高中数学苏教版必修2 电子题库 第1章1.2.3第二课时知能演练轻松闯关

1.过点A (1，2)，且平行于直线2x －3y ＋5＝0的直线的方程为________．解析：设所求直线方程为2x －3y ＋C ＝0.由于直线过点A (1，2)，∴2×1－3×2＋C ＝0，∴C ＝4.答案：2x －3y ＋4＝02.若直线x ＝1－2y 与2x ＋4y ＋m ＝0重合，则m ＝________．解析：由x ＝1－2y 得y ＝－12x ＋12，由2x ＋4y ＋m ＝0得y ＝－12x －m 4，由题意－m 4＝12，∴m ＝－2.答案：－23.已知两直线l 1：mx ＋y ＝5，l 2：2x ＋(3m －1)y ＝1，当m ＝________ 时，l 1与l 2垂直．解析：3m －1＝0显然不合题意．故(－m )·(－23m －1)＝－1，∴2m ＝1－3m ，∴m ＝15. 答案：154.已知△ABC 三顶点的坐标分别为A (－1，0)，B (0，2)，C (a ，0)，若AB ⊥BC ，那么a ＝________．解析：k AB ＝2－00－（－1）＝2，k BC ＝0－2a －0＝－2a ，由2·(－2a)＝－1，得a ＝4. 答案：45.过点(4，－5)且与原点距离最远的直线的方程是________．解析：此直线必过(4，－5)，且与(0，0)，(4，－5)的连线垂直，而(0，0)，(4，－5)连线的斜率为－54， ∴所求直线的斜率为45， ∴所求直线的方程为y ＋5＝45(x －4)， 即4x －5y －41＝0.答案：4x －5y －41＝0[A 级 基础达标]1.对于两条不重合的直线l 1，l 2：①若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；②若直线l 1，l 2都有斜率且斜率相等，则l 1∥l 2；③若直线l 1⊥l 2，则它们的斜率互为负倒数；④若直线l 1，l 2的斜率互为负倒数，则l 1⊥l2.其中正确命题的个数是________． 解析：③不正确，它们的斜率还可以一个为0，而另一个不存在．答案：32.经过点A (1，2)和点B (－3，2)的直线l 1与过点C (4，5)和点D (a ，－7)的直线l 2垂直，则a ＝________．解析：∵k 1＝2－2－3－1＝0，又l 1⊥l 2， ∴k 2不存在，故a ＝4.答案：43.与直线3x ＋4y －7＝0垂直，并且在x 轴上的截距为－2的直线方程是________．解析：∵与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线斜率为43，并且在x 轴上的截距为－2，∴直线过点(－2，0)．由点斜式得方程为y －0＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋8＝0.答案：4x －3y ＋8＝04.直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为________． 解析：法一：当m ＝0时，显然l 1不平行于l 2；当m ≠0时，若l 1∥l 2需2m ＝m ＋13≠4－2.① 由①式有m 2＋m －6＝0，解得m ＝2，或m ＝－3. 经检验m ＝2，或m ＝－3满足题意．法二：若l 1∥l 2，则A 1B 2－A 2B 1＝2×3－m (m ＋1)＝0，A 1C 2－A 2C 1＝2×(－2)－m ·4＝－4－4m ≠0.∴m ＝－3或2.答案：－3或25.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1，1)，B (1，5)，C (－3，2)，则△ABC 的形状为________． 解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－（－3）＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形6.(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)， 即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.7.已知四边形ABCD 四个顶点A (m ，n )，B (6，1)，C (3，3)，D (2，5)，试求m ，n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．解：k AB ＝n －1m －6，k BC ＝－23，k CD ＝－2，k DA ＝n －5m －2. ∵BC 与CD 即不平行也不垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧AD ⊥DC ，CD ∥AB .即⎩⎪⎨⎪⎧n －5m －2＝12，n －1m －6＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝185，n ＝295.[B 级 能力提升]8.已知定点A (0，1)，点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________． 解析：当线段最短时则为AB 与x ＋y ＝0垂直时，∵B 在x ＋y ＝0上，∴B (x ，－x )，则k AB ＝1＋x －x ＝1得x ＝－12. ∴B (－12，12)． 答案：(－12，12) 9.已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3，2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝________．解析：l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，k AB ＝2－（－1）3－a ＝1，a ＝0.由l 1∥l 2，－2b＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.答案：－210.(2012·镇江调研)已知在▱ABCD 中，A (1，2)，B (5，0)，C (3，4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6， ∴D (－1，6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．11.(创新题)已知直线l 1过点A (0，－3)，B (－2，a －3)，l 2过点M (0，－a －1)，N (1－a 2，0)．求实数a 为何值时，(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2?解：(1)因为k 1＝a －3－（－3）－2－0＝－a 2，l 1∥l 2， 所以k 2存在且k 2＝0－（－a －1）1－a 2－0＝a ＋11－a 2＝11－a，所以11－a ＝－a 2. 所以a ＝2或a ＝－1.①当a ＝2时，M (0，－3)与A (0，－3)重合，所以l 1与l 2重合，不合题意．②当a ＝－1时，k 2不存在，不合题意．综上所述，没有满足条件的a 值使l 1∥l 2.(2)因为k 1＝－a 2，所以， ①当a ＝0时，k 1＝0，k 2＝1，不合题意．②当a ≠0时，－a 2·11－a ＝－1，所以a ＝23. 综上所述，当a ＝23时，l 1⊥l 2.。

苏教版数学必修2电子题库第1章1.2.1知能演练轻松闯关1.如图所示，用符号语言表示以下各概念：①点A，B在直线a上________；②直线a在平面α内________；③点D在直线b上，点C在平面α内________．答案：①A∈a，B∈a②a⊂α③D∈b，C∈α2.若点A，B，C∈平面α，点A，B，C∈平面β，且A，B，C三点不共线，则α与β________．解析：由公理3可知，经过不在同一条直线上的三点A，B，C有且只有一个平面，所以α与β重合．答案：重合3.若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在________．解析：设α∩β＝l，∵A，B∈α且A，B∈β，∴A，B∈l.答案：α与β的交线上4.给出以下三个命题：①若空间四点不共面，则其中无三点共线；②若直线l上有一点在平面α外，则l在α外；③两两相交的三条直线共面．其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：③中三条直线两两相交于同一点时，可以不共面．①②都正确．答案：①②5.已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．答案：1或2或3[A级基础达标]1.下列说法中正确的个数为________．①过三点至少有一个平面；②过四点不一定有一个平面；③不在同一平面内的四点最多可确定4个平面．解析：①正确，其中三点不共线时，有且仅有一个平面．三点共线时，有无数个平面；②正确，四点不一定共面；③正确．答案：32.①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形．空间中，上述四个结论一定成立的是________(填上所有你认为正确的命题的序号)．解析：空间中，两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形，如图所示．答案：①②④3.空间有四个点，如果其中任意三点都不共线，那么经过其中三个点的平面有________个．解析：当四点共面时，经过三点的平面有1个；四点不共面时，经过其中的三点可画四个平面．答案：一或四4.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β，又因为α∩β＝l，所以M∈l.答案：∈5.已知平面α、β，直线l，点A、B、C，它们满足：α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，且C∉α，又直线AB∩l＝D，A、B、C三点确定的平面为γ，则平面β与平面γ的交线是________．解析：∵D∈l，l⊂β，∴D∈β，又C∈β，γ由A、B、C三点确定，∴AB⊂γ，C∈γ，又D∈AB，∴D∈γ，∴CD是β与γ的交线．答案：直线CD6.已知A、B、C是平面α外不共线的三点，且AB、BC、CA分别与α交于点E、F、G，求证：E、F、G三点共线．