高等数学定积分在物理上的应用教学
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高等数学(同济第六版)课件 第六章 6.3定积分物理应用
第三节 定积分在物理学上的应用
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场． 若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处 沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功． 解 取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解 取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解 建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、 引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力 大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向． 例6 有一长度为l、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 质点M， 计算该棒对质点 M 的引力．
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场． 若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处 沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功． 解 取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解 取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解 建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、 引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力 大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向． 例6 有一长度为l、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 质点M， 计算该棒对质点 M 的引力．
定积分在物理的应用ppt课件
变速直线运动程做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数等于其速度函数vvtvt0在时间区间在时间区间ab上的定积分即变力做功力如果物体在变力fx的作用下做直线运动并且物体沿着与的作用下做直线运动并且物体沿着与fx相同的方向从xa移动到xbab那么变力fx所做的功为所做的功为?bavtdt?bafxdx1
A
C．810 ．945 解析 停车时 v(t)＝0D ，由 27－0.9t＝0，
得 t＝30，
30 30 ∴s＝ʃ v ( t )d t ＝ ʃ 0 0 (27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)|30 0 ＝405.
练习 2．一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力，把它从自然 长度压缩到比自然长度短 5 cm，求弹簧克服弹力所做的 功．
1.7.2
定积分在物理的应用
1．7.2
【学习要求】
定积分在物理中的应用
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力 做功问题. 2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问 题，进一步体会定积分的价值． 【学法指导】 利用定积分解决变速直线运动的路程，变力做功等问题， 要特别注意问题的物理意义同时借助定积分的几何意义， 用“数形结合”思想解决问题.
0
将速度转化为 20m/s，设制动后 ts 内速度为 0，路
0
t t 程为 v(t)dt 且 v(t)＝v0＋ adt.
解 (1)a＝－0.4m/s2，v0(t)＝72km/h＝20m/s，设 ts 后的
t t 速度为 v，则 v＝v0＋ adt＝20－ 0.4dt＝20－0.4t.
答 案
b 1.S＝ v(t)dt
a
b 2.W＝ F(x)dx
A
C．810 ．945 解析 停车时 v(t)＝0D ，由 27－0.9t＝0，
得 t＝30，
30 30 ∴s＝ʃ v ( t )d t ＝ ʃ 0 0 (27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)|30 0 ＝405.
练习 2．一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力，把它从自然 长度压缩到比自然长度短 5 cm，求弹簧克服弹力所做的 功．
1.7.2
定积分在物理的应用
1．7.2
【学习要求】
定积分在物理中的应用
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力 做功问题. 2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问 题，进一步体会定积分的价值． 【学法指导】 利用定积分解决变速直线运动的路程，变力做功等问题， 要特别注意问题的物理意义同时借助定积分的几何意义， 用“数形结合”思想解决问题.
0
将速度转化为 20m/s，设制动后 ts 内速度为 0，路
0
t t 程为 v(t)dt 且 v(t)＝v0＋ adt.
解 (1)a＝－0.4m/s2，v0(t)＝72km/h＝20m/s，设 ts 后的
t t 速度为 v，则 v＝v0＋ adt＝20－ 0.4dt＝20－0.4t.
