7.Hamilton力学(中科大朱界杰)

时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的Noether理论祖启航;朱建青;宋传静【摘要】研究了时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether 理论.首先,基于Hamilton原理,建立了时间尺度上非Chetaev型非完整力学系统的Hamilton方程;其次,根据时间尺度上Hamilton作用量在无限小变换下的广义准不变量,得到了时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether 等式和守恒量;最后,举例说明结果的应用.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(051)001【总页数】5页(P23-27)【关键词】时间尺度;相空间;非完整系统;Noether等式;守恒量【作者】祖启航;朱建青;宋传静【作者单位】苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009;苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009;南京理工大学理学院,江苏南京210094【正文语种】中文【中图分类】O3161988年德国学者Hilger在他的博士论文[1]中提出测度链上的微积分理论，其主要思想就是把连续和离散进行统一[2-3].时间尺度作为测度链的一种特殊形式，非常具有代表性.目前，时间尺度在动态方程、变分原理、最优控制和经济等相关领域都得到了广泛的应用[4-11]．近年来，国内外学者对时间尺度上力学系统的变分问题及其对称性与守恒量进行了研究.Bohner研究了时间尺度上Lagrange方程表达形式及变分问题[12]，Barosiewicz等研究了时间尺度上Lagrange系统的Noether理论[13]，Cai等研究了时间尺度上非保守和非完整力学系统的Noether理论[14]，Song和Zhang建立了时间尺度上Birkhoff方程，给出了Birkhoff系统的Noether等式与守恒量[15].本文基于时间尺度上Hamilton原理，建立了时间尺度上非Chetaev型非完整力学系统的Hamilton方程.根据Hamilton作用量在无限小变换下的准不变量，得到了系统的Noether定理．时间尺度上的微积分理论可参阅文献[6]．假设力学系统的位形由n个广义坐标来确定，其运动受时间尺度上g个双面理想非Chetaev型非完整约束非完整约束(1)加在虚位移上的限制条件为时间尺度上Lagrange函数为则有时间尺度上Lagrange非完整力学系统的微分方程[14]其中,为非势广义力，λβ是约束乘子.假设系统非奇异，即对约束条件(1)求Δ导数，并将方程(4)显示形式表示出来[7],.由(6)式解得代入(7)式，则可解出约束乘子λβ作为t，qσ，qΔ的函数.方程(4)可表示为其中，引进时间尺度上广义动量和Hamilton函数[9]于是在正则变量p，qσ下，(1)、(2)和(9)式变为时间尺度上非保守力学系统的Hamilton原理为其中,，满足以下交换关系和端点条件将(13)式两边同时乘以，代入(15)式，可得对(11)式两边关于广义动量求偏导数，得到将(19)式代入(18)式，根据Dubois-Reymond定理[12]，可得对(20)式求Δ导数，可得方程(19)和(21)称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的运动方程.由(14)式，方程(19)和(21)可进一步表示为称方程(22)为与时间尺度上相空间中非完整系统(12)，(19)和(21)相应时间尺度上相空间中完整系统的运动方程．首先，考虑只含有qs，ps变分的情况.相空间中Hamilton作用量表示为定义1称作用量(23)式在变换下为广义准对称不变量，当且仅当对任意区间[ta，tb]⊆[t1，t2],有，其中，ε为无限小参数，ξs和ηs为无限小变换的生成函数，为全变分，为规范函数并且有G=εG．定理1如果作用量(23)式是变换(24)式下的广义准对称不变量，对所有，那么.证明由定义1，方程(25)在任意区间[ta，tb]⊆[t1，t2]上均成立，则(25)式等价于，对(27)式两边同时关于ε求偏导数并令ε=0，则可以得到(26)式．定理2如果作用量I是定义1下的广义准对称不变量，那么系统的守恒量为证明由(22)和(26)式，可得于是得到(28)式.下面将讨论含时间t的无限小变换下的广义准对称不变量．令U是右稠连续可微函数和的集合.对任意qs，ps∈U和ε，映射∈是右稠连续的，而且它是在新的时间尺度上带有前跳算子σ*和导数Δ*的一个象.同时有交换关系[6]:定义2如果作用量I是变换(30)式下的广义准对称不变量，当且仅当对任意的区间[ta，tb]⊆[t1，t2].t.定理3如果作用量I是变换(30)式下的广义准对称不变量，那么.证明由定义2，可得，由于区间[ta，tb]是[t1，t2]的任意子区间，所以有，对(34)式两边同时关于ε求偏导数并令ε=0，则可得等式(32)．(32)式就称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether等式．定理4如果作用量I是定义2下的广义准对称不变量，那么系统的守恒量为证明令，当时，则根据等式(33)有，t.由于=t，则有，).由定义1可知，泛函是在={}上的无限小变换的准不变量.因此当=t，由定理2可得.又因为，其中，∂1H表示对函数H中第一个变量求偏导数.