2014南师附中数学考前模拟卷2

南师附中2014届高三模拟考试化学参考答案及评分标准2014．05．21选择题（共40分）16．（12分）（1）AlO2—＋2H2O ＋CO2＝Al(OH)3↓＋HCO3—（2分）高温（2）Fe2O3＋2Al == Al2O3＋2Fe（2分）（3）HCl和AlCl3（2分） NaCl（2分）（4）Al-3e-＋4Cl-= AlCl4-（2分）（5）表面形成的致密氧化铝膜能防止钢材腐蚀或致密的氧化铝膜将环境中的电解质溶液与内层金属隔离（2分）17．（15分）（1）、羧基（1分）取代（2分）浓H2SO4，加热（2分）（2）、乙炔（2分）（3）、（2分）（4）、 6 （2分）（5）、（共4分，合理答案均给分）18．（12分）（1）SO42-、NH4+、H2O （3分）（2）1：1 （2分）（3）FeSO4·(NH4)2SO4·6H2O （7分）19．（15分）(1) 2Na2S＋Na2CO3＋4SO2===3Na2S2O3＋CO2（2分）NaCl（1分）(2) ① IO－3＋5I－＋6H＋===3I2＋3H2O（2分）②淀粉溶液酸式滴定管（2分）③偏低（1分）(3) ② b a （1分）③烧瓶中固体不再减少（2分）④趁热过滤（2分）⑤将所得滤液冷却结晶，过滤（2分）20．（14分）（1）N2、H2被吸附在催化剂表面，（2分）在催化剂表面N2、H2中化学键断裂（2分）（2）4NH3(g)+5O2(g)=4NO(g)+6H2O(g) ΔH=-905.8kJ/mol（3分）（3）10（2分）逆向（2分）x=y （3分）21．（12分）（1）[Ar]3d84s2（2分）（2）sp2 （2分）90mol（2分）3:1（2分）（3）4 （1分）＞（1分）（4）正四面体形（1分）CCl4（1分）（或其他合理答案）。

2014年江苏省南京师大附中高考数学模拟试卷（5月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.设集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B= ______ ．【答案】{1}【解析】解：∵A={x|-1＜x＜2}，B={x|0＜x＜4，x∈N}={1，2，3}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}求出B中不等式解集的自然数解确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a= ______ ．【答案】2【解析】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=2．故答案为：2．直接由复数代数形式的除法运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求解实数a的值．本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为______ ．【答案】77【解析】解：根据频率分布直方图，得；时速超过50km/h的汽车的频率为（0.039+0.028+0.010）×10=0.77；∴时速超过50km/h的汽车辆数为100×0.77=77．故答案为：77．根据频率分布直方图，求出时速超过50km/h的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．4.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______ ．【答案】5【解析】解：根据框图，知其功能是求S=-1+2-3+4-5+ (10)∵-1+2-3+4-5+…+10=（-1+2）+（-3+4）+（-5+6）…+10=5故答案为5．利用循环结构，直到条件不满足退出，即可得到结论．本题考查循环结构，考查学生的计算能力，属于基础题．5.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是______ ．【答案】【解析】解：从形状大小都相同的5只小球中一次随机摸出2只球，共=10种，从形状大小都相同的5只小球中一次随机摸出2只球，则至少有1只黑球共有+=9种故至少有1只黑球的概率为．故答案为：．用组合的方法求出摸出两个球的基本事件和两球至少有1只黑球的基本事件，由古典概型的概率公式求出概率．求一个事件的概率时，应该先判断出事件的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算．6.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的______ 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空．）【答案】必要不充分【解析】解：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行；若m⊂a，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；∴α⊥β，是m⊥β的必要不充分条件．故答案为必要不充分．可以想象两平面垂直，平面内的直线和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面内，所以由α⊥β得不出m⊥β，而由m⊥β，能得到α⊥β，这根据面面垂直的判定定理即可得到，所以α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．考查面面垂直时平面内的直线和另一平面的位置关系，面面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．7.函数，的单调递增区间是______ ．【答案】，（开闭区间都可）【解析】解：函数=2sin（x-），由2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，解得2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z．又x∈[-π，0]，∴单调增区间为，．故答案为：，．利用两角差的正弦公式，把函数的解析式化为2sin（x-），由2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，解得x的范围，即为函数的增区间；再由x∈[-π，0]进一步确定函数的增区间．本题主要考查两角差的正弦公式，正弦函数的单调性，把函数的解析式化为2sin（x-）是解题的关键．8.若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为______ ．【答案】【解析】解：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=-2x+z经过可行域内的点A（，）时，z取得最小值，即2×+=3，解之得b=．故答案为：．先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点A时，从而得到b值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．9.设a，b均为正实数，则++2的最小值是______ ．【答案】4【解析】解：根据平均值不等式，∴++2≥=4．故答案为：4．根据平均值不等式，在利用基本不等式计算即可．本题主要考查了平均值不等式和基本不等式，属于基础题．10.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是______ ．【答案】（0，）∪（5，+∞）【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（1）＜f（lg（2x））=f（|lg（2x）|）∵函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴|lg（2x）|＞1，即lg（2x）＞1或lg（2x）＜-1解得：x＞5或0＜x＜所以满足不等式f（1）＜f（lg（2x））的x的取值范围是（0，）∪（5，+∞）．故答案为：（0，）∪（5，+∞）．根据函数是偶函数，把不等式转化成f（1）＜f（|lg（2x）|），就可以利用函数在区间[0，+∞）上单调递增转化成一般的不等式进行求解．本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解抽象不等式，解题的关键是利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，还要注意函数的定义域．11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为______ ．【答案】24【解析】解：∵由题意可得=+=+=+（）=+，=0，∴=•（+）=+=0+×36=24，故答案为：24．用、表示，利用=0，再根据=•（+），运算求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，属于中档题．12.点M是椭圆＞＞上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：∵圆M与X轴相切于焦点F，∴不妨设M（c，y），则（因为相切，则圆心与F的连线必垂直于X轴）M在椭圆上，则y=或（a2=b2+c2），∴圆的半径为，过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c（PN，NQ均为半径，则△PQM为等腰三角形）∴PN=NQ=，∵∠PMQ为钝角，则∠PMN=∠QMN＞45°即PN=NQ＞MN=c所以得＞c，即＞，得＞，a2-2c2+c2e2＞2c2-4+e2＞0，e4-4e2+1＞0（e2-2）2-3＞0e2-2＜-（0＜e＜1）e2＜-+2∴0＜e＜．故答案为：（0，）．由圆M与X轴相切与焦点F，设M（c，y），则y=或，所以圆的半径为，过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c，PN=NQ=，由∠PQM为钝角，知＞，由此能够求出椭圆离心率的取值范围．本题考查椭圆的离心率的取值范围，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．13.对于定义域内的任意实数x，函数f（x）=的值恒为正数，则实数a的取值范围是______ ．【答案】-7＜a≤0或a=2【解析】解：给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图象都是开口向上的抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程，则，解得a=2．此时函数的值为f（x）=＞0．若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于0，即＜＜，解得-7＜a＜0．∴a的范围是-7＜a＜0．当a=0时，函数化为f（x）=，函数定义域为{x|x≠0}，分母恒大于0，分子的判别式小于0，分子恒大于0，函数值恒正．综上，对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是-7＜a≤0或a=2．故答案为：-7＜a≤0或a=2．题目给出的函数是分式函数，且分子分母均为二次三项式，对应的函数均开口向上，所以分分子分母对应的方程同解和不同解讨论，同解时利用系数相等求a的值，不同解时，若a≠0，则需分子分母对应的方程均无解，a=0时，在定义域内函数值恒大于0．本题考查恒成立问题，考查了利用函数值的范围求解参数的取值范围，解答此题的关键是由函数值恒为正得到分子分母的取值情况，属中档题．14.记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为______ ．【答案】【解析】解：a n2+=a n2+[na1+n（n-1）d]2=a n2+[a1+（n-1）d]2令（n-1）d=t，a n2+=（a1+2t）2+（a1+t）2=2a12+6ta1+5t2=5（t-）2+2a12-，当t=时，取到最小值即（n-1）d=，即n=，∵不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，∴m．∴实数m的最大值为．故答案为：．令（n-1）d=t，由a n2+=a n2+[a1+（n-1）d]2=5（t-）2+2a12-，当t=时，取到最小值，由此能求出结果．本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．二、解答题(本大题共12小题，共162.0分)15.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且（2b-c）cos A=acos C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若角B=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．【答案】解：（1）因为，所以，则，所以，于是（2）由（1）知而，所以AC=BC，设AC=x，则又．在△AMC中由余弦定理得AC2+MC2-2AC•MC cos C=AM2，即°，解得x=2，故．【解析】（1）利用正弦定理把中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式进行化简整理求得cos A，进而求得A．（2）由（1）知，进而可知三角形为等腰三角形和C的值，设AC=x，进而用余弦定理建立等式求得x，进而用三角形面积公式求得答案．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中，常需要用正弦定理和余弦定理完成边角互化，来解决问题．16.在四棱锥P-ABCD中，∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）求证：CE∥平面PAB．【答案】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，…（2分）又∠ACD=90°，则CD⊥AC，而PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，因为CD⊂平面ACD，…（4分）所以，平面PAC⊥平面PCD．…（7分）（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．因为EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EM∥平面PAB．…（9分）在R t△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，又∠BAC=∠CAD，所以∠BAC=∠ACM，则MC∥AB．因为MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MC∥平面PAB．…（12分）而EM∩MC=M，所以平面EMC∥平面PAB．由于EC⊂平面EMC，从而EC∥平面PAB．…（14分）（2）证法二：延长DC，AB交于点N，连PN．因为∠NAC=∠DAC，AC⊥CD，所以C为ND的中点．而E为PD中点，所以EC∥PN．因为EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，所以EC∥平面PAB．…（14分）【解析】（1）由线面垂直得PA⊥CD，由直角性质得CD⊥AC，由此能证明平面PAC⊥平面PCD．（2）法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．从而得到EM∥平面PAB．再由MC∥AB，得到MC∥平面PAB，由此证明平面EMC∥平面PAB，从而EC∥平面PAB．（2）法二：延长DC，AB交于点N，连PN．由已知条件推地出EC∥PN．由此能证明EC∥平面PAB．本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为V cm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．【答案】解：正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为h0，高为h．由题意得：x+h0=10，解得h0=10-x．…（2分）则h==，x∈（0，10）．…（5分）所以，正三棱锥体积V=S h=×x2×=．…（8分）设y=V2=（100-x）=-，求导得y′=-，令y′=0，得x=8，…（10分）当x∈（0，8）时，y′＞0，y随着x的增加而增大，当x∈（8，10）时，y′＜0，y随着x的增加而减小，所以，当x=8cm时，y取得极大值也是最大值．…（12分）此时y=15360，所以V max=32cm3．答：当底面边长为8cm时，正三棱锥的最大体积为32cm3．…（14分）【解析】设正三棱锥侧面的高为h0，高为h，求出正三棱锥体积，利用导数的方法求解即可．本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查导数知识的运用，确定正三棱锥体积是关键．18.在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．过点D（1，0）的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点为G．（1）求实数a，b的值；（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1，P2使得△P1MN和△P2MN 的面积为S，求S的取值范围；（3）求证：点G在一条定直线上．