证明：如图，过A、B、C作一平面β，则AB⊂β，AC⊂β，BC⊂β.∴E∈β，F∈β，G∈β.设α∩β＝l，∵AB、BC、CA分别与α相交于点E、F、G，∴E∈α，F∈α，G∈α.∴E、F、G必在α与β的交线上．∴E、F、G三点共线．7.已知：a∥b∥c，a∩d＝A，b∩d＝B，c∩d＝C，求证a，b，c，d共面．证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.∵A∈a，∴A∈α.同理B∈α.∴AB确定的直线d⊂α.∵b∥c，∴b，c确定一个平面β.∵B∈b，∴B∈β.同理C∈β.∴BC确定的直线d⊂β.∵α与β同时过两相交直线b，d，∴α与β重合．∴a，b，c，d共面．[B级能力提升]8.A、B、C、D为不共面的四点，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在________上；(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在________上．解析：(1)如图，由AB、AD确定平面α.∵E、H在AB、DA上，∴E∈α，H∈α，∴直线EH⊂α，又∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，P∈α.设BC、CD确定平面β，同理可证，P∈β，∴P是平面α，β的公共点，∵α∩β＝BD，∴点P在直线BD上．同理可证(2)点Q在直线AC上．答案：(1)BD所在的直线(2)AC所在的直线9.在如图所示的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图是________(填序号)．解析：图①中PS∥QR，∴P、Q、R、S四点共面；图②中，连结PS并延长交右上方棱的延长线于M.连结MR并延长，交右下方的棱于N.连结NQ，可知P、S、N、Q共面，所以P、Q、R、S四点共面．图③中SR∥PQ，∴P、Q、R、S四点共面．答案：①②③10.如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1、BB1、CC1交于一点．证明：如图所示，∵A1B1∥AB，∴A1B1与AB确定一平面α，同理，B1C1与BC确定一平面β，C1A1与CA确定一平面γ.易知β∩γ＝C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等，∴AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1⊂γ，BB1⊂β，∴P∈γ，P∈β，∴P在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C，根据公理2知，P∈C1C，∴AA1、BB1、CC1交于一点．11.(创新题)求证：每两条都相交且不共点的四条直线，必在同一平面内．证明：记此四条直线为a，b，c，d.(1)存在三线共点，不妨设a，b，c共点P，则P∉d，故P，d确定一个平面α，又a，d相交，交点为Q，则Q≠P且P，Q∈α，又P，Q∈α，故a⊂α.同理b，c⊂α，即a，b，c，d共面α.(2)任意三线不共点，则a，b，c两两相交且不共点，由(1)的证明，得a，b，c共面α，设a∩d＝P，b∩d＝Q，则P≠Q，由P，Q∈d且P，Q∈α，得d⊂α，故a，b，c，d共面α.总之，两两相交且不共点的四线共面．。

2021-2022年高中数学 电子题库 第2章2.1.3第二课时知能演练轻松闯关 苏教版必修11.已知函数y ＝(x －1)2，则x ∈(－1，5)上的最小值为________．解析：因为函数y ＝(x －1)2的对称轴为x ＝1，所以其最小值为f (1)＝0.答案：02.函数y ＝ax ＋1(a ＜0)在区间[0，2]上的最大值与最小值分别为________，________． 解析：因为a ＜0，∴y ＝ax ＋1在[0，2]上是减函数，当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝2时，y m i n ＝2a ＋1.答案：1 2a ＋13.函数y ＝－x 2＋2x －1在[0，3]上的最小值为________．解析：y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，函数图象对称轴为x ＝1，结合图象(图略)可知，当x＝3时，y m i n ＝－4.答案：－44.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2， 0≤x ≤12， 1<x <2，3， x ≥2的最大值是________．解析：0≤x ≤1时，f (x )＝2x 2≤2；1<x <2时，f (x )＝2；x ≥2时，f (x )＝3.因此f (x )的最大值是3.答案：3[A 级 基础达标]1.若y ＝－2x，x ∈[－4，－1]，则函数y 的最大值为________． 解析：函数y ＝－2x 在[－4，－1]上是单调增函数，故y max ＝－2－1＝2. 答案：22.函数y ＝(a －1)x 在[1，3]上的最大值是2，则a ＝________．解析：若a >1，当x ＝3时，y max ＝2，∴(a －1)×3＝2，a ＝53. 若a <1，当x ＝1时y max ＝2，∴(a －1)×1＝2，a ＝3，与a <1矛盾，故舍去．因此满足条件的a ＝53. 答案：533.定义域为R 的函数y ＝f (x )的最大值为M ，最小值为N ，则函数y ＝f (2x )＋3的最大值为________，最小值为________．解析：y ＝f (2x )的最大值为M ，最小值为N ，故y ＝f (2x )＋3的最大值为M ＋3，最小值为N ＋3.答案：M ＋3 N ＋34.已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a .∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝2，∴f (x )在[0，1]上单调递增．又∵f (x )m i n ＝－2，∴f (0)＝－2，即a ＝－2.∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.答案：15.函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1，当x ∈[－2，＋∞)时是减函数，则m 的取值范围是________．解析：由题意函数f (x )的单调减区间为[m 4，＋∞)．故m 4≤－2，得m ≤－8. 答案：(－∞，－8]6.函数y ＝－x 2－4x ＋1在区间[a ，b](b ＞a ＞－2)上的最大值为4，最小值为－4，求a 与b的值．解： ∵y ＝－(x ＋2)2＋5，∴函数图象对称轴是x ＝－2.故在[－2，＋∞)上是减函数．又∵b＞a ＞－2，∴y ＝－x 2－4x ＋1在[a ，b]上单调递减．∴f (a )＝4，f (b)＝－4.由f (a )＝4，得－a 2－4a ＋1＝4，∴a 2＋4a ＋3＝0，即(a ＋1)(a ＋3)＝0.∴a ＝－1或a ＝－3(舍去)，∴a ＝－1.由f (b)＝－4，得－b 2－4b ＋1＝－4，∴b ＝1或b ＝－5(舍)，∴b ＝1.7.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[－1，1]上的最小值．解：函数f (x )的对称轴为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：当a ＞1时，f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )m i n ＝f (1)＝3－2a ；当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1，1]上先减后增，故f (x )m i n ＝f (a )＝2－a 2；当a ＜－1时，f (x )在[－1，1]上单调递增，故f (x )m i n ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知，f (x )m i n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a （a ＞1）2－a 2（－1≤a ≤1）.3＋2a （a ＜－1）[B 级 能力提升]8.如果函数f (x )＝x 2＋b x ＋c 对任意实数x ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系为________．解析：由题意知，函数以x ＝2为对称轴，f (1)＝f (3)，且在(2，＋∞)上单调递增，故f (2)<f (1)<f (4)．答案：f (2)<f (1)<f (4)9.函数f (x )＝|x －1|＋|2－x |的最小值为________．解析：法一：f (x )＝|x －1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3， x >2，1， 1≤x ≤2，3－2x ， x <1，作出函数图象(如图)易得f (x )最小值为1.法二：在数轴上，设实数1，2，x 分别对应点A ，B ，P ，则|x －1|＋|2－x |＝A P ＋BP ，结合图象易得A P ＋BP≥A B ＝1，当P 在A ，B 之间时取等号．答案：110.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋5，x ∈[－5，5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最小值和最大值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4.∴当x ＝1时，y m i n ＝4；当x ＝－5时，y max ＝40.(2)f (x )＝(x ＋a )2＋5－a 2.由条件，得－a ≤－5或－a ≥5，∴a ≤－5或a ≥5.∴a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．11.(创新题)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上的最大值为4，求a 的值．解：f (x )＝x 2＋2ax ＋1＝(x ＋a )2＋1－a 2，区间[－1，2]的中点为12，对称轴为直线x ＝－a ，结合二次函数的图象(图略)知： 当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝1－2a ＋1＝4，∴a ＝－1≤－12； 当－a <12，即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4＋4a ＋1＝4，∴a ＝－14>－12. 综上所述，a ＝－1或a ＝－14.27964 6D3C 洼+o@26709 6855 桕36978 9072 遲.e25454 636E 据21435 53BB 去d23583 5C1F 尟'26793 68A9 梩。

