高二数学圆锥曲线与方程PPT教学课件
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高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件 a选修21a高二选修21数学课件
解：设 M(x，y)，则 kMA＝x＋y 1，kMB＝x－y 1(x≠±1)， ∴x＋y 1×x－y 1＝－2， ∴x2＋y22＝1(x≠±1)． 故动点 M 的轨迹方程为 x2＋y22＝1(x≠±1)．
12/12/2021
第二十五页，共三十九页。
设动点 P 在圆 x2＋y2＝1 上移动，M(3,0)，求 PM 的中点 Q 的轨迹方程．
12/12/2021
第四页，共三十九页。
‖知识梳理‖ 1．在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都 是 __这__个__(z_h_è_ge_)方__程__的_解____ ； (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 ______都__是__曲__线__(q_ūx_ià_n_)上__的__点__．那么这个方程叫做曲线的方程， 这种曲线叫做方程的曲线．
第二章 圆锥曲线 与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
12/12/2021
第一页，共三十九页。
2．1 曲线 与方程 (qūxiàn)
12/12/2021
第二页，共三十九页。
12/12/2021
自主(zìzhǔ)学习导航
梳理知识(zhī shi) 夯实基础
第三页，共三十九页。
目标导学
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．理解曲线的方程和方程的曲线的意义．
12/12/2021
第二十三页，共三十九页。
[名 师 点 拨] 直接根据动点所满足的条件，把几何关系用 x，y 表示，从 而得到动点的轨迹方程，这种方法叫做直接法．在求曲线方程 时，若没有坐标系，首先要建系．若有，只需设点代入关系式 即可．
12/12/2021
第二十五页，共三十九页。
设动点 P 在圆 x2＋y2＝1 上移动，M(3,0)，求 PM 的中点 Q 的轨迹方程．
12/12/2021
第四页，共三十九页。
‖知识梳理‖ 1．在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都 是 __这__个__(z_h_è_ge_)方__程__的_解____ ； (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 ______都__是__曲__线__(q_ūx_ià_n_)上__的__点__．那么这个方程叫做曲线的方程， 这种曲线叫做方程的曲线．
第二章 圆锥曲线 与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
12/12/2021
第一页，共三十九页。
2．1 曲线 与方程 (qūxiàn)
12/12/2021
第二页，共三十九页。
12/12/2021
自主(zìzhǔ)学习导航
梳理知识(zhī shi) 夯实基础
第三页，共三十九页。
目标导学
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．理解曲线的方程和方程的曲线的意义．
12/12/2021
第二十三页，共三十九页。
[名 师 点 拨] 直接根据动点所满足的条件，把几何关系用 x，y 表示，从 而得到动点的轨迹方程，这种方法叫做直接法．在求曲线方程 时，若没有坐标系，首先要建系．若有，只需设点代入关系式 即可．
高中数学课件-圆锥曲线与方程2
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
方法二：设所求双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 将点 M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
程． 题．
1．理解双曲线的定义、几何图形和原则方程的推导过
2．掌握双曲线的原则方程． 3．会运用双曲线的定义和原则方程解决简朴的应用问
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰构成第四批护航编 队远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
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(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双 曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与数Ⅱ 异号，因此双曲线的方程又可写为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)，这种形 式是焦点所在的坐标轴不易判断时的统一写法．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y 轴上，因为点 A(－5,6)在双 曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a，即 2a＝| －5－02＋6＋62－ －5－02＋6－62|
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程课件新人教B版选修2_1
x2 y2
a2 − b2 = 1,
y2 a2
−
x2 b2
=
1,
其中a>0,b>0
2.求双曲线方程的常用方法 剖析:(1)待定系数法.即先设出方程的标准形式,再确定方程中的 参数a,b的值,即“先定型,再定量”,若两种类型都有可能,则应进行分 类讨论. (2)定义法.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
y 轴上,不是以分母的大小确定的,而是依据二次项系数的符号确定
的.