【答案】（1）解：∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．∴a=2．e==，∴c=．又∵b2=a2-c2=4-3=1，∴b=1．…（2分）（2）解：由题设可知，椭圆的方程为+y2=1，直线MN的方程为y=x-1．设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y可得5x2-8x=0，解得x1=0，x2=．将x1=0，x2=，代入直线MN的方程，解得y1=-1，y2=．∴MN==．…（4分）设与直线MN平行的直线m方程为y=x+λ．联立方程组，消去y得5x2+8λx+4λ2-4=0，若直线m与椭圆只有一个交点，则满足△=64λ2-20（4λ2-4）=0，解得λ=±．…（6分）当直线m为y=x-时，直线l与m之间的距离为d1==，当直线m为y=x+时，直线l与m之间的距离为d2==，…（8分）设点C到MN的距离为d，要使△CMN的面积为S的点C恰有两个，则需满足d1＜d＜d2，即＜d＜．∵S=d•MN=d，∴＜S＜．…（10分）（3）证法一：设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线A2N的方程为y=k2（x-2）．联立方程组，消去y得（1+4k12）x2+16k12x+16k12-4=0，解得点M的坐标为（，）．同理，可解得点N的坐标为（，）．…（12分）由M，D，N三点共线，得（k2-3k1）（4k1k2+1）=0．由题设可知k1与k2同号，所以k2=3k1．…（14分）联立方程组，解得交点G的坐标为（，）．将k2=3k1代入点G的横坐标，得x G===4．所以，点G恒在定直线x=4上．…（16分）（3）证法二：由题意知直线MN的斜率为0时不合题意．设直线MN的方程为x=my+1．令m=0，解得M（1，），N（1，-）或M（1，-），N（1，）．当M（1，），N（1，-）时，直线A1M的方程为y=x+，直线A2N的方程为y=x-．联立方程组，解得交点G的坐标为（4，）；当M（1，-），N（1，）时，由对称性可知交点G的坐标为（4，-）．若点G恒在一条定直线上，则此定直线必为x=4．…（12分）下面证明对于任意的实数m，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x=4上．设M（x1，y1），N（x2，y2），G（4，y0）．由点A1，M，G三点共线，有=，即y0=．再由点A2，N，G三点共线，有=，即y0=．所以，=．①将x1=my1+1，x2=my2+1代入①式，化简得2my1y2-3（y1+y2）=0．②…（14分）联立方程组，消去x得（m2+4）y2+2my-3=0，从而有y+y=，y y=将其代入②式，有2m•-3•=0成立．所以，当m为任意实数时，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x=4上．…（16分）【解析】（1）由已知得a=2．e==，由此能求出a，b．（2）椭圆的方程为+y2=1，直线MN的方程为y=x-1．设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得5x2-8x=0，从而MN=．设与直线MN平行的直线m方程为y=x+λ．联立，得5x2+8λx+4λ2-4=0，由此能求出S的取值范围．（3）法一：设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线A2N的方程为y=k2（x-2）．联立方程组，得点M的坐标为（，），同理，点N（，）．由M，D，N三点共线，得k2=3k1，由此能证明点G恒在定直线x=4上．（3）法二：由题意知直线MN的斜率为0时不合题意．设直线MN的方程为x=my+1．由已知条件推导出点G恒定直线x=4上，再证明对于任意的实数m，直线A1M与直线A2N 的交点G均在直线x=4上．由此得到当m为任意实数时，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x=4上．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求解，考查点在定直线上的证明，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．19.已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且满足a1+a2+a3=9，b1b2b3=27．（1）若a4=b3，b4-b3=m．①当m=18时，求数列{a n}和{b n}的通项公式；②若数列{b n}是唯一的，求m的值；（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n}的公差d的最大值．【答案】解：（1）①由数列{a n}是等差数列及a1+a2+a3=9，得a2=3，由数列{b n}是等比数列及b1b2b3=27，得b2=3．…（2分）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，若m=18，则有解得或，所以，{a n}和{b n}的通项公式为a n=3n-3，b n=3n-1或a n=-n+12，b n=3•（-2）n-2…（4分）②由题设b4-b3=m，得3q2-3q=m，即3q2-3q-m=0（*）．因为数列{b n}是唯一的，所以若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；若q≠0，则（-3）2+12m=0，解得m=-，代入（*）式，解得q=，又b2=3，所以{b n}是唯一的等比数列，符合题意．所以，m=0或-．…（8分）（2）依题意，36=（a1+b1）（a3+b3），设{b n}公比为q，则有36=（3-d+）（3+d+3q），（**）记m=3-d+，n=3+d+3q，则mn=36．将（**）中的q消去，整理得：d2+（m-n）d+3（m+n）-36=0…（10分）d的大根为=而m，n∈N*，所以（m，n）的可能取值为：（1，36），（2，18），（3，12），（4，9），（6，6），（9，4），（12，3），（18，2），（36，1）．所以，当m=1，n=36时，d的最大值为．…（16分）【解析】（1）①由已知a1+a2+a3=9，b1b2b3=27，求出a2=3，b2=3，从而建立方程组，即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；②设b4-b3=m，得3q2-3q=m，即3q2-3q-m=0，分类讨论，可得结论；（2）设{b n}公比为q，则有36=（3-d+）（3+d+3q），（**），记m=3-d+，n=3+d+3q，则mn=36．将（**）中的q消去，即可得出结论．本题主要考查了等差数列、等比数列的性质及通项公式的应用，等比数列的性质的综合应用及一定的逻辑推理运算的能力，属于难题．20.设a是实数，函数f（x）=ax2+（a+1）x-2lnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=2时，过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（3）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称点P为函数y=g（x）的“巧点”．当a=-时，试问函数y=f（x）是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）当a=1时，f′（x）=（x＞0），…（1分）由f′（x）＞0得：x＞；由f′（x）＜0得：0＜x＜．…（2分）所以，f（x）的单调增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．…（3分）（2）当a=2时，设切点为M（m，n）．f′（x）=4x+3-（x＞0），所以，切线的斜率k=4m+3-．又直线OM的斜率为，…（5分）所以，4m+3-=，即m2+lnm-1=0，又函数y=m2+lnm-1在（0，+∞）上递增，且m=1是一根，所以是唯一根，所以，切点横坐标为1．…（7分）（3）a=-时，由函数y=f（x）在其图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为：y=（-x0+-）（x-x0）-x02+x0-2ln x0．…（8分）令h（x）=（-x0+-）（x-x0）-x02+x0-2ln x0，设F（x）=f（x）-h（x），则F（x0）=0．且F′（x）=f′（x）-h′（x）=-x+--（-x0+-）=-（x-x0）-（-）=-（x-x0）（x-）…（10分）当0＜x0＜2时，＞x0，F（x）在（x0，）上单调递增，从而有F（x）＞F（x0）=0，所以，＞0；当x＞2时，＜x，F（x）在（，x）上单调递增，从而有F（x）＜F（x）=0，所以，＞0．因此，y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“巧点”．…（13分）当x0=2时，F′（x）=-≤0，所以函数F（x）在（0，+∞）上单调递减．所以，x＞2时，F（x）＜F（2）=0，＜0；0＜x＜2时，F（x）＞F（2）=0，＜0．因此，点（2，f（2））为“巧点”，其横坐标为2．…（16分）【解析】（1）求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；（2）设切点，可得切线的斜率k=4m+3-，利用直线OM的斜率为，建立方程，即可求切点的横坐标；（3）分类讨论，根据“巧点”的定义结合函数的单调性，即可得出结论．正确理解导数的几何意义、“巧点”的意义及熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．21.如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线．若AB=6，CD=2，求线段AC的长．【答案】解：连结BC，AB、CD相交于点E，设AE=x∵直径AB垂直于弦CD，∴CE=CD=，且CE2=AE•BE，可得x（6-x）=5解之得x=5∵R t△ACE中，AE=5，CE=∴由勾股定理，得AC==．【解析】连结BC，设AE=x，根据垂直于弦的直径的性质，得到CE=CD=且CE2=AE•BE，可得x（6-x）=5，解出AE=5，再在R t ACE中，利用勾股定理即可算出AC长．本题给出垂直于弦的直径，求弦AC的长．着重考查了圆中垂直于弦的直径的性质、射影定理和勾股定理等知识，属于中档题．22.设矩阵A=，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=，求ad-bc的值．【答案】解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1，即=，可得…①；同理可得，即…②；由①②，解得a=2，b=3，c=2，d=1，因此ad-bc=2-6=-4，即ad-bc的值为-4．【解析】根据特征值、特征向量的定义可知Aα=λα，利用待定系数法列出四个等式关系，解二元一次方程组即可求出a、b、c、d的值，进而求出ad-bc的值．本题主要考查了二阶矩阵、矩阵的特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．23.在平面直角坐标系x O y中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求线段AB的最小值．【答案】解：将曲线C1的参数θ消去可得（x-3）2+（y-4）2=1．将曲线C2：ρ=1化为直角坐标方程为x2+y2=1．曲线C1是以（3，4）为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以（0，0）为圆心，1为半径的圆，求得两圆圆心距为=5，可得AB的最小值为5-1-1=3．【解析】由条件把极坐标方程化为直角坐标方程，求出两个圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，可得AB的最小值本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆和圆的位置关系，属于基础题．24.设a，b，c均为正数，abc=1．求证：++≥++．【答案】证明：由a，b，c为正数，根据平均值不等式，得+≥，+≥，+≥．将此三式相加，得2（++）≥++，即++≥++．由abc=1，则有=1．所以，++≥++=++．【解析】根据平均值不等式，然后相加，再利用abc=1，代入化简即可．本题主要考查了平均值不等式，关键灵活运用1=abc这个条件，属于基础题．25.在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1，2，3，4，现从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，它们的标号分别为x，y，记ξ=|x-y|．（1）求P（ξ=1）；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（1）从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，总的取法有42=16种，它们的标号分别为x，y，记ξ=|x-y|．ξ=1的情况有（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种，∴．…（3分）（2）ξ的所有取值为0，1，2，3．…（4分）P（ξ=0）=，，，．则随机变量ξ的分布列为ξ的数学期望．…（10分）【解析】（1）从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，总的取法有42=16种，ξ=1的情况有6种，由此能求出P（ξ=1）．（2）ξ的所有取值为0，1，2，3．由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．26.有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m=11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．（1）若m=100，直接写出选法种数；（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a n．当n≥2时，求数列{a n}的通项公式．【答案】解：（1）分类讨论，只取数字1或10或100时，共3种；取1和10，可分为1个10，2个10，…9个10，共9种∴相应的选法种数为3+9=12种；…（3分）（2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100（n-1），有a n-1种选法；若不选含有100的卡片，则有10n+1种选法．所以，a n=10n+1+a n-1，…（8分）从而，a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a2-a1）+a1=10n+1+10（n-1）+1+…+10×2+1+a1=10+n-1+a1=5n2+6n+1所以，{a n}的通项公式是a n=5n2+6n+1．…（10分）【解析】（1）分类讨论，只取数字1或10或100时；取1和10，由此可得结论；（2）考虑当数字和为200时，选法种数，可得数字总和为100n对应的选法种数为a n，数字总和为100（n+1）对应的选法种数为a n+1，满足a n=10n+1+a n-1，从而可得数列通项，本题考查数列的应用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．。