1.设函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)的图象经过两点A (－1，0)、B (0，1)，则2a ＋b 的值是________．解析：把点A (－1，0)，B (0，1)分别代入f (x )＝log a (x ＋b )，得0＝log a (b －1)与1＝log a b ，∴a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＝4，2a ＋b ＝24＝16.答案：162.函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的最大值是________．解析：y ＝log 12(x 2－6x ＋17)＝log 12[(x －3)2＋8]，因为(x －3)2＋8≥8，所以y ＝log 12[(x －3)2＋8]≤log 128＝－3.答案：－33.当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －2)－3必过定点________．解析：由log a 1＝0，知f (3)＝log a (3－2)－3＝－3.答案：(3，－3)4.函数y ＝log 23(1－x )的单调递增区间是________．解析：函数的定义域是(－∞，1)，设y ＝log 23u ，u ＝1－x ，由于函数y ＝log 23u 是减函数，函数u ＝1－x 是减函数，则函数y ＝log 23(1－x )的单调递增区间是(－∞，1)．答案：(－∞，1)5.函数f (x )＝2x －log 12(x －1)，x ∈(1，3]的值域是________．解析：u 1＝log 12(x －1)在(1，3]上为减函数，u 2＝－log 12(x －1)在(1，3]上为增函数，又u 3＝2x 在(1，3]上也为增函数．∴f (x )＝u 2＋u 3＝2x －log 12(x －1)在(1，3]上为增函数．故f (x )的值域为(－∞，7]．答案：(－∞，7][A 级 基础达标]1.设log a 34，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a >1时，log a 34<0<1，满足条件；当0<a <1时，log a 34<1＝log a a ，得0<a <34.故a >1或0<a <34. 答案：(0，34)∪(1，＋∞) 2.当a >0且a ≠1时，已知函数y ＝log a x ＋1的图象必过定点M ，则M 的坐标是________． 解析：函数y ＝log a x ＋1的图象由函数y ＝log a x 的图象沿y 轴的正方向平移一个单位得到，而函数y ＝log a x 的图象过定点(1，0)，所以M 的坐标是(1，1)．答案：(1，1)3.(1)函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象关于________对称；(2)函数y ＝log 3x 与y ＝log 3(－x )的图象关于________对称；(3)函数y ＝log 3x 与y ＝－log 3(－x )的图象关于________对称．解析：对于任何函数y ＝f (x )，其图象与y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．答案：(1)x 轴 (2)y 轴 (3)原点4.函数f (x )＝3－log 12x (x ≥2)的值域是________．解析：f (x )＝3－log 12x 在区间[2，＋∞)上为增函数，或者先将f (x )变形为f (x )＝3＋log 2x .答案：[4，＋∞)5.已知函数y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：令u ＝2－ax ，y ＝log a u ，因为a ＞0，所以u ＝2－ax 递减，又y 关于x 递减，所以y 关于u 递增，所以a ＞1，又u ＝2－ax 在x ∈[0，1]上恒大于0，所以2－a ＞0，即a ＜2，综上得1＜a ＜2.答案：(1，2)6.求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(2x ＋1)；(2)y ＝log 0.2(x 2－1)； (3)y ＝log 12(x 2－2x ＋3)．解：(1)值域为R ；(2)值域为R ；(3)∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，∴2≤(x －1)2＋2，即log 12(x 2－2x ＋3)≤－1，值域为(－∞，－1]．7.已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，求实数a 的值． 解：(1)若0<a <1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为减函数，令⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f （1）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝1，log a 2＝0，无解． (2)若a >1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为增函数，令⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （1）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝0，log a 2＝1，故a ＝2，符合题意． 综合(1)、(2)知，a ＝2.[B 级 能力提升]8.设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是________． 解析：由f (0)＝0，得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x＜0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x ＞0，1＋x 1－x＜1，解得－1＜x ＜0. 答案：(－1，0)9.已知f (x )＝|log a x |(0＜a ＜1)，则f (14)________f (2)．(填大小关系) 解析：因为0＜a ＜1，所以f (2)＝|log a 2|＝－log a 2＝log a 12，又f (14)＝log a 14，f (x )在(0，1)上递减，而0＜14＜12＜1，所以f (14)＞f (12)，即f (14)＞f (2)． 答案：＞10.已知关于x 的方程(12)x ＝11－lg a有正根，求实数a 的取值范围． 解：法一：设x 0为方程的正根，则0<(12)x 0<1，即0<11－lg a，得lg a <0，故0<a <1. 法二：由(12)x ＝11－lg a， 可知x ＝log 2(1－lg a )．令log 2(1－lg a )>0，得1－lg a >1，故lg a <0，得0<a <1.11.(创新题)设函数f (x )＝lg(1－x )，g(x )＝lg(1＋x )，试在f (x )和g(x )的公共定义域内比较|f (x )|与|g(x )|的大小．解：f (x )和g(x )的公共定义域是(－1，1)．(1)当－1<x <0时，|f (x )|－|g(x )|＝lg(1－x )＋lg(1＋x )＝lg(1－x 2)<0，即|f (x )|<|g(x )|.(2)当x ＝0时，|f (x )|＝|g(x )|.(3)当0<x <1时，|f (x )|－|g(x )|＝－lg(1－x )－lg(1＋x )＝－lg(1－x 2)>0，即|f (x )|>|g(x )|. 综合(1)、(2)、(3)知，当－1<x <0时，|f (x )|<|g(x )|；当x ＝0时，|f (x )|＝|g(x )|；当0<x <1时，|f (x )|>|g(x )|.。

