高一数学必修2期末试题及答案解析

第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能2.下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行3.截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台4.下列图形中不一定是平面图形的是( )A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形5.如图的简单组合体是由组合而成.A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥C．棱锥、棱台D．棱柱、棱柱6.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A．是棱台B．是圆台C．不是棱柱D．是棱锥7.下面是一些命题的叙述语（A，B表示点，a表示直线α，β表示平面），其中命题和叙述方法都正确的是( )A．若A∈α，B∈α，则AB∈αB．若a∈α，a∈β，则α∩β=aC．若A∈α，a⫋α，则A∈αD．若A∉a，a⫋α，则A∉α8.下列四个命题中真命题是( )A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个9.两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )A．1B．2C．3D．410.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A⊂l，l⊄αC．A⊂l，l∈αD．A∈l，l⊂α二、填空题（共6题）11.几何体体积说明棱柱V棱柱=SℎS为棱柱的 ,ℎ为棱柱的 棱锥V棱锥=13SℎS为棱锥的 ,ℎ为棱锥的 棱台V棱台=13(Sʹ+√SʹS+S)ℎSʹ,S分别为棱台的 ,ℎ为棱台的 12.如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为．13.思考辨析 判断正误棱锥的体积等于底面面积与高之积．14.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱BB1的中点，N是棱AB的中点，则∠NMC1的大小是．15.思考辨析，判断正误．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．16.思考辨析，判断正误在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变．( )三、解答题（共6题）17.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．18.如图是长方体的表面展开图，在这个长方体中：(1) 直线DM与平面ABQP的位置关系是怎样的？(2) 平面DCMN与平面ERFG的位置关系是怎样的？(3) 线段BC的长度是点C到平面APQB的距离吗？19.有4条长为2的线段和2条长为a的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三棱锥．问a为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？20.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系．(1) 点P与直线AB；(2) 点C与直线AB；(3) 点M与平面AC；(4) 点A1与平面AC；(5) 直线AB与直线BC；(6) 直线AB与平面AC；(7) 平面A1B与平面AC．21.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？22.观察（1），（2），（3）三个图形，说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】分别在两个平面的两条直线平行、相交、异面都可能，可将两条直线放在长方体里进行研究．【知识点】直线与直线的位置关系2. 【答案】D【解析】等腰三角形的两底角相等，但在直观图中不相等，故A错误；正方形的直观图是平行四边形，正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，故B，C错误．【知识点】直观图3. 【答案】C【解析】由球的结构特征知该几何体是球．【知识点】球的结构特征4. 【答案】C【知识点】平面的概念与基本性质5. 【答案】B【解析】该简单组合体的上面是一个棱锥，下面是一个棱柱．【知识点】组合体6. 【答案】D【解析】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；对D，符合棱锥的定义，正确．【知识点】棱台的结构特征、棱锥的结构特征、棱柱的结构特征7. 【答案】C【知识点】平面的概念与基本性质8. 【答案】C【知识点】棱柱的结构特征、直线与直线的位置关系、球的结构特征9. 【答案】B【解析】设两球半径分别为R1，R2，且R1>R2，则4π(R12−R22)=48π，2π(R1+R2)=12π，所以R1−R2=2．【知识点】球的表面积与体积10. 【答案】D【解析】点A在直线l上，表示为A∈l，l在平面α内，表示为l⊂α．【知识点】平面的概念与基本性质二、填空题（共6题）11. 【答案】底面积；高；底面积；高；上、下底面面积；高【知识点】棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积、棱台的表面积与体积12. 【答案】4:9【解析】因为V1:V2=8:27=R13:R23，所以R1:R2=2:3，所以S1:S2=R12:R22=4:9．【知识点】球的表面积与体积13. 【答案】×【知识点】棱锥的表面积与体积14. 【答案】90°【解析】通过计算可知NC12=NM2+MC12，故∠NMC1=90∘．如图．【知识点】棱柱的结构特征15. 【答案】√【知识点】空间中直线与直线平行16. 【答案】×【知识点】直观图三、解答题（共6题）17. 【答案】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．【知识点】组合体18. 【答案】(1) 根据展开图还原长方体，其示意图如图所示， 则 直线DM ∥平面ABQP ．(2) 平面 DCMN 垂直于平面 ERFG ．(3) 线段 BC 的长度是点 C 到平面 APQB 的距离．【知识点】平面与平面的位置关系、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、直线与平面的位置关系19. 【答案】构成三棱锥，这 6 条线段作为棱有两种摆放方式．（1）2 条长为 a 的线段放在同一个三角形中．如图所示，不妨设底面 BCD 是一个边长为 2 的正三角形．欲使体积达到最大，必有 BA ⊥底面BCD ，且 BA =2，AC =AD =a =2√2， 此时 V =13×√34×22×2=23√3．（2）2 条长为 a 的线段不在同一个三角形中，此时长为 a 的两条线段必处在三棱锥的对棱，不妨设 AD =BC =a ，BD =CD =AB =AC =2． 取 BC 中点 E ，连接 AE ，DE （见下图）．则 AE ⊥BC,DE ⊥BC ⇒BC ⊥平面AED ，V =13S △AED ⋅BC ， 在 △AED 中，AE =DE =√4−a 24，AD =a ，S △AED =12a √4−a 24−a 24=12a √4−a 22，所以 V =16a 2√4−a 22=16√a 2a 2(16−2a 2)⋅14，由均值不等式 a 2a 2(16−2a 2)≤(163)3， 等号当且仅当 a 2=163时成立，即 a =43√3， 所以此时 V max =16√(163)3⋅14=1627√3．【知识点】棱锥的表面积与体积20. 【答案】(1) 点P∈直线AB．(2) 点C∉直线AB．(3) 点M∈平面AC．(4) 点A1∉平面AC．(5) 直线AB∩直线BC=点B．(6) 直线AB⊂平面AC．(7) 平面A1B∩平面AC=直线AB．【知识点】点、线、面的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、直线与直线的位置关系21. 【答案】①平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b=P．②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β．【知识点】平面与平面平行关系的判定22. 【答案】图（1）表示两个相交的半平面；图（2）表示开口向里的两个相交的半平面；图（3）表示开口向外的两个相交的半平面．【知识点】平面的概念与基本性质。