答 案
b 1.S＝ v(t)dt
a
b 2.W＝ F(x)dx
高等数学中定积分在物理学领域中的应用
在物理学中，定积分是一种非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种物理问题的建模与求解。
通过对定积分的运用，我们可以更好地理解物理现象，解释实验结果，并推导出物理定律。
本文将就高等数学中定积分在物理学领域中的应用展开探讨。
一、定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中的应用在物理学中，质心、转动惯量和力矩是常见的物理量，它们的计算与定积分有着密切的联系。
1. 质心的计算质心是一个物体或系统的平均位置，其坐标可以通过下式进行计算：在这个公式中，x 表示物体上各个微小质量元的横坐标，f(x) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。
通过对质心的计算，我们可以更好地理解物体的分布特性，分析物体的运动规律。
2. 转动惯量的计算转动惯量描述了物体对旋转的惯性大小，它可以通过下式进行计算：在这个公式中，r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离，f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。
转动惯量的计算在研究物体的旋转运动、平衡问题以及惯性驱动等方面具有重要意义。
3. 力矩的计算力矩是描述物体受到旋转影响的力的大小，它可以通过下式进行计算：在这个公式中，r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离，f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度，F 表示施加在物体上的力。
力矩的计算在分析物体的平衡条件、弹性形变以及稳定性等方面有着重要的应用。
通过以上介绍，我们可以看到定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中具有重要的应用价值，它为我们理解物体的运动特性提供了重要的数学工具。
二、定积分在牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的应用牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的一些重要公式也与定积分有着密切的联系。
1. 牛顿第二定律的应用牛顿第二定律描述了物体受到外力作用时的加速度大小与所受合外力成正比的关系，可以通过下式进行表达：在这个公式中，F 表示物体所受的合外力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
通过定积分，我们可以更好地理解力的作用及其引起的加速度变化。
大学高等数学：第四章第六讲定积分在物理学上的应用
大学高等数学：第四章第六讲定积分在物理学上的应用上节课我们学习了定积分在几何学上的应用，从而总结5大常考题型，其中曲率计算以及极坐标尤为重要。
这节课我们学习定积分的物理应用定积分在物理应用主要是计算功和力，其中力主要为压力和引力，掌握好微元法(前两节已经讲过)是解决定积分物理应用的关键.一.变力做功从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力的方向与物体运动的方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为W=F*s1.设一物体沿x轴运动，在运动过程中始终有力F作用于物体上，力F的方向或与Ox轴方向一致(此时F取正值)或与Ox轴方向相反(此时F取负值)物体在x处的力为F(x),则物体从a移到b时变力F(x)做的功为2.设有一容器(如图5.21)，其顶部所在平面与Ox轴(铅直向下)相较于原点，液体表面与Ox轴相截于x=a，底部与Ox轴相截于x=b 处，垂直于Ox轴的平面截容器所得的截面面积为x的连续函数S(x),则将容器中的液体全部抽出所做的功为其中ρ为液体密度，g为重力加速度。
如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，就会遇到变力对物体做功的问题，下面通过具体的列子说明如何计算变力所做的功。
列1：有一电荷量为q1带正电的固定质点位于原点，在距离原点a处有一电荷量为q2带正电的活动只限，若固定质点将活动质点从距离a处排斥到b处，求排斥力所踪的功分析：取微元[x,x-dx]∈[a,b]，则dW=kq1q2/x^2dx于是W=∫dW(上限b下限a)=kq1q2∫dx/x^2(上限b下限a)=kq1q2(1/a-1/b)列2：半径为R的球沉入水中，上顶点与水面相切，将球从水中取出要做多少功？(设球的比重为1)解：首先建立坐标系，取x轴垂直水平面并过球心，方向向上，原点为球心，见图5.22.任取[-R,R]中的小区间[x,x+dx]相应的球体中的薄片，其重量为π(R^2-x^2)dx,在水中时浮力与重量相等，当球从水中移出时，此薄片离水面的距离是R+x,故对它需做功dW=(R+x)π(R^2-x^2)dx。
【教学课件】第三节 定积分在物理中的应用
但 是 在 实 际 问 题 中 ,平 板 放 置 并 不 总 水 平 ,现 就 垂 直 放 置 的 平 板 的 一 侧 所 受 的 液 体 压 力 进 行 进 行 计 算 .另 外 ,倾 斜 放 置 在 液 体 内 的 平 板 的 一 侧 所 受 的 压 力 也 可 以 用 定 积 分 的 微 元 法 计 算 .