1.对于定义域是R 的任意奇函数f (x )，下列结论正确的有________．(填序号)①f (x )－f (－x )＞0； ②f (x )－f (－x )≤0；③f (x )·f (－x )≤0; ④f (x )·f (－x )＞0.解析：①②显然不正确．对任意奇函数f (x )，有f (－x )＝－f (x )．∴f (x )·f (－x )＝－[f (x )]2≤0.故③正确，④不正确．答案：③2.设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的有______．(填序号)①f (x )f (－x )是奇函数； ②f (x )|f (－x )|是奇函数；③f (x )－f (－x )是奇函数； ④f (x )＋f (－x )是偶函数．解析：用奇偶性定义判断．对于①，设g(x )＝f (x )f (－x )，g(－x )＝f (－x )f (x )＝g(x )，∴f (－x )f (x )是偶函数．对于②，设g(x )＝f (x )|f (－x )|，g(－x )＝f (－x )|f (x )|≠g(x )，g(－x )≠－g(x )，∴f (x )|f (－x )|是非奇非偶函数．对于③，设g(x )＝f (x )－f (－x )，g(－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－g(x )，∴f (x )－f (－x )是奇函数．对于④，设g(x )＝f (x )＋f (－x )，g(－x )＝f (－x )＋f (x )＝g(x )，∴f (x )＋f (－x )是偶函数．答案：③④3.若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于________．解析：利用定义求值．∵f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．即(－x ＋1)(－x －a )＝(x ＋1)(x －a )，∴x ·(a －1)＝x ·(1－a )，故1－a ＝0，∴a ＝1.答案：14.设函数f (x )＝ax 5＋b x 3，且f (2)＝3.则f (－2)＝________．解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－3.答案：－35.下列4个判断中，正确的是________．(填序号)①f (x )＝1既是奇函数又是偶函数；②f (x )＝x 2－3x x －3是奇函数； ③f (x )＝x 2－2x ＋1既不是奇函数也不是偶函数．解析：①由f (x )＝1的图象知它不是奇函数；②∵f (x )的定义域为{x |x ≠3}，∴f (x )不是奇函数；③∵x ∈R ，又有f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．答案：③[A 级 基础达标] 1.函数f (x )＝x 3＋x ＋a (x ∈R)为奇函数，则f (0)＝________．解析：对奇函数而言，若在x ＝0处有定义，则有f (－0)＝－f (0)，故f (0)＝0.答案：02.奇函数y ＝f (x )在区间[－3，3]上的最大值为5，则其最小值为________．解析：由对称性可得最大值点与最小值点关于原点对称，故最小值为－5.答案：－53.函数f (x )＝x －1＋1－x 的奇偶性情况为________．解析：f (x )的定义域为{x |x ＝1}，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数． 答案：非奇非偶函数4.定义域为R 的函数f (x )是奇函数，若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，那么f (x )在(－∞，0)上为________函数．(填“增”或“减”)解析：结合图象，根据对称性可得f (x )在(－∞，0)上是减函数．答案：减5.若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的单调递增区间为________．解析：∵f (－x )＝(k －2)x 2＋(k －1)(－x )＋2＝f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋2，∴k －1＝0，即k ＝1，∴f (x )＝－x 2＋2.因此，f (x )的单调递增区间是(－∞，0]．答案：(－∞，0]6.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3，x ∈R ；(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3，3]；(3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x >0，0， x ＝0，x 2－1，x <0.解：(1)f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)∵x ∈[－3，3]，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)当x >0时，f (x )＝1－x 2，此时－x <0，∴f (－x )＝x 2－1，∴f (－x )＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－1，此时－x >0，f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2，∴f (－x )＝－f (x )； 当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0.综上，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．7.设f (x )是奇函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，又f (－2)＝0，求不等式f (x －1)<0的解集．解：法一：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝－f (－2)＝0，且f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．由f (x －1)<0，可得x －1<－2或0<x －1<2，解得x <－1或1<x <3.所求不等式的解集为{x |x <－1或1<x <3}．法二：结合题意及奇函数的性质画出草图如右，从而可知，x －1<－2或0<x －1<2，解得x <－1或1<x <3.故所求不等式的解集为{x |x <－1或1<x <3}．[B 级 能力提升]8.若f (x )是偶函数，其定义域为R ，且在(－∞，0]上是增函数，则f (－34)________f (m 2－m ＋1)．(填大小关系)解析：m 2－m ＋1＝(m －12)2＋34≥34，又因为f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，则f (x )在[0，＋∞)上是减函数，所以f (－34)＝f (34)≥f (m 2－m ＋1)． 答案：≥9.若奇函数y ＝f (x )(x ∈R 且x ≠0)，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1，并且f (x －1)<0，则x 的取值范围为________．解析：当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －1.而f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )＝x ＋1.从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x >0，x ＋1， x <0. 当x －1>0时，f (x －1)＝(x －1)－1<0，故1<x <2；当x －1<0时，f (x －1)＝(x －1)＋1<0，故x <0.综上，x 的取值范围是(－∞，0)∪(1，2)．答案：(－∞，0)∪(1，2)10.已知f (x )＝ax 2＋1b x ＋c(a ，b ，c ∈Z)是奇函数，且f (1)＝2，f (2)<3. (1)求a ，b ，c 的值；(2)当x ∈(0，＋∞)时，讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由f (－x )＋f (x )＝ax 2＋1－b x ＋c ＋ax 2＋1b x ＋c＝0， 得－2a c x 2－2c b 2x 2－c 2＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋1b x. 由⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝2f （2）<3⇒⎩⎨⎧a ＋1b ＝24a ＋12b <3⇒⎩⎨⎧a －2a ＋1<0，b ＝a ＋12. ∵a ∈Z ，b ∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，故a ＝1，b ＝1，c ＝0.(2)由(1)，得f (x )＝x 2＋1x，定义域为{x |x ≠0}， 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－x 22＋1x 2， ＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2) ＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2) ＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. 当0<x 1<x 2≤1时，x 1－x 2<0，0<x 1x 2<1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，故函数f (x )在(0，1]上是减函数；当x 2>x 1≥1时，x 1－x 2<0，x 1x 2>1，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．综上f (x )在(0，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．11.(创新题)已知函数f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足f (a b)＝af (b)＋b f (a )．(1)求f (0)，f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性．解：(1)令a ＝b ＝0，f (0)＝0＋0＝0；令a ＝b ＝1，f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )是奇函数．因为f (－x )＝f ((－1)·x )＝－f (x )＋xf (－1)，而0＝f (1)＝f ((－1)×(－1))＝－f (－1)－f (－1)，∴f (－1)＝0，∴f (－x )＝－f (x )＋0＝－f (x )，即f (x )为奇函数．。