人教版高中数学必修二期末检测卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如图，在正方体EFGH−E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A. 平面E1FG1与平面EGH1B. 平面FHG1与平面F1H1GC. 平面F1H1H与平面FHE1D. 平面E1HG1与平面EH1G2.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β=m，n⊂a，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α.则m//α；④若α⊥β，m//α，则m⊥β．其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 43.如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l=β∩γ，l//α，m⊂α和m⊥γ，那么()A. α⊥γ且l⊥mB. α⊥γ，且m//βC. m//β且l⊥mD. α//β且α⊥γ4.著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：√(x−a)2+(y −b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点，可得f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为()A. 2√5B. 5√2C. 4D. 85.已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为()A. −1或2B. 0或2C. 2D. −16.已知两直线的方程分别为l1：x+ay+b=0，l2：x+cy+d=0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A. b>0，d<0，a<cB. b>0，d<0，a>c1C. b <0，d >0，a >cD. b <0，d >0，a <c7. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l 1:ax +3y +6=0，l 2:2x +(a +1)y +6=0，圆C:x 2+y 2+2x =b 2−1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则b 的取值范围为 ( )A. (√2,3√22)B. (0,√2)C. (0,3√22)D. (√2,3√22)∪(3√22,+∞) 8. 直线y =kx +3与圆(x −3)2+(y −2)2=4相交于M ，N 两点，若|MN|=2√3，则k 的值是( )A. −34B. 0C. 0或−34D. 34 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 如图所示，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 ．10. 过两圆x 2+y 2−2y −4=0与x 2+y 2−4x +2y =0的交点，且圆心在直线l ：2x +4y −1=0上的圆的方程是_________________．11. 与直线x +y −2=0和曲线x 2+y 2−12x −12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_____________．12. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，则截面的面积为 ．13. 已知点M 是点P(4,5)关于直线y =3x −3的对称点，则过点M 且平行于直线y =3x −3的直线的方程是________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）14. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，O 为AB 的中点，CA =CB ，AB =AA 1，∠BAA 1=60∘．(1)证明：AB⊥平面A1OC;(2)若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱锥A1−ABC的体积．15.已知直线m:(a−1)x+(2a+3)y−a+6=0，n:x−2y+3=0．(1)当a=0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程;(2)若坐标原点O到直线m的距离为√5，判断m与n的位置关系．16.求过点P(4,−1)且与直线3x−4y+6=0垂直的直线方程．317.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(0,3)，设圆C的半径为1，圆心C(a,b)在直线l：y=2x−4上．(1)若圆心C也在直线y=−x+5上，求圆C的方程；(2)在上述的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)若圆C上存在点M，使|MA|=|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：(1)A1B1//平面DEC1；(2)BE⊥C1E.19.已知ΔABC的顶点B(3,4)，AB边上的高所在的直线方程为x+y−3=0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x+3y−7=0．(Ⅰ)求顶点A的坐标；(Ⅱ)求过E点且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程．20.已知直线l：x−ay+1=0与圆C：x2+y2−4x−2y+1=0交于A，B两点，|AB|=2√3．(1)求a的值；(2)求与直线l平行的圆C的切线方程．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了线面平行的判定，面面平行的判定，属于中档题．根据几何体中的线段特征确定平行关系，再确定线面的平行关系，E1G1//面EGH1，E1F//面EGH1，即可得出确定的平行平面．【解答】解：如图：在正方体EFGH−E1F1G1H1中，连接EG，E1F，E1G1，H1E，H1G，∵EG//E1G1，EG⊂面EGH1，E1G1⊄面EGH1，∴E1G1//面EGH1，∵E1F//H1G，H1G⊂面EGH1，E1F⊄面EGH1，∴E1F//面EGH1，∵E1G1∩E1F=E1，E1G1，E1F⊂面E1FG1，∴面EGH1//面E1FG1，故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系及平面与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．根据空间线面平行和垂直的几何特征及判定方法，逐一分析四个命题的真假，最后综合讨论5结果，可得答案．【解答】解：根据面面垂直的性质，故①正确；由α⊥γ，β⊥γ，得到α//β或相交，故②错误;由α⊥β，且m⊥β，得到m与α可能平行，也可能m在平面面α内，又m⊄α，则m//α，故③正确；若α⊥β，m//α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故④错误；其中正确命题的个数为2．故选B．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间直线与平面之间的位置关系，画出图形，帮助分析，考查逻辑思维能力和分析判断能力，属于基础题．m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l⊂γ.然后推出l⊥m，得到结果．【解答】解：∵m⊂α且m⊥γ，∴α⊥γ，∵l=β∩γ，∴l⊂γ．又∵m⊥γ，∴l⊥m，即α⊥γ且l⊥m，故选A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用函数的几何意义求函数的最值，考查两点之间的距离公式的运用，属于中档题．由题意得到f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(−2,4)与B(−1,3)的距离，即要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|+|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA′|+|MB|≥|A′B|即可求解．【解答】解：∵f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10=√(x+2)2+(0−4)2+√(x+1)2+(0−3)2，∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(−2,4)与B(−1,3)的距离之和．设点A(−2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′的坐标为(−2,−4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|+|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA′|+|MB|≥|A′B|=√(−1+2)2+(3+4)2=5√2，即f(x)=√x2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为5√2．故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由a·a−(a+2)=0，即a2−a−2=0，解得a.经过验证即可得出．【解答】解：由题意知a⋅a−(a+2)=0，即a2−a−2=0，解得a=2或−1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=−1．故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线的一般式向斜截式转化，属于基础题．将直线转化成斜截式，根据图象得两直线斜率、截距的不等关系，解不等式即可得解．【解答】解：l1 :y=−1a x−ba，l2 : y=−1cx−dc，由图象知：①−1a >−1c>0,②−ba<0,③−dc>0，，故选C．77.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系及应用，属于中档题．结合新定义，求出圆心到直线的距离，根据相离相切的条件求出b 的范围，进而求出平行相交时b 的范围．【解答】解：圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=b 2，由两直线平行得a(a +1)−6=0，解得a =2或a =−3．又当a =2时，直线l 1，l 2重合，应舍去，∴两平行线的方程分别为x −y −2=0和x −y +3=0．由直线x −y −2=0与圆(x +1)2+y 2=b 2相切，得b =√2=3√22; 由直线x −y +3=0与圆相切，得b =√2=√2．当两直线与圆都相离时，b <√2．∴“平行相交”时，b 满足{b >√2,b ≠3√22, ∴b 的取值范围是(√2,3√22)∪(3√22,+∞)． 故选D ． 8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题． 由点到直线距离公式可得弦心距d =√k 2+1，再由弦长，半径，弦心距之间关系列出关于k 的等式，由此解得k 的值．【解答】解：圆心(3,2)到直线y =kx +3的距离d =√k 2+1，则|MN|=2 √4−(3k+1)2k 2+1=2√3，解得k =0或k =−34． 故选C ．9.【答案】√105．【解析】【分析】本题主要考查直线与平面所成的角、线面垂直的判定，属于中档题．根据正方形条件得到线线垂直，再由线面垂直得到线线垂直，进而证明线面垂直找到点C1在面BB1D1D上的射影O，即线面角∠OBC1，进一步利用锐角三角形求解．【解答】解：如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由已知四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1，又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1，∴OC1⊥BB1，而BB1∩B1D1=B1，∴OC1⊥平面BB1D1D.∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影．∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角．在正方形A1B1C1D1中，OC1=12A1C1=12√22+22=√2．在矩形BB1C1C中，BC1=√BC2+CC12=√4+1=√5．9∴sin∠C1BO=OC1BC1=√2√5=√105．故答案为√105．10.【答案】x2+y2−3x+y−1=0【解析】【分析】本题考查求圆的一般方程，圆系方程及其应用，属于中档题．可设新圆方程为x2+y2−4x+2y+λ(x2+y2−2y−4)=0(λ≠−1)，通过整理，不难表示出新圆的圆心坐标，接下来根据新圆的圆心在直线l上，将所得圆心坐标代入，解方程即可得解．【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2−4x+2y+λ(x2+y2−2y−4)=0(λ≠−1)．整理得x2+y2+−41+λx+2−2λ1+λy−4λ1+λ=0，所以圆心坐标为(21+λ,λ−11+λ)，因为圆心在直线2x+4y=1上，故41+λ+4(λ−1)1+λ=1，解得λ=13．所以所求圆的方程为x2+y2−3x+y−1=0．故答案为x2+y2−3x+y−1=0．11.【答案】(x−2)2+(y−2)2=2【解析】【试题解析】【分析】本题考查直线与圆相切的性质的应用，求圆的标准方程，难度一般．先求出圆心C1(6,6)到直线x+y−2=0的距离为d=√2=5√2.再求过点C1且垂直于x+ y−2=0的直线y=x，所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上，圆心C2到直线x+y−2=0的距离为5√2−3√22=√2，则圆C2的半径长为√2.设C2的坐标为(x0,x0)，则00√2=√2，解得x0=2(x0=0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，即可求出所求．【解答】解：曲线化为(x−6)2+(y−6)2=18，=5√2．其圆心C1(6,6)到直线x+y−2=0的距离为d=|6+6−2|√2过点C1且垂直于x+y−2=0的直线为y−6=x−6，即y=x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上，如图所示，=√2，圆心C2到直线x+y−2=0的距离为5√2−3√22则圆C2的半径长为√2．设C2的坐标为(x0,x0)，=√2，解得x0=2(x0=0舍去)，则00√2所以圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x−2)2+(y−2)2=2．故答案为(x−2)2+(y−2)2=2．12.【答案】2√6【解析】【分析】本题考查截面面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．取AB、C1D1的中点M、N，连结A1M、MC、CN、NA1.由已知得四边形A1MCN是平行四边形，连接MN，作A1H⊥MN于H，由题意能求出截面的面积．【解答】解：分别取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，11∵A1N//PC1//MC，且A1N=PC1=MC，∴四边形A1MCN是平行四边形．又∵A1N//PC1，A1N⊄平面PBC1，PC1⊂平面PBC1，∴A1N//平面PBC1，同理可证A1M//平面PBC1，∵A1N∩A1M=A1，且A1N，A1M⊂平面A1MCN，∴平面A1MCN//平面PBC1,因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN，连接MN，作A1H⊥MN于点H，∵A1M=A1N=√5，MN=2√2，∴△A1MN为等腰三角形．∴A1H=√3，∴S△A1MN =12×2√2×√3=√6．故S▱A1MCN =2S△A1MN=2√6．故答案为2√6．13.【答案】3x−y+1=0【解析】【分析】本题考查了点关于直线的对称点的求法，考查了直线方程的点斜式，是基础题．设出M的坐标，利用点到直线的距离以及两平行线间的距离公式求解．【解答】解：因为点M是点P(4,5)关于直线y=3x−3的对称点，所以两点到直线y=3x−3的距离相等，所以过点M且平行于直线y=3x−3的直线与y=3x−3之间的距离等于点P到直线y=3x−3的距离．点P(4,5)到直线3x−y−3=0距离为√12+32=√10．设过点M且与直线y=3x−3平行的直线的方程为3x−y+c=0，13所以由两平行线间的距离公式有√12+32=√10，即|c +3|=4，解得c =1或c =−7， 即所求直线的方程为3x −y −7=0或3x −y +1=0．由于点P(4,5)在直线3x −y −7=0上，故过M 点且平行于直线y =3x −3的直线方程是3x −y +1=0．14.【答案】(1)证明：∵CA =CB ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ．∵AB =AA 1，∠BAA 1=60∘，∴△AA 1B 为等边三角形，∴OA 1⊥AB ，又OC ∩OA 1=O ，∴AB ⊥平面A 1OC ．(2)解：∵AB =CB =2，∴△ABC 为边长是2的等边三角形，则S △ABC =12×2×√3=√3．∵OA 1⊥AB ，OA 1⊥OC ，AB ∩OC =O ，∴OA 1⊥平面ABC ，即OA 1是三棱锥A 1−ABC 的高，又OA 1=√3，∴三棱锥A 1−ABC 的体积V =13×√3×√3=1．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出CO ⊥AB ，A 1O ⊥AB ，由此能证明AB ⊥平面A 1OC ．(2)推导出A 1O ⊥平面ABC ，由此能求出三棱锥A 1−ABC 的体积．15.【答案】解：(1)当a =0时，直线m:x −3y −6=0，由{x −3y −6=0x −2y +3=0，解得{x =−21y =−9， 即m 与n 的交点为(−21,−9)．当直线l 过原点时，直线l 的方程为3x −7y =0; 当直线l 不过原点时，设l 的方程为x b +y −b =1，将(−21,−9)代入得b =−12，所以直线l 的方程为x −y +12=0．故满足条件的直线l 的方程为3x −7y =0或x −y +12=0．(2)设原点O 到直线m 的距离为d ，则d =√(a−1)2+(2a+3)2=√5，解得a =−14或a =−73，当a =−14时，直线m 的方程为x −2y −5=0，此时m//n;当a =−73时，直线m 的方程为2x +y −5=0，此时m ⊥n.【解析】本题主要考查了直线的截距式方程，两条直线平行与垂直的判定，点到直线的距离公式，属于中档题．(1)当a =0时，由题意可求出x 与y ，可求出m 与n 的交点，当直线l 过原点时，直线l 的方程为3x −7y =0，当直线l 不过原点时，设l 的方程为x b +y −b =1，将(−21,−9)代入即可求解．(2)求出原点O 到直线m 的距离d ，求出a ，当a =−14时，证明m//n ，当a =−73时，证明m ⊥n. 16.【答案】解：∵所求直线与直线3x −4y +6=0垂直，∴设其为4x +3y +m =0．∵该直线过点P(4,−1)，∴4×4+3×(−1)+m =0，解得m =−13．故所求直线方程为4x +3y −13=0．【解析】考查对于直线方程的求解问题，利用垂直性质求解，属于基础．17.【答案】解：(1)由{y =2x −4y =−x +5 得圆心C 为(3,2)，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：(x −3)2+(y −2)2=1；(2)由题意知切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx −y +3=0，∴√k 2+1=1，∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k(4k +3)=0，∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3，即y =3或者3x +4y −12=0；(3)设M 为(x,y)，由√x 2+(y −3)2=√x 2+y 215整理得直线m ：y =32， ∴点M 应该既在圆C 上又在直线m 上，即：圆C 和直线m 有公共点，∴|2a −4−32|≤1，∴94≤a ≤134，终上所述，a 的取值范围为：[94,134]．【解析】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．(1)联立直线l 与直线y =−x +5，求出方程组的解得到圆心C 坐标，可得圆C 的方程；(2)根据A 坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，确定出切线方程即可；(3)设M(x,y)，由|MA|=|MO|，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M 的轨迹为直线y =32，由M 在圆C 上，得到圆C 与直线相交，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．18.【答案】证明：(1)∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，∴DE//AB ，AB//A 1B 1，∴DE//A 1B 1，∵DE ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，∴A 1B 1//平面DEC 1．解：(2)∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点，AB =BC ．∴BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，又AA 1∩AC =A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，∵C 1E ⊂平面ACC 1A 1，∴BE ⊥C 1E .【解析】(1)推导出DE//AB ，AB//A 1B 1，从而DE//A 1B 1，由此能证明A 1B 1//平面DEC 1．(2)推导出BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，从而BE ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明BE ⊥C 1E .本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：(1)AB 边上的高所在的直线方程为x +y −3=0，∴k AB =−1−1=1． ∴直线AB 方程为：y −4=x −3，化为：x −y +1=0，联立{x −y +1=0x +3y −7=0，解得x =1，y =2．∴A(1,2)．(2)设E(a,b)，则C(2a −3,2b −4)．联立{(2a −3)+(2b −4)−3=0a +3b −7=0，解得a =4，b =1.∴E(4,1)． 由直线l 与x 轴、y 轴截距相等，①当直线l 经过原点时，设直线l 的方程为：y =kx ．把E 的坐标代入可得：1=4k ，解得k =14．∴直线l 的方程为：y =14x.②当直线l 不经过原点时，设直线l 的方程为：x +y =m ．把E 的坐标代入可得：m =5．∴直线l 的方程为：x +y =5．综上直线l 的方程为：x −4y =0或x +y −5=0．【解析】本题考查了直线的方程、直线的交点、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)AB 边上的高所在的直线方程为x +y −3=0，可得k AB =1.把直线AB 方程与AE 的方程联立解得A 的坐标．(2)设E(a,b)，则C(2a −3,2b −4).联立{(2a −3)+(2b −4)−3=0a +3b −7=0，解得E 坐标．由直线l 与x 轴、y 轴截距相等，对截距分类讨论即可得出．20.【答案】解：(1)∵圆C ：(x −2)2+(y −1)2=4，∴圆心为(2,1)，半径r =2，∴圆心到直线x −ay +1=0的距离为：d =√12+a 2=√r 2−(√3)2=√4−3=1， 解得a =43，(2)由(1)知直线l ：3x −4y +3=0，因为切线与直线l 平行，所以设所求的切线方程为3x −4y +D =0．因为直线与圆相切，所以圆心到切线的距离d =√32+(−4)2=|2+D |5=2．所以D =8或D =−12．所以所求切线方程为3x −4y +8=0或3x −4y −12=0．【解析】本题主要考查了点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．(1)首先确定圆心和半径，然后利用点到直线的距离公式可以列出等式，由此求出a的值．(2)由(1)知直线l：3x−4y+3=0，依题意，设所求切线方程为3x−4y+D=0，则圆心到=2.求解即可得结果切线的距离d=|2+D|517。