正解:将双曲线方程化为标准方程
������2 4
−
������2 9
=
1,
可知焦点在y
轴
上,则 a=2,b=3,c2=a2+b2=13,
即 c= 13.
故双曲线的焦点坐标为 F1(0,− 13), ������2(0, 13).
题型一
c2=a2+b2
名师点拨1.由求双曲线的标准方程的过程可知:只有当双曲线的两 个焦点在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到双曲线的标准方 程.反之亦成立.
2.在双曲线的标准方程中,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2 的系数为正,则焦点在y轴上.
知识梳理
【做一做 2-1】
双曲线
������2 10
=
1.
答案:���4���2
−
������2 3
=
1
重难聚焦
1.椭圆与双曲线的区别 剖析:
椭圆
双曲线
MF1 + MF2 = 2������
因为 a>c>0,所以令
a2-c2=b2(b>0)
x2 y2
a2 + b2 = 1,
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线课件新人教A选修2_1
2
2
12|(x0-12)2+74|.
当 x0=12时,dmin=782.
(法二)由 y = x2,
消去 y,得 x2-x-m=0,
x-y + m = 0,
令Δ=1+4m=0,得 m=-1,
4
所以切线方程为 x-y-1=0,
4
所以最短距离为 d=|-2+14|=7 2.
28
1.抛物线 y2=-2px(p>0)的焦点恰好与椭圆x2+y2=1 的一个焦点重
探究 1:由抛物线的几何性质求标准方程
【例 1】已知等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点,另外 两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上.若该三角形的斜边长为 4,求 此抛物线的方程.
想一想:过抛物线 y2=8x 的焦点作倾斜角为 45°的直线,则
被抛物线截得的弦长为
.
(指定小组回答,其他组补充)
【解析】由抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),得直线的方程为 y=x-2.
代入 y2=8x,得(x-2)2=8x,即 x2-12x+4=0. 所以 x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16. 【答案】16
某公园要建造一个如图 1 的圆形喷水池,在水池中央垂直于 水面安装一个花形柱子 OA,O 恰在水面中心,OA=0.81 米,安置在柱 子顶端 A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛 物线路径落下,且在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图 2 所示. 为使水流形状较为漂亮,设计成水流在与 OA 距离为 1 米处达到距 水面最大高度 2.25 米.
第 10 课时 抛物线的简单几何性质
重点:抛物线的性质及其应用. 难点:正确地根据方程讨论曲线的几何性质,并注意椭圆、双 曲线、抛物线的性质的联系与区别. 学法指导:通过研究抛物线的标准方程和图形掌握抛物线的 几何性质;在处理习题的过程中要有意识地总结抛物线的一些常 用性质,比如焦点弦的性质;对于抛物线的实际应用问题要注意 体会其处理方法(常常要进行建系),将题目给定的长度关系转化 为坐标关系,从而利用方程或性质来解决.