苏教版数学必修2电子题库第1章1.2.4第二课时知能演练轻松闯关1.下列命题中，是真命题的为________(填序号)．①二面角的大小范围是大于0°且小于90°；②一个二面角的平面角可以不相等；③二面角的平面角的顶点可以不在棱上；④二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直．解析：二面角的大小范围是[0°，180°]，故①不正确；一个二面角的平面角可以有许多个，由等角定理，这些平面角必相等，故②为假命题；由二面角的平面角的定义可知③不正确；由线面垂直的判定定理可知④正确．答案：④2.过直二面角α－l－β的面α内的一点P作l的垂线a，给出以下四个命题：①a⊥β；②垂线a是惟一的；③垂线a有无数条，且它们共面；④垂线a有无数条，且它们都不与β垂直．其中正确的命题为________．(写出所有正确的命题序号)解析：条件只说明a上有一点P在α内，所以垂线a可以在α内，也可以不在α内．答案：③3.下列说法中正确的是________(填序号)．①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.解析：本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如④中，可举反例如两平面相交、平行等．答案：③4.锐二面角α－l－β，直线AB⊂α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α－l－β的大小为________．解析：如图，作AO ⊥l 于O ，作AC ⊥β于C ，连结BC ，OC .∴在Rt △AOB 中，设AB ＝1，则AO ＝22，∵在Rt △ACB 中，∠ABC ＝30°，∴AC ＝12AB ＝12，∴在Rt △ACO 中，sin ∠AOC ＝AC AO ＝1222＝22，∴∠AOC ＝45°.答案：45°5.如图，把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，这时顶点A 到BC 的距离是________．解析：在翻折后的图形中，∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，即∠BDC＝60°，AD⊥平面BDC.过D作DE⊥BC于E，连结AE，则E为BC的中点，且AE⊥BC，所以AE即为点A到BC的距离．易知，AD＝32a，△BCD是边长为a2的等边三角形，所以DE＝34a，AE＝AD2＋DE2＝154a.答案：154a[A级基础达标]1.自正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB和平面PAD所成二面角大小是________．解析：画出图形，∠BAD即为所求二面角的平面角．∵∠BAD＝90°，∴所求二面角为90°.答案：90°2.用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中正确说法的序号为________．解析：由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a 与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．答案：①④3.已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图)，则图中互相垂直的平面有________对．解析：面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC，面PDC⊥面PAD，面PAD⊥面PAB. 答案：54.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________(填序号)．①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.解析：如图所示：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.答案：④5.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°.其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的序号)解析：如图，连结对角线AC 、BD ，交于点O ，则AO ⊥BD ，CO ⊥BD . ∴BD ⊥平面OAC ，∴BD ⊥AC ，OA ＝OC ＝OD ，且两两垂直， ∴AC ＝CD ＝AD ，△ACD 是等边三角形． ∠ABO ＝45°为AB 与平面BCD 所成的角，取AD 、AC 的中点E 、F ，易证OE ＝EF ＝OF ＝12CD .△OEF 为等边三角形，∴AB 与CD 成60°角．∴①②④正确． 答案：①②④6.如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，PB ＝AB ＝2MA . 求证：(1)平面AMD ∥面BPC ； (2)平面PMD ⊥面PBD .证明：(1)∵PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，∴PB∥MA.∵MA⊄平面BPC，PB⊂平面BPC，∴MA∥平面PBC，同理AD∥平面PBC.又∵MA∩AD＝A，∴平面AMD∥平面BPC.(2)连AC交BD于O，取PD中点N，连结ON、MN，∵MA 12PB，ON12PB，∴MA NO，∴四边形MAON为平行四边形，∴MN∥AO.∵AO⊥BD，PB⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD.∴AO⊥PB，∴AO⊥平面PBD，∴MN⊥平面PBD.又∵MN⊂平面PMD，∴平面PMD⊥平面PBD.7.如图，已知平面α∩平面β＝AB，平面γ⊥β，γ∩β＝CD，CD⊥AB.求证：γ⊥α.证明：在平面γ内作直线MN⊥CD，N为垂足(图略)．∵平面γ⊥平面β，则MN⊥β，而AB⊂β，∴AB⊥MN.由已知AB⊥CD，且CD∩MN＝N，∴AB⊥平面γ，又AB⊂平面α，∴α⊥γ.[B级能力提升]8.已知E是正方形ABCD的边BC的中点，沿BD将△ABD折起，使之成为直二面角，则∠AEB ＝________．//////解析：在折起后的空间图形中，过A作AO⊥BD于O，则O为BD的中点，由折起后的图形是直二面角，可得AO⊥平面BCD，∴BC⊥AO.连结OE，则OE∥CD，∴BC⊥OE，故BC⊥平面AOE，从而∠AEB＝90°.答案：90°9.(2010·高考四川卷)如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l 所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，过点A作AC⊥l，垂足为C，AD⊥β，垂足为D，连结CD、BD.由题意知∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，∠ABD即为AB与平面β所成的角．设AC＝a，则AB＝2a，AD＝32a，∴sin∠ABD＝32a2a＝34.答案：3 410.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点．求证：平面EFG⊥平面PDC.证明：因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PCD.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.11.(创新题)已知四面体ABCD的棱长都相等，E，F，G，H分别是AB，AC，AD以及BC的中点．求证：面EHG⊥面FHG.证明：法一：如图，取CD中点M，连结HM，MG，则四边形MHEG为一菱形．连结EM交HG于O，连结FO.在△FHG中，O为HG中点，且FH＝FG，∴FO⊥HG.同理可证FO ⊥EM ，∴FO ⊥面EHMG . 又FO ⊂面FGH ，∴面EHG ⊥面FHG . 法二：取HG 中点O ，连结FO ，EO ， 则易证FO ⊥HG ，EO ⊥HG .∴∠EOF 为二面角E －HG －F 的平面角． 设四面体ABCD 的棱长为1，则EF ＝12，EO ＝FO ＝12HG ＝24，在△EFO 中，EO 2＋FO 2＝18＋18＝14＝EF 2，∴∠EOF ＝90°，∴面EHG ⊥面FHG .。

苏教版数学必修1电子题库 第2章2.1.3第一课时知能演练轻松闯关1.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________．解析：f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m 4＝2，∴m ＝8.∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 答案：－32.已知函数y ＝|x |在[a ，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：画出函数y ＝|x |的图象(图略)，可知函数的单调增区间为[0，＋∞)，∴a ≥0. 答案：[0，＋∞)3.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0x 2，x <0的单调递增区间为________；单调递减区间为________． 解析：当x ≥0时，y ＝x 为增函数；当x <0时，y ＝x 2为减函数．答案：[0，＋∞) (－∞，0)4.(2012·郑州高一检测)已知函数y ＝f (n )(n ∈N *)的函数值全为整数且该函数是一个单调增函数，若f (4)＝0，f (1)＝－4，则f (2)可能取的值是________．解析：由于函数y ＝f (n )(n ∈N *)是一个单调增函数且f (4)＝0，f (1)＝－4，所以－4<f (2)<f (3)<0，故f (2)可能取的值为－3或－2.答案：－3或－25.若f (x )在R 上是增函数且f (x 1)>f (x 2)，则x 1、x 2的大小关系为________． 解析：由增函数的定义知，若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2.答案：x 1>x 2[A 级 基础达标]1.函数y ＝－2x的单调递增区间为________． 解析：由函数y ＝－2x的图象可知增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 答案：(－∞，0)，(0，＋∞)2.