2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 6 小题，共 12 分）1、(2分) 下列计算，结果等于x5的是（）A.x2+x3B.x2•x3C.x10÷x2D.（x2）32、(2分) 如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（）A.B. C. D.3、(2分) √2581256值等于（）A.15116B.±15116C.16116D.±161164、(2分) 点E（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m+1，n-1）对应的点可能是（）A.A点B.B点C.C点D.D点5、(2分) 完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则图中阴影部分的周长是（）A.4mB.4nC.2m+nD.m+2n6、(2分) 如图，▱OABC的周长为14，∠AOC=60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角（x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（）坐标系，函数y=kxA.2√3B.4√3C.6D.12二、填空题（本大题共 10 小题，共 20 分）7、(2分) 已知某种纸一张的厚度为0.0087cm，用科学记数法表示0.0087是______．8、(2分) 把多项式2x2-4xy+2y2因式分解的结果为______．9、(2分) 若√1−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．10、(2分) 计算（√6-√18）×√1+2√6的结果是______．311、(2分) 若x1，x2是一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则x1+x2-x1x2=______．12、(2分) 如图，点I为△ABC的重心，过点作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，若AB=6，AC=4，BC=5，则PQ的长为______．13、(2分) 已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差______乙的方差（填“＞”“=”、“＜”）．14、(2分) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，弧AC的长为π，则∠ADC的大小是______．15、(2分) 如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M 处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为______．16、(2分) 若关于x的不等式组{2x+12+3＞−1x＜m的所有整数解的和是-7，则m的取值范围是______．三、计算题（本大题共 3 小题，共 22 分）17、(7分) 先化简，再求值：(1x2−4+1x+2)÷x−1x−2，其中2≥x≥-2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．18、(7分) 解方程：23x−1−1=36x−2．19、(8分) 甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）（2）任选两名同学打第一场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．四、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）20、(8分) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．（1）求证：CE=AF；（2）EF与AD交于点P，∠DPE=48°，求∠CBE的度数．21、(8分) 某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：（1）求这14位营销员该月销售该品牌电脑的平均数、中位数和众数．（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？为什么？22、(7分) 如图，已知M为△ABC的边BC上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l，使直线l 过点M，且B关于l的对称点在∠A的角平分线上（不写作法，保留作图痕迹）．23、(8分) 某校学生步行到郊外春游，一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络，他骑车的速度为akm/h．若不计队伍的长度，如图，折线A-B-C，A-D-E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y（km）与后队行进时间x（h）之间的部分函数图象．（1）联络员骑车的速度a=______；（2）求线段AD对应的函数表达式；（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．24、(8分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=12，CE=3时，求AC的长．25、(8分) 如图，A 、B 、C 三个城市位置如图所示，A 城在B 城正南方向180km 处，C 城在B 城南偏东37°方向．已知一列货车从A 城出发匀速驶往B 城，同时一辆客车从B 城出发匀速驶往C 城，出发1小时后，货车到达P 地，客车到达M 地，此时测得∠BPM=26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q 地，客车到达N 地，此时测得∠BNQ=45°，求两车的速度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，sin26°≈25．cos26°≈910，tan26°≈12）26、(8分) 已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=x 2+mx+n 的图象上，当x 1=1、x 2=3时，y 1=y 2．（1）若P （a ，b 1），Q （3，b 2）是函数图象上的两点，b 1＞b 2，则实数a 的取值范围是______A ．a ＜1B ．a ＞3C ．a ＜1或a ＞3 D.1＜a ＜3（2）若抛物线与x 轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．（3）若对于任意实数x 1、x 2都有y 1+y 2≥2，则n 的范围是______．27、(11分) 如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BDC=90°，AB=AD ，∠DCB=60°，CD=8．（1）若P 是BD 上一点，且PA=CD ，求∠PAB 的度数．（2）①将图1中的△ABD 绕点B 顺时针旋转30°，点D 落在边BC 上的E 处，AE 交BD 于点O ，连接DE ．如图2，求证：DE 2=DO•DB ；②将图1中△ABD 绕点B 旋转α得到△A'BD′（A 与A'，D 与D′时对应点），若DD′=CD ，则cosα的值为______．2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷【第 1 题】【答案】B【解析】解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、x2•x3=x5，故此选项正确；C、x10÷x2=x8，故此选项错误；D、（x2）3=x6，故此选项错误；故选：B．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．【第 2 题】【答案】D【解析】解：将这杯水斜着放可得到A选项的形状，将水杯正着放可得到B选项的形状，将水杯倒着放可得到C选项的形状，不能得到三角形的形状，故选：D．根据圆柱体的截面图形可得．本题主要考查认识几何体，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状．【 第 3 题 】【 答 案 】C【 解析 】解：√2581256=√258×256+1256=√(25716)2=25716=16116． 故选：C ．根据二次根式的性质化简即可．本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．【 第 4 题 】【 答 案 】C【 解析 】解：（m+1）-m=1，n-（n-1）=1，则点E （m ，n ）到（m+1，n-1）横坐标向右移动1单位，纵坐标向下移动1个单位．故选：C ．由（m ，n ）移动到（m+1，n-1），横坐标向右移动1个单位，纵坐标向下移动1个单位，依此观察图形即可求解．本题考查了点的坐标，解题的关键是得到点的坐标移动的规律．【 第 5 题 】【 答 案 】B【 解析 】解：设小矩形的长为a ，宽为b ，可得a+2b=m ，可得左边阴影部分的长为2b ，宽为n-a ，右边阴影部分的长为m-2b ，宽为n-2b ，图中阴影部分的周长为2（2b+n-a ）+2（m-2b+n-2b ）=4b+2n-2a+2m+2n-8b =2m+4n-2a-4b=2m+4n-2（a+2b ）=2m+4n-2m=4n ，故选：B ．设小矩形的长为a ，宽为b ，可得a+2b=m ，表示出左右两个阴影部分矩形的长与宽，进而表示出周长，化简即可得到结果．此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【 第 6 题 】【 答 案 】B【 解析 】解：设OA=a ，OC=b ，∵▱OABC 的周长为14，∴a+b=7，∴b=7-a ，作AD⊥x 轴于D ，MN⊥x 轴于N ，∵∠AOC=60°，∴OD=12a ，AD=√32a ，∴A （12a ，√32a ），∵M 是BC 的中点，∴CN=14a ，MN=√34a ，∴M （7-a+14a ，√34a ），∴12a•√32a=（7-a+14a ）•（√34a ） 解得a=4，∴A （2，2√3），∴k=2×2√3=4√3，故选：B ．设OA=a ，OC=b ，根据题意得到b=7-a ，作AD⊥x 轴于D ，MN⊥x 轴于N ，解直角三角形表示出A 、M 的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到12a•√32a=（7-a+14a ）•（√34a ），解得a=4，求得A 的坐标，即可求得k 的值．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是求出a ，b 的值．【 第 7 题 】【 答 案 】8.7×10-3【 解析 】解：0.0087=8.7×10-3．故答案为：8.7×10-3．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【 第 8 题 】【 答 案 】2（x-y ）2【 解析 】解：2x 2-4xy+2y 2=2（x 2-2xy+y 2）=2（x-y ）2．故答案为：2（x-y ）2．首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．【 第 9 题 】【 答 案 】x≤12【 解析 】解：由题意得，1-2x≥0，解得x≤12．故答案为：x≤12． 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．【 第 10 题 】【 答 案 】 √2+√6【 解析 】解：原式=√6×13-√18×13+2√6=√2-√6+2√6=√2+√6．故答案为√2+√6．先利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【 第 11 题 】【 答 案 】6【 解析 】解：由根与系数的关系可知：x 1+x 2=2，x 1x 2=-4，∴原式=2-（-4）=6，故答案为：6根据根与系数的关系即可求出答案．本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．【 第 12 题 】【 答 案 】103【 解析 】 解：连接AI 并延长交BC 于D ，如图，∵点I 为△ABC 的重心，∴AI=2ID ， ∴AI AD =23，∵PQ∥BC ，∴△APQ∽△ABC ， ∴PQ BC =AI AD =23，∴PQ=5×23=103．故答案为103． 连接AI 并延长交BC 于D ，如图，利用重心的性质得AI AD =23，再证明△APQ∽△ABC ，然后利用相似比可计算出PQ 的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了相似三角形的判定与性质．【 第 13 题 】【 答 案 】＞【 解析 】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即甲的方差＞乙的方差．故答案为：＞．结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了折线统计图．【 第 14 题 】【 答 案 】135°【 解析 】 解：连接OC 、OA ，设∠AOC=n°， 则nπ×2180=π， 解得，n=90，∴∠AOC=90°，由圆周角定理得，∠ABC=45°，∴∠ADC=180°-∠ABC=135°，故答案为：135°．连接OC 、OA ，根据弧长公式求出∠AOC ，根据圆周角定理求出∠ABC ，根据圆内接四边形的性质计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【 第 15 题 】【 答 案 】43【 解析 】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，使点C 落在AB 边的中点M 处．∴ME=CE ，MB=12AB=4=AM ，∠D'ME=∠C=90°， 在Rt△MBE 中，ME 2=MB 2+BE 2，∴ME 2=16+（8-ME ）2，∴ME=5∴BE=3，∵∠D'ME=∠DAB=90°=∠B∴∠EMB+∠BEM=90°，∠EMB+∠AMD'=90°∴∠AMD'=∠BEM ，且∠GAM=∠B=90°∴△AMG∽△BEM ∴AM BE =AG MB =GM ME∴43=AG4=GM 5 ∴AG=163，GM=203∴△AMG 的内切圆半径的长=AG+AM−GM 2=43故答案为：43 由勾股定理可求ME=5，BE=3，通过证明△AMG∽△BEM ，可得AG=163，GM=203，即可求解．本题考查了三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG ，GM 的长度是本题的关键．【 第 16 题 】【 答 案 】-3＜m≤-2或2＜x≤3【 解析 】解：解不等式2x+12+3＞-1，得：x ＞-4.5，∵不等式组的整数解的和为-7，∴不等式组的整数解为-4、-3或-4、-3、-2、-1、0、1、2，则-3＜m≤-2或2＜x≤3，故答案为：-3＜m≤-2或2＜x≤3．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的和为-7，知不等式组的整数解为-4、-3或-4、-3、-2、-1、0、1、2，据此求解可得．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【 第 17 题 】【 答 案 】解：(1x −4+1x+2)÷x−1x−2=1+x−2(x+2)(x−2)⋅x−2x−1=x−1(x+2)(x−2)⋅x−2x−1=1x+2，当x=0时，原式=10+2=12． 【 解析 】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由2≥x≥-2，且x 为整数，选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【 第 18 题 】【 答 案 】解：方程两边同时乘以2（3x-1），得4-2（3x-1）=3，化简，-6x=-3，解得x=12．检验：x=12时，2（3x-1）=2×（3×12-1）≠0所以，x=12是原方程的解．【 解析 】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程中x 的值，代入公分母进行检验即可． 本题考查的是解分式方程．在解答此类题目时要注意验根，这是此类题目易忽略的地方．【第 19 题】【答案】解：（1）∵共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，∴P（恰好选中乙同学）=1；3（2）画树状图得：∵所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．∴P（恰好选中甲、乙两位同学）=1．6【解析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能性结果数，再找出满足条件的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率【第 20 题】【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC，∠ABC=60°∵△BEF是等边三角形∴BE=BF，∠FBE=60°∴∠ABC=∠EBF，∴∠ABF=∠CBE，且AB=BC，BE=BF∴△ABF≌△CBE（SAS）∴CE=AF（2）∵四边形ABCD是菱形∴∠C+∠D=180°，∵∠BEF=60°∴∠DEP+∠BEC=120°∵∠DPE+∠D+∠DEP=180°，∠C+∠CBE+∠BEC=180°∴∠DPE+∠D+∠DEP+∠C+∠CBE+∠BEC=360° ∴∠CBE=60°-∠DPE=60°-48°=12°【 解析 】（1）由菱形的性质和等边三角形的性质可得AB=BC ，BE=BF ，∠ABC=∠EBF ，由“SAS”可证△ABF≌△CBE ，可得CE=AF ；（2）利用三角形的内角和定理可求∠CBE 的度数．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．【 第 21 题 】【 答 案 】解：（1）平均数：200+170+130×2+80×5+50×3+40×21+1+2+5+3+2=90台；∵共14人，∴中位数：80台；有5人销售80台，最多，故众数：80台；（2）不合理，因为若将每位营销员月销售量定为90台，则多数营销员可能完不成任务．【 解析 】（1）用加权平均数的求法求得其平均数，出现最多的数据为众数，排序后位于中间位置的数即为中位数；（2）众数和中位数，是大部分人能够完成的台数．本题考查了中位数、众数的确定及加权平均数的计算方法，解决本题的关键是正确的从表中整理出所有数据，并进行正确的计算和分析．【 第 22 题 】【 答 案 】解：如图所示，直线l 1、l 2即为所求．【 解析 】根据轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图可得．本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图．【 第 23 题 】【 答 案 】解：（1）由图可得，a=（4+4×12）÷12=12，故答案为：12；（2）设线段AD 对应的函数表达式为y=kx+b ，{b =412k +b =0，得{k =−8b =4， 即线段AD 对应的函数表达式为y=-8x+4（0≤x≤12）； （3）设联络员折返后第一次与后队相遇的时间th 时，（12+6）（t-12）=4-（6-4）×12，解得，t=23，答：联络员出发23h 时第一次与后队相遇． 