ay22
1,(0xb)
2b
l* 2a
图5-19 例3水箱
整理课件
7
( 1 ) 取 积 分 变 量 为 x , 积 分 区 间 0 , b ; (2)在 0,b上 任 取 一 小 区 间 x,xdx,而 面 积 为
dA2a b2x2dx的 小 窄 条 (见 图 520阴 影 部 分 ) b
一 侧 所 受 的 液 体 压 力 ,也 就 是 压 力 微 元 为
f krq2,(k为常数) 如 图 5 1 7 所 示 ,当 这 个 单 位 正 电 荷 在 电 场 中 从 r a 处 沿 r a 处 沿 r轴 移 动 到 r b ,(a b )处 时 ,计 算 电 场 力 对 它 所 做 的 功 .
q
Oa
x xdx
b
r
图5-17 电场整力理课所件做的功
2
解 ( 1 ) 取 积 分 变 量 为 r , 积 分 区 间 为 a , b ; (2)在 区 间 a,b上 作 取 一 小 区 间 r,rdr,与 它 相 应 的 电 场
学模型. 例2 修建一座大桥墩时先要下围囹,
10m
并抽尽其中的水以便施工,已知半径是
2m
10m的圆柱形围囹的上沿高出水面2m,
x
河水深18m,问抽尽围囹内的水做多少功?
18m
dx
图5-18 例题 抽水做功
ay22
1,(0xb)
2b
l* 2a
图5-19 例3水箱
整理课件
7
( 1 ) 取 积 分 变 量 为 x , 积 分 区 间 0 , b ; (2)在 0,b上 任 取 一 小 区 间 x,xdx,而 面 积 为
dA2a b2x2dx的 小 窄 条 (见 图 520阴 影 部 分 ) b
一 侧 所 受 的 液 体 压 力 ,也 就 是 压 力 微 元 为
f krq2,(k为常数) 如 图 5 1 7 所 示 ,当 这 个 单 位 正 电 荷 在 电 场 中 从 r a 处 沿 r a 处 沿 r轴 移 动 到 r b ,(a b )处 时 ,计 算 电 场 力 对 它 所 做 的 功 .
q
Oa
x xdx
b
r
图5-17 电场整力理课所件做的功
2
解 ( 1 ) 取 积 分 变 量 为 r , 积 分 区 间 为 a , b ; (2)在 区 间 a,b上 作 取 一 小 区 间 r,rdr,与 它 相 应 的 电 场
学模型. 例2 修建一座大桥墩时先要下围囹,
10m
并抽尽其中的水以便施工,已知半径是
2m
10m的圆柱形围囹的上沿高出水面2m,
x
河水深18m,问抽尽围囹内的水做多少功?
18m
dx
图5-18 例题 抽水做功
第十周周一高等数学の5-定积分在几何物理上的应用广义积分
x
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区 间[a，b]上具有一阶连续导数，则
ds 1 y2dx ，s b 1 y2dx ． a
讨论：
(1)设曲线弧由参数方程
x
y
(t), (t)
( t )给出，其中
(t)、(t)在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各
2
2
1
1a
ab
b2
2(1(1cocso2st2)td)tdt11
a
ab·b·
11
a ab b．．
22 0 0
2 2 2 24 4
A 4A1 a b．
2. 极坐标的情形
•曲边扇形及曲边扇形的面积元素：
由曲线r()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形．
•曲边扇形的面积元素：
dA 1 [()] 2d ．
a2 (1 cos )2 a2 sin 2 d 2a sin d ．
2
所求弧长为
s
2 2a sin d
0
2
2a[2
cos
2
]02
8a ．
y
2a
O
a
2 a
x
3. 极坐标的情形
设曲线弧由极坐标方程
r = r() ( ) 给出，其中r()在[，]上具有连续导数． 由直角坐标与极坐标的关系可得
是什么？
(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r() 在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？
) Ds MO MP ,
ds MP dx2 dy2 ,
直角坐标系下 y f x,
P
O
dy
高等数学A5.7 定积分的物理应用
-a
侧压力元素为
y h b y+dy
y
O
ax
-b
13
5.7 定积分的物理应用
5.7.1 变力沿直线作功 5.7.2 液体对薄板的侧压力