下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0”的是________(填序号)．①f (x )＝2x ； ②f (x )＝－3x ＋1；③f (x )＝x 2＋4x ＋3; ④f (x )＝x ＋1x. 解析：由题意f (x )在(0，＋∞)上为增函数，函数f (x )＝2x及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上都为减函数，函数f (x )＝x ＋1x在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，函数f (x )＝x 2＋4x ＋3在(－∞，－2)上递减，在(－2，＋∞)上递增，故在(0，＋∞)上也为增函数．满足条件的只有③.答案：③3.若函数f (x )＝k －x x在(－∞，0)上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：f (x )＝k x －1与函数y ＝k x 有相同的单调性，∴只要转化为函数y ＝k x在(－∞，0)上是减函数即可．答案：k>04.右图为y ＝f (x )的图象，则它的单调递减区间是________．答案：(－2，1)，(3，＋∞)5.设函数y ＝f (x )为R 上的减函数，且f (－2)＝0，则不等式f (x －1)>0的解集是________． 解析：f (x －1)>0即f (x －1)>f (－2)，由函数单调性知x －1<－2，故x <－1.答案：(－∞，－1)6.求证：函数f (x )＝－32x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数． 证明：任取区间(－∞，0)上的两个值x 1，x 2，设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，x 1x 2>0，因为f (x 1)－f (x 2)＝－32x 1－1－(－32x 2－1) ＝32×1x 2－1x 1＝32×x 1－x 2x 1x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )＝－32x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数． 7.判断函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论． 解：函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明如下：设0<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝(x 22－x 21)＋(1x 1－1x 2) ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＋x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1＋1x 1x 2)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1＋1x 1x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，即函数y ＝f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数． [B 级 能力提升]8.若函数f (x )是定义在R 上的增函数，当a ＋b>0时给出下列四个关系：①f (a )＋f (b)<f (－a )＋f (－b)；②f (a )＋f (b)>f (－a )＋f (－b)；③f (a )＋f (－a )>f (b)＋f (－b)；④f (a )＋f (－a )<f (b)＋f (－b)．其中正确的关系序号为________．解析：∵a ＋b>0，即a >－b ，b>－a ，又∵f (x )是R 上的增函数，∴f (a )>f (－b)，f (b)>f (－a )．∴f (a )＋f (b)>f (－a )＋f (－b)．答案：②9.已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围为________． 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a （x ＋2）＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2. ∵f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，∴1－2a <0，即a >12. 答案：a >1210.已知f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (2x －1)，求x 的取值范围．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －1≤1，－1≤2x －1≤1，x －1<2x －1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤x ≤1，x >0，∴0<x ≤1，∴x 的取值范围是(0，1]．11.(创新题)设函数f (x )＝x ＋a x ＋b(a >b>0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．解：f (x )的定义域为{x |x <－b 或x >－b}．设x 1，x 2∈(－∞，－b)，且x 1<x 2.f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋b －x 2＋a x 2＋b＝（x 1＋a ）（x 2＋b ）－（x 2＋a ）（x 1＋b ）（x 1＋b ）（x 2＋b ）＝（b －a ）（x 1－x 2）（x 1＋b ）（x 2＋b ）. ∵a >b>0，∴b －a <0，又x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，故(b －a )(x 1－x 2)>0.又∵x 1＋b<0，x 2＋b<0，∴(x 1＋b)(x 2＋b)>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0.即y ＝f (x )在(－∞，－b)上为减函数．同理可得f (x )在(－b ，＋∞)上也是减函数．因此，f (x )的单调减区间为(－∞，－b)和(－b ，＋∞)．。

1.如果不在平面α内的一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系为________．解析：设平面α的垂线为a，过a上一点作l′∥l，设l′与a所确定的平面交α于b，则a⊥b，而a⊥l′，∴l′∥b，∴l∥b，即可得l∥α.答案：平行2.下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°)；②直线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°]；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________(填序号)．解析：②应为[0°，90°]；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案：①④3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，它的六个面中与棱AA1垂直的有________个．解析：面A1B1C1D1与面ABCD都与棱AA1垂直．答案：24.下列说法中正确的个数是________．①如果一条直线和一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直；②如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直；③如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；解析：①②正确，③中缺少两条“相交”直线这一条件．答案：25.若点A∉平面α，点B∈α，AB＝6，AB与α所成的角为45°，则A到α的距离为________．解析：如图，过A作AH⊥平面α于H，连结BH，则∠ABH＝45°.在Rt△ABH中，AH＝AB sin45°＝3 2.答案：3 2[A级基础达标]1.已知直线a和平面α、β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是________．解析：当直线a∥平面α，直线a∥平面β时，a∥b且a∥c，则b∥c；当直线a∩平面α＝A，直线a∩平面β＝B.且AB与l不垂直时，b与c异面；当a∩l＝O时，b与c相交于O.∴b 和c的位置关系是相交、平行或异面．答案：相交，平行或异面2.垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是________．解析：梯形的两腰所在的直线是相交的直线，故直线垂直于梯形所在平面内的两条相交直线，所以直线与平面垂直．答案：垂直3.如图，边长为22的正方形ABCD在α上的射影为EFCD，且AB到α的距离为2，则AD 与α所成的角为________．解析：在Rt△AED中，AE＝2，AD＝22，∴∠ADE＝30°.答案：30°4.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的有________．(填序号)解析：在①中，设面BCD上的另一个顶点为A1，连结BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，即CD⊥平面ABA1，∴CD⊥AB.答案：①5.如图，P A⊥面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵P A⊥面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，∴△P AB，△P AC为直角三角形．∵BC⊥AC，∴△ABC为直角三角形．