【 解析 】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a 的值；（2）根据函数图象中的数据可以求得线段AD 对应的函数表达式；（3）根据题意和函数图象中的数据可以求得联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【 第 24 题 】【 答 案 】解：（1）如图，连接BD ，∵∠BAD=90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC ，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC ，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE ，∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵DE∥AC ，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=12，AF=CF=12AC ， ∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD ，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE ，∴BC CD =CDCE∴12CD =CD3，∴CD=6，在Rt△BCD 中，BD=√BC 2+CD 2=6√5同理：△CFD∽△BCD ，∴CF BC =CDBD ，∴CF 12=6√5，∴CF=12√55，∴AC=2AF=24√55．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=12，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．【第 25 题】【答案】解：作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，设客车的速度为x km/h，货车速度为y km/h，由题意可知：BM=x，BN=2x，AP=y，AQ=2y，BQ=180-2y，在Rt△BDM中，∴sinB=DMBM ，cosB=BDBM，∴DM=xsin37°，BD=xcos37°，在Rt△DMP中，∴tan∠DPM=DMPD =DMAB−AP−BD，∴tan26°=x⋅sin37∘180−y−x⋅cos37∘，∴1 2≈35x180−y−45x，即2x+y=180①，在RtBEQ中，∴sinB=QEBQ ，cosB=BEBQ，∴QE=sin37°•（180-2y），BD=cos37°（180-2y），在△EQN中，∠BNQ=45°，∠QEN=90°，∴△EQN为等腰直角三角形，∴QE=NE，则sin37°（180-2y）=2x-cos37°（180-2y），上式化简可得：630-7y=5x②，联立①②可得：{2x+y=180 630−7y=5x，解得：{x=70 y=40，∴客车速度约为70km/h，货车速度约为40km/h．【解析】作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，设客车的速度为x km/h，货车速度为y km/h，根据锐角三角函数的定义列出关于x与y的方程后，利用二元一次方程组的解法即可求出答案．本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，二元一次方程组的解法等知识，综合程度较高，属于中等题型．【第 26 题】【答案】解：（1）∵当x1=1、x2=3时，y1=y2．∴函数的对称轴x=2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，∴a＜1；综上所述，a＜1或a＞3；故答案为C．（2）∵对称轴x=2，∴m=-4，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴m2-4n=0，∴n=4，∴y=x2-4x+4；（3）y=x2-4x+n，∵开口向上，∴当x=2时，函数有最小值n-4，∴2（n-4）=2n-8≥2，∴n≥5．【解析】（1）由已知可知函数的对称轴x=2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，则a＜1；（2）由对称轴可求m=4，抛物线与x轴只有一个交点，则△=0，进而可求n的值；（3）当x=2时，函数有最小值n-4，则有2（n-4）=2n-8≥2，即可求n 的范围．本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，利用函数对称轴的性质解题是关键．【 第 27 题 】【 答 案 】解：（1）在Rt△BCD 中，∠BDC=90°，∠DCB=60°，CD=8， ∴BC=16，BD=8√3， 在Rt△BAD 中，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD=BD•√22=4√6， 作AH⊥BD 于H ，则AH=12BD=4√3，∠BAH=45°，当点P 在点线段DH 上时，cos∠PAH=AH AP =√32，∴∠PAH=30°，∴∠PAB=30°+45°=75°， 当点P′在点线段BH 上时，∠PAB=45°-30°=15°，综上所述，∠PAB 的度数为75°或15°；（2）①证明：由题意得，BD=BE ，∠DBE=30°，∠AEB=45°，∴∠BDE=∠BED=75°，又∠BDE=∠EDO ，∴△BDE∽△EDO ， ∴DE DO =BD DE ，即DE 2=DO•DB ； ②解：如图3，符合条件的点有两个D′和D′′，由题意得，∠DBD′=∠DBD′′，它们的余弦值相等，作BH⊥DD′，DG⊥BD′，则DH=HD′=4，在Rt△BDH 中，BH=√BD 2−DH 2=4√11， △BDD′的面积=12×DD′×BH=12×BD′×DG ，即12×8×4√11=12×8√3×DG ，解得，DG=4√333，由勾股定理得，BG=√BD2−DG2=20√33，∴cosα=cos∠DBD′=BGBD =5 6，故答案为：56．【解析】（1）根据勾股定理求出BC、BD，分点P在点线段DH上、点P在点线段BH上两种情况，根据余弦的定义解答；（2）①证明△BDE∽△EDO，根据相似三角形的性质证明结论；②作BH⊥DD′，DG⊥BD′，根据三角形的面积公式求出DG，根据勾股定理求出BG，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．。

2014南京市鼓楼区中考数学二模试卷（含答案）2014南京市鼓楼区中考数学二模试卷（含答案）注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列运算，正确的是A．a＋a＝a2B．a•a＝2aC．3a3－2a2＝aD．2a•3a2＝6a32．对多项式x2－3x＋2分解因式，结果为A．x(x－3)＋2B．(x－1)(x－2)C．(x－1)(x＋2)D．(x＋1)(x－2)3．对于函数y＝一2x，下列说法正确的是A．它的图象关于坐标原点成中心对称B．自变量x的取值范围是全体实数C．它的图象不是轴对称图形D．y随x的增大而增大4．如图，⊙O1与⊙O2的半径分别为1cm和2cm，将两圆放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上从左向右滚动，在这个运动过程中，⊙O1与⊙O2相切的次数是A．5次B．4次C．3次D．2次5．图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②所示．则下列图形中，是图②的表面展开图的是A．B．C．D．6．在△ABC中，AB＝3，AC＝3.当∠B最大时，BC的长是A．32B．6C．32D．23二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．我市冬季某一天的最高气温为1℃，最低气温为一6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高▲℃．8．小明同学在“百度”搜索引擎中输入“2014南京青奥会”，搜索到相关的结果个数约为11900000个，将这个数用科学记数法表示为▲(保留2个有效数字)．9．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，如果AB＝4.8cm，那么CD ＝cm．10.化简a(a－b)2－b(b－a)2的结果是▲．11．若某个圆锥底面半径为3，侧面展开图的面积为12π，则这个圆锥的高为▲.12.如图，把面积分别为9与4的两个等边三角形的部分重叠，若两个阴影部分的面积分别记为S1与S2(S1＞S2)，则S1－S2＝▲．13.如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落在AC边上的点D处，设旋转角为 (0 ＜ ＜90 )．若 B＝125 ， E＝30 ，则 ＝▲°．14．如图，将矩形ABCD折叠，使得A点落在CD上的E点，折痕为FG，若AD＝15cm，AB＝12cm，FG＝13cm，则DE的长度为▲cm．15．根据如图所示的函数图象，可得不等式ax2＋bx＋c＜kx的解集为▲．16．已知二次函数y＝a(x＋1)(x－3)的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则使△ABC为等腰三角形的a的值为▲．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：212－1232＋18．18．（6分）解方程：5x－4x－2＝4x＋103x－6－1．19．（8分）根据某市农村居民与城镇居民人均可支配收入的数据绘制如下统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）2012年农村居民人均可支配收入比2011年城镇居民人均可支配收入的一半少0.05万元，请根据以上信息补全条形统计图，并标明相应的数据(结果精确到0.1万元)；（2）在2010~2013年这四年中，城镇居民人均可支配收入和农村居民人均可支配收入相差数额最大的年份是▲年.20．（8分）在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF＝CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）当∠BAC＝90°时，试判断四边形AFDE的形状，并证明你的结论．21．（8分）某歌手选秀节目进入决赛阶段，共有甲、乙、丙、丁4名歌手进入决赛，决赛分3期进行，每期比赛淘汰1名歌手，最终留下的歌手即为冠军．假设每位歌手被淘汰的可能性都相等．（1）甲在第1期比赛中被淘汰的概率为▲；（2）求甲在第2期被淘汰的概率；（3）依据上述经验，甲在第3期被淘汰的概率为▲．22.（8分）某市从2012年起治理空气污染，中期目标为：2016年PM2.5年均值降至38微克/立方米以下．该城市PM2.5数据的相关数据如下：2012年PM2.5年均值为60微克/立方米，经过治理，预计2014年PM2.5年均值降至48.6微克/立方米．假设该城市PM2.5每年降低的百分率相同，问该市能否顺利达成中期目标？23．（8分）如图，二次函数y＝－12x2＋2（－2≤x≤2）的图象与x、y 轴分别交于点A、B、C．（1）直接写出A、B、C点的坐标；（2）设点P（x，y）为该图象上的任意一点，连接OP，求OP长度的范围．24．（8分）一种成本为20元/件的新型商品经过40天试销售，发现销售量p（件）、销售单价q(元/件）与销售时间x（天）都满足一次函数关系，相关信息如图所示．（1）试求销售量p（件）与销售时间x（天）的函数关系式；（2）设第x天获得的利润为y元，求y关于x的函数关系式；（3）求这40天试销售过程中何时利润最大?并求出最大值．25．（8分）如图，△ABC中，点D为AB中点，CD＝AD.（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）在图中画出△ABC的外接圆；（3）已知AC＝6，BC＝8，点E是△ABC外接圆上任意一点，点M是弦AE的中点，当点E在△ABC外接圆上运动一周，求点M运动的路径长．26．（8分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，CD＝CA，CE⊥DB 交DB的延长线于点E．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝4，AB＝5，求CE的长．27．（12分）【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n＝2，则时间t＝ADa＋CD2a，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得AD＋CD2的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°.（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝CD2；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D'，并说明理由．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．【模型运用】（4）如图③，海面上一标志A到海岸BC的距离AB＝300m，BC＝300m．救生员在C点处发现标志A处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生员从C点出发到达A处的最短时间．九年级二模试卷数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共计12分）题号123456答案DBACAB二、填空题（每小题2分，共计20分）7．78．1.2×1079．2.410．1a－b11．712．5 13．2514．25415．x＜－3或0＜x＜2或x＞316．137或－137或1315或－1315三、解答题（本大题共11小题，共计88分）17．（本题6分）解：原式＝2×22－12×42＋24…………………………………………………3分＝2－22＋24…………………………………………………………………4分＝－342…………………………………………………………………………6分18．（本题6分）解：5x–4x–2＝4x＋103(x–2)－1．3(5x－4)＝4x＋10－3(x－2)．3分x＝2．5分检验：当x＝2时，3(x－2)＝0，所以x＝2是增根，原方程无解．6分19．（本题8分）（1）图略，………………………………………………………………………………………2分农村居民和城镇居民可支配收入分别为 1.6万元、3.6万元．………………………6分（2）2013．………………………………………………………………………………………8分20．（本题8分）（1）证明：∵点D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，∴BD＝CD，∠DFB＝∠DEC＝90°．............................................................2分∵BF＝CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE．............................................................3分∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．即△ABC是等腰三角形． (4)分（2）∵∠BAC＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BAC＝∠DFA＝∠DEA＝90°．∴四边形AFDE是矩形．…………………………………………………………………6分∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC．∵BF＝CE，∴AB－BF＝AC－CE．∴AF＝AE．∴矩形AFDE是正方形．…………………………………………………………………8分21．（本题8分）解：（1）14．2分（2）画出树状图或列举正确．5分解：所有可能的结果用树状图表示如下：共有12种等可能的结果，其中甲在第二期被淘汰的结果有3种，所以P（甲在第二期被淘汰）＝14． (6)分（3）14．8分22.（本题8分）解：设该市PM2.5指数平均每年降低的百分率为x，根据题意，得60(1－x)2＝48.6．3分解得：x1＝0.1，x2＝1.9(不合题意，舍去)．5分所以该城市PM2.5指数平均每年降低的百分率为10%．6分由于48.6×(1－10%)2＝39.366＞38，所以该市不能顺利达成中期目标．8分23．（本题8分）（1）A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)．3分（2）由题意得，OP2＝x2＋y2＝x2＋(－12x2＋2)2＝14(x2－2)2＋3（－2≤x≤2）5分当x2＝2时，即x＝±2时，OP2取得最小值，最小值为3．即OP的最小值为3．当x＝－2、0或2时，OP2取得最大值，最大值为4．即OP的最大值为2．…7分所以OP长度的范围为：3≤OP≤2．………………………………………8分24．（本题8分）（1）由图象可知：当1≤x≤40时，p是x的一次函数，设p＝kx＋b，将（1，11）、（40，50）代入得：k＋b＝11，40k＋b＝50，，解得：k＝1，b＝10，∴当1≤x≤40时，p＝x＋10．2分（2）由图象可知：当1≤x≤40时，q是x的一次函数，设q＝k'x＋b'，将（1，79）、（40，40）代入得：k'＋b'＝79，40k'＋b'＝40，，解得：k'＝－1，b'＝80，∴当1≤x≤40时，q＝－x＋80．