1
5.7.1 变力沿直线作功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 。 在其上所作的功元
素为
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
2
例1 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力 F(单位：N)与弹簧的伸长量s(单位:cm)成正比， 即F=ks (k是比例常数)
y
当圆柱体的高减少xcm时的压强为 o dx 40 x
4
例3 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解 建立坐标系如图。 任取一小区间 这薄层水的体积元素
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
故所求功为
设水的密 度为
( kJ )
5
例4 设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满 水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？
解：建立坐标系如图所示。
直线AB的方程为 闸门上对应于区间[x，x+dx] 侧压力元素为
O y
A(3,0) x x+dx
x B(9,5)
12
例11 设某椭圆形水泥板沉入水中，椭圆的长轴平行于
水面且离水面的距离为h,求水泥板所受的压力。
解：建立坐标系gt; b
在y轴任取区间[y，y+dy]
O x x+dx
x
7
例6 半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球
合肥工业大学-高等数学-上-6-3-定积分在物理学中的应用资料
的两质点之间的引力为 F
k
m1m2 r2
，其中 k
为引力系数，且引力的方
向沿着两质点的连线方向．
如果考虑的不是两个质点之间的引力，而是一根细棒对一个 质点的引力，或者是一根细棒对另一根细棒的引力，就不能直接 运用上述公式，此时的问题相对复杂一些，现举例说明用定积分 的微元法计算一根细棒对一个质点的引力．
解 如图建立坐标系，并取 x 为积分变量．
⑴⑵ x 的的变变化化范范围围[[0a,,aa]]，，类在似[a我, a们] 上得任到取压小力区的间微[元x, x为 dx] ，对应
于[x, x dx] 上窄条所dF受的2b压力g近x 似a2于 x2 dx ，
(a x) 2 y dx g 2ba g(a x) a2 x2dx,
解 设第 n 次击打后，桩被打进地下 xn 米，第 n 次击打时，
汽锤所作功为Wn (n 1, 2,3) ．由题设，当桩被打进地下的深度
为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx ，所以
W1
x1 0
kxdx
k 2
x12
，
W2
x2 x1
kxdx
k 2
(
x22
x12
a
所故以所压受力的元压素力为为dF 2b g(a x) a2 x2 dx ， 故所受压力为
FF
aa 0a
22bb aa
gg(xa
a ax2 )
xa22dx
x2
d23xa2bag2b（ g牛（顿牛）顿．）．
例 6.3.4 某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的
上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB（长度为米）围成．当
1
闸门下部承受的水压力为
定积分在物理中的应用上
定积分的应用可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，为解决物理问题 提供了重要的数学工具。
03
CHAPTER
动能与势能的定积分表示
动能的定积分表示
总结词
动能的定积分表示是物体在某段时间内通过的路径与该路径上的力的乘积的积分。
详细描述
根据牛顿第二定律，物体的动能为物体质量与速度平方的一半的乘积。在定积分形式下，动能的表示为 ∫F·dx，其中F是作用在物体上的力，dx是物体在该力作用下的位移。
瞬时加速度表示物体在某一时刻的速 度变化快慢，而平均加速度表示物体 在某段时间内速度变化的平均快慢。
速度与加速度的连续变化
在物理中，物体的速度和加速度通常都是随时间连续变化的。定积分可以 用来描述这种连续变化的过程。