∵BC⊥AC，BC⊥P A，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∵PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC.∴△PBC也为直角三角形．答案：46.如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且P A＝PC.求证：AC⊥平面PBD.证明：设AC∩BD＝O，连结PO(图略)．∵P A＝PC，∴AC⊥PO.又ABCD为菱形，∴AC⊥BD.而PO∩BD＝O，PO，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.7.已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.证明：如图，过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，则AO ⊥CD .连结OB ，OC ，∵AB ⊥CD ，AO ∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面AOB ，∴BO ⊥CD .同理得CO ⊥BD ，∴O 是△BCD 的垂心．连结DO 并延长交BC 于M ，则DM ⊥BC ，而AO ⊥BC ，AO ∩DM ＝O ，∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥AD .[B 级 能力提升]8.如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．解析：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩P A ＝P ，∴QD ⊥平面APQ ，∴AQ ⊥QD .即Q 在以AD 为直径的圆上，当半圆与BC 相切时，点Q 只有一个．故BC ＝2AB ＝2，即a ＝2.答案：29.正△ABC 边长为a ，沿高AD 把△ABC 折起，使∠BDC ＝90°，则B 到AC 的距离为________． 解析：如图，作DH ⊥AC 于H ，连结BH .∵BD ⊥AD ，BD ⊥DC ，AD ∩DC ＝D ，∴BD ⊥平面ACD .从而BD ⊥DH ，∴DH 为BH 在平面ADC 内的射影，∴BH ⊥AC ，又正△ABC 边长为a ，∴DH ＝34a ， ∴BH ＝BD 2＋DH 2＝74a . 答案：74a10.如图，已知α∩β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 证明：∵EA⊥α，l⊂α，∴EA⊥l.同理EB⊥l.∵EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂β，∴EB⊥a.又AB⊥a，AB∩EB＝B，∴a⊥平面EAB.∴a∥l.11.(创新题)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD，E为AB的中点，M为DE的中点，将△AED沿DE折起，使AB＝AC.求证：AM⊥平面BCDE.证明：取BC中点N，连结MN，AN.∵AB＝AC，∴AN⊥BC.又MN⊥BC，MN∩AN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴BC⊥AM.∵AD＝AE，∴AM⊥DE.而直线BC与DE为相交直线，∴AM⊥平面BCDE.。

苏教版数学必修2电子题库 第2章2.1.4知能演练轻松闯关1.直线3x －2y －5＝0和6x ＋y －5＝0的交点坐标是________． 答案：(1，－1)2.已知直线3x ＋5y ＋m ＝0与直线x －y ＋1＝0的交点在x 轴上，则m ＝________．解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1，0)．则(－1，0)在直线3x ＋5y ＋m ＝0上，∴3×(－1)＋5×0＋m ＝0，∴m ＝3. 答案：33.过直线x ＝－1和y ＝2的交点，且斜率为－1的直线的方程为________．解析：交点为(－1，2)，所求直线的方程为y －2＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. 答案：x ＋y －1＝04.l 过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且与直线x －2y ＝2平行，则直线l 的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6.∴交点为(1，6)．又∵l 与x －2y －2＝0平行，∴l 的方程为y －6＝12(x －1)，即x －2y ＋11＝0.答案：x －2y ＋11＝05.若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则实数k 的值等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，将点(－1，－2)代入x ＋ky ＝0中得k ＝－12.答案：－12[A 级 基础达标]1.若直线2x ＋3y －m ＝0和x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，则m 的值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －m ＝0x －my ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m 2－362m ＋3y ＝m ＋242m ＋3，令x ＝0，解得m ＝6或m ＝－6. 答案：6或－62.直线y ＋(m 2－2)x ＋1＝0与直线y －x ＋m ＝0有公共点，则m 的取值范围是________．解析：两直线有公共点即两直线不平行，若两直线平行，则m 2－2－1＝1≠1m，m ＝－1，故m ≠－1时，两直线有公共点． 答案：{m |m ≠－1}3.两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围为________．解析：联立两直线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －my ＋4＝0，2mx ＋3y －6＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －63＋m2，y ＝6＋4m 3＋m2.由交点位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧3m －63＋m 2＜0，6＋4m3＋m2＞0，解得－32＜m ＜2.答案：－32＜m ＜24.(2012·苏州质检)若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a 、b 的值分别为________、________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －8＝0x －2y ＋3＝0，得交点B (1，2)，代入方程ax ＋by －11＝0中有a ＋2b －11＝0. ①又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34，②11b ≠12.③ 由①②③知a ＝3，b ＝4. 答案：3 45.设两直线(m ＋2)x －y －2＋m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴构成三角形，则m 的取值范围为________． 解析：∵(m ＋2)x －y －2＋m ＝0与x 轴相交，∴m ≠－2，又(m ＋2)x －y －2＋m ＝0与x ＋y ＝0相交， ∴m ＋2≠－1，∴m ≠－3，又∵x ＋y ＝0与x 轴交点为(0，0)， ∴(m ＋2)·0－0－2＋m ≠0， ∴m ≠2，故m ≠±2，且m ≠－3. 答案：{m |m ≠±2，且m ≠－3}6.求经过直线2x ＋y ＋8＝0和x ＋y ＋3＝0的交点，且与直线2x ＋3y －10＝0垂直的直线方程．解：法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋8＝0，x ＋y ＋3＝0，得交点P (－5，2)，因为直线2x ＋3y －10＝0的斜率k ＝－23，所以所求直线的斜率是32.因此所求直线方程为3x －2y ＋19＝0. 法二：设所求直线方程为3x －2y ＋m ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋8＝0，x ＋y ＋3＝0，得交点P (－5，2)，把点P的坐标(－5，2)代入3x －2y ＋m ＝0中，求得m ＝19，故所求直线方程为3x －2y ＋19＝0. 法三：设所求直线的方程为2x ＋y ＋8＋λ(x ＋y ＋3)＝0，即(2＋λ)x ＋(1＋λ)y ＋8＋3λ＝0，(*)．因为所求直线与直线2x ＋3y －10＝0垂直，所以－2＋λ1＋λ＝32，解得λ＝－75，把λ＝－75代入(*)式，得所求直线方程为3x －2y ＋19＝0. 7.当实数m 为何值时，直线mx ＋y ＋2＝0与直线x ＋my ＋m ＋1＝0：(1)平行；(2)重合；(3)相交？解：m ＝0时，两直线互相垂直，属相交．当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－m ，b 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－1m ，b 2＝－m ＋1m.(1)两直线平行⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－1m，－2≠－m ＋1m .∴m ＝－1.(2)两直线重合⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－1m，－2＝－m ＋1m ，∴m ＝1.(3)两直线相交⇔m ≠1且m ≠－1.[B 级 能力提升]8.不论m 怎样变化，直线(m ＋2)x －(2m －1)y －(3m －4)＝0恒过定点________． 