4分由题意可知：当1≤x≤40时，y＝p(q－20)＝(x＋10)(－x＋80－20)＝－(x－25)2＋1225．6分（3）∴当x＝25时，y取得最大值，最大值为1225．即这40天试销过程中，第25天获得的利润最大，最大利润为1225元．8分25．（本题8分）解：（1）△ABC为直角三角形． (1)分理由如下：∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠A．又∵D为AB中点，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B．∵∠A＋∠ACD＋∠DCB＋∠B＝180°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°，∴△ABC为直角三角形.．…………………………………………………………………3分(2)画图正确．………………………………………………………………………………4分（3）连接DM．∵M是弦AE的中点，D为圆心，∴DM⊥AE，∴点M在以AD为直径的圆上运动． (6)分在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=10，∴AD=5．∴点M的运动路径长为5π． (8)分26．（本题8分）解：（1）解：直线CE与⊙O相切．理由如下：连接CO、DO．∵AC＝CD，CO＝CO，AO＝DO，∴△ACO≌DCO．∴∠1＝∠2．∵CO＝DO，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∵∠2＝∠4∴∠3＝∠4．∴CO∥ED．∵CE⊥DB，∴∠E＝90°．∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE．……………………………………………………………4分直线CE经过半径OC的外端点C，并且垂直于半径OC，所以直线CE 与⊙O相切．…………………………………………………………………………………………………5分（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠E，BC＝3．………………………………………………………………6分∵∠2＝∠4，∴△ACB∽△DEC．............................................................7分∴ABDC＝CBEC，得EC＝125． (8)分27．（本题12分）解：（1）∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，∴在Rt△BCM中，DE＝CD•sin30°，∴DE＝CD2． (2)分（2）过点A作AE⊥CM交CB于点D'，则D'点即为所用时间最短的登陆点．理由如下：由第（1）问可知，D'E'＝CD'2．AD'＋CD'2最短，即为AD'＋D'E最短．由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短．可知此时D'点即为所求．…………………………………………………………………5分（3）如图，过点C做射线CM，使得sin∠BCM＝1n， (7)分过点A作AE⊥CM，垂足为E，交CB于点D，则D即为所用时间最短的登陆点．…………………………………………………………………………………………9分（4）此时sin∠BCM＝13，易得sin∠DAB＝13，∴在Rt△ADB中，AB＝300，AD＝2252，DB＝752，CD＝300－752．∴时间为300﹣7526＋22522＝50＋1002． (12)。

南京师大附中2014高考数学模拟题(1)一.填空题1.过点P ()0,1可以作曲线23ax x y -=的两条切线，则a 的值为________.2.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=_______. 3. 在平面直角坐标系xoy 中，直线32m y x =+与圆222x y n +=相切，其中m ，∈n N *，01m n <-≤，若函数1()x f x m n +=-的零点0(,1)x k k ∈+，∈k Z ，则k = . 4.若z y x 、、为正实数，则222zy x yzxy +++的最大值是 . 5.圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形，则b a -的取值范围是___________.6.各项均为正偶数的数列1a ，2a ，3a ，4a 中，前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列.若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为__________.7.已知j i ,为互相垂直的单位向量，j i b j i a λ+=-=,2，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________. 二.解答题1. 已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，(0,)4πα∈.(1)若178a b ⋅=，求sin cos αα-的值； (2)若a ∥b ，又β为锐角，且1tan 3β=，求αβ+的值.2. 如图，在四边形ABEF 中，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所BCDMO在的平面和平面ABEF互相垂直.(1)求证：AF 平面CBF；(2)设FC的中点为M，求证：OM //平面DAF.3.如图所示,l1,l2是两条互相垂直的海岸线，C为一海岛，ABCD是一矩形渔场，为了扩大渔业规模，将该渔场改建成一个更大的矩形渔场AMPN，要求点D,N在海岸线l1上，点B，M在海岸线l2上，且两点M，N连线经过海岛C，已知AB=3km,AD=2km.(1)要使矩形AMPN的面积大于32km2，则AN的长应在什么范围内?(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(3)若AN的长度不少于6km，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.4. 已知直线:1l y x =+，圆223:2O x y +=,直线l 被圆截得的弦长与椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的短轴长相等，椭圆的离心率22e =. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点1(0)3M -，的动直线l 交椭圆C 于A B 、两点,试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ,使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.5. 已知函数∈+=++=r q p x q x x g r px x x f ,,(ln 15)(,2)(23R ). (1)当35-=r 时,)(x f 和)(x g 在1=x 处有共同的切线，求q p ,的值；(2)已知函数)()()(x g x f x h -=在1=x 处取得极大值-13，在1x x =和2x x = （21x x ≠）处取得极小值)()(21x h x h 和，若103ln )()(21-<+k x h x h 成立，求整数k 的最小值.6.已知数列}{n a 是以d 为公差的等差数列，数列}{n b 是以q 为公比的等比数列．(1)若数列}{n b 的前n 项和为n S ,且112a b d ===,31003252010S a b <+-,且q 为整数，求q 的值； (2)在(1)的条件下，试问数列}{n b 中是否存在一项k b ，使得k b 恰好可以表示为该数列中连续∈p p (N ，)2≥p 项的和？请说明理由；(3)若123,,r s r t b a b a a b a ==≠=(其中t s r >>,且(s r -)是(t r -)的约数)，求证：数列}{n b 中每一项都是数列}{n a 中的项.三．理科附加题（必做部分）1. 一个暗箱中有大小相同的2只白球和1只黑球共3只球，每次从中取出一只球，取到白球得1分，取到黑球得2分，甲从暗箱中有放回地依次取出2只球，而乙是从暗箱中一次性取出2只球. (1)写出甲总得分ξ的分布列； (2)写出乙总得分η的分布列； (3)求甲总得分比乙总得分高的概率.2.设集合{1,2,3,n S =…，n}.对n S 的子集M ,将M 中所有数之和称为M 的容量（规定空集的容量为0）.若M 的容量为奇（偶）数，则称M 为n S 的奇（偶）子集. （1）证明：n S 的奇子集与偶子集的个数相等；（2）证明：当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等； （3）当3n ≥时，求n S 的所有奇子集的容量之和.参考答案一、填空题 1.答案：9, 0.解：设切点横坐标为0x ，则过点()2300,ax x x -的切线方程为 ()()()0020203023x x ax x ax x y --=--，代入()0,1后整理得：关于0x 的方程()0]232[0200=++-a x a x x 有两个不相等的实根.有两种情形：(1)方程()0232020=++-a x a x 有两个相等的不为0的实根，据0=∆得：()0910016322=+-⇒=-+a a a a ，解得1=a 或9=a .当1=a 时，P 在曲线上，不适合，∴9=a .(2)方程()0232020=++-a x a x 两个实根不相等且有一个根为0，把00=x 带入得0=a ，验证适合.综上可得，a 的值为9, 0. 2.答案：3π. 解：由sin sin tan tan 2cos cos x yx y x y ==，及1sin sin 3x y =，可得1cos cos 6x y =， 111cos()cos cos sin sin 632x y x y x y -=+=+=. 又因为(0,)x y π-∈，所以x y -=3π. 3.答案：0k =.解：直线与圆相切，则()22302031m n ⨯+-=+，得n m =-12.又m ，n N *∈，01m n <-≤3m ⇒=，4n =，又1()34x f x +=-的唯一零点0(0,1)x ∈, ∴ 0k =.4.答案：22. 解： z y x 、、 都是正实数，xy y x 22122≥+∴(等式成立2221y x =)， ① yz z y 22122≥+(等式成立2221z y =). ②由①+②，得 ()yz xy yz xy z y y x +=+≥+++22221212222, 2221222=≤+++∴z y x yz xy . ∴当且仅当22221z y x ==时，222z y x yz xy +++取得最大值22. 5.答案：()4,∞-.解：由圆的方程易知圆心坐标为()3,1-，半径a r 510-=, 20510<⇒>-∴a a .又圆关于直线b x y 2+=成轴对称图形，()上在点b x y 23,1+=-∴, 2213-=⇒+=-∴b b ,则()422<+=--=-a a b a ，()4,∞-∈-∴b a .6.答案：58,37⎧⎫⎨⎬⎩⎭.解：由题意，可设1a ，1a d +，12a d +，188a +，其中1a ，d 均为正偶数，则2111(2)()(88)a d a d a +=++， 整理得14(22)0388d d a d -=>-（注意体会这里用“10a >”而不用“12a ≥”的好处），所以(22)(388)0d d --<，即88223d <<，所以d 的所有可能值为24，26，28. 当24d =时，112a =，53q =；当26d =时，12085a =（舍去）；当28d =时，1168a =，87q =.所以q 的所有可能的值构成的集合为58,37⎧⎫⎨⎬⎩⎭.7.答案：)21,2(2,-⋃-∞-）（. 解：由题意，知⋅→a 0>→b ，且→a 与→b 不平行.由⋅→a 0>→b 得：0)()2(>+⋅-j i j i λ,整理得：021>-λ，即21<λ . 又由b a //得：2-=λ. 所求λ的取值范围是)21,2(2,-⋃-∞-）（. 二.解答题 1.答案：(1) 23-； (2)4π. 解：(1)178a b ⋅=17sin cos 28αα∴+=，即 12sin cos 4αα=. 又 22sin cos 1αα+=, 213(sin cos )12sin cos 144αααα∴-=-=-=. 而 (0,)4πα∈， sin cos αα∴<, 3sin cos 2αα∴-=- . (2)a ∥b , 2sin cos αα∴=, 1tan 2α∴=. 又1tan 3β=, 11tan tan 23tan()1111tan tan 123αβαβαβ++∴+===--⨯. 而 04πα<<，02πβ<<, 304παβ∴<+<， 4παβ∴+=.故 αβ+的值为4π. 2.答案：(1) 见下面的证明； (2) 见下面的证明.证明：(1)因为平面⊥ABCD 平面ABEF ，AB CB ⊥，平面 ABCD 平面ABEF =AB ，所以CB ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面ABEF ， 则AF CB ⊥，又AF BF ⊥，且BF BC B ⋂=，,BF BC ⊂平面CBF ，所以AF ⊥平面CBF . (2)设DF 的中点为N ，则CD MN 21//， 又CD AO 21//，则AO MN //， 所以四边形MNAO 为平行四边形，所以//OM AN .又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，所以//OM 平面DAF . 3.答案：(1)382<<AN 或8>AN ; (2)当AN 的长度是4km 时,矩形AMPN 的面积最小，最小面积为24km 2； (3)当AN 的长度是6km时,矩形AMPN 的面积最小，最小面积为27km 2.解：(1)设x AN =km ，()2>x ，则2-=x ND .∵AM AN DC ND =,∴AM x x =-32,∴23-=x xAM , ∴.x x x3223>⋅- ∴0643232>+-x x , ∴0)8)(83(>--x x ,∴382<<x 或8>x . (2).232-=x x S AMPN()().232622---='x x x x S 令0='S ，得()022=--x x .解得 4=x .(3)∵12212)2(3+-+-=x x S AMPN )6(≥x , 令t x =-2)4(≥t ，12123)(++=tt t f . ∵2123)(t t f -=', 当4≥t 时，0)(>'t f ,∴12123)(++=tt t f 在[)+∞,4上递增, ∴27)4()(min ==f t f , 此时6=x .4.答案：(1)2212x y +=；(2)存在一个定点(0,1)T .解：(1)由题设，可知1212322=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，又22e =,2a =, 所以椭圆C 的方程是2212x y +=.(2)法一：假设存在点(,)T u v ，若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22189)12160k x kx +--=（. 设点,A B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则36492222,1++±=k k k x . 因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-12122221212222222()()()()121(1)()()339(666)4(3325)63TA TB x u x u y v y v v k x x u k kv x x u v u v k ku u v v k =--+--=+-++++++++--+++-=+所以当且仅当0=⋅→→TB TA 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ,所以22226660,0,0, 1.33250.u v u u v u v v ⎧+-=⎪===⎨⎪++-=⎩解得此时以AB 为直径的圆恒过定点(0,1)T . 当直线l 的斜率不存在时，l 与y 轴重合， 以AB 为直径的圆为221x y +=，也过点(0,1)T .综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T ，满足条件. 法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=.若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116+39x y +=（）. 222210.1161+.39x y x y x y ⎧+==⎧⎪⎨⎨=+=⎩⎪⎩由解得（） 由此可知所求点T 如果存在，只能是0,1（）.事实上(0,1)T 点就是所求点。

