高等数学重积分应用共24页

2
2
F F F x
y
r2a2 2 F y1ADydxdy
z
z
zh(t)2(xh2(t)y2)
Dz[x y (za) ]2 a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 9h(t)0,
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例3. 计算双曲抛物面
被柱面 AD 1zx2zy2dxdy所截
出的面积 A .
dxdy 解: 曲面在 xOy 面上投影为V dxdydz则
x2y2z2R2 — 对 x 轴的 静矩
π
r2sin Fz
—对y 静矩
轴的
3 2
得D 的形心坐标: AD 1( xz)2( yz)2dxdy
Dz[xF2y2(za)2] 2 z
xDxdxdy , ( A 为D 的面积) A
a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 15h(t)0,
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转动惯量.
dxdy 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球所占
x Fz
域为 ( x2y2)dxdydz则
Fz
Fz 2 π a5
5
(用球坐标)
y
r(xx0)2(yy0)2(zz0)2
:x 2 y 2 z 2 a 2 ,
3 M4πa3 2 l 2 2 3
Fz 0,
F z
球体的质量
k 1
n
(k ,k , k )vk
k 1
将第
k
块看作质量集中于点
的质点, hz(3z)2dz 09
此质点
dxdy 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如,
ydxdydz
y

x= z=
∫∫∫Ω xd xd y d z ∫∫∫Ω
V zd x d y d z V
∫∫∫Ω yd xd y d z
V
,
( V = ∫∫∫ d x d y d z为Ω的体积 ) Ω
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若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片 其面密度 的平面薄片, 若物体为占有 则它的质心坐标 质心坐标为 则它的质心坐标为
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三、物体的质心
设空间有n个质点 设空间有 个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别 个质点 为 mk ( k =1, 2, L, n ) ,由力学知 该质点系的质心坐标 由力学知,
∑xk mk
为
n
x=
k =1 n
∑yk mk
, y=
k =1 n
n
∑zk mk
∴ dA = 1 + f x2 + f y2 dσ 曲面S的面积元素 曲面S
∴ A = ∫∫ 1 + f x2 + f y2 dσ ,
D
∂z ∂z A = ∫∫ 1 + (∂x )2 + (∂y )2dxdy 曲面面积公式为： 曲面面积公式为： Dxy
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小结 1. 设曲面 S 的方程为：z = f ( x , y ) 的方程为：
设曲面的方程为： ３．设曲面的方程为：y = h( z , x ) 则曲面面积公式为： 则曲面面积公式为： A =
∫∫
Dzx
1+ (
∂y 2 ∂z
) + ( ) dzdx.
∂y 2 ∂x
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例 4. 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 含在圆柱体 2 2 x + y = ax 内部的那部分面积 内部的那部分面积.

元素பைடு நூலகம் 首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、曲面的面积
曲面的面积元素 设曲面S的方程为zf(x y) f(x y)在 区域D上具有连续偏导数 设dA为曲面上点M处的面积元素 dA在xOy平面上的投影为小闭区域d 点 M 在 xOy 平面上的投影为点 P ( x y ) 因为点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以
d
D
y
yd
D
d
D

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铃
二、质心
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为
My x M
x(x, y)d
D D
Mx y M ( x , y ) d
显然 质心在 z 轴上 故x y 0
因为
zdv zdv 3 a z dv dv 8
所以质心坐标为(0, 0, 3a ) 8
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铃
三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
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P(x,y)
d
结束
铃
三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
I x y 2 (x, y)d I y x2 (x, y)d
D D
类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是 上的连续函数 则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为

x 2 y 2 a 2 .由
z x , x a2 x2 y2
得 1 (
z y , 2 2 2 y a x y
z 2 z 2 a ) ( ) . x y a2 x2 y2
12
A上
D
a a x y a
2 2 2
dxdy D : x 2 y 2 a 2 .
设曲面S的方程为z 如图， 设小区域
z
z f ( x, y )
f ( x, y ),
M
o
曲面S在xoy面上的投影为区 域D，
sS d
d
( x, y)
点(x,y) d， d D， 以 为S上过点M(x,y,z)的切平面， d
的边界为准线， 母线平行于z轴的 截切平面 小柱面， 截曲面S为 dS， 为 dA， 则有 dA dS.