通过定积分，我们可以计算物体在任意时间段内的速度和加速度的变化量， 以及物体在任意时刻的速度和加速度的大小。
详细描述
在热力学中，温度场是一个连续变化的物理量，它描述 了物体内部各点的温度分布。通过定积分，可以将温度 场表示为一个连续的函数，从而方便地计算物体内部各 点的温度值。
热量传递的定积分表示
总结词
热量传递的过程可以通过定积分来描述，包括热传导、热对流和热辐射等。
详细描述
热量传递是热力学中的重要过程，包括热传导、热对流和热辐射等。这些过程都可以通过定积分来描 述。通过定积分，可以计算热量传递的速率、方向和分布，从而更好地理解和控制热量传递的过程。
VS
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度是恒定的 ，因此物体的位移量可以通过速度与时间 的乘积来计算。定积分可以用来计算在一 段时间内物体的总位移量。
匀加速直线运动的定积分表示
总结词
定积分在匀加速直线运动中可以表示物体的 速度和位移量。
03
CHAPTER
动能与势能的定积分表示
动能的定积分表示
总结词
动能的定积分表示是物体在某段时间内通过的路径与该路径上的力的乘积的积分。
详细描述
根据牛顿第二定律，物体的动能为物体质量与速度平方的一半的乘积。在定积分形式下，动能的表示为 ∫F·dx，其中F是作用在物体上的力，dx是物体在该力作用下的位移。
瞬时加速度表示物体在某一时刻的速 度变化快慢，而平均加速度表示物体 在某段时间内速度变化的平均快慢。
速度与加速度的连续变化
在物理中，物体的速度和加速度通常都是随时间连续变化的。定积分可以 用来描述这种连续变化的过程。
通过定积分，我们可以计算物体在任意时间段内的速度和加速度的变化量， 以及物体在任意时刻的速度和加速度的大小。
详细描述
在热力学中，温度场是一个连续变化的物理量，它描述 了物体内部各点的温度分布。通过定积分，可以将温度 场表示为一个连续的函数，从而方便地计算物体内部各 点的温度值。
热量传递的定积分表示
总结词
热量传递的过程可以通过定积分来描述，包括热传导、热对流和热辐射等。
详细描述
热量传递是热力学中的重要过程，包括热传导、热对流和热辐射等。这些过程都可以通过定积分来描 述。通过定积分，可以计算热量传递的速率、方向和分布，从而更好地理解和控制热量传递的过程。
VS
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度是恒定的 ，因此物体的位移量可以通过速度与时间 的乘积来计算。定积分可以用来计算在一 段时间内物体的总位移量。
匀加速直线运动的定积分表示
总结词
定积分在匀加速直线运动中可以表示物体的 速度和位移量。
【优质文档】(06)定积分在物理中的运用
4.如果 1N 能拉弹簧 1cm ，为了将弹簧拉长 6cm ，所耗费的功为（
）
A.0.18J B.0.26J C .0.12 J D.0.28 J
10(0 x 2)
5.一物体在力 F (x) =
（单位： N）的作用下沿与力 F (x)做功为（
3x 4( x 2)
A ．44JB． 46JC． 48JD． 50J
(3) 情感态度与价值观
培养在熟悉的环境中认识新的事物的能力和获取事物的能力
二、教学重点
能正确运用定积分知识解决物理学中的相关问题
三、教学难点
知道位移与路程的区别；变力的确定
四、教学习过程
（一）知识回顾
定积分的几何意义；曲线所围平面图形的面积求法
.
（二）探究新知识
I 、知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间
）
A.70m
B.72m C .75m D.80m
2.设列车从 A 点以速度 v(t) 24 1.2t (m / s) 开始拉闸减速，则拉闸后行驶 105m 所需时间为（ ）
A.5s B.10s C.20 s D .35s
3.质点由坐标原点出发时开始计时，沿 x 轴运动，其加速度 a(t ) 2t ，当初速度 v(0) 0 时，质点出发后 6s 所
走的路程为（ ）
A.12 B.54 C .72 D .96
能力提升
7、把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为
r 处的
单位电荷受到的电场力的由公式
F
q k r2
(其中 k 为常数 )
确定 .在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用
下，沿着 r 轴的方向从 r a 处移动到 r b(a b) 处，求电场力对它所做的功 .