(第3题图)南京师大附中2014届高三模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式为V ＝13S h ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜4，x ∈N }，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．若复数1＋a i 2－i (i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝ ▲ ．3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得 的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图 形推断，该时段时速超过50km/h 的汽车辆数为 ▲ ． 4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球， 从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 ▲ ．6．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）7．函数[]()sin (π0)f x x x x=∈-，的单调增区间是 ▲ ．8．设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为 ▲ ． 9．设a ，b 均为正实数，则11a b++的最小值是 ▲ ．10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是 ▲ ．(第4题图)NY结束输出s n ≤10开始11．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB →·AD →的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．若△PQM 是钝角三角 形，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．13．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式a 2n ＋S 2nn 2≥ma 21对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为 ▲ ．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a ＝cos Ccos A ．（1）求角A 的值； （2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点．（1）求证：平面PAC ⊥平面PCD ； （2）求证：CE ∥平面PAB ．(第16题图)图某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ．（1）求实数a ，b 的值；（2）当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN的面积为S ，求S 的取值范围；（3）求证：点G 在一条定直线上．(第17题图)图已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且满足a 1＋a 2＋a 3＝9，b 1b 2b 3＝27. （1）若a 4＝b 3，b 4－b 3＝m .①当m ＝18时，求数列{a n }和{b n }的通项公式； ②若数列{b n }是唯一的，求m 的值；（2）若a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n }的公差d 的最 大值.20．（本小题满分16分）设a 是实数，函数f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x －2ln x ． （1）当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；（2）当a ＝2时，过原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，求切点的横坐标；（3）设定义在D 上的函数y ＝g (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为l ：y ＝h (x )，当x ≠x 0 时，若g (x )－h (x )x －x 0＜0在D 内恒成立，则称点P 为函数y ＝g (x )的“巧点”．当a ＝－14时，试问函数y ＝f (x )是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说 明理由．DCBA(第21—A 题图)南京师大附中2014届高三模拟考试数 学（附加题） 2014.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸．．．指定区域内．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．（几何证明选讲选做题）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度． B ．（矩阵与变换选做题）设矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值 24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求ad －bc 的值．C ．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A ， B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ（θ为参数）和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值． D ．（不等式选做题）设a ，b ，c 均为正数， abc ＝1．求证：1a ＋1b ＋1c≥ a ＋ b ＋ c .22．【必做题】在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1，2，3，4，现从这个盒子中有放回．．．地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．（1）求P(ξ＝1)；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．23．【必做题】有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．（1）若m＝100，直接写出选法种数；（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a n．当n≥2时，求数列{a n}的通项公式．南京师大附中2014届高三模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．{1}； 2．2； 3．77； 4．5； 5．910； 6．必要不充分；7．[－π6,0]； 8．94； 9．4； 10．(0，120)∪(5，+∞)； 11．24；12．（0，6－22）； 13．－7＜a ≤0或a ＝2； 14．15．二、解答题：15．解析:（1）因为(2)cos cos b A C =，由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C =，………………2分即2sin cos cos cos B A A C C A=+=3sin(A +C ) ． ………………4分因为B ＝π－A －C ，所以sin B =sin(A +C )，所以2sin cos B A B =． 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以csA =，因为0A π<<，所以6A π=． ………………7分 （2）由（1）知π6A B ==，所以A C =，23C π=． ………………8分 设AC x =，则12MC x =，又AM =在△AMC 中，由余弦定理得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=即222()2cos120,22x xx x +-⋅⋅=o 解得x ＝2. ………………12分故212sin 23ABC S x π∆=………………14分16．解析: （1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ， …………………2分又∠ACD ＝90°，则CD AC ⊥，而PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面ACD ， ………………4分所以，平面PAC ⊥平面PCD ． ………………7分（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ，则EM ∥PA ． 因为EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以EM ∥平面PAB ． ………………9分在Rt△ACD 中，AM =CM ，所以∠CAD=∠ACM ， 又∠BAC ＝∠CAD ，所以∠BAC ＝∠ACM ， 则MC ∥AB ．因为MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以MC ∥平面PAB ．………………12分 而EM ∩MC ＝M ，所以平面EMC ∥平面PAB ．由于EC⊂平面EMC ，从而EC ∥平面PAB ． ………………14分证法二：延长DC ，AB 交于点N ，连PN ． 因为∠NAC ＝∠DAC ，AC ⊥CD ， 所以C 为ND 的中点．而E 为PD 中点，所以EC ∥PN ．因为EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，所以EC ∥平面PAB ．………………14分17．解析:正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为h 0，高为h ．由题意得：36x ＋h 0＝10，解得h 0＝10－36x ．………………2分则h ＝h 02－x212＝(10－36x )2－x212＝100－1033x，x ∈(0,103) ． ………………5分所以，正三棱锥体积V ＝13Sh ＝13×34x 2×100－1033x＝3x 212100－10 33x ． ………………8分设y ＝V 2＝x 448(100－10 33x )＝100x 448－10x 5483，求导得y ′＝100x312－50x448 3，令y ′＝0，得x ＝83， ………………10分 当x ∈(0，83)时，y ′＞0，y 随着x 的增加而增大， 当x ∈(8 3，103)时，y ′＜0，y 随着x 的增加而减小， 所以，当x ＝83 cm 时，y 取得极大值也是最大值． ………………12分 此时y ＝15360，所以V max ＝32 15 cm 3． 答：当底面边长为83cm 时，正三棱锥的最大体积为3215cm 3． ………………14分 18．解析:（1）由题设可知a ＝2． ………………1分 因为e ＝32，即c a ＝32，所以c ＝3．又因为b 2＝a 2－c 2＝4－3＝1，所以b ＝1． ………………2分（2）由题设可知，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线MN 的方程为y ＝x －1．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝x －1，消去y 可得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85．将x 1＝0，x 2＝85，代入直线MN 的方程，解得y 1＝－1，y 2＝35．所以MN ＝( x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝852． ………………4分设与直线MN 平行的直线m 方程为y ＝x ＋λ．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝x ＋λ，消去y 可得5x 2＋8λx ＋4λ2－4＝0，若直线m 与椭圆只有一个交点，则满足△＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝±5． ……………6分当直线m 为y ＝x －5时，直线l 与m 之间的距离为d 1＝|－1－(－5)|2＝5－12； 当直线m 为y ＝x ＋5时，直线l 与m 之间的距离为d 2＝|－1－5|2＝5＋12； ………………8分 设点C 到MN 的距离为d ，要使△CMN 的面积为S 的点C 恰有两个， 则需满足d 1＜d ＜d 2，即5－1 2＜d ＜5＋12．因为S ＝12d ·MN ＝452d ，所以45－45＜S ＜45＋45． ………………10分 （3）方法一 设直线A 1M 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，直线A 2N 的方程为y ＝k 2(x －2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y 得(1＋4k 12)x 2＋16k 12x ＋16k 12－4＝0，解得点M 的坐标为(2－8k 121＋4k 12，4k 11＋4k 12)．同理，可解得点N 的坐标为(8k 22－21＋4k 22，－4k 21＋4k 22)． ………………12分由M ，D ，N 三点共线，有4k 11＋4k 122－8k 121＋4k 12－1＝－4k 21＋4k 228k 22－21＋4k 22－1，化简得(k 2－3k 1)(4k 1k 2＋1)＝0． 由题设可知k 1与k 2同号，所以k 2＝3k 1． ………………14分 联立方程组⎩⎨⎧y ＝k 1(x ＋2)y ＝k 1(x －2)，解得交点G 的坐标为(2(k 1＋k 2)k 2－k 1，4k 1k 2k 2－k 1)．将k 2＝3k 1代入点G 的横坐标，得x G ＝2(k 1＋k 2)k 2－k 1＝2(k 1＋3k 1)3k 1－k 1＝4．所以，点G 恒在定直线x ＝4上． ………………16分 方法二 显然，直线MN 的斜率为0时不合题意． 设直线MN 的方程为x ＝my ＋1．令m ＝0，解得M (1，32)，N (1，－ 32)或M (1，－ 32)，N (1，32)．当M (1，32)，N (1，－ 32)时，直线A 1M 的方程为y ＝ 36x ＋33，直线A 2N 的方程为y＝32x －3． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ 36x ＋ 33y ＝ 32x －3，解得交点G 的坐标为(4，3)；当M (1，－ 32)，N (1， 32)时，由对称性可知交点G 的坐标为(4，－3)．若点G 恒在一条定直线上，则此定直线必为x ＝4． ………………12分下面证明对于任意的实数m ，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (4，y 0)． 由点A 1，M ，G 三点共线，有y 1－0x 1＋2＝y 04＋2，即y 0＝6y 1x 1＋2．再由点A 2，N ，G 三点共线，有y 2－0x 2－2＝y 04－2，即y 0＝2y 2x 2－2． 所以，6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2．① 将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入①式，化简得2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0． ② ………………14分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＝my ＋1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，从而有y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4． 将其代入②式，有2m ·－3m 2＋4－3·－2mm 2＋4＝0成立． 所以，当m 为任意实数时，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． ………………16分19．解析：（1）①由数列{a n }是等差数列及a 1＋a 2＋a 3＝9，得a 2＝3， 由数列{b n }是等比数列及b 1b 2b 3＝27，得b 2＝3． ………………2分 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，若m ＝18，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2d ＝3q ， 3q 2－3q ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3， q ＝3；或 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－92， q ＝－2．所以，{a n }和{b n }的通项公式为⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －3，b n ＝3n -1；或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－92n ＋12，b n ＝3(－2) n －2.………………4分 ② 由题设b 4－b 3＝m ，得3q 2－3q ＝m ，即3q 2－3q －m ＝0（*）．因为数列{b n }是唯一的，所以若q =0，则m =0，检验知，当m =0时，q =1或0（舍去），满足题意； 若q ≠0，则(－3)2＋12 m ＝0，解得m ＝－34，代入（*）式，解得q ＝12，又b 2＝3，所以{b n }是唯一的等比数列，符合题意． 