固体力学基础-应力分析

弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。

以下是对弹性力学主要知识点的总结。

一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。

2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。

3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。

4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。

5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。

二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。

2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。

3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。

三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。

2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。

3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。

四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。

通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。

五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。

对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。

六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。

2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。

七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。

极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。

八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。

2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。

应力协调方程应力协调方程是固体力学中的重要理论基础之一，它描述了固体内部的应力分布与变形关系。

在物理学和工程领域中，研究应力协调方程可以帮助我们理解和解决许多与力学有关的问题。

我们来了解一下什么是应力。

在固体力学中，应力是指单位面积上的力。

当外力作用于一个物体时，物体内部会产生应力，这些应力会导致物体发生变形。

根据牛顿第三定律，物体内部的应力是相互平衡的，即任何一个体积元素内部的应力都是相等且相反的。

应力协调方程正是基于这一原理建立起来的。

应力协调方程的一般形式可以表示为：∂σx/∂x + ∂τxy/∂y + ∂τxz/∂z + fx = ρa∂τyx/∂x + ∂σy/∂y + ∂τyz/∂z + fy = ρb∂τzx/∂x + ∂τzy/∂y + ∂σz/∂z + fz = ρc其中，σx、σy、σz分别表示x、y、z方向上的正应力；τxy、τxz、τyz分别表示x、y、z方向上的剪应力；fx、fy、fz分别表示x、y、z方向上的体积力；ρa、ρb、ρc分别表示x、y、z方向上的体积密度。