定积分在物理中的应用课件
S＝∫10(t2－4t＋3)dt＋∫31（t2－4t＋3）dt＋∫43(t2－ 4t＋3)dt＝∫10(t2－4t＋3)dt－∫31(t2－4t＋3)dt＋∫43(t2－4t ＋3)dt＝13t3－2t2＋3t|10－13t3－2t2＋3t|31＋13t3－2t2＋3t|43 ＝43－0－43＋634－20＝4(m)．
归纳升华 利用定积分求变力做功注意以下两个方面： (1)应将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键 的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问 题．
类型 2 利用定积分求变速直线运动的路程或位移
[典例 2] 一质点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求质点在 t＝4s 时的位置及经过 的路程．
定积分在物理中的应用
1．变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度 函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s ＝_∫__ba_v_(t_)_d_t _.
温馨提示 在求物理运动的路程时要注意：物体运动 的
解：在 t＝4s 时该质点的位移为∫40(t2－4t＋3)dt＝ 13t3－2t2＋3t|40＝43(m)，
即在 t＝4s 时该质点距出发点43(m)． 又因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， 所以在区间[0，1]及[3，4]上的速度 v(t)≥0，在区间 [1，3]上的速度 v(t)≤0. 所以在 t＝4s 时所经过的路程为
物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果 物体沿着与 F 相同的方向移动了 s m，则力 F 所做的功 为 W＝Fs；如果物体在变力 F(x)的作用下沿着与 F(x)相 同的方向从 x＝a 移动到 x＝b，则变力 F(x)做的功 W＝ _∫__ba_F_(_x_)d_x__.
定积分在物理中的应用 课件
为_W_=_F_s_.
2.变力做功：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a<b)，那么变
力F(x)所做的功为W=
b
a
F(x)dx
.
思考：在计算变力做功时，力与位移的方向有什么关系？ 提示：力与位移的方向一致.
【知识点拨】 1.求变速直线运动物体的路程的方法 (1)如果已知做直线运动物体的路程-时间关系式s(t)，直接求 出在此时间区间内的路程的差即可；如果已知做直线运动物 体的速度-时间关系式v(t)，转化为计算在此时间区间内的定 积分即可.
2.如何求变力与弹簧伸长的函数式？
探究提示：
1.变力的做功公式
W
b
a F(x)dx.
2.利用待定系数法求变力与弹簧伸长的函数式再计算做功.
【解析】1.物体在力F(x)=2x(单位：N)的作用下沿与力F相同
的方向，从x=1处运动到x=3(单位：m)处，则力F做的功为
W
3 1
2xdx
x2
13
8(J).
定积分在物理中的应用
一、变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间［a，b］上的定积分，即
s= b v(t)dt . a
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为
正.( )
(2)一质点运动的速度为v(t)=4t+1(t≥0),则它由t=0到t=4运
类型 二 求变力做功 【典型例题】 1.一物体在力F(x)=2x(单位：N)的作用下 沿与力F相同的方向，从x=1处运动到x=3 (单位：m)处，则力F做的功为______. 2.在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置 拉长10 cm所用的力是200 N，求变力F做的功.