(A)（B ） (C) (D)图１ 高一数学必修二期末测试题（总分100分 时间100分钟）班级：______________姓名：______________一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ） (A)１条 （B ）２条 (C)３条 (D)４条3．如图2，已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝（ ）(A)32（B ）35(C) 32 (D)322 4．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是( )(A)2 （B ） 22 (C)32 (D)425．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短 路径长度是（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）321- （D ）26图２6．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l =βα ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） （A ）4± （B ）2± （C ） 22± （D ）2±8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B(4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（ ） (A)531 (B) 532 (C) 533(D)534二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在空间直角坐标系中，已知)5,2,2(P 、),4,5(z Q 两点之间的距离为7，则z =_______．10．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值． 其中正确说法是 ．11．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V 表示成关于x 的函数)(x V ，则函数)(x V 的单调递减区间为 ．12．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则公共弦AB 所在直线的直线方程是 ．13．在平面直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是 ．14．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点，则三棱锥D ­GAC 与三棱锥P ­GAC 的体积之比GAC P GAC D V V --:＝ ．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程.16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x . (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．PCA数学必修二期末测试题及答案一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１C ， 2Ｃ， 3B ， 4C ， 5A ， 6D ， 7B ， 8D.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． 111或-=z ； 10． ①③④； 11． ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,26 ； 12． 30x y +=； 13． 150°； 14． 2：1．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. 解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得),2(435+-=-x y 整理，得所求直线方程为.01443=-+y x……………4分 （Ⅱ）过点（2，2）与l 垂直的直线方程为4320x y --=， ……………5分由110,4320.x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心为（5，6）， ……………7分∴半径22(52)(62)5R =-+-=，……………9分故所求圆的方程为22(5)(6)25x y -+-=． ………10分 16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，∴1//AA NF ,121AA NF =，又∵1//AA BM ,121AA BM =，∴BM NF //,BM NF =，………6分故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分 17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x .(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解析：(1)方程04222=+--+m y x y x ，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0， 消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0，化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.。