将(41)、(42)式代入(40)式，则可得(35)式．定理4称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的广义Noether定理，根据这个定理可由已知的广义准对称不变量得到系统的守恒量．定义时间尺度，假设系统的Lagrange函数为所受的非完整约束为该约束为非Chetaev型的，虚位移满足根据(10)式和(11)式，有广义动量和Hamilton函数，将Hamilton函数代入(21)式，则有由(44)，(46)和(47)式，求得于是有根据(32)式和(2)式，可得对(50)和(51)式进行求解所以根据定理4，可得到守恒量时间尺度将离散和连续进行了统一，研究时间尺度在分析力学的应用并寻求相应的守恒量.本文通过时间尺度上Hamilton原理，建立时间尺度上非Chetaev型非完整Hamilton方程.定义了时间尺度上相空间中的广义准不变量，得到系统的Noether等式和守恒量.本文结果具有普遍性，当约束条件时，结论可退化为时间尺度上相空间中Chetaev型非完整力学系统的Noether的理论.同时，可进一步拓展到时间尺度最优控制，约束Birkhoff力学系统等．致谢：作者对张毅教授的悉心指导深表感谢!【相关文献】[1] HILGER S. Ein maβkettenkalkul mit anwendung auf zentrumsmannigfaltigkeiten[D]. Wurzburg:Universität Wurzburg， 1988．[2] HILGER S. Analysis on measure chains-a unified approach to continuous and discrete calculus[J]. Results Math， 1990， 18(1-2):18-56．[3] HILGER S. Differential and difference calculus-unified[J]. Nonlinear Anal， 1997，30(5):2683-2694．[4] AGARWAL R P， BOHNER M. Basic calculus on time scales and some of its applications[J]. Results Math， 1999， 35(1-2):3-22．[5] AGARWAL R P， BOHNER M， PETERSON A. Inequalities on time scales: a survey [J]. J Math Inequ Appl， 2001， 4(4):535-557．[6] BOHNER M， PETERSON A. Dynamic equations on time scales， An Introduction with applications[M]. Boston: Birkhäuser， 2001．[7] BOHNER M， GUSEINOV G SH. Partial differentiation on time scales[J]. Dyn Syst Appl，2004， 13(3): 351-379．[8] ATICI F M， BILES D C， LEBEDINSKY A. An application of time scales to economics[J]. Math Comput Model， 2006， 43(7-8): 718-726．[9] AHLBRANDDT C D， BOHNER M， RIEDNHOUR J. Hamiltonian systems on time scales[J]. J Math Appl Anal， 2000， 250(2): 561-578．[10] HILSCHER R， ZEIDAN V. Weak maximum principle and accessory problem for control problems on time scales[J]. Nonlinear Anal， 2009， 70(9):3209-3226．[11] HILSCHER R， ZEIDAN V. Calculus of variations on time scales: Weak local piecewise solutions with variable endpoints[J]. J. Math Anal Appl， 2004， 289(1):143-166．[12] BOHNER M. Calculus of variations on time scales[J]. Dyn Syst Appl， 2004，13(12):339-349．[13] BARTOSIEWICZ Z， TORRES D F M. Noether theorem on time scales[J]. J Math Anal Appl， 2007， 342(2): 1220-1226．[14] CAI P P， FU J L， GUO Y X. Noether symmetries of the nonconservative and nonholonomic system on time scales[J]. Sci China: Phys Mech Astron， 2013，56(5):1017-1028．[15] SONG C J， ZHANG Y. Noether theorem for Birkhoffian systems on time scales[J]. J Math Phys， 2015， 56(10): 102701(1-7)．。