《定积分在几何、物理中的应用》参考课件
定积分求解功和能量
定积分可以计算力学系 统中的功和能量变化， 为能量守恒定律的研究 提供了数学基础。
四、应用举例
垂直于坐标轴的曲线面 积
通过定积分，可以计算曲线 与垂直于坐标轴的轴之间的 面积，如椭圆、以准确计算 球体的体积，为球体的表面 积、密度等相关问题提供了 解决方法。
定积分的符号表示一般用 ∫f(x)dx 表示，计 算方法有黎曼和和定积分的定义公式等。
二、几何中的应用
1
定积分求解曲线下的面积
通过计算定积分，可以准确求解曲线与坐标轴之间的面积，如长方形、三角形等 几何形状。
2
定积分求解旋转体体积
通过定积分的应用，可以计算旋转体的体积，如圆柱体、圆锥体等各种形状的物 体。
3
定积分求解弧长和曲率
定积分在计算曲线的弧长和曲率等几何属性时，起到了重要的作用。
三、物理中的应用
定积分解质点的位 移和速度
定积分可以描述质点在 一段时间内的位移和速 度变化，特别适用于确 定加速度为常数的物理 问题。
定积分求解加速度 和力的关系
通过定积分的运用，可 以推导出质点的加速度 与力的关系，揭示了牛 顿第二定律的深层含义。
《定积分在几何、物理中 的应用》参考课件
定积分是数学中重要的概念，它在几何和物理领域中具有广泛的应用。本课 件将介绍定积分的符号表示和计算方法，以及在几何和物理中的各种应用。
一、介绍
什么是定积分
定积分是对函数在一定区间上的"积分"或 "累加"结果的表示，可以理解为曲线下的 面积。
定积分的符号表示和计算方法
弹簧振动的位移
定积分可用于求解弹簧振动 的位移，帮助我们理解弹簧 振动的规律和特性。
高等数学定积分在物理上的应用教学pptPPT课件
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2
第五章 定积分及其应用
一.变力沿直线段做功
第三节 定积分在物理上的应用
从物理学知道, 如果常力F作用在物体上, 是物体 沿力的方向移动距离S，那么力F对物体所作的功为
W = FS 如果物体在运动中受到的力是变化的, 则上述公 式已不适用. 下面用定积分微元法来解决此问题.
解 选取坐标系如图, AB的方程为
y x3 6
取 x 为积分变量, 变化范围[0,6]
取代表区间[x, x+dx]，在水下深为x m
处的压强为9.8 x kN/m2，因此与代表区间相应的一
小窄条上所受的压力微元
dP
9.8 x
2
x 6
3
dx
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0 (a2 x2 )32
y
a
M d Fx
d Fy
k
m
a
a
2
x
l 2
a2 x2 0
dF
xdx
2k m l 1
a 4a2 l 2
l 2
o x lx
2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0 .
故棒对质点的引力大小为
F
2k m
a
l
1
4a 2 l2
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内容小结:
1. 变力沿直线段做功 2. 液体的侧压力 3. 引力
第三节 定积分在物理上的应用
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定积分在物理中的应用 课件
3
0
3
所以点P在x轴正方向上距离原点 50 处．
3
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程
s3＝
4 0
(8t－2t2)dt－
5 4
(8t－2t2)dt
＝(4t2－ 2 t3)| 4 －(4t2－ 2 t3)| 5 ＝26.
3
0
3
4
(4)依题意
t 4
(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－ 2 t3＝0，
y F(x)
b
F
W a F (x)dx
Oa
x
b
例2 如图1.7 - 4,在弹性限 度内 ,将一弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 l m 处,求克 服弹力所做的功.
Q
l
图1.7 4 F
解 在弹性限度内,拉伸(或
压缩)弹簧所需的力F x 与
弹簧拉伸或压缩 的长度 x
成正比,即F x = kx,其中常
(1)由v(t)=8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，t>4时，P点向
x轴负方向运动．
故t=3时，点P离开原点的路程s1=
3 0
(8t－2t2)dt=(4t2-
2 t3)| 3 =18.
3
0
(2)当t=5时，点P离开原点的位移s2=
5 (8t-2t2)dt
0
=(4t2－ 2 t3)|5 = 50 .
Q
l
数k是比例系数.
图1.7 4 F
由变力做功公式,得W =
l 0
kxdx
=
1 kx2 2
l 0
=
1 2
kl
2
J.