解析：原方程可化为：m (x －2y －3)＋(2x ＋y ＋4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝02x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2， ∴直线恒过定点(－1，－2)． 答案：(－1，－2)9.已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，且垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为________．解析：由两条直线互相垂直得－m 4×25＝－1，即m ＝10.由于点(1，p )在两条直线上，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0. 可解得p ＝－2，n ＝－12，∴m ＋p －n ＝10－2＋12＝20. 答案：2010.(2012·苏北五市联考)已知 △ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在的直线方程为x －2y －5＝0，求顶点C 的坐标． 解：(1)由题意BH 与AC 垂直，∴k BH ·k AC ＝12k AC ＝－1.∴k AC ＝－2，∴直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝02x ＋y －11＝0，得点C 的坐标为(4，3)．11.(创新题)已知三条直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0，求分别满足下列条件的m 的值：(1)使这三条直线交于同一点； (2)使这三条直线不能构成三角形．解：(1)要使三条直线交于同一点，则l 1与l 2不平行，所以m ≠4.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －4＝0，mx ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44－m ，y ＝－4m4－m，即l 1与l 2的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m .代入l 3的方程得2×44－m －3m ·－4m 4－m －4＝0，解得m ＝－1或23.(2)若l 1，l 2，l 3交于同一点，则m ＝－1或23；若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 无解．综上所述，m ＝－1，或23，或4，或－16.。

苏教版数学必修2电子题库第1章1.3.2知能演练轻松闯关1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为________．解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a2＝16，∴a＝4，∴正方体的体积为a3＝64.答案：642.把一个直径为40 cm的大铁球熔化后做成直径为8 cm的小球，共可做________个(不计损耗)．解析：V大球V小球＝43π·20343π·43＝125.答案：1253.已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1＋2R2＝3R3，则它们相应的表面积S1，S2，S3满足的等量关系是________．解析：∵S1＝4πR21，∴S1＝2πR1，同理：S2＝2πR2，S3＝2πR3，由R1＋2R2＝3R3，得S1＋2S2＝3S3.答案：S1＋2S2＝3S34.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2＝________．解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF＝14S，V1＝13h(S＋14S＋S·S4)＝712Sh，V2＝Sh－V1＝512Sh，∴V1∶V2＝7∶5.答案：7∶5[A级基础达标]1.正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm、6 cm，高为3 cm，则其体积为________．答案：6343 cm32.(2012·苏州调研)侧面是正三角形的正三棱锥，体积是223，则其表面积为________．解析：设正三棱锥的棱长为a ，则其高h ＝a 2－（33a ）2＝63a ，所以V ＝13×34a 2×63a ＝212a 3.由212a 3＝223，解得a ＝2.所以S 表＝4×34a 2＝3a 2＝4 3. 答案：4 33.已知正方体的外接球的体积是323π，则正方体的棱长等于________．解析：设正方体的棱长为a ，它的外接球的半径设为R ，而正方体的体对角线长等于正方体外接球的直径．∴3a ＝2R ，而V 球＝43πR 3＝323π，∴R 3＝8，∴R ＝2，∴a ＝23×2＝433.答案：4334.如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为________．解析：设球的半径为R ，则圆柱、圆锥的高均为2R ，∴V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13πR 2·2R ＝2π3R 3，V 球＝43πR 3，∴V 圆柱∶V 球∶V 圆锥＝3∶2∶1.答案：3∶2∶15.若一圆台的上、下底面圆半径之比为1∶2，体积为7π，高为1，则此圆台的侧面积为________．解析：由圆台体积公式可求得上、下底面圆半径分别为3和23，由此易得母线长为2.由圆台侧面积公式得S 圆台侧＝π(3＋23)×2＝63π. 答案：63π6.正四棱柱的体对角线长为3 cm ，它的表面积为16 cm 2，求它的体积． 解：设正四棱柱的底面边长为a cm ，高为h cm ，则⎩⎨⎧h 2＋（2a ）2＝32，4ah ＋2a 2＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，h ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，h ＝73， 所以V 正四棱柱＝a 2h ＝4×1＝4(cm 3)或V 正四棱柱＝a 2h ＝(43)2×73＝11227(cm 3)．7.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，求h .解：设圆锥形容器的液体面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h .圆柱形容器内的液体体积为π(a2)2h .根据题意，有13πR2h＝π(a2)2h，得R＝32a.再根据圆锥轴截面与内盛液体截面是相似三角形，得32aa＝ha，所以h＝32a.[B级能力提升]8.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点．将△ADE与△BEC 分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为________．解析：∵AB＝2CD＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，∴AE＝AD＝DE＝CE＝EB＝BC＝CD＝1.由题意可知，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则得到一个正四面体P－CDE，棱长为1.设正四面体的外接球的半径为R，则有3×(22)2＝4R2，解得R＝64，∴外接球的体积是V＝43πR3＝6π8.答案：6π89.设三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，底面边长及侧棱长均为a，E，F分别是AA1，CC1的中点，则几何体B－EFB1的体积为________．解析：取BB1的中点D，连结DE，DF，则△DEF≌△BAC，∴三棱锥B－EFB1可分为两个体积相等的三棱锥B1－DEF和B－DEF.∴VB－EFB1＝V B－DEF＋VB1－DEF＝13S△DEF·(B1D＋BD)＝13S△ABC·BB1＝13×34a2·a＝312a3.答案：312a310.如图，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R.(1)求这个容器盖子的表面积、体积(用R 表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；(2)若R ＝2 cm ，为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg 可以涂1 m 2，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少kg ？(精确到0.1 kg)解：(1)S 正四棱台＝4×12×(2.5R ＋3R )×0.6R ＋(2.5R )2＋(3R )2＝21.85R 2.S 球＝4πR 2，故盖子的全面积为S 全＝(21.85＋4π)R 2，球的体积V 1＝43πR 3，棱台的体积V 2＝13×（0.6R ）2－（3R 2－2.5R 2）2×(6.25R 2＋7.5R 2＋9R 2)＝13×11920R ×914R 2＝91119240R 3.∴V ＝V 1＋V 2＝43πR 3＋91119240R 3.(2)取R ＝2，π＝3.14，求得S 全＝137.64(cm 2)， 得137.64×10010000×0.4≈0.6(kg)．因此，100个这样的盖子共需涂料约0.6 kg.11.(创新题)如图，在边长为a 的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为一个圆锥的侧面和底，求此圆锥的体积．解：设圆的半径为r ，扇形的半径为x ，则EF ＝14·2πx ＝12πx .又∵EF ＝2πr ，∴12πx ＝2πr .∴x ＝4r ，AC ＝x ＋r ＋2r .∴(5＋2)r ＝2a ，∴r ＝(52－223)a .又∵圆锥的高h ＝x 2－r 2＝15r ，∴圆锥体积V ＝13πr 2·h＝15×（52－2）336501πa 3.。