中科大力学课件一、教学内容本节课的教学内容出自中科大力学课件，主要涉及力学的基本概念、牛顿三定律、能量守恒定律等。

具体内容包括：1. 力学基本概念：力、质量、速度、加速度等；2. 牛顿三定律：第一定律（惯性定律）、第二定律（加速度定律）、第三定律（作用与反作用定律）；3. 能量守恒定律：动能、势能、机械能的转化与守恒。

二、教学目标1. 使学生掌握力学基本概念，理解牛顿三定律和能量守恒定律；2. 培养学生运用力学知识解决实际问题的能力；3. 增强学生对科学的兴趣，提高学生的科学素养。

三、教学难点与重点重点：力学基本概念、牛顿三定律、能量守恒定律；难点：牛顿第二定律的应用，能量守恒定律在实际问题中的运用。

四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔；学具：笔记本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入：讲解力的作用，如拉力、压力、摩擦力等，让学生感受力学在生活中的应用；2. 讲解力学基本概念，如力、质量、速度、加速度等，并结合实例进行解释；3. 阐述牛顿三定律，通过示例和练习使学生理解并掌握定律内容；4. 讲解能量守恒定律，引导学生理解动能、势能、机械能的转化与守恒；5. 针对教学难点，通过例题讲解和随堂练习，帮助学生掌握牛顿第二定律的应用和能量守恒定律在实际问题中的运用；6. 课堂互动：提问学生对力学知识的理解和应用，鼓励学生发表自己的观点和看法；六、板书设计板书内容主要包括：力学基本概念、牛顿三定律、能量守恒定律。

板书设计要求简洁明了，重点突出，方便学生理解和记忆。

七、作业设计作业题目：1. 解释力、质量、速度、加速度等力学基本概念，并结合实例进行说明；2. 运用牛顿三定律，分析并解答实际问题；答案：1. 力是物体之间相互作用的结果，质量是物体所具有的惯性大小，速度是物体在单位时间内移动的距离，加速度是物体速度变化的快慢；2. 实例：一个物体在水平面上受到一个恒定的力作用，根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比；3. 实例：一个物体从高处自由落下，重力势能转化为动能，根据能量守恒定律，重力势能的减少等于动能的增加。

一、提名项目：典型二维材料的力学行为二、提名专家：郑哲敏（国家最高科技奖获得者），中国科学院力学研究所，院士，力学三、提名意见该项目以典型二维材料石墨烯为研究对象，采用连续介质理论方法，结合第一性原理和分子动力学计算，深入系统地研究了二维材料中的典型缺陷、强度特征、关键弯曲参数、断裂失效规律、细胞毒性等力学行为。

首次给出了描述二维材料中典型5-7环晶体缺陷应力场的理论表达式，针对多晶石墨烯中晶界由5-7环构成的特点，给出了晶界角度与石墨烯强度的理论关系；首次给出石墨烯的高斯弯曲刚度系数；揭示了传统格林菲斯断裂理论在10 纳米以下尺度的适用特征；提出石墨烯侵入细胞膜的毒性机理。

这些科学问题的提出与解决促进了固体力学和相关交叉学科的发展，为二维材料的实际应用提供了科学理论引导。

该项目8篇代表性论文发表在固体力学和物理学顶级期刊（Nature Material、Nano Letters、JMPS等），共被Science、Chem. Soc. Rev.、Nature Nanotech.等权威SCI学术刊物他人引用556次，引用者包括国内外院士、相关领域知名学者等。

该项目工作获得了国内外学术科研领域的积极引用和高度认可。

提名该项目为国家自然科学奖二等奖。

四、项目简介该项目针对二维材料微结构和宏观力学行为关联这一科学问题开展研究，以石墨烯等为典型研究对象，通过理论分析并结合第一性原理计算，解析了二维材料中5-7环典型缺陷的应力场，计算给出单层石墨烯的关键弯曲参数，探索了二维材料的断裂失效和晶界方向、裂纹长度的关联机制等，主要科学发现包括以下四个方面。