答:
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dF
xdx
l 2
ox l x
2
kam2dxx2
a a2
x2
kma
(a2
dx x2)23
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
棒对质点的引力的垂直分力为
Fy2kma02 l(a2 dxx2)32
1. 变力沿直线段做功 2. 液体的侧压力 3. 引力
第三节 定积分在物理上的应用
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第三节 定积分在物理上的应用
棒对质点的引力大小为 F2kaml
1
4a2l2
说明 当细棒很长时,可视 l为无穷大, 此时引力大小为 2 k m ， 方向与细棒垂直且指向细棒 .
a
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第五章 定积分及其应用
内容小结:
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
例3 一闸门呈倒置等腰梯形垂直地位于水中,两底的 长度分别为4m和 6m, 高为6m, 当闸门上底正好位于 水面时, 求闸门一侧受到的水压力(水密度103kg/m3).
第五章 定积分及其应用
二.液体的侧压力
第三节 定积分在物理上的应用
由物理学知道 , 如果有一面积为A的薄板水平地 放置在液体中深为 h 的地方, 那么薄板一侧所受的 压力为P = pA，其中 p = ρhg 是液体中深为 h 处的 压强(ρ是液体的密度) .
如果此薄板垂直地放置在液体中, 由于不同深度 的点处压强不同 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 求薄板一侧所受液体的压力则要 用定积分来解决 .
解 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力
q F k r2
q 1 1
则功的元素为 dW krq2 dr o a rrdr b r
所求功为
W abkrq2 dr
kq
1b r a
kq( 1 1) ab
说明
电场r在 a处的电势a为 krq2 d r
kq a
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第三节 定积分在物理上的应用
例5 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在
其中垂线上距 a 单位处有一质量为m的质点M, 计算
该棒对质点的引力 . 解 建立坐标系如图. 细棒上小段
y aMd Fx
[x,xd]x对质点的引力大小为
d Fay
d F k mdx
a2 x2
故垂直分力元素为
dFydFcos
第五章 定积分及其应用
一.变力沿直线段做功
第三节 定积分在物理上的应用
从物理学知道, 如果常力F作用在物体上, 是物体 沿力的方向移动距离S，那么力F对物体所作的功为
W = FS 如果物体在运动中受到的力是变化的, 则上述公 式已不适用. 下面用定积分微元法来解决此问题.
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
在[0, 6]上积分得
P
069.8x26x3dx
9.8
3x2
x3 9
6
0
9.8848.23102(kN)8.23105(N)
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第五章 定积分及其应用
三.引 力
解 选取坐标系如图, AB的方程为
y x3 6
取 x 为积分变量, 变化范围[0,6] 取代表区间[x, x+dx]，在水下深为x m
处的压强为9.8 x kN/m2，因此与代表区间相应的一 小窄条上所受的压力微元 dP9.8x26x3dx
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算 第二节 定积分在几何上的应用 第三节 定积分在物理上的应用
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
第三节 定积分在物理上的应用
本节主要内容: 一.变力沿直线段做功 二.液体的侧压力 三.引力
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
设物体在连续变力F(x)作用下沿 x 轴从 x＝a移动到 xb, 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在 [a,b]上任取[子 x,x区 dx]， 间 在其上所作功元
素为
dW F (x)dx
a x xdx b x
因此变力F(x) 在区间[a,b]上所作的功为
b
WaF(x)dx
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
例1 设在x轴的原点处放置了一个电量为+q的点电荷 形成一个电场 , 求单位正电荷沿 x 轴从 x=a 移动到 x=b时电场力F(x) 所作的功 ( 如下图所示 ) .
第三节 定积分在物理上的应用
质量分别为 m1, m2 的质点 , 相距 r ,
二者间的引力 :
大小:
F
k
m1m2 r2
m1
方向: 沿两质点的连线
m2 r
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .
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第五章 定积分及其应用
y aMd Fx
d Fy
kmaa2
x 2 l a2x20
dF
xdx
2kml 1
a 4a2l2
l 2
ox l x
2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0.
故棒对质点的引力大小为
F2kaml
1
4a2l2
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第五章 定积分及其应用