(A)（B ） (C) (D)图１ 高一数学必修二期末测试题（总分100分 时间100分钟）班级：______________姓名：______________一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ） (A)１条 （B ）２条 (C)３条 (D)４条3．如图2，已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝（ ）(A)32（B ）35(C) 32 (D)322 4．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是( )(A)2 （B ） 22 (C)32 (D)425．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短 路径长度是（ ）图２（A ）4 （B ）5 （C ）321- （D ）26 6．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l =βαI ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） （A ）4± （B ）2± （C ） 22± （D ）2±8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B(4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（ ） (A)531(B)532 (C) 533 (D)534二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在空间直角坐标系中，已知)5,2,2(P 、),4,5(z Q 两点之间的距离为7，则z =_______． 10．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值． 其中正确说法是 ．11．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V 表示成关于x 的函数)(x V ，则函数)(x V 的单调递减区间为 ．12．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则公共弦AB所在直线的直线方程是 ．13．在平面直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是 ．14．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点，则三棱锥D -GAC 与三棱锥P -GAC 的体积之比GAC P GAC D V V --:＝ ．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程.16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x . (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是ο60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．PCA数学必修二期末测试题及答案一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１C ， 2Ｃ， 3B ， 4C ， 5A ， 6D ， 7B ， 8D.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． 111或-=z ； 10． ①③④； 11． ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,26 ； 12． 30x y +=； 13． 150°； 14． 2：1．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. 解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得),2(435+-=-x y 整理，得所求直线方程为.01443=-+y x……………4分 （Ⅱ）过点（2，2）与l 垂直的直线方程为4320x y --=， ……………5分 由110,4320.x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心为（5，6），……………7分∴半径5R =，……………9分故所求圆的方程为22(5)(6)25x y -+-=． ………10分 16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，∴1//AA NF ,121AA NF =，又∵1//AA BM ,121AA BM =，∴BM NF //,BM NF =，………6分故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分 17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x .(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解析：(1)方程04222=+--+m y x y x ，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.CA(2)⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0，化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0， 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85.(3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125. ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，125，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，45，∴MN 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85.又|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是ο60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以QN//BC//MD ，且QN=MD ，于是DN//MQ ．PMB DN PMB DN PMB MQ MQDN 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊆. …………………4分（2） MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥平面平面又因为底面ABCD 是ο60=∠A ,边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以AD MB ⊥.又所以PAD MB 平面⊥..PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥………………8分（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.过点D 作PM DH ⊥于H ，由（2）平面PMB ⊥平面PAD ，所以PMB DH 平面⊥．故DH 是点D 到平面PMB 的距离..55252a a a aDH =⨯=所以点A 到平面PMB 的距离为a 55.………12分。

高一数学必修2期末试题与答案解析参考公式：圆台的表面积公式：〔分别为圆台的上、下底面半径，为母线长〕 柱体、椎体、台体的体积公式：为底面积，为柱体高〕为底面积，为椎体高〕 分别为上、下底面面积，为台体高〕 一、选择题1. 下列几何体中是棱柱的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2. 如图所示，正方体的棱长为1，点A 是其一棱的中点，则点A 在空间直角坐标系中的坐标是A 、B 、C 、D 、 3. 如图所示，长方体中，°，则与所成的角是A 、60°B 、90°()22''S r r r l rl π=+++'r r 、l =(V Sh S 柱体h 1=(3V Sh S 椎体h ()1=''3V S S S S h 台体(',S Sh 11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -130BAB ∠=1C D 1B BC 、30°D 、45°4. 下列直线中，与直线的相交的是A 、B 、C 、D 、5. 在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则A 、点必在直线上B 、点必在直线上C 、点必在平面外D 、点必在平面内6. 已知直线，给出以下四个命题：①若平面平面，则直线平面；②若直线平面，则平面平面；③若直线不平行于平面，则平面不平行于平面。