C2 D
7 所求质心是(0, ). 3
o
x
17
推广： 占有空间有界闭区域, 在点( x, y, z )处的密度为 ( x, y, z )
(假定 ( x, y, z )在上连续)的物体的质心坐标(x , y , z )为：
1 x x ( x, y, z )dv , M 1 y y ( x, y, z )dv , M 1 z z ( x, y, z )dv , M
D
D
y

( x, y)
又M ( x , y )d , 则薄片的质心坐标为：
D
o
d
x
m yi x ( x , yxi mi )d i y ( x, y )d M xM i 1 y M M i 1 y ，， y x n D y n x x D . MM M M ( x , m)d m y i i ( x, y )d

F y (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) y 2 ( y (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
F z (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) z 2 ( z (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
2a
2
A 0
y(x)dx a (1 co t)d [s a (t sit)n ] 0
2a2(1cot)s2dt3a2. 0
由 于 区 域 关 于 直 线 x a 对 称 ， 所 以 形 心 在 x a 上 ， 即 x a ,
y 1
x A1 Dxd,
y A1 Dyd.
其中Ad
D
例3 设平面薄板由yxaa((1tcsiontts))，(0t2)
与x轴围成，它的面密度1，求形心坐标．
解 先 求 区 域 D 的 面 积 A ，
y(x)
D
0 t 2 ， 0 x 2 a a 2a
D
b
3h
12
.
设 物 体 占 有 空 间 有 界 闭 区 域 ,在 点 (x ,y ,z)处
的 体 密 度 为 (x ,y ,z),(x ,y ,z)在 上 连 续 ,则
对于 x轴的转动惯量
Ix(y2z2)(x,y,z)dv,
对于y轴的转动惯量
Iy(x2z2)(x,y,z)dv.
对于 z轴的转动惯量
Iz(x2y2)(x,y,z)dv.
五、引力
空间一物体对物体外一点p0(x0,y0,z0)处的
单位质量质点的引力为: F

km1m2 r3
r
F x (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 x )2 ( x (0 z ) z0 )2 )2 3d,v

I x
y 2 ( x, y)d
D
Iy
x 2 ( x, y)d
D
例5 求半径为a的均匀半圆薄片对其直径边的转动惯量.
➢空间物体的转动惯量 设物体占有空间域 , 有连续密度函数 物体的转动惯量
I x ( y2 z 2 ) (x, y, z) dxd ydz
(x2 z2)
I z (x2 y2 ) (x, y, z) dxd ydz z l
➢能用重积分解决的实际问题的特点
分布在有界闭域上的整体量 所求量是
对区域具有可加性
➢ 解题步骤 明确积分区域 确定积分元素 列出积分表达式
➢ 确定积分元素的方法 以直代曲
在微小局部 以不变代变
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
注 (1) 可与弧长公式 (2) 解题步骤: 明确(选择)曲面Σ的方程 明确(选择)曲面Σ的投影 求出曲面面积元素
对比记忆!
例1计算双曲抛物面
所截出的面积 A .
被柱面
例2 计算半径为 a 的球的表面积.
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
d
Fy
G
(x, y, z)y r3
dv
d Fz
G
(
x, r
y,
3
z)z
dv
z dv
dF r y x
r x2 y2 z2
G 为引力
常数
各引力分量:
Fx
G
(x, y, r3

d 2
R 1R2
4a2
R2
Rrdr
2 R[
R 1
R2 r2] 4a2
2(R2 R 2a3)
0
0
R2 r2
0
A (R ) 2(R 2 R 2 a 3) 0 R 2 a
A R 2 ( 2 R 3 2 R a 2 ) 4 R ( 1 3 4 R a ) 0 R 4 3 a , R 0 ( 舍 )
例4、计 算 三 重 (a x2 2积 b y2 2 分 cz2 2)2dxd,y其 dz 中 是
由 x2
y2
a2 b2
z2 c2
1所
围
成
的.立 解
体
区
域
0 2 ; 0 ;
u sin cos
v
sin
sin
w cos
x au
y
bv
z cw
u2v2w21
1 x2
Байду номын сангаас4 7
a
b
c.
第四节、重积分应用
一、几何应用 1.立体的体积
例 1、求由z曲 x2面 y2与 zxy所围立体 . 的体
解
zz x x 2 y y 2消 在 x z 去 面 o x2 yy2的 xy D 投 0 : (x( x 影 1 2 )2 1 2 )2 ( y 区 ( y 1 2 )2 1 2 ) 域 2( 2 2 ()2 2 2 .)2 .
D
D
当密度均匀,重时心坐标称为形心,(坐 x, y标 )为:
x
My
xdxdy
D
,y
Mx
ydxdy
D
.
M dxdy M dxdy
D