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线课件 b选修21b高二选修21数学课件
(dǐngdiǎn)A在怎样的曲线上运动？
第十三页，共十五页。
小结 ： (xiǎojié)
1.三种圆锥曲线的形成(xíngchéng)过程 2.椭圆 的定义 (tuǒyuán)
3.双曲线的定义
4.抛物线的定义
第十四页，共十五页。
内容 总结 (nèiróng)
§2.1圆锥曲线。思考：是否平面内到两定点之间的距离和为定长的点的轨迹就是椭圆。 １）当动点Ｐ到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1＋PF2> F1F2时，P点的轨迹是椭圆。看Ｐ
的距离）
第七页，共十五页。
说明 ： (shuōmíng)
1、椭圆、双曲线、抛物线统称(tǒngchēng)为圆锥曲线
2、我们可利用(lìyòng)上面的三条关系式来判断 动点M的轨迹是什么！
第八页，共十五页。
例1．已知条件 p (tiáojiàn) ：平面上的动点M到两定点F1,F2
的距离之和为常数2a> |F1F2| ；条件Q：动点M的轨迹以
可以(kěyǐ)用数学表达式来体现:
椭圆形成演示椭 圆(tuǒyuán)定义.gsp
设平面内的动点为M,有 MF1MF22a
（2a> F 1 F 2 的常数） 思考：
在椭圆的定义中，如果这个常数小于或 等于 F 1 F 2，动点M的轨迹又如何呢？
第三页，共十五页。
思考：是否平面内到两定点(dìnɡ diǎn) 之间的距离和为定长的点的轨迹
No Ｆ１和ＰＦ２谁大，偏向小的一边。1、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线。2、我们
可利用上面的三条关系式来判断动点M的轨迹是什么。例1．已知条件(tiáojiàn)p：平面上 的动点M到两定点F1,F2的距离之和为常数2a> |F1F2|。4.抛物线的定义
第十三页，共十五页。
小结 ： (xiǎojié)
1.三种圆锥曲线的形成(xíngchéng)过程 2.椭圆 的定义 (tuǒyuán)
3.双曲线的定义
4.抛物线的定义
第十四页，共十五页。
内容 总结 (nèiróng)
§2.1圆锥曲线。思考：是否平面内到两定点之间的距离和为定长的点的轨迹就是椭圆。 １）当动点Ｐ到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1＋PF2> F1F2时，P点的轨迹是椭圆。看Ｐ
的距离）
第七页，共十五页。
说明 ： (shuōmíng)
1、椭圆、双曲线、抛物线统称(tǒngchēng)为圆锥曲线
2、我们可利用(lìyòng)上面的三条关系式来判断 动点M的轨迹是什么！
第八页，共十五页。
例1．已知条件 p (tiáojiàn) ：平面上的动点M到两定点F1,F2
的距离之和为常数2a> |F1F2| ；条件Q：动点M的轨迹以
可以(kěyǐ)用数学表达式来体现:
椭圆形成演示椭 圆(tuǒyuán)定义.gsp
设平面内的动点为M,有 MF1MF22a
（2a> F 1 F 2 的常数） 思考：
在椭圆的定义中，如果这个常数小于或 等于 F 1 F 2，动点M的轨迹又如何呢？
第三页，共十五页。
思考：是否平面内到两定点(dìnɡ diǎn) 之间的距离和为定长的点的轨迹
No Ｆ１和ＰＦ２谁大，偏向小的一边。1、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线。2、我们
可利用上面的三条关系式来判断动点M的轨迹是什么。例1．已知条件(tiáojiàn)p：平面上 的动点M到两定点F1,F2的距离之和为常数2a> |F1F2|。4.抛物线的定义
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件 b选修21b高二选修21数学课件
基本依据和方法.
(
【做一做 2】 若曲线 y=x2+1 和 y=x+m 有两个不同的交点,则
)
3
A.m∈R
B.m∈ 0,
C.m=
3
4
4
D.m∈
3
,+∞
4
解析:已知条件可转化为联立后的方程组有两组不同的解,即方
3
4
程 x2-x+1-m=0 的判别式大于零,即(-1)2-4(1-m)>0,解得 m> .
则的取值范围为_________________.
||
解析:由题意,得圆心到直线的距离大于半径,即
2
∴k>8 或 k<-8.
答案:k>8 或 k<-8
12/8/2021
第十七页，共十九页。
> 4,
5
典例透析
12/8/2021
第十八页，共十九页。
内容(nèiróng)总结
2.1 曲线与方程。1.了解曲线与方程的对应关系.。2.了解两条曲线交点(jiāodiǎn)的求法.。
2
C. -2,-
9
2
D. 2,
9
2
答案(dá àn):B
12/8/2021
第十四页，共十九页。
典例透析
1
2
3
4
5
3.在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 ·
= 4, 则点的轨迹方程是_____________________.
解析:已知 P(x,y),又 · = 4, 故x+2y=4.