应力协调方程的含义是，对于一个体积元素来说，其受到的外力与其内部应力之和应该等于体积元素的质量与加速度之积。

这个方程描述了物体内部应力的平衡关系，可以帮助我们计算物体在外力作用下的变形情况。

应力协调方程在实际应用中有着广泛的用途。

例如，在工程结构设计中，我们可以利用应力协调方程来计算各个构件的应力分布，从而确定结构的稳定性和安全性。

在地震工程中，应力协调方程可以用来分析地震作用下建筑物的应力分布，进而评估其抗震性能。

在材料科学中，应力协调方程可以用来研究材料的力学性能和变形行为。

为了解决应力协调方程，我们通常需要结合边界条件和材料特性进行求解。

例如，对于一个受到均匀外力作用的长方体，我们可以利用应力协调方程求解出其内部应力分布，并根据材料的弹性模量和泊松比等参数来计算其变形情况。

这样的分析可以帮助我们更好地理解和预测材料和结构的行为。

实验应力分析小结实验应力分析:用机测、电测、光测、声测等实验分析方法确定物体在受力状态下的应力状态的学科。

实验应力分析，是用实验分析方法确定构件在受力情况下的应力状态的学科。

它既可用于研究固体力学的基本规律，为发展新理论提供依据，又是提高工程设计质量，进行失效分析的重要手段，已有多种实验方法。

本学期主要学习了电学方法分析实验，有电阻、电容、电感等多种方法，而以电阻应变计测量技术应用较为普遍，效果较好。

而主要学习了电阻应变片法。

电测法是应用最广泛的一种实验应力分析方法，它的基本原理是：将位移或者变形等力学量的变化转换为电量的变化，然后再把所测电量改变量转换回所欲测定的力学量。

这种办法，通常称为非电量的电测法。

我们实验所采用的是电阻应变法，它把应变转换为电阻变化以测量应力应变。

电阻应变片有多种形式，常用的有丝绕式和箔式应变片。

我们实验采用的是箔式应变片，将应变片用特殊的胶水粘贴在需要测量变形的构件上，由于粘贴非常牢固，且应变片基底很薄，因而可以认为应变片与构件上该点处产生相同的应变。

应变片的敏感栅在伸长或缩短，其电阻值R改变为R+∆R，从而将构件上测点处的应变转化为电阻值的变化。

电阻应变计是一种能将构件上的尺寸变化转换成电阻变化的变换器，一般由敏感栅、引线、粘结剂、基底和盖层构成。

将它安装在构件表面。

构件受载荷作用后，表面产生微小变形，敏感栅随之变形，致使应变计产生电阻变化，其变化率和应变计所在处构件的应变成正比。

测出电阻变化，即可按公式算出该处构件表面的应变，并算出相应的应力。

依敏感栅材料不同，电阻应变计分金属电阻应变计和半导体应变计两大类。

另外还有薄膜应变计、压电场效应应变计和各种不同用途的应变计，如温度自补偿应变计、大应变计、应力计、测量残余应力的应变化等。

在这个学期当中，我们在兰老师的指导下总共进行了七次实验，分别是金属材料的拉伸及弹性模量测定试验，非金属材料的拉伸测定泊松比试验，金属扭转破坏、剪切弹性模量测定，等强度等截面梁弯曲试验，弯曲正应力电测实验，弯扭组合变形的主应力测定试验，单自由度系统固有频率和阻尼比的测定试验。

固体力学基本方程固体力学是研究物体在受力作用下的变形和运动的学科。

其基础是一些基本方程，这些方程是描述固体材料力学行为的数学表达式。

本文将介绍固体力学中的基本方程，包括应力-应变关系、变形与位移关系、能量方法、力学平衡方程和边界条件等。

1.应力-应变关系应力-应变关系是固体力学中最基础的方程之一。

它描述了外力作用下固体材料的应变与应力之间的关系。

根据麦克斯韦方程，应变是应力与弹性模量之间的比例关系。

对于线弹性材料，应力与应变之间满足胡克定律，即应力等于弹性模量与应变的乘积。

2.变形与位移关系变形与位移关系是描述固体材料在受力作用下发生变形时，材料内部各点位移与应变之间的关系。

对于小变形情况，可以利用拉格朗日描述变形。

拉格朗日公式用位移场来描述固体的运动，并与应变场相关联。

位移与应变之间的关系可由位移梯度张量和应变张量之间的关系给出。

3.能量方法能量方法是固体力学中一种重要的分析方法。

它基于能量守恒原理，通过计算系统储存的弹性势能和外界对系统做的功来得出力学行为。

能量方法不仅可以用于弹性材料的分析，还可以用于塑性、粘弹性和断裂等不同力学行为的分析。

4.力学平衡方程力学平衡方程是固体力学中最基本的方程之一。

它描述了固体物体在受力作用下的平衡条件。

根据牛顿定律和力的平衡性，可以得出力学平衡方程。

对于静力学平衡，作用在物体上的体力之和等于零；对于动力学平衡，还需要考虑物体的加速度。

5.边界条件边界条件是解固体力学问题时必须考虑的重要因素之一。

它描述了固体物体与外界的相互作用。

边界条件可以包括位移边界条件、力边界条件和热边界条件等。

位移边界条件描述了物体的边界上的位移情况，力边界条件描述了物体与外界的力的作用关系，热边界条件描述了物体在温度变化下的行为。

固体力学基本方程是固体力学研究的基础，它们为解决工程和科学问题提供了框架和方法。

这些方程的应用范围广泛，包括材料强度分析、结构力学、固体材料的变形和破坏行为等。

米塞斯应力公式
米塞斯应力公式是固体力学中的一个重要公式，用于求解物体内部某一点处的应力状态。

其公式如下：
σm = [(σ1 - σ2)^2 + (σ2 - σ3)^2 + (σ3 - σ1)^2]/2
其中，σ1、σ2、σ3分别为三个主应力，σm为这个点的平均应力，也叫做von Mises应力。