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【例1】
【解】
如图
X—型域
作直线穿越Ω内部
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故
则
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【解】
得交线投影区域
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【解】
如图
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【例4】
【解】
如图示
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【方法Ⅱ】
截面法(切片法)【 “先二后一”】
【“先二后一”法的一般步骤】
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【例3】
【解】
D是Y—型域也可以视X—型域
先求交点
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［法1］
视为X—型域
（计算较繁）
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
［法2］
（计算简单）
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【例4】
【解】
X-型
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【例5】
【解】
先去掉绝对值符号，如图
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公式2
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(3)［既非X－型域也非Y－型域］
在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)
如图 , 则必须分割.
由二重积分积分区域的可加性得
2.【二重积分的计算步骤可归结为】
①画出积分域的图形，标出边界线方程；
②根据积分域特征，确定积分次序；
③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算.
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(?)
Dz之面积
作业: 同济P164: 4,5

总结词
矩形区域上的重积分计算是重积分中最基础的一种计算方 法。
详细描述
在矩形区域上，可以将积分区域划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形进行 积分，最后将所有小矩形的积分结果相加即可得到整个矩形区域的积分值。
公式
$int_{a}^{b}int_{c}^{d}f(x,y)dxdy$
圆形区域上的重积分计算
公式
根据具体情况而定，一般需要通过微分几何和拓扑学知识 进行推导和计算。
03
重积分的应用
重积分在几何学中的应用
80%
计算立体体积
通过重积分可以计算三维空间中 物体的体积，如旋转体、曲面和 不规则体的体积。
100%
计算表面积
重积分可以用来计算封闭曲面或 复杂曲面的表面积，如球面、椭 球面和抛物面等。
化简积分表达式
在计算过程中，尽量化简积分 表达式，以减少计算量。
避免重积分的常见错误
上下限错误
确保上下限的确定是正确的，特别是对于复杂区 域。
公式应用不当
使用不合适的公式可能导致计算错误或无法得出 结果。
积分次序错误
选择错误的积分次序可能导致计算结果不正确。
计算失误
在计算过程中，可能会因为疏忽或笔误导致结果 不准确。
求解流体动力学问 题
重积分在流体动力学中有重要应 用，如计算流体压力、速度和密 度等。
重积分济活动中 涉及到的成本和收益，如生产成 本、销售收入和利润等。
预测经济趋势
通过重积分可以建立经济模型， 预测未来经济趋势和市场变化， 为决策提供依据。
优化资源配置
二重积分的定义
二重积分是计算平面区域上的面积的数学工具，其值等于二元函数在平面区域上的所有点的函数值与该点处面积微元 相乘后累加的总和。

(2) 在每个 Si 上任取一点 Mi , 作曲面在这一点的切
平面 i , 并在 i 上取出一小块 Ai , 使得Ai 与 Si 在
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§6重积分的应用
曲面的面积
重心
转动惯量
引力
x y 平面上的投影都是 i (见图 21-38). 在点 Mi 附
S : z f (x, y)
于是小块 Vi的质量可用(i ,i , i )Vi近似代替, 若 把每一块看作质量集中在 (i ,i , i )的质点时, 整个
物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替.
由于质点系的重心坐标公式为
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§6重积分的应用
曲面的面积
重心
转动惯量
引力
n
i (i ,i , i )Vi
§6重积分的应用
曲面的面积
重心
转动惯量
引力
曲面的面积
设 D 为可求面积的平面有界区域, f ( x, y) 在 D 上
具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程
z f (x, y) , (x, y) D 所表示的曲面 S 的面积.
(1) 对区域 D 作分割 T，把 D 分成 n 个小区域 i
(i 1,2, ,n). 这个分割相应地将曲面 S 也分成 n 个 小曲面片 Si (i 1,2, , n).
xn
i 1 n
,
(i ,i , i )Vi
i 1
n
i (i ,i , i )Vi
yn
i 1 n
,
(i ,i , i )Vi
i 1
n
i (i ,i , i )Vi
zn