所以，m =0或－34． ………………8分 （2）依题意，36＝(a 1＋b 1) (a 3＋b 3)，设{b n }公比为q ，则有36＝(3－d ＋3q)(3＋d ＋3q )， （**）记m ＝3－d ＋3q，n ＝3＋d ＋3q ，则mn =36．将（**）中的q 消去，整理得： d 2＋(m －n )d ＋3(m ＋n )－36＝0 ………………10分d 的大根为n －m ＋(m －n )2－12(m ＋n )＋1442＝n －m ＋(m ＋n －6)2－362而m ，n ∈N *，所以 (m ，n )的可能取值为：(1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) ． 所以，当m ＝1，n ＝36时，d 的最大值为35+5 372 ． ………………16分 20．解析：（1）当a ＝1时， f ′(x )＝2(x 2+x －1)x(x ＞0)， ………………1分由 f ′(x )＞0得：x ＞－1＋ 52 ；由 f ′(x )＜0得：0＜x ＜－1＋ 52． ………………2分 所以，f (x )的单调增区间为(－1＋ 52，＋∞)，单调减区间为(0,－1＋ 52) ． ………………3分（2）当a ＝2时，设切点为M (m ，n ) ． f ′(x )＝4x ＋3－2x( x ＞0)，所以，切线的斜率k ＝4m ＋3－2m．又直线OM 的斜率为2m 2＋3m －2ln mm， ………………5分所以，4m ＋3－2m ＝2m 2＋3m －2ln m m，即m 2＋ln m －1＝0，又函数y ＝m 2＋ln m －1在(0,＋∞)上递增，且m ＝1是一根，所以是唯一根， 所以，切点横坐标为1． ………………7分 （3）a ＝－14时，由函数y ＝f (x )在其图象上一点P (x 0,y 0)处的切线方程为：y ＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2lnx 0． ………………8分令h (x )＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2ln x 0，设F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x 0)＝0．且F ′(x )＝f ′(x )－h ′(x )＝－12x ＋34－2x －(－12x 0＋34－2x 0)＝－12(x －x 0)－(2x －2x 0)＝－12x(x －x 0) (x －4x 0) ………………10分当0＜x 0＜2时，4x 0＞x 0，F (x )在(x 0,4x 0)上单调递增，从而有F (x )＞F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0； 当x 0＞2时，4x 0＜x 0，F (x )在(4x 0,x 0)上单调递增，从而有F (x )＜F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0．因此，y ＝f (x )在(0，2)和(2，＋∞)上不存在“巧点”． ………………13分当x 0＝2时， F ′(x )＝－(x －2)22x ≤0，所以函数F (x )在(0,＋∞)上单调递减．所以，x ＞2时，F (x )＜F (2)＝0，F (x )x －2＜0；0＜x ＜2时，F (x )＞F (2)＝0，F (x )x －2＜0． 因此，点(2，f (2))为“巧点”，其横坐标为2． ………………16分ADCBE南京师大附中2014届高三模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解析：连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．………………2分设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得CE 2＝AE ·EB ，又CE =即有(6x x -=，解得1x =（舍）或5x =………………8分所以，AC2＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解析：由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，………………5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321，， ， a b c d ====． 因此ad －bc ＝2－6＝－4． ………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解析：将曲线C 1的参数θ消去可得(x －3)2＋(y －4)2＝1．将曲线C 2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1． ………………5分曲线C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以(0，0)为圆心，1为半径的圆， 可求得两圆圆心距为 32＋42＝5， 所以，AB 的最小值为5－1－1＝3． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：由a ，b ，c 为正数，根据平均值不等式，得1a ＋1b ≥2 ab ，1b ＋1c ≥2 bc ，1c ＋1a ≥2ca．将此三式相加，得2(1a ＋1b ＋1c )≥2 ab ＋2 bc ＋2 ca ，即1a ＋1b ＋1c ≥1 ab ＋1bc＋1ca．………………5分由abc ＝1，则有abc ＝1．所以，1a＋1b＋1c≥abcab＋abcbc＋abcca＝a ＋b ＋c ． ………………10分22．解析：（1）63(1)168P ξ===； ………………3分 （2）ξ的所有取值为0, 1，2，3． ………………4分41(0)164P ξ∴===，63(1)168P ξ===，41(2)164P ξ===,21(3)168P ξ===． 则随机变量ξ的分布列为ξ的数学期望13115()012348484E ξ=⨯+⨯+⨯． ………………10分 23．解析：（1）m＝100，共有选法种数为12． ………………3分（2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100(n －1)， 有a n －1种选法；若不选含有100的卡片，则有10n ＋1种选法．所以，a n ＝10n ＋1＋a n －1 ， ………………8分从而，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋···＋(a 2 －a 1)＋a 1 ＝10n ＋1＋10(n －1)＋1＋···＋10×2＋1＋a 1＝10(n ＋2)(n －1)2＋n －1＋a 1＝5n 2＋6n ＋1 所以，{a n }的通项公式是a n ＝5n2＋6n ＋1． ………………10分。

南京市2014届高三年级第二次模拟考试数 学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．a(第3题图)(第6题图)7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)错误！未找到引用源。

的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且． 若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点． （1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ． 15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．(第7题图)PBDEA因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面P AB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面P AB ． ………………………………………8分 因为AP ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A ．因为PB ⊥P A ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以P A ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以P A ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分 16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． (2)所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A (35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)， 因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2……4分(第16题图)又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 2 10． ………………………6分 解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45． 因此A (35，45)，所以tan α＝43．………2分所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分 17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)． 解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AM sin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………6分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60︒时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分APMNBC(第17题图)解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分 在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AMsin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2，∠P AB ＝30° …………………………14分 解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分 解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，A PMNBC第17题图D∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分 MN 的中点K (x 1＋x 22，32x 2)．∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3，k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2 ∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22． ∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2，∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →． MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1，3x 2)．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即 x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分 在△AMN 中，由正弦定理知：MN sin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分 ∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线． 设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23． 答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c ＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分（2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分 APMNBCF E解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分 因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0， 解得⎩⎨⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎨⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号． 所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 22．所以11(1)(222OP OQ ⋅=-⨯-+=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦…………………………2 当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 韦达定理 22121222422==1212k k x x x x k k--+++，………………………………………4 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。

鼓楼区 2014 届九年级二模试卷数学注意事项：1．本试卷共 6页．全卷满分 120 分．考试时间为 120 分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师 在答题卡上所粘贴条形码的、考试证号是否与本人相符合，再将 自己的、号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的 答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定 位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．、选择题（本大题共 6小题，每小题 2分，共 12分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡 ．．．相．应．位．置．上 ）4．如图，⊙ O 1与⊙ O 2的半径分别为 1cm 和 2cm ，将两圆放置在直线 l 上，如果⊙ O 1在直线5．图①是由白 色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②所示．则下列图形中，是图②的表面展开图的是、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直1．下列运算，正确的是2B ． a ·a ＝2a2．对多项式 x － 3x ＋ 2 分解因式，结果为 A ．x （ x － 3） ＋2 B ．（x －1）（ x －2）23．对于函数 y ＝一 ，下列说确的是xA ．它的图象关于坐标原点成中心对称C ．3a 3－2a 2＝aC ．（x －1）（ x＋2）23D ．2a ·3a 2＝6a 3D ．（x ＋1）（ xB ．自变量 x 的取值围是全体实数D ． y 随 x 的增大而增大 O 1与⊙ O 2相切的次数是D ．2次图①图②第 5 题）A ．B ．C ．D ．6．在△ ABC 中， A ．AB ＝3， AC ＝3.B ． 6当∠ B 最大时， BC 的长是C ． 23D ． 2 3l 上从左向右滚动，在这个运动过程中，⊙第 4 题）3次填写在答．题．卡．相．应．位．置． 上）我市冬季某一天的最高气温为 1℃，最低气温为一 6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高 ▲ ℃．小明同学在“百度” 搜索引擎中输入“ 2014 青奥会”，搜索到相关的结果个数约为11 900 000 个，将这个数用科学记数法表示为在 Rt △ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线，如果 AB ＝4.8 cm ，那么 CD ＝ cm ab10. 化简 a 2 － b 2的结果是 ▲ ．（a －b ） （b －a ） 11．若某个圆锥底面半径为 3，侧面展开图的面积为 12π，则这个圆锥的高为 12. 如图，把面积分别为 9 与 4 的两个等边三角形的部分重叠，若两个阴影部分的面积分别记为 S 1与 S 2（ S 1> S 2） ，则 S 1－S 2＝ ▲13. 如图，将△ ABC 绕点 A 逆时针方向旋转到△ ADE 的位置，点 B 落在 AC 边上的点 D处，设旋转角为 （0 < <90 ） ．若 B ＝125 ， E ＝30 ，则14．如图，将矩形 ABCD 折叠，使得 A 点落在 CD 上的 E 点，折痕为 FG ，若 AD ＝15cm ，16．