代入y1=312 − 1, 得3y+2=3(3x+2)2-1,则有 y=9x2+12x+3.故所求轨迹
(
【做一做 2】 若曲线 y=x2+1 和 y=x+m 有两个不同的交点,则
)
3
A.m∈R
B.m∈ 0,
C.m=
3
4
4
D.m∈
3
,+∞
4
解析:已知条件可转化为联立后的方程组有两组不同的解,即方
3
4
程 x2-x+1-m=0 的判别式大于零,即(-1)2-4(1-m)>0,解得 m> .
则的取值范围为_________________.
||
解析:由题意,得圆心到直线的距离大于半径,即
2
∴k>8 或 k<-8.
答案:k>8 或 k<-8
12/8/2021
第十七页，共十九页。
> 4,
5
典例透析
12/8/2021
第十八页，共十九页。
内容(nèiróng)总结
2.1 曲线与方程。1.了解曲线与方程的对应关系.。2.了解两条曲线交点(jiāodiǎn)的求法.。
2
C. -2,-
9
2
D. 2,
9
2
答案(dá àn):B
12/8/2021
第十四页，共十九页。
典例透析
1
2
3
4
5
3.在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 ·
= 4, 则点的轨迹方程是_____________________.
解析:已知 P(x,y),又 · = 4, 故x+2y=4.
代入y1=312 − 1, 得3y+2=3(3x+2)2-1,则有 y=9x2+12x+3.故所求轨迹
版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念课件 新人教B版选修2-1.pptx
答案 解析
13
反思与感悟
解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的 方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性” 是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判 断点的坐标是否适合曲线的方程.
15
跟踪训练1 设方程 f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距
离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标
轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.
17
反思与感悟
解答
∵12＋(－2－1)2＝10，( )22＋(3－1)2＝6≠10， ∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q( ，32)不在此曲线 上.
10
梳理
(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的 两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系， 曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上. 定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适 合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数 对(x，y)建立了 一一对应 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研 究方程的性质可间接地研究曲线的性质.
解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程 的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的 解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备 性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线 的方程.
13
反思与感悟
解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的 方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性” 是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判 断点的坐标是否适合曲线的方程.
15
跟踪训练1 设方程 f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距
离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标
轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.
17
反思与感悟
解答
∵12＋(－2－1)2＝10，( )22＋(3－1)2＝6≠10， ∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q( ，32)不在此曲线 上.
10
梳理
(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的 两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系， 曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上. 定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适 合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数 对(x，y)建立了 一一对应 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研 究方程的性质可间接地研究曲线的性质.
解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程 的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的 解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备 性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线 的方程.
圆锥曲线与方程课件PPT
d＝
|16－8| 32＋－22＝
813＝81313，切点为 P32，－74.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－
d＝
|16－8| 32＋－22＝
813＝81313，切点为 P32，－74.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－
y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，
联立方程xx－2＋y8＋y2a＝＝80，， 得 9y2－2ay＋a2－8＝0，
自主学习
知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立yax＝22＋kbyx2＋ 2＝m1，. 消去y得到一个关于x的一元二次方程.
位置关系 相交 相切 相离
解的个数 _两__解 _一__解 _无__解
Δ的取值 Δ_>_0 Δ＝__0 Δ_<_0
① ②
则①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴8(x1－x2)＋16(y1－y2)＝0，∴k＝xy11－－xy22＝－12， ∴以点 A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为
y－2＝－12(x－4)，
整理得，x＋2y－8＝0.