1）提出二维材料中5-7环缺陷的力学问题并首次给出该类缺陷弹性场的理论解。

正确理解二维多晶材料的力学性能，首先需要解决两个关键问题：（1）构成晶界的典型缺陷5-7环的应力场，（2）多个5-7环组成的晶界对石墨烯强度的影响。

本项目通过连续介质理论分析，并结合原子尺度计算验证，首次给出了二维晶体中基本缺陷5-7环应力场的理论表达式，并导出了典型晶界中5-7环所形成的预应力与晶界角度的理论关系，进而发现石墨烯的强度不仅依赖于晶界角度、缺陷密度，也与缺陷的具体构型密切相关。

hamilton--jacobi 方程Hamilton-Jacobi方程是经典力学中一种重要的变分原理，可以描述质点在势场中运动的轨迹。

这个方程由外尔在1927年提出，是经典力学的一个基本方程之一，与拉格朗日力学和哈密顿力学一起构成了经典力学的三大流派。

在经典力学中，质点在势场中运动的状态可以用质点的位置以及动量来描述。

在哈密顿力学中，系统的动力学演化由哈密顿函数来描述，而哈密顿函数可以通过广义动量和广义坐标构建得到。

在这个框架下，Hamilton-Jacobi方程可以被看作是一个与哈密顿函数相关的偏微分方程。

Hamilton-Jacobi方程的一般形式可以表示为：H(q_i, \frac{\partial S}{\partial q_i}) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0其中H是系统的哈密顿函数，q_i是广义坐标，S是所谓的作用量。

Hamilton-Jacobi方程的解S可以通过变量分离的方法得到。

对于一个自由粒子来说，作用量可以表示为：S(q_i, t) = -Et + \sum_i p_i q_i其中E是粒子的总能量，p_i是广义动量。

将这个作用量代入Hamilton-Jacobi方程，可以得到一组与时间无关的偏微分方程：H(q_i, \frac{\partial S}{\partial q_i}) + E = 0这个方程可以被看作是Hamilton-Jacobi方程的定态版本，它描述了系统在特定能量下的运动。

在一般情况下，Hamilton-Jacobi方程往往难以直接解析求解。

但是，可以采用一系列近似方法来求解，在实际物理问题中还有很多有效的数值求解方法。

此外，在量子力学中也存在一种相对称的方程，称为Wigner函数方程，与Hamilton-Jacobi方程相对应。

华清明等人在1996年发表的一篇文章中，讨论了关于广义Bertrand系统的Hamilton-Jacobi方程。

力学牛顿力学哈密尔顿力学拉格朗日力学量子力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对整篇文章的主题进行简要介绍，为读者提供背景信息和基本了解。

以下是一个可能的概述部分的内容:引言:力学是自然科学中研究物体运动规律的一个重要分支。

它涉及到如何描述、分析和预测物体在受力作用下的运动状态。

牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学是力学领域的几个重要理论体系，它们对于我们理解和解释物质世界中的运动现象具有重要意义。

牛顿力学是经典力学的基础，由伊萨克·牛顿在17世纪提出。

它通过牛顿三定律和牛顿运动定律，描述了宏观物体受力运动的规律，并对大多数日常物理现象提供了简单而直观的解释。

哈密尔顿力学是经典力学发展的重要阶段，由威廉·哈密尔顿在19世纪提出。

它通过哈密尔顿原理和哈密尔顿方程，以广义坐标和广义动量为描述变量，建立了描述物体运动的一种更为普遍和优雅的数学形式。

拉格朗日力学是另一种重要的经典力学形式，由约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出。

它通过拉格朗日方程和虚功原理，利用拉格朗日函数来描述系统的动力学行为，适用于多体系统和复杂的约束情况。

量子力学是20世纪物理学的重大突破，研究微观领域中的粒子行为。

它提出了波粒二象性和薛定谔方程，对微观粒子的运动和性质进行了深入研究。

量子力学的基本概念和数学形式与经典力学截然不同，为我们理解微观世界的奇特现象提供了新的视角。

本文旨在探讨牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学这四个力学理论的基本原理和应用。

通过对这些理论的比较和分析，我们可以更全面地了解力学在不同尺度和领域中的应用，以及它们对我们对物质世界的理解和探索的贡献。

在结论部分，我们将对力学的发展和未来的展望进行综合总结。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：首先，文章将按照牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学的顺序进行组织。