米塞斯应力公式是从三维应力理论推导出来的，用于计算无法直接测量的三维应力状态。

它适用于各向同性的材料，对于各向异性材料需要进行修正。

米塞斯应力公式可以用于求解材料的破坏条件，即当其超过破坏强度时会发生破坏。

此外，它还可以用于材料设计和优化，以达到最优的材料性能。

米塞斯应力公式的求解过程需要通过矩阵迹和行列式来计算三个主应力的值，然后代入公式求得平均应力。

由于计算过程较为复杂，通常需要使用计算机软件来完成。

另外，米塞斯应力公式只能计算应力状态，无法计算应变状态。

在实际应用中，米塞斯应力公式经常被用于工程结构的应力分析和设计。

例如，在航空航天工程中，需要对飞机零部件进行应力分析，以
保证其在高速飞行和复杂载荷下的安全性。

在建筑设计中，也需要对建筑材料和结构进行应力分析，以保证其满足设计要求和使用寿命。

此外，在机械工程、汽车工程、电子工程等领域，也需要使用米塞斯应力公式进行相关的分析和设计。

总之，米塞斯应力公式是固体力学中的一项重要工具，可以用于求解三维应力状态的平均应力，具有广泛的应用价值。

计算固体力学引言固体力学是力学中的一个重要分支，研究固体物体在外力作用下的力学行为以及力学参数的计算。

在工程领域中，准确计算固体的力学性能对于设计和优化结构至关重要。

本文将介绍固体力学的基本概念和计算方法。

固体力学的基本概念1.应力和应变：应力指的是材料内部单位面积上的力的作用，用于描述固体的承载能力；应变指的是固体在外力作用下的形变程度，用于描述固体的变形性能。

2.弹性力学：弹性力学研究固体的弹性行为，即固体在外力作用下，恢复到初始形状的能力。

弹性力学参数包括弹性模量、剪切模量和泊松比等。

3.屈服、塑性和破裂：当外力超过固体的弹性限度时，固体会发生塑性变形。

屈服点是指材料开始发生塑性变形的临界点。

固体在外力作用下超过其塑性限度时，会发生破裂。

固体力学的计算方法1.应力计算：应力可以通过外力和物体的几何形状计算得到。

常见的计算方法有静力学方法和有限元方法等。

–静力学方法：根据物体受力平衡的条件，可以得到物体内部的应力分布。

常见的静力学方法有力的分解、受力分析和力的平衡等。

–有限元方法：将物体划分成许多小的有限元，通过数值计算方法求解每个有限元的应力，然后形成整体的应力分布图。

2.应变计算：应变可以通过物体的变形情况计算得到。

常见的计算方法有静力学方法和光学方法等。

–静力学方法：利用物体的几何形状和变形情况，可以计算得到物体内部的应变分布。

–光学方法：利用光的折射原理，通过测量物体在外力作用下的形变情况，可以计算得到物体的应变分布。

3.强度计算：固体的强度是指固体在外力作用下的承载能力。

强度计算是根据应力和材料的弹性参数进行计算。

常见的强度计算方法包括极限状态设计和使用安全系数等。

4.被动元件计算：固体力学还应用于计算和设计各种被动元件，如弹簧、梁、柱等。

根据被动元件的材料和几何特征，可以计算其应力、应变和变形等参数。

结论固体力学是研究固体物体力学行为以及力学参数计算的重要学科，在工程领域有广泛的应用。

2019年固体力学与岩石力学基础例题第二章 应力分析例题2.1 设某点的应力张量为012120201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭σ试求过该点平面12331x x x ++=上的应力矢量，并求正应力矢量和切应力矢量。

解：设该平面的法线矢量为：v =(l ，m ，n)由几何关系知：l 1=m 3=n 1联立方程：l 2+m 2+n 2=1于是解得：l =√1111，m =3√1111，n =√1111所以，该平面上的应力矢量的三个分量分别为：T x =σx l +τyx m +τzx n =0×√1111+1×3√1111+2×√1111=5√1111 T y =τyx l +σy m +τzy n =1×√1111+2×3√1111+0×√1111=7√1111 T z =τzx l +τzy m +σz n =2×√1111+0×3√1111+1×√1111=3√1111该平面的法向应力和切向应力为：σv =T x l +T y m +T z n =5√1111×√1111+7√1111×3√1111+3√1111×√1111=2911τv 2=T v 2−σv 2=8311−841121=72121τv =6√211解答完毕。

例题2.2 设有图2.1示三角形水坝，试列出OP 面（光滑面）的应力边界条件。

图2.1解：在OP 面上有应力边界条件：(σx1x2)x1=0=γx 2 (τx1x2)x1=0=0式中，γ为水的比重。

解答完毕。

例题2.3 已知一点的应力张量为2201211210σ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭过该点的一个作用面，作用面上的应力矢量=N 0，求： 1）22σ；2）作用面法线与坐标系的夹角余弦(,,)l m n 。