解析答案
12345
5.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，满足M→F1·M→F2＝0 的点 M 总在椭圆内部， 则椭圆离心率的取值范围是_0_<_e_<__22__. 解析 设点 M(x，y)，∵M→F1·M→F2＝0，
2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4
AD 20 cos, AB 16sin S 2016sin cos 160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件
(1)曲线上_点__的__坐__标__都是这个方程的解 (2)以这个方程的_解_为_坐__标__的__点_都是曲线上的点
方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完 备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例 外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适 合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
x－1≥0， x＋y－1＝0
或x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
故方程表示直线 x＝1 或射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0 可得
x－2＝0， y2－4＝0，
即yx＝＝22，
或xy＝ ＝－2，2，
答案： (x－1)2＋y2＝1
4．到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为 什么？
解析： 显然不对(只具备条件(2)，而不具备条件(1))．这 是因为，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线：l1：x－ y＝0和l2：x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x－y＝0的 解，但直线l2上的点(除原点外)的坐标不是方程x－y＝0的解， 方程x－y＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹的方程.
第 二 章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
自主学习 新知突破
1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．了解求曲线方程的步骤． 3．会求简单曲线的方程．
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方 程中．
[问题1] 直线y＝－x上任一点M到两坐标轴的距离相等 吗？
[提示1] 相等．
[问题2] [提示2] [问题3] [提示3]
方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完 备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例 外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适 合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
x－1≥0， x＋y－1＝0
或x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
故方程表示直线 x＝1 或射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0 可得
x－2＝0， y2－4＝0，
即yx＝＝22，
或xy＝ ＝－2，2，
答案： (x－1)2＋y2＝1
4．到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为 什么？
解析： 显然不对(只具备条件(2)，而不具备条件(1))．这 是因为，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线：l1：x－ y＝0和l2：x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x－y＝0的 解，但直线l2上的点(除原点外)的坐标不是方程x－y＝0的解， 方程x－y＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹的方程.
第 二 章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
自主学习 新知突破
1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．了解求曲线方程的步骤． 3．会求简单曲线的方程．
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方 程中．
[问题1] 直线y＝－x上任一点M到两坐标轴的距离相等 吗？
[提示1] 相等．
[问题2] [提示2] [问题3] [提示3]
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（±c,0)
c2=a2-b2
0<e<1
X轴，实轴长2a, Y轴，虚轴长2b
（±c,0)
c2=a2+b2
e>1
x=±a2/c x=±a2/c
X轴 （p/2,0)
e=1 x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a)x
二、应用举例
例1.求双曲线9y2– 16x2 =144的实半轴与虚 半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
Y
解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。
分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0
配方，得（x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
P
O1
O2
当⊙P与⊙O1: (x+3)2+y2=4外切时，有 |O1P|=R+2
当⊙P与⊙O2: (x-3)2+y2=100内切时，有 |O2P|=10-R
A.x2 y2 1 B.x24y21C. y2 x2 1 D.4y2x21
4
4
3．和圆x2+y2=1外切，且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹
方程是 x2=2|y|+1 。
做练习
3．过点P（ 0 ， 4 ）与抛物线y2=2x只有一个公共点的 直线有 3 条。
4、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有
F(2,0)，则圆心Ｍ的轨迹方程是 y2 8x．
一、知识回顾
椭圆
圆
锥 双曲线
曲
线 抛物线
标准方程 标准方程 标准方程
几何性质
第二定义
几何性质 第二定义
综合应用 统一定义
几何性质
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
几何条件 标准方程
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点
与两个定点的 与一个定点和
的距离-2)2=2x
则：y15
A(35,15);B(35,15) kO B1 3 5 5,kO A1 3 5 5, k O• B k O A 1 3 5 5 • 1 3 5 5 9 1 5 5 1
∴OA⊥OB
证法2：同证法1得方程 x2-6x+4=0
由一元二次方程根与系数的关系，可知
即，动圆圆心P(x,y)到点O1（-3，0）和点O2(3,0)距离的和 是常数12，所以点P的轨迹是焦点为（-3，0）、（3，0），
长轴长等于12的椭圆。于是可求出它的标准方程。
∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 ∴b2=36-9=27
x2 y2
于是得动圆圆心的轨迹方程为
1 36 27
解:把方程化成标准方程: －y2 - －x2 =1 16 25
故 实半轴长a=4,虚半轴长b=3
________
∴ c=√16+9 =5.