其中正确的命题是A 、②B 、③C 、①②D 、①③7. 已知直线与直线垂直，则实数的值等于A 、B 、C 、D 、 8. 如图所示，已知平面，则图中互相垂直的平面有A 、3对B 、2对C 、1对D 、0对9. 已知是圆的弦的中点，则弦所在的直线的方程是A 、B 、C 、 3D 、 10x y +-=226x y +=0x y +=3y x =--1y x =-ABCD AB BC CD DA 、、、EFGH 、、、EH FG 、P P AC P BD P DBC P ABC a α⊂//αβ//a β//a β//αβa βαβ()110a a x y -+-=210x ay ++=a 123210,230,2AB ⊥,BCD BC CD ⊥()2,1P -()22125x y -+=AB AB 30x y --=10x y +-=230x y +-=250x y --=10. 已知直线都是正数〕与圆相切，则以为三边长的三角形A 、是锐角三角形B 、是直角三角形C 、是钝角三角形D 、不存在二、填空题11. 直线与直线的交点坐标是。

期末模拟卷2一、单选题（本大题共8小题,共40.0分）1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【详细解析】【详细分析】本题考查复数的几何意义,直接由复数求出在复平面内对应的点的坐标得答案．【参考解答】解:复数为虚数单位在复平面内对应的点的坐标为:,位于第四象限．故选D．2.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A. B. C. D.【答案】D【详细解析】【详细分析】本题主要考查概率的求法,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用,属于基础题．先求出基本事件总数,再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数,由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．【参考解答】解:从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,基本事件总数,抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有:,, ,,,,,,,,共有个基本事件,抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率,故选:D．3.已知一个三棱柱的高为3,如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图,其中,则此三棱柱的体积为A. 2B. 4C. 6D. 12【答案】C【详细解析】【详细分析】本题考察直观图与原图的关系,以及棱柱的体积公式,属于基础题．依据直观图可知原图的底面三角形的底边长为2,高为2,可求出柱体的底面面积,再依据棱柱体积公式可求出答案．【参考解答】解:设三棱柱的底面三角形为,由直观图可知,,且,,故．故答案选C．4.已知非零向量,,若,且,则与的夹角为A. B. C. D.【答案】B【详细解析】【详细分析】本题考查了向量的数量积,考查了向量垂直的关系,考查了向量夹角的求解本题的关键是由垂直求出数量积为0．由向量垂直可得,结合数量积的定义表达式可求出,又,从而可求出夹角的余弦值,进而可求夹角的大小．【参考解答】解:因为,所以,因为,所以,．故选:B．5.设为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是A. 若,,则B. 若,,则C. 若,,则D. 若,,则【答案】B【详细解析】【详细分析】本题考查命题的真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养．利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一详细分析判断得解．【参考解答】解:若,,则a与b相交、平行或异面,故A错误;若,,则由直线与平面垂直的判定定理知,故B正确;若,,则或,故C错误;若,,则,或,或b与相交,故D错误．故选:B．6.已知圆锥的顶点为P,母线PA,PB所成角的余弦值为,PA与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的体积为A. B. C. D.【答案】C【详细解析】【详细分析】本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式,考查转化与化归思想,考查空间想象能力、运算求解能力．设底面半径为,根据线面角的大小可得母线长为2r,再根据三角形的面积得到r 的值,最后代入圆锥的体积公式,即可得答案．【参考解答】解:如图所示,设底面半径为,与圆锥底面所成角为,,,母线PA,PB所成角的余弦值为,,,,故选:C．7.已知数据的方差为4,若,则新数据的方差为A. 16B. 13C.D.【答案】A【详细解析】【详细分析】本题考查利用方差的性质求解方差的问题,属于基础题．根据方差的性质直接计算可得结果．【参考解答】解:由方差的性质知:新数据的方差为:．故选:A．8.在中,A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,且,则A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【详细解析】【详细分析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,属于中档题．根据题目已知条件应用余弦定理和正弦定理进行化简,即可得到答案．【参考解答】解:,,,,又．代入可得故答案选D．二、多选题（本大题共4小题,共20.0分）9.有甲乙两种报纸供市民订阅,记事件E为“只订甲报纸”,事件F为“至少订一种报纸”,事件G为“至多订一种报纸”,事件H为“不订甲报纸”,事件I为“一种报纸也不订”下列命题正确的是A. E与G是互斥事件B. F与I是互斥事件,且是对立事件C. F与G不是互斥事件D. G与I是互斥事件【答案】BC【详细解析】【详细分析】本题考查了互斥事件和对立事件的概念,属于基础题．根据互斥事件、对立事件的概念判断即可．【参考解答】解:对于A选项,E、G事件有可能同时发生,不是互斥事件;对于B选项,F与I不可能同时发生,且发生的概率之和为1,是互斥事件,且是对立事件;对于C选项,F与G可以同时发生,不是互斥事件;对于D选项,G与I也可以同时发生,不是互斥事件．故选:BC．10.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩,现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图从左至右依次为第1至第5次,则从图中可以读出一定正确的信息是A. 甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B. 甲同学的成绩的中位数在115到120之间C. 甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D. 甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数【答案】DB【详细解析】【详细分析】本题考查了频数分布直方图与应用问题,是基础题．根据频数分布直方图的数据,对选项中的命题进行详细分析,判断正误即可．【参考解答】解:对于A,甲同学的成绩的平均数,乙同学的成绩的平均数,所以甲同学的成绩的平均数小于乙同学的成绩的平均数,故A错误;由题图甲知,B正确;对于C,由题图知,甲同学的成绩的极差介于之间,乙同学的成绩的极差介于之间,所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差,故C错误;对于D,甲同学的成绩的中位数在之间,乙同学的成绩的中位数在之间,所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数,故D正确．故选:BD．11.下列结论正确的是A. 已知是非零向量,,若,则B. 向量,满足,,与的夹角为,则在上的投影向量为C. 点P在所在的平面内,满足,则点P是的外心D. 以,,,为顶点的四边形是一个矩形【答案】DBA【详细解析】【详细分析】本题考查向量数量积的运算,向量的坐标运算,向量垂直的转化,属中档题．利用平面向量的数量积运算,结合向量的线性运算,对每个选项进行逐一详细分析,即可容易判断选择．【参考解答】解:对A:因为,又,可得,故,故A选项正确;对B:因为,,与的夹角为,所以．故在上的投影向量为,故B选项正确;对C:点P在所在的平面内,满足,则点P为三角形ABC的重心,故C选项错误;对D:不妨设,则,故四边形ABCD是平行四边形;又,所以,故四边形ABCD是矩形故D选项正确;综上所述,正确的有ABD．故选ABD．12.如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,,截面BDE与直线PC平行,与PA交于点E,则下列判断正确的是A. E为PA的中点B. 平面PACC. PB与CD所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于．【答案】ABD【详细解析】【详细分析】本题考查立体几何的综合应用,熟练线线、线面、面面之间的位置关系,审清题意,考验详细分析能力,属中档题．采用排除法,根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理,结合线线角的求法,锥体体积公式的计算,可得结果．【参考解答】解:对于A,连接AC交BD于点M,连接EM,如图所示,面BDE,面APC,且面面,,又四边形ABCD是正方形,为AC的中点,为PA的中点,故A正确．对于B,面ABCD,面ABCD,,又,,面PAC面PAC,故B正确．对于C,,为PB与CD所成的角,面ABCD,面ABCD,,在中,,,故C错误．对于D,由等体积法可得,又,,故D正确．故选:ABD．三、填空题（本大题共4小题,共20.0分）13.若复数z满足方程,则．【答案】【详细解析】【详细分析】本题考查复数的计算,属基础题．根据题意可得,然后根据复数的乘法可得结果．【参考解答】解:由,则,所以,所以,故答案为:14.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AD,AB上的点,且,MN交于点若,则的值为．【答案】【详细解析】【详细分析】本题考查平面向量共线定理的推论,涉及向量的线性运算,属基础题．用向量表示,结合三点共线,即可求得参数值．【参考解答】解:根据题意,,因为三点共线,所以,解得．故答案为．15.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．【答案】【详细解析】【详细分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式,属于基础题．根据题意,若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮,必有第二个问题回答错误,第三、四个问题回答正确,第一个问题可对可错．【参考解答】解:根据题意,记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A,若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮,必有第二个问题回答错误,第三、四个问题回答正确,第一个问题可对可错;由相互独立事件的概率乘法公式,可得,故答案为．16.如图,在正方体中,点O为线段BD的中点,设点P在线段上,直线OP与平面所成的角为,则的最小值,最大值．【答案】1【详细解析】【详细分析】此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系,线面角的求法,考查推理能力,属于中档题。

