222S h S '+B.22222S h S '+C.2222S h S '+D.222S h S '+4. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是__________.5. 三棱柱ABC A B C '''-中，若,E F 分别为,AB AC 的中点，平面EB C F ''将三棱柱分成体积为12,V V 的两部分，那么1V ﹕2V =________.课后反思1. 空间几何体结构的掌握；2. 实物图、三视图、直观图三者之间的转换；3. 特殊几何体(正棱柱、正棱锥、正棱台、球)表面积与体积的求法；特殊空间关系（内外切、内外接）的处理.知识拓展通过本章的学习，同学们应该理解和掌握处理空间几何体的基本方法：把空间图形转化为平面图形；并且体会到解题过程中归纳、转化、数形结合的数学思想，初步了解运动变化这一辨证唯物主义观点在解题过程中的应用.课后训练1、若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是 （ ）A ．圆锥B ．正四棱锥C ．正三棱锥D ．正三棱台2、一个梯形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来梯形面积的（ ）俯视主视左视A. 42倍B. 21倍 C. 22倍 D. 2倍 3、将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为 （ ）A ．3∶4B ．9∶16C ．27∶64D ．都不对4、利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是 （ ）A ．①②B ． ①C ．③④D ． ①②③④5、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A 棱台B 棱锥C 棱柱D 都不对6、如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm ），则此几何体的侧面积是（ ）A. 23cm 2B. 43cm 2C. 12 cm 2D. 14 cm 27、若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为 8、将圆心角为0120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积9、 如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，22CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积10、（如图）在底半径为2母线长为4的 圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积11. 正四棱台高是12cm ，两底面边长之差为10cm ,全面积为2512cm ，求上、下底面的边长.12. 如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，试比较12,V V 的大小关系.。