∴ e=－5
4
故 渐进线方程为:y=±－34 x
例2.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证：OA⊥OB。
证法1：将y=x-2代入y2=2x中，得 化简得 x2-6x+4=0
这个动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为 12、6 3.
三、课堂练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M（2，0）的距
离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ D ）
A．直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.P是双曲线 x2/4-y2=1 上任意一点，O为原点，则OP
线段中点Q的轨迹方程是（ B）
公共点，则m的取值范围是
[1,5） 。
5、过点M（-2，0）的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2
两点，线段P1P2的中点为P，设直线 l 的斜率为k1(k1≠0)，
直线OP的斜率为k2，则 k1k2 的值为
( 1 ) 2
思考题
已知椭圆
x2 y2
1中，F1、F2 分
别为其
42 左、右焦点和点A
常数
值等于常数
离相等
ax22by221(ab0) ax22by221(a0,b0) y22p(xp0)
图 形
顶点坐标
（±a,0),(0,±b)
（±a,0)
（0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆
双曲线
抛物线
对称性
焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程
X轴，长轴长2a, Y轴，短轴长2b
课前热身
(１) 求长轴与短轴之和为20，焦距为4 5 的 椭圆的标准方程_________________
(1) x2 y2 1 和
x2 y2 1
36 16
16 36
(2)求与双曲线
x2 y2 1
9 16
有共同渐近线，且过
点（-3，2 3）的双曲线方程；
4x2 y2 (2) 1
94
(3)一动圆Ｍ和直线l:x=-2相切，并且经过点
X
① ②
①、②式两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12
即
(x 3 )2 y 2(x 3 )2 y 2 12
化简并整理，得
3x2+4y2-108=0
即可得
x2 y2 1
36 27
所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别
为 12、6 3. 解法2：同解法1得方程 (x 3 )2 y 2(x 3 )2 y 2 12
1
,
1
，试在
椭圆上找一点 P,使
2
y
（1）PAPF2取得最小值; P
AP
F1 o F2
（2）PA 2PF 1取得最小值.
x
四、小结：
1、本节课的重点是掌握圆锥曲线的定义及性质在解 题中的应用，要注意两个定义的区别和联系。
2、利用圆锥曲线的定义和性质解题时，要注意曲线 之间的共性和个性。
3、利用圆锥曲线的定义和性质解题时，要加强数形 结合、化归思想的训练，以得到解题的最佳途径。
x1+x2=6, ∵y1=x1-2 ,
x1·x2=4 y2=x2-2;
∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4
=4-12+4=-4
k O • A k O B x y 1 1• x y 2 2 x y 1 1 x y 2 2 4 4 1
∴OA⊥OB
例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0 内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1-1
2.4《圆锥曲线 与方程全章小结》
复习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的 几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲 线的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形，并了解圆锥曲线的初步应用。
c2=a2-b2
0<e<1
X轴，实轴长2a, Y轴，虚轴长2b
（±c,0)
c2=a2+b2
e>1
x=±a2/c x=±a2/c
X轴 （p/2,0)
e=1 x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a)x
二、应用举例
例1.求双曲线9y2– 16x2 =144的实半轴与虚 半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
Y
解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。
分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0
配方，得（x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
P
O1
O2
当⊙P与⊙O1: (x+3)2+y2=4外切时，有 |O1P|=R+2
当⊙P与⊙O2: (x-3)2+y2=100内切时，有 |O2P|=10-R
A.x2 y2 1 B.x24y21C. y2 x2 1 D.4y2x21
4
4
3．和圆x2+y2=1外切，且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹
方程是 x2=2|y|+1 。
做练习
3．过点P（ 0 ， 4 ）与抛物线y2=2x只有一个公共点的 直线有 3 条。
4、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有
F(2,0)，则圆心Ｍ的轨迹方程是 y2 8x．
一、知识回顾
椭圆
圆
锥 双曲线
曲
线 抛物线
标准方程 标准方程 标准方程
几何性质
第二定义
几何性质 第二定义
综合应用 统一定义
几何性质
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
几何条件 标准方程
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点
与两个定点的 与一个定点和
的距离-2)2=2x
则：y15
A(35,15);B(35,15) kO B1 3 5 5,kO A1 3 5 5, k O• B k O A 1 3 5 5 • 1 3 5 5 9 1 5 5 1
∴OA⊥OB
证法2：同证法1得方程 x2-6x+4=0
由一元二次方程根与系数的关系，可知
即，动圆圆心P(x,y)到点O1（-3，0）和点O2(3,0)距离的和 是常数12，所以点P的轨迹是焦点为（-3，0）、（3，0），
长轴长等于12的椭圆。于是可求出它的标准方程。
∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 ∴b2=36-9=27
x2 y2
于是得动圆圆心的轨迹方程为
1 36 27
解:把方程化成标准方程: －y2 - －x2 =1 16 25
故 实半轴长a=4,虚半轴长b=3
________
∴ c=√16+9 =5.