(A)（B ） (C) (D)图１ 高一数学必修二期末测试题（总分100分 时间100分钟）班级：______________：______________一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）2．过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ） (A)１条 （B ）２条 (C)３条 (D)４条3．如图2，已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝（ ）(A)32（B ）35(C) 32 (D)322 4．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是( )(A)2 （B ） 22 (C)32 (D)425．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短 路径长度是（ ）（A ）4（B ）5 （C ）321- （D ）26图２6．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l =βα ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β7．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ） （A ）4± （B ）2± （C ） 22± （D ）2±8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B(4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（ ） (A)531(B)532 (C) 533 (D)534二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．在空间直角坐标系中，已知)5,2,2(P 、),4,5(z Q 两点之间的距离为7，则z =_______． 10．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值． 其中正确说法是 ．11．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V 表示成关于x 的函数)(x V ，则函数)(x V 的单调递减区间为 ．12．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则公共弦AB 所在直线的直线方程是 ．13．在平面直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是 ．14．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点，则三棱锥D ­GAC 与三棱锥P ­GAC 的体积之比GAC P GAC D V V --:＝ ．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程.16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x . (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．数学必修二期末测试题及答案CA一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）１C ， 2Ｃ， 3B ， 4C ， 5A ， 6D ， 7B ， 8D.二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9． 111或-=z ； 10． ①③④； 11． ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,26 ； 12． 30x y +=； 13． 150°； 14． 2：1．三、解答题(4大题，共44分)15．(本题10分)已知直线l 经过点)5,2(-P ，且斜率为43-. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线l 切于点（2，2），圆心在直线110x y +-=上的圆的方程. 解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得),2(435+-=-x y 整理，得所求直线方程为.01443=-+y x……………4分 （Ⅱ）过点（2，2）与l 垂直的直线方程为4320x y --=， ……………5分由110,4320.x y x y +-=⎧⎨--=⎩得圆心为（5，6），……………7分∴半径22(52)(62)5R -+-=， ……………9分故所求圆的方程为22(5)(6)25x y -+-=． ………10分 16．(本题10分) 如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ， ∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ……2分 ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. …………… 4分 （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF . ………………5分 在△11C AA 中，N 、F 是中点，∴1//AA NF ,121AA NF =，又∵1//AA BM ,121AA BM =，∴BM NF //,BM NF =，………6分故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，…………8分而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC ……10分 17．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x .(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解析：(1)方程04222=+--+m y x y x ，可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0， 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得NM BD CA16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85. (3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125. ∴M ⎝⎛⎭⎫－45，125，N ⎝⎛⎭⎫125，45， ∴MN 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，85.又|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫125＋452＋⎝⎛⎭⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165. 18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以QN//BC//MD ，且QN=MD ，于是DN//MQ ．PMB DN PMB DN PMB MQ MQDN 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊆. …………………4分（2）MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥平面平面又因为底面ABCD 是60=∠A ,边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以AD MB ⊥.又所以PAD MB 平面⊥..PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥………………8分（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.过点D 作PM DH ⊥于H ，由（2）平面PMB ⊥平面P AD ，所以PMB DH 平面⊥．故DH 是点D 到平面PMB 的距离..55252a a aaDH =⨯=所以点A 到平面PMB 的距离为a 55.………12分。