已知二次函数 y ＝a （x ＋1）（ x － 3）的图象与 x 轴交于点 A ，B ，与 y 轴交于点 C ，则使△ ABC7． 8． ▲ （ 保留 2 个有效数字 ） ．9．第 13 题）AB ＝12cm ， FG ＝13cm ，则 DE 的长度为15．根据如图所示的函数图象，可得不等式bx ＋cx为等腰三角形的 a 的值为▲三、解答题（本大题共 11小题，共 88 分．请在答．题．卡．指．定．区．域． 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17． 6 分） 计算： 2 2 － 2 32 ＋ 818． 6 分）解方程：5x－ 4＝4x ＋ 10－1．x －23x － 619． 8 分） 收入∕万元根据某市农村居民与城镇居民人均可支配收入的数据绘制如下统计图： 2010— 2013 年人均可支配收入统计图农村居民城镇居民2010 2011 2012 2013 年份第 19 题）根据以上信息，解答下列问题：1）2012 年农村居民人均可支配收入比 2011 年城镇居民人均可支配收入的一半少0.05万元，请根据以上信息补全条形统计图， 并标明相应的数据 （ 结果精确到 0.1 万元）；2）在 2010~2013 年这四年中， 城镇居民人均可支配收入和农村居民人均可支配收入相差数额最大的年份是 ▲ 年 .20．（8 分）在△ ABC 中，点 D 是边 BC 的中点， DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点 E ， F ，且 BF ＝ CE ．1）求证：△ ABC 是等腰三角形．2）当∠ BAC ＝90°时，试判断四边形 AFDE 的形状，并证明你的结论．21．（ 8分） 某歌手选秀节目进入决赛阶段，共有甲、乙、丙、丁 4 名歌手进入决赛， 决赛分 3期进行， 每期比赛淘汰 1名歌手， 最终留下的歌手即为冠军． 假设每位歌手被淘 汰的可能性都相等．（ 1）甲在第 1 期比赛中被淘汰的概率为 ▲ ； （ 2）求甲在第 2 期被淘汰的概率；（ 3）依据上述经验，甲在第 3 期被淘汰的概率为 ▲ ．3.32.9 1.3 1.52010— 2013 年 城镇居民人均可支配收入 年增长率统计图22. （8 分）某市从 2012 年起治理空气污染，中期目标为： 2016 年 PM2.5 年均值降至 38 微克/立方米以下．该城市 PM2.5数据的相关数据如下： 2012年 PM2.5年均值为 60微 克/ 立方米，经过治理，预计 2014 年 PM2.5年均值降至 48.6 微克/立方米． 假设该城市PM2.5每年降低的百分率相同，问该市能否顺利达成中期目标？1223．（8分）如图，二次函数 y ＝－2x 2＋2（－2≤x ≤2）的图象与 x 、y 轴分别交于点 A 、B 、C ．（ 1）直接写出 A 、 B 、 C 点的坐标；（ 2）设点 P （ x ，y ）为该图象上的任意一点，连接 OP ，求 OP 长度的围．24．（8分）一种成本为 20 元/件的新型商品经过 40天试销售，发现销售量 p （件）、销售单价 q （元/ 件）与销售时间 x （天）都满足一次函数关系，相关信息如图所示．1）试求销售量 p （件）与销售时间 x （天）的函数关系式； 2）设第 x 天获得的利润为 y 元，求 y 关于 x 的函数关系式； 3）求这 40 天试销售过程中何时利润最大 ?并求出最大值．第 24 题）25．（8分）如图，△ ABC 中，点 D 为AB 中点， CD ＝AD .（ 1）判断△ ABC 的形状，并说明理由； （ 2）在图中画出△ ABC 的外接圆；（3）已知 AC ＝6，BC ＝8，点 E 是△ ABC 外接圆上任意一点，点 M 是弦 AE 的中点，当点 E 在△ ABC 外接圆上运动一周，求点 M 运动的路径长．26．（8分）如图， AB 为⊙ O 直径， C 、D 为⊙ O 上的点， CD ＝CA ，CE ⊥DB 交DB 的延长线于点 E ．1）判断直线 CE 与⊙ O的位置关系，并说明理由；2）若 AC ＝ 4，AB ＝ 5，求 CE 的长．D 第25 题）ED 第 26题）6827．（ 12 分） 问题提出】如图①，已知海岛 A 到海岸公路 BD 的距离为 AB ，C 为公路 BD 上的酒店，从海岛 A 到酒店 C ，先乘船到登陆点 D ，船速 为 a ，再乘汽车，车速为船速的 n 倍，点 D 选在何处时， 所用时间最短？图①特例分析】若 n ＝ 2 ，则时间AD CD t ＝ A a D ＋ 2C a D ，当 a 为定值时， 问题转化为：BC 上确定一点 D ，使得 AD ＋ C 2D 的值最小．如图②，过点射线 CM ，使得∠ BCM ＝30° .CD1）过点 D 作 DE ⊥CM ，垂足为 E ，试说明： DE ＝2 ；2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点 D ' ，并说明理由．图②问题解决】3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问 题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足 的条件、作图的方法等） ．备用图模型运用】4）如图③，海面上一标志 A 到海岸 BC 的距离 AB ＝ 300m ， BC ＝300 m ．救生员在 C 点处发现标志 A 处有人求救， 立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是 6 m/s ，在海中游泳的速度都是 2 m/s ，求救生员从 C 点出发到 达 A 处的最短时间．图③第 27 题）九年级二模试卷 数学参考答案及评分标准＝ 2－ 2 2＋ 42 ＝－ 34 2题号 123 4 5 6 答案D BACAB20 8说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评 分标准的精神给分．一、选择题（每小题 2 分，共计 12分）．1.2 ×1072 7．79．2.410 1．a －b11 ． 7 12 ． 52515 4 、解答题（本大题共本题 6 分） 原式＝ 2× 22－ 12× 13．25 17．解：14 1 1 1．x <－3 或 0<x <2 或 x >3 16 ．3 7或－ 3 7或3 15或－3 3 3 11 小题，共计 88 分）4 2 ＋ 423分4分6分18． 解： 19．（ （1）分 本题 6 分） 5x – 4 4x ＋ 10 ＝ － 1 ．x –2 3（ x – 2）3（5x －4） ＝4x ＋10－3（x －2） ． ··············· x ＝ 2． ··························· 检验：当 x ＝2时，3（ x －2） ＝ 0，所以 x ＝ 2是增根，原方程无解． 本题 8 分） 图略，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 农村居民和城镇居民可支配收入分别为 1.6 万元、 3.6 万元．分（2）分 ．2013． 本题 8 分）1）证明：∵点 D 是边 BC 的中点， DE ⊥AC ， DF ⊥AB ， ∴BD ＝CD ，∠DFB ＝∠ DEC ＝90°． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ∵BF ＝CE ，∴Rt △BDF ≌Rt △CDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ∴∠ B ＝∠ C ．∴ AB ＝AC ．即△ ABC 是等腰三角形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2）∵∠ BAC ＝90°， DE ⊥AC ，DF ⊥AB ， ∴∠ BAC ＝∠ DFA ＝∠ DEA ＝90° ∴四边形 AFDE 是矩形． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 3分 4分∵△ ABC 是等腰三角形，∴ AB ＝AC ． ∵ BF ＝ CE ，∴ AB －BF ＝AC －CE ．∴AF ＝AE ． ∴矩形 AFDE 是正方形． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯682时， OP 取得最小值，最小值为 3．即 OP 的最小值为 3OP 2取得最大值，最大值为 4．即 OP 的最大值为 2． ⋯7 分 度 的 围 为 ： 3 ≤ OP ≤ 2 ．8分24．（本题 8 分）分21．（本题 8分） 解： 1解：（ 1） ．·········42）画出树状图或列举正确． 所有可能的结果用树状图表示如下：第一期被淘汰22.23． 第二期被淘汰所有可能出现的结果乙（甲，乙） 丙 （甲，丙） 丁（甲，丁） 甲 （乙，甲） 丙 （乙，丙） 丁 （乙，丁） 甲（丙，甲） 乙 （丙，乙） 丁 （丙，丁） 丁，甲）丁，乙） 丁，丙）共有 12 种等可能的结果，其中甲在第二期被淘汰的结果有 3 种， 1所以 P （甲 在第二期被淘汰）＝ 4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯13）4．本题 8 分）解：设该市 PM2.5 指数平均每年降低的百分率为 x ，根据题意，得 60（1 － x ） 2＝48.6 ． ····················· 解得： x 1＝ 0.1 ， x 2 ＝1.9 （ 不合题意，舍去 ）． ··············· 所以该城市 PM2.5 指数平均每年降低的百分率为10%．··········由于 48.6×（1－10%）2＝39.366 >38，所以该市不能顺利达成中期目标． ····本题 8 分）1）A （ －2，0），B （2，0），C （0，2）．··················· 2 2 2 212 2 1 2 22）由题意得， OP 2＝x 2＋y 2＝x 2＋（－2x 2＋2） 2＝4 （ x 2－2） 2＋3（－2≤x ≤2）··分 分 分 分当 x 2＝ 2 时，即 x ＝± 当 x ＝－ 2、 0 或2 时， 所 以 OP 长 甲丙开始 乙甲丁（1）由图象可知：当1≤x≤40时，p是x的一次函数，设p＝kx＋b，k＋b＝11 ，k＝1，将（1，11）、（40，50）代入得：4k0＋k b＋＝b1＝15，0，，解得：k b＝＝11，0，∴当1≤x≤40时，p＝x＋10．······················ 2 分（2）由图象可知：当1≤x≤40时，q是x的一次函数，设q＝k' x＋b'，k' ＋b' ＝79，k' ＝－ 1 ，将（1，79）、（40，40）代入得：40 k' ＋b' ＝40，，解得：b' ＝80，∴当1≤x≤40 时，q＝－x＋80．· ·················· 4 分由题意可知：当1≤x≤40 时，2y＝p （q－20）＝（x＋10）（－x＋80－20）＝－（x－25）2＋1225． (6)分（3）∴当x＝25时，y取得最大值，最大值为1225．即这40 天试销过程中，第25 天获得的利润最大，最大利润为1225 元．·· 8 分25．（本题8 分）解：（1）△ ABC为直角三角形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分理由如下：∵CD＝AD，∴∠ ACD＝∠ A．又∵D为AB中点，∴ AD＝BD，∴ CD＝BD，∴∠ DCB＝∠ B．∵∠ A＋∠ ACD＋∠ DCB＋∠ B＝180°，∴∠ ACB＝∠ ACD＋∠ DCB＝90°，∴△ ABC为直角三角形. ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(2) 画图正确．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分( 3)连接DM．∵M是弦AE的中点，D为圆心，∴ DM⊥ AE，∴点M在以AD为直径的圆上运动．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分在Rt △ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=10，∴AD=5．∴点M的运动路径长为5π．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分26．（本题8 分）解：（1）解：直线CE与⊙ O相切．理由如下连接CO、DO．∵AC＝CD，CO＝CO，AO＝DO，∴△ ACO≌DCO．∴∠ 1＝∠ 2．∵ CO＝DO，∴∠ 1＝∠ 3．∴∠ 2＝∠ 3．∵∠ 2＝∠ 4∴∠ 3＝∠ 4．∴ CO∥ED．∵ CE⊥DB，∴∠ E＝90°．12∴∠ OCE＝90°，即OC⊥CE．⋯⋯⋯⋯⋯12直线 CE 经过半径 OC 的外端点 C ，并且垂直于半径 OC ，所以直线 CE 与⊙ O 相切． 分（2） 连接 BC ，∵ AB 是直径，∴∠ ACB ＝90°，∴∠ ACB ＝∠ E ，BC ＝3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 ∵∠ 2＝∠ 4，∴△ ACB ∽△ DEC ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 AB CB 12∴DC ＝EC ，得 EC ＝ 5 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯本题 12 分)1)∵ DE ⊥ CM ，∴∠ DEC ＝90°， 3）如图，1 过点 C 做射线 CM ，使得 sin ∠ BCM ＝ ， nAD ＝225 2，DB ＝ 75 2，CD ＝ 300－ 75 2．8分 27． ∴在 Rt △ BCM 中， DE ＝CD ·sin30，∴ DE ＝C 2D ． 2）过点 A 作 AE ⊥CM 交 CB 于点 D ' ， 理由如下：由第（ 1）问可知， 则 D ' 点即为所用时间最短的登陆点． CD ' D ' E ' ＝C 2D' ．CD 'AD ' ＋ 2 最短，即为 AD ' ＋ D ' E 最短．由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短． 可知此时 D ' 点即为所求．5分D' B 2分 C E' M 30° 7分∴在 Rt △ ADB 中， AB ＝300，∴时间为300﹣675 2＋22522＝50＋100 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。

2013-2014年度南师附中集团初三二模测试试卷（数学）注意事项:1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题．．卡．相应位置．．．．上） 1．下列四个实数中，无理数是（ ▲ ）A. 1.732 B ．227C D ．1.3 2．如果两圆的半径分别为2 cm 和5 cm ，圆心距为6 cm ，那么这两个圆的位置关系是（ ▲ ）A.外离 B ．外切 C ．相交 D.内切3．下列各组数中，运算结果为负数的是（ ▲ ）A.32- B ．3(2)-- C ．13- D.2(3)--4．如图，123∠=∠=∠，则图中相似三角形共有（ ▲ ）A ．4对 B.3对 C ． 2对 D ．1对5．过边长为2的正方形的中心O 引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A 、B 两点，则线段AB 的长可能为（ ▲ ）A.1 B C D ．6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→ ”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，…，根据这个规律探究可得，第102个点的坐标为（ ▲ ）A ．(13，8)B ．(13，10)C ．(14.8)D ．(14，10)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卡相应位置．．．．．上） 7．绝对值等于3的数是 ▲ ．8．计算(11)+ 的结果是 ▲ ．9．使分式21x x - 有意义的x 的取值范围是 ▲ ． 10.正六边形的边长为2，它的外接圆与内切圆所组成的圆环的面积为 ▲ ．11．若非零实数a ，b 满足2244a b ab +=，则a b= ▲ ． 12．如图，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD ，现有下列4个结论：①15PBC ∠=︒；②AD ∥BC ；③直线PC 与AB 垂直；④四边形ABCD 是轴对称图形，其中正确的结论为 ▲ ．（填序号）13.在平面直角坐标系中，将二次函数26y x x =--的图象向上（下）或向左（右）平移m 个(m>0)单位，使平移后的图象恰好经过坐标原点，则m 的最小值为 ▲ ．14.用3块形状、大小完全相同的长方形小木片，拼成如图所示的“L ”形，点A 、B 、C 分别是其中的3个顶点，若AB=8cm ，CB=6cm ，则AC= ▲ cm ．15.若△ABC 是锐角三角形，AB=5，AC=12，BC=a ，则a 的取值范围是 ▲ ．16.如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆圆心的平面）是边长为2cm 的等边△ABC ，点D 是AC 的中点，一只蚂蚁从点B 出发沿圆锥的表面爬行到点D 处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ▲ cm.三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题．．卡．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）先化简，再求值：2(1a)(1a)(a 2)+-+-，其中12a =-。