∴ e=－5
4
故 渐进线方程为:y=±－34 x
例2.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证：OA⊥OB。
证法1：将y=x-2代入y2=2x中，得 化简得 x2-6x+4=0
这个动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为 12、6 3.
三、课堂练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M（2，0）的距
离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ D ）
A．直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.P是双曲线 x2/4-y2=1 上任意一点，O为原点，则OP
线段中点Q的轨迹方程是（ B）
公共点，则m的取值范围是
[1,5） 。
5、过点M（-2，0）的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2
两点，线段P1P2的中点为P，设直线 l 的斜率为k1(k1≠0)，
直线OP的斜率为k2，则 k1k2 的值为
( 1 ) 2
思考题
已知椭圆
x2 y2
1中，F1、F2 分
别为其
42 左、右焦点和点A
常数
值等于常数
离相等
ax22by221(ab0) ax22by221(a0,b0) y22p(xp0)
图 形
顶点坐标
（±a,0),(0,±b)
（±a,0)
（0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆
双曲线
抛物线
对称性
焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程
X轴，长轴长2a, Y轴，短轴长2b
课前热身
(１) 求长轴与短轴之和为20，焦距为4 5 的 椭圆的标准方程_________________
(1) x2 y2 1 和
x2 y2 1
36 16
16 36
(2)求与双曲线
x2 y2 1
9 16
有共同渐近线，且过
点（-3，2 3）的双曲线方程；
4x2 y2 (2) 1
94
(3)一动圆Ｍ和直线l:x=-2相切，并且经过点
X
① ②
①、②式两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12
即
(x 3 )2 y 2(x 3 )2 y 2 12
化简并整理，得
3x2+4y2-108=0
即可得
x2 y2 1
36 27
所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别
为 12、6 3. 解法2：同解法1得方程 (x 3 )2 y 2(x 3 )2 y 2 12
1
,
1
，试在
椭圆上找一点 P,使
2
y
（1）PAPF2取得最小值; P
AP
F1 o F2
（2）PA 2PF 1取得最小值.
x
四、小结：
1、本节课的重点是掌握圆锥曲线的定义及性质在解 题中的应用，要注意两个定义的区别和联系。
2、利用圆锥曲线的定义和性质解题时，要注意曲线 之间的共性和个性。
3、利用圆锥曲线的定义和性质解题时，要加强数形 结合、化归思想的训练，以得到解题的最佳途径。
x1+x2=6, ∵y1=x1-2 ,
x1·x2=4 y2=x2-2;
∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4
=4-12+4=-4
k O • A k O B x y 1 1• x y 2 2 x y 1 1 x y 2 2 4 4 1
∴OA⊥OB
例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0 内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1-1
2.4《圆锥曲线 与方程全章小结》
复习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的 几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲 线的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形，并了解圆锥曲线的初步应用。