高中数学必修二期末考试试卷（三）（含答案解析）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.直线l 经过原点和(1，－1)，则l 的倾斜角是( ) A.45° B.－45° C.135° D.45°和135° 答案 C解析 ∵直线l 经过坐标原点和点(1，－1)，∴直线l 的斜率k ＝－11＝－1，∴直线l 的倾斜角α＝135°，故选C.2.已知过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则|MN |等于( )A.10B.180C.6 3D.6 5考点 两点间的距离公式 题点 求两点间的距离 答案 D 解析 k MN ＝a －4－2－a＝－12，解得a ＝10，即M (－2,10)，N (10,4)，所以|MN |＝(－2－10)2＋(10－4)2＝65，故选D.3.设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A.k ≥34或k ≤－4B.－4≤k ≤34C.－34≤k ≤4D.以上都不对考点 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 题点 倾斜角和斜率关系的其他应用 答案 A解析 建立如图所示的直角坐标系.由图可得k ≥k PB 或k ≤k P A .∵k PB ＝34，k P A ＝－4，∴k ≥34或k ≤－4.4.若光线从点P (－3,3)射到y 轴上，经y 轴反射后经过点Q (－1，－5)，则光线从点P 到点Q 走过的路程为( ) A.10 B.5＋17 C.4 5D.217考点 对称问题的求法 题点 光路可逆问题 答案 C解析 Q (－1，－5)关于y 轴的对称点为Q 1(1，－5)，易知光线从点P 到点Q 走过的路程为|PQ 1|＝42＋(－8)2＝4 5.5.到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程是( ) A.3x －4y －11＝0B.3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0C.3x －4y ＋9＝0D.3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0 答案 B解析 直线3x －4y －11＝0与3x －4y ＋9＝0到直线3x －4y －1＝0的距离均为2， 又因为直线3x －4y ＋11＝0到直线3x －4y －1＝0的距离为125，故不能选择A ，C ，D ，所以答案为B.6.过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A.－32 B.－23 C.25 D.2考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 A解析 由两点式y －19－1＝x ＋13＋1，得y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32，即为在x 轴上的截距.7.若直线mx ＋ny ＋2＝0平行于直线x －2y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为1，则m ，n 的值分别为( ) A.1和2 B.－1和2 C.1和－2D.－1和－2 考点 直线的一般式方程与直线的平行关系 题点 根据平行求参数的值答案 C解析 由已知得直线mx ＋ny ＋2＝0过点(0,1)，则n ＝－2，又因为两直线平行，所以－m n ＝12，解得m ＝1.8.若直线(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0恒过某个点P ，则点P 的坐标为( ) A.(3,5) B.(－3,5) C.(－3，－5) D.(3，－5)答案 C解析 方程(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0可整理得m (2x －y ＋1)－(3x －2y －1)＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，3x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.故P (－3，－5).9.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4)D.(4，－2)考点 对称问题的求法 题点 直线关于点的对称问题 答案 B解析 ∵l 1：y ＝k (x －4)过定点M (4,0)， 而点M 关于点(2,1)的对称点为N (0,2)， 故直线l 2过定点(0,2).10.直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )考点 直线的斜截式方程 题点 直线斜截式方程的应用 答案 B解析 根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的纵截距同正负.11.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A.－1 B.1 C.12 D.－12考点 直线的一般式方程与直线的垂直关系 题点 根据垂直求参数的值 答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 12.已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且两者之间的距离是5，则m ＋n 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2考点 两条平行直线间的距离公式及应用 题点 利用两条平行直线间的距离求参数的值 答案 B解析 由题意知，所给两条直线平行，∴n ＝－2. 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴m ＋n ＝0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.过点(－2，－3)且在x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为____________. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 x ＋y ＋5＝0或3x －2y ＝0解析 当直线过原点时，所求直线的方程为3x －2y ＝0；当直线不过原点时，所求直线的方程为x ＋y ＋5＝0.14.过两直线x －3y ＋1＝0和3x ＋y －3＝0的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.答案 x ＝12或x －3y ＋1＝0解析 易求得两直线交点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，当斜率不存在时，显然直线x ＝12满足条件.当斜率存在时，设过该点的直线方程为y －32＝k ⎝⎛⎭⎫x －12， 化为一般式得2kx －2y ＋3－k ＝0， 因为直线与原点的最短距离为12，所以|3－k |4＋4k 2＝12，解得k ＝33，所以所求直线的方程为x －3y ＋1＝0.15.已知直线x －2y －2k ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是________________. 答案 [－1,0)∪(0,1]解析 令x ＝0，得y ＝－k ，令y ＝0，得x ＝2k ， ∴三角形的面积S ＝12|xy |＝k 2.又S ≤1，即k 2≤1.∴－1≤k ≤1.又当k ＝0时，直线过原点，与两坐标轴构不成三角形，故应舍去. ∴实数k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1].16.已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________. 考点 中点坐标公式 题点 求过中点的直线方程 答案 －23解析 设P (x,1)，则Q (2－x ，－3)，将点Q 的坐标代入x －y －7＝0，得2－x ＋3－7＝0. ∴x ＝－2，∴P (－2,1)，∴k l ＝－23.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得直线l ′的方程. 考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化 解 在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3， 即M (－3，0).∵直线l 的斜率k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°. 若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°， 则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°， 此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝33， 故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.18.(12分)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积.解 (1)由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y ＋2＝tan 60°·x ，即3x －y －2＝0. (2)设直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ， 令y ＝0得x ＝233；令x ＝0得y ＝－2.所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12×233×2＝233，故所求三角形的面积为233.19.(12分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程. 解 (1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0， 因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3， 即l 2：2x －y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.直线l 1与l 2的交点坐标为(2,1). (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x .当l 3不过原点时，设l 3的方程为x a ＋y2a ＝1(a ≠0)，又直线l 3经过l 1与l 2的交点， 所以2a ＋12a ＝1，得a ＝52，l 3的方程为2x ＋y －5＝0.综上，l 3的方程为x －2y ＝0或2x ＋y －5＝0.20.(12分)已知点A (5,1)关于x 轴的对称点为B (x 1，y 1)，关于原点的对称点为C (x 2，y 2). (1)求△ABC 中过AB ，BC 边上中点的直线方程； (2)求△ABC 的面积. 考点 中点坐标公式 题点 与中位线有关的问题解 (1)∵点A (5,1)关于x 轴的对称点为B (x 1，y 1)，∴B (5，－1)， 又∵点A (5,1)关于原点的对称点为C (x 2，y 2)， ∴C (－5，－1)，∴AB 的中点坐标是(5,0)，BC 的中点坐标是(0，－1).过(5,0)，(0，－1)的直线方程是y －0－1－0＝x －50－5， 整理得x －5y －5＝0.(2)易知|AB |＝|－1－1|＝2，|BC |＝|－5－5|＝10，AB ⊥BC ， ∴△ABC 的面积S ＝12|AB |·|BC |＝12×2×10＝10.21.(12分)已知直线l 1：y ＝－k (x －a )和直线l 2在x 轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l 1过点P (－3,3).如果点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，求l 2的方程. 考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化 解 由题意，可设直线l 2的方程为y ＝k (x －a )， 即kx －y －ak ＝0，∵点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，∴|2k －2－ak |k 2＋1＝1，①又∵直线l 1的方程为y ＝－k (x －a )， 且直线l 1过点P (－3,3)，∴ak ＝3－3k .② 由①②得|5k －5|k 2＋1＝1，两边平方整理得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34.∴当k ＝43时，代入②得a ＝－34，此时直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0；当k ＝34时，代入②得a ＝1，此时直线l 2的方程为3x －4y －3＝0.综上所述，直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0.22.(12分)已知直线l ：y ＝4x 和点P (6,4)，点A 为第一象限内的点且在直线l 上，直线P A 交x 轴的正半轴于点B ，(1)当OP ⊥AB 时，求AB 所在直线的方程；(2)求△OAB 面积的最小值，并求当△OAB 面积取最小值时点B 的坐标. 考点 点到直线的距离题点 与点到直线的距离有关的最值问题解 (1)∵点P (6,4)，∴k OP ＝23.又∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－32.∵AB 过点P (6,4)，∴直线AB 的方程为y －4＝－32(x －6)，化为一般式可得3x ＋2y －26＝0.(2)设点A (a,4a )，a >0，点B 的坐标为(b,0)，b >0，当直线AB 的斜率不存在时，a ＝b ＝6，此时△OAB 的面积S ＝12×6×24＝72.当直线AB 的斜率存在时，有4a －4a －6＝0－4b －6，解得b ＝5aa －1， 故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫5a a －1，0，故△OAB 的面积S ＝12·5a a －1·4a ＝10a 2a －1，即10a 2－Sa ＋S ＝0.①由题意可得方程10a 2－Sa ＋S ＝0有解， 故判别式Δ＝S 2－40S ≥0，∴S ≥40，故S 的最小值为40，此时①为a 2－4a ＋4＝0，解得a ＝2. 综上可得，△OAB 面积的最小值为40， 当△OAB 面积取最小值时，点B 的坐标为(10,0).。

高中数学必修二期末测试题一一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。

）1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为（）图（1）A B C D2、直线l:3x y30的倾斜角为（）A、30；B、60；C、120；D、150。

3、边长为a正四面体的表面积是（）A、343a；B、3123a；C、342a；D、23a。

4、对于直线l:3x y60的截距，下列说法正确的是（）A、在y轴上的截距是6；B、在x轴上的截距是6；C、在x轴上的截距是3；D、在y轴上的截距是3。

5、已知a//,b，则直线a与直线b的位置关系是（）A、平行；B、相交或异面；C、异面；D、平行或异面。

6、已知两条直线l1:x2ay10,l2:x4y0，且l1//l2，则满足条件a的值为（）A、12；B、12；C、2；D、2。

7、在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点。

若AC BD a，且AC与BD所成的角为60，则四边形EFGH的面积为（）A、382a；B、342a；C、322a；D、23a。

学习好帮手8、已知圆22C:x y2x6y0，则圆心P及半径r分别为（）A、圆心P1,3，半径r10；B、圆心P1,3，半径r10；C、圆心P1,3，半径r10；D、圆心P1,3，半径r10。

9、下列叙述中错误的是（）A、若P且l，则P l；B、三点A,B,C确定一个平面；C、若直线a b A，则直线a与b能够确定一个平面；D、若A l,B l且A,B，则l。

10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）A、两条平行直线；B、一点和一条直线；C、两条相交直线；D、两个点。