一类二阶非标准广义力学的正则变换和第一积分
朱琳;张毅
【期刊名称】《动力学与控制学报》
【年(卷),期】2024(22)4
【摘要】研究带有指数Lagrange函数的二阶非标准广义力学的正则变换以及关于第一积分的Poisson理论.首先,建立二阶非标准广义力学的Hamilton原理,导出Euler-Lagrange方程,并由Legendre变换定义Hamilton函数,建立正则方程;其次,建立二阶非标准广义力学的正则变换的判别条件,并通过母函数的不同选择给出四种基本形式的正则变换;最后,验证二阶非标准广义力学具有Lie代数结构,建立关于第一积分的Poisson理论.文中通过算例演示结果之应用.
【总页数】7页(P16-22)
【作者】朱琳;张毅
【作者单位】苏州科技大学数学科学学院;苏州科技大学土木工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O316
【相关文献】
1.基于非标准Lagrange函数的动力学系统的广义能量积分与Whittaker降阶法
2.高维增广相空间中广义力学系统的第一积分和积分不变量
3.一类二阶中立型广义Emder-Fowler阻尼方程的振动准则
4.广义余弦函数及一类二阶抽象柯西问题研究
5.一类二阶广义Emden-Fowler型微分方程的振动性
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中科大凝聚态物理专业复试笔试试卷（回忆版）作者：王0飞一、固体物理部分1．名词解释：1）布洛赫定理2）声子态密度2．二维立方布喇斐点阵如下图：1）画出原胞，基矢，并写e 出基矢的矢量表达式；2）画出倒格子点阵，倒格子基矢，倒格子原胞，并写出倒格子基矢的表达式；3）画出第一布里渊区，并·指出第一布里渊区边界和布拉格衍射的关系。

3．已知紧束缚近似下的能带公式为：n R k i n s at J J k E ∙∑--=e)(0ε（n 为近邻原子）1）写出体心立方晶格的s 能带表达式；2）给出[100]方向的E-k 关系式，并画图；3）求出带顶和带底电子的有效质量。

4．对于掺杂的金属和掺杂的半导体，二者的电阻率随温度的变化是怎样的？请给出二者物理上的解释。

二、大学物理实验部分1．请画出惠斯通电桥侧电阻实验中的电路图，并指出在什么情况下电桥平衡。

如果被测电阻的阻值不能改变，问可以用什么方法测得该电桥的灵敏度。

2．写出下面几个物理实验在改变我们对世界的认识中起到的重大作用（只要写出作用，不用写具体的实验过程）1）卢瑟福等人的α粒子散射实验：2）密立根油滴实验：3）迈克尔逊—莫雷实验：3．在测量氢原子的光谱实验中如何才能区分那些光谱是氢原子发出的，那些是氢分子发出的？三、理论物理部分1．一个刚体是由一个平面S和xoy、yoz、zox三个平面为成的在第一挂限的部分，请给出转动惯量张量的表达式，并写出惯量主轴。

（这个内容在科大出版社杨维弘的《力学》中有关刚体转动的部分有涉及。

原试卷中该平面在xyz轴的截距是给出具体数值的，但我忘掉了，大家自己写个差不多合适的练练吧）2．（量子力学题，有关高等量子力学中的Dirac矩阵和电子自旋波函数，基本可以放弃，我也记不得了．．．．．．）3．对于有N个氧气分子组成的系统，回答下面问题：1）在常温下，该系统的内能，焓，等容和等压热容量各为多少；2）如果温度为几千K，那么该系统的内能，焓，等容和等压热容量又该为多少。