材料力学第8章应力状态分析

图8.1
由以上分析可见，杆内各点应力的大小和方向不仅与该点所处位置有关，而
且还与过该点的截面方位有关。过一点所有截面上应力的集合，称为该点的
应力状态。为了解决构件在复杂受力情况下的强度问题，必须了解构件中的 危险点哪一截面的正应力最大，哪一截面的切应力最大，为此有必要研究一
点处各截面应力的变化规律，这就是一点的应力状态分析。一点的应力状态
而存在3个主应力，这3个主应力按代数值排列分别表示为 σ 1，σ 2，σ 3，
按代数值大小排序，它们的关系为σ 1≥σ 2≥σ 3。3个相互垂直的主平面可 围成一个单元体，自然，该单元体各个面均为主平面，且该单元体上只有主
应力的作用，这样的单元体称为主单元体。
对于构件中的某一点，当3个主应力全都不为零时，该点的应力状态称为三
x代替
y利用三角公式，上两式可简化为
利用式（8.1）和式（8.2）可求得二向应力状态单元体上任意斜截面上的应
力σ
α
和
8．2．2主平面与主应力的计算 由公式（8.1）可知，斜截面上的正应力σ
α
的数值随角度α 而改变，极值正
应力的数值及与之对应的斜截面法线与 x 轴的夹角，可由公式（8.1）通过
导数 求得。
第8章 应力状态分析
8.1应力状态概述 在研究杆件弯曲或扭转变形时，杆件内位置不同的点具有不同的应力情况。
因此，构件中某一点的应力随几何坐标变化，是几何坐标的函数。然而，即
使对空间位置确定的某一个点而言，通过该点的截面方位不同，其应力值也 不相同。现在以直杆拉伸为例（见图8.1），A点是杆件中位置确定的一个
=α 0+ 90°，它们确定了互相垂直的两个主平面的方位，在这两个主平面上
同时作用有正应力的极值，一个为极大值，另一个为极小值。由公式(8.4) 求出sin 2α 0，cos 2α 0，sin 2α ′0及cos 2α ′0，代入公式(8.1)中，则
正应力极大值和极小值为
由于这两个正应力极值，作用在主平面上，因此这两个正应力 极值即为两个主应力，式（8.5）即为平面应力状态主应力计算
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
即
以α 0表示极值正应力作用平面的法线与x轴的夹角，从而可求得
将式(8.4)与式（8.2）比较可见，极值正应力作用的截面上切应力为零，因 此，极值正应力作用的平面即为主平面，因此式（8.4）即为主平面倾角表
达式。
因为 tan 2α 0=tan 2(α
0
+ 90°)，所以方程（8.4）有两个解α 0和α ′0
式。由于平面应力状态中有一个主应力为零，因此3个主应力分
别为式（8.5）计算得到的σ
留左下部分， α 截面上的正应力和切应力分别用 σ α 和 α 表示，如图 8.3 （ c ）所示。若斜截面 ac 的面积为 A α ，则 ab 面和 bc 面的面积分别为 A α
cos α 和 A α sin α 。考虑左下部分的平衡，列法线 n 和切线 t 方向的
平衡方程如下
注意：
x和
ywk.baidu.com值上相等，以
向（或空间）应力状态，当有一个主应力为零时，称为二向（或平面）应力
状态，当有两个主应力为零时，称为单向应力状态。三向和二向应力状态又 称为复杂应力状态，单向应力状态则称为简单应力状态。
工程中经常遇到二向应力状态的问题，下面主要对二向应力状态进行分析研
究。
8.2二向应力状态分析——解析法 8．2．1二向应力状态的斜截面应力 如图8.3（a）所示单元体为二向应力状态的一般情况，在单元体上，与 x 轴垂直的平面称为x截面，其上作用有正应力σ x和切应力x；与y轴垂直的平 面称为y截面，其上作用有正应力σ y和切应力y；与z轴垂直的z截面上应力为 零，该平面是主平面。切应力x 或y的角标x(或y)表示切应力作用面的法线 方向。二向应力状态也可用如图8.3（b）所示的平面单元体来表示。应力的 符号规则如前（参见2.3节），图中的σ x，σ y和x为正值，而y为负值。
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
通常用单元体来描述。
在分析构件中一点的应力状态时，通常先用应力已知的截面来截取一个单元
体。例如，如图8.2（a）所示的悬臂梁，在横截面m—m上A，B，C这3点的应
力（见图8.1（b））可由弯曲应力公式确定。由应力沿截面高度的变化规律 （见图8.2（c））可知，A点只有正应力，B点只有切应力，C点既有正应力
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
（见图 8.3 （ b ）），反之为负。沿 α 截面将单元体截分为两个部分，保
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。