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A、25；B、50；C、125；D、都不对。

12、四面体P ABC中，若PA PB PC，则点P在平面ABC内的射影点O是ABC的（）A、外心；B、内心；C、垂心；D、重心。

高一数学必修2试题附答案详解一、 选择题（12×5分＝60分）1、下列命题为真命题的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

D.2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（ ）A. 300B.450C. 600D. 9004、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB-D 的大小是（ ）A. 300B.450C. 600D. 9005、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ）A.a=2,b=5;B.a=2,b=5-;C.a=2-,b=5;D.a=2-,b=5-.6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1)7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=08、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.A B A ’ C C ’9、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ） A. 2cm; B.cm 34; C.4cm; D.8cm 。

10、圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（ ）A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).11、直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（ ） A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定.12、圆C 1: 1)2()2(22=-++y x 与圆C 2:16)5()2(22=-+-y x 的位置关系是（ ）A 、外离B 相交C 内切D 外切二、填空题（5×5=25）13、底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为 cm 2。

高中第一学期期末教学模块测试高一数学（必修2）试题参考公式：1)2S c c h ''+正棱台或圆台侧＝（； S ch 正棱柱或圆柱侧＝；12S ch '正棱锥或圆锥侧＝；24S R π球面＝； 13V S S S S h 下下台体上上＝（＋＋）；V sh 柱体＝； V sh 锥体1＝3； 343V R π球＝第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前；考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后；用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其它答案；不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分。

在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的。

1．图为某物体的实物图；则其俯视图为（ ）2.若直线l 只经过第一、二、四象限；则直线l 的斜率k （ ）A. 大于零B.小于零 D. 大于零或小于零 D. 以上结论都有可能 3.在空间直角坐标系中Q(1；4；2)到坐标原点的距离为A.21B. 21C.3D. 74、 图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（ ）A B C D5．四面体A BCD，，两两互相垂直；则顶点A在底面BCD上的-中；棱AB AC AD投影H为BCD△的（）Ａ．垂心Ｂ．重心Ｃ．外心Ｄ．内心6．一个正方体的顶点都在球面上；它的棱长为2cm；则球的表面积是（）Ａ．220πcm8πcmＢ．212πcmＣ．22πcmＤ．27.一束光线从点A(－1；1)出发经x轴反射；到达圆C: (x－2)2+(y－2)2=1上一点的最短路程是A. 4B. 5C. 32－8．如下图；都不是正四面体的表面展开图的是（）Ａ．①⑥Ｂ．④⑤Ｃ．③④Ｄ．④⑥9．已知点(,2)(0)-+=的距离为1；则a等于（）a a>到直线:30l x yＡ．2Ｂ．22-Ｃ．21+-Ｄ．1210．在平面直角坐标系中；直线(32)3x y+-=的位置关-+=和直线(23)2x y系是（）Ａ．相交但不垂直Ｂ．垂直Ｃ．平行Ｄ．重合11．圆：22460+-=交于A Bx y x yx y x+-+=和圆：2260，两点；则AB的垂直平分线的方程是（）Ａ．30--=x y++=Ｂ．250x yＣ．390x y --= Ｄ．4370x y -+=12．过点(01)-，）的直线l 与半圆22:430(0)C x y x y +-+=≥有且只有一个交点；则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） Ａ．0k =或43k = Ｂ．113k <≤ Ｃ．43k =或113k <≤Ｄ．43k =或113k ≤≤二、填空题：本大题共6小题；每小题5分；共30分。

S B 1C 1A 1CA1． 倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A ．01=+-y xB ．01=--y xC ．01=-+y xD ．01=++y x2． 原点在直线l 上的射影是P(－2，1)，则直线l 的方程是 （ ）A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x3． 如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面α内( )A ．不存在与l 平行的直线B ．不存在与l 垂直的直线C ．与l 垂直的直线只有一条D ．与l 平行的直线有无穷多条4． 过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（ ）A ．只有一个B ．至多有两个C ．不一定有D ．有无数个5． 直线093=-+y ax 与直线03=+-b y x 关于原点对称，则b a ,的值是 ( )A ．a =1，b = 9B ．a =－1，b = 9C ．a =1，b =－9D ．a =－1，b =－96． 已知直线b kx y +=上两点P 、Q 的横坐标分别为21,x x ，则|PQ|为 （ ）A ．2211k x x +⋅-B ．k x x ⋅-21C ．2211k x x +- D ．k x x 21-7． 直线l 通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是 （ ）A ．063=-+y xB ．03=-y xC ．0103=-+y xD ．083=+-y x8． 如果一个正三棱锥的底面边长为6） Ａ．92 Ｂ．9 Ｃ．2729． 一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( )A ．31003cm πB ．32083cm πC ．35003cm π D．33cm 10． 在体积为15的斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S －ABC 的体积为3，则三棱锥S －A 1B 1C 1的体积为 （ ） A ．1 B ．32 C ．2 D ．3 11． 已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ） A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．434≤≤-k D ．443≤≤k 12． 过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（ ）A ．052=-+y xB ．042=-+y xC ．073=-+y xD ．032=+-y x13． 过点)3,2(P 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．14． 过点(－6，4)，且与直线032=++y x 垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．15． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角是 ．16． 已知两点)2,1(-A ，)1,2(-B ，直线02=+-m y x 与线段AB 相交，则m 的取值范围是 ．17． 如图，△ABC 为正三角形，且直线BC 的倾斜角是45°，则直线AB ，，AC 的倾斜角分别为：AB α=__________， AC α=____________．18． 正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是 ．三、解答题：19． 已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是x ＋y ＋1＝0和3x －y ＋4＝0， 它的对角线的交点是M (3， 0)， 求这个四边形的其它两边所在的直线方程20． 在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线的方程为012=+-y x ，∠A 的平分线所在直线的方程为0=y ，若点B 的坐标为（1，2），求点 A 和点 C 的坐标．．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知M 为棱AB 的中点．（Ⅰ）AC 1//平面B 1MC ；（Ⅱ）求证：平面D 1B 1C ⊥平面B 1MC ．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴成 45角和30角，过点)0,1(P 作直线AB 分别与OA 、OB 交于A 、B ．（Ⅰ）当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；（Ⅱ）当AB 的中点在直线x y 21=上时，求直线AB 的方程．高一数学必修2复习训练题参考答案13．x 15．30° 16．]5,4[- 17．105°；165° 18．1319．07=-+y x 和0223=--y x ．20．（Ⅰ）32h =，221()3V h a ab b =++=．（Ⅱ）3h =，'h =，127(33)'22S a b h =+== 21．由 ⎩⎨⎧=+-=0120y x y 得⎩⎨⎧==01y x ，即A 的坐标为 )0,1(-，∴ 1102+-=AB k ， 又∵ x 轴为∠BAC 的平分线，∴ 1-=-=AB AC k k ， 又∵ 直线 012=+-y x 为 BC 边上的高， ∴ 2-=BC k ．设 C 的坐标为),(b a ，则11-=+a b ，212-=--a b ， 解得 5=a ，6=b ，即 C 的坐标为)6,5(． 22．（Ⅰ）MO//AC 1；（Ⅱ）MO ∥AC 1，AC 1⊥平面D 1B 1C ，MO ⊥平面D 1B 1C ，平面D 1B 1C ⊥平面B 1MC ．23．解：（Ⅰ）由题意得，OA 的方程为x y =，OB 的方程为x y 33-=，设),(a a A ， ),3(b b B -。