解：由于具有一个平面，使得在过改点的一个平面上，应力矢量为0，即：0×l +1×m +2×n =0 1×l +σ22×m +1×n =0 2×l +1×m +0×n =0又根据几何关系：l 2+m 2+n 2=1解得：σ22=12l =√66 m =−√63n =√66解答完毕。

材料固体力学材料固体力学是研究材料在外力作用下的力学性质和变形行为的一门学科。

它广泛应用于工程材料的设计和优化、结构力学分析、材料失效分析等领域。

本文将从材料力学的基本概念、应力和应变、弹性力学和塑性力学等方面进行阐述。

材料固体力学研究的基本概念是材料的力学性质和变形行为。

力学性质包括材料的强度、刚度、韧性等，而变形行为则描述了材料在外力作用下的变形过程。

材料固体力学通过实验和理论分析，研究材料的变形机制和力学性能，以揭示材料的本质规律。

材料固体力学中的重要概念是应力和应变。

应力是指单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力。

正应力是垂直于物体截面的力对截面单位面积的作用，剪应力则是平行于物体截面的力对截面单位面积的作用。

应力的大小和方向决定了物体在外力作用下的变形行为。

应变是指材料单位长度的变化量。

根据材料的变形特性，应变可以分为线性应变和非线性应变。

线性应变是指材料的应变与应力成线性关系，而非线性应变则是指材料的应变与应力之间存在非线性关系。

材料固体力学通过测量应力和应变的关系，可以得到材料的力学性质，如杨氏模量、泊松比等。

弹性力学是材料固体力学中的重要分支，研究材料在小应变范围内的力学行为。

在弹性力学中，材料的应力与应变之间存在线性关系，即胡克定律。

根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以表示为应力等于杨氏模量乘以应变。

弹性力学的研究可以预测材料在外力作用下的变形行为，为材料设计和结构分析提供依据。

相对于弹性力学，塑性力学研究材料在大应变范围内的力学行为。

在塑性力学中，材料的应力与应变之间存在非线性关系。

材料在塑性变形过程中会发生永久性变形，即材料无法完全恢复到初始状态。

塑性力学的研究可以揭示材料的变形机制和失效行为，对于材料的可靠性和耐久性评估具有重要意义。

材料固体力学是研究材料在外力作用下的力学性质和变形行为的学科。

通过研究材料的应力和应变，可以揭示材料的力学性能和变形机制。

弹性力学和塑性力学作为材料固体力学的重要分支，分别研究了材料在小应变和大应变范围内的力学行为。

三个主应力的求法
在材料力学和固体力学中，主应力是非常重要的概念，因为它们直接关联到材料的破坏和变形。

主应力是物体在受力状态下，某一点上三个相互垂直的方向上应力的最大值、中间值和最小值。

这三个主应力通常被标记为σ1、σ2和σ3，其中σ1是最大主应力，σ3是最小主应力。

要求解三个主应力，通常需要使用应力张量和应力状态分析。

以下是求解主应力的一般步骤：
1. 确定应力状态：首先，需要知道物体在某一点上的应力状态。

这通常是通过实验测量或理论计算得到的。

应力状态可以用应力张量来表示，它是一个3x3的矩阵。

2. 求解特征值和特征向量：主应力是应力张量的特征值。

因此，需要求解应力张量的特征方程，得到三个特征值（即主应力）和对应的特征向量（即主应力的方向）。

3. 排序：将得到的三个特征值（主应力）按大小排序，得到σ1、σ2和σ3。

在数学上，求解特征值和特征向量通常涉及到解一个三次方程（特征方程）。

然而，在实际应用中，经常可以使用简化的方法，特别是当应力状态具有某种对称性时。

对于二维问题（平面应力状态），求解主应力相对简单，可以直接使用应力莫尔圆来求解。

但对于三维问题，通常需要使用更复杂的数学方法。