第八章经典力学的哈密顿理论之一

经典力学的哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一项重要的基本原理，它为我们理解物理世界中的运动提供了一种非常独特而深入的视角。

它的提出与发展历程虽然百年有余，但对于理论物理学的研究和应用至今仍具有重要的价值。

哈密顿原理最早由法国数学家勒让德在19世纪初提出。

它与之前所熟知的拉格朗日动力学原理相似，都是描述力学系统的最优运动路径。

然而，哈密顿原理比拉格朗日原理更为普适，它通过引入哈密顿函数和广义动量，将力学系统的演化描述为在一个能量守恒的相空间中的运动。

哈密顿原理的核心思想是，物体的运动路径是使作用量取极小值的路径。

作用量是动力学系统在一段时间内的能量积累，它由广义坐标和广义动量构成的哈密顿量对时间的积分得到。

具体而言，对于一个自由度为N的力学系统，其哈密顿量可以表示为H = p*q - L，其中p是广义动量，q是广义坐标，L是拉格朗日量。

哈密顿原理的应用十分广泛。

当我们将系统的哈密顿量对广义坐标和广义动量求偏导数，可以得到系统的哈密顿方程，即dq/dt = ∂H/∂p，dp/dt = -∂H/∂q。

这两个方程描述了系统在相空间中的轨迹，可以用来推导出经典力学中的牛顿运动定律。

此外，哈密顿原理还被应用于统计力学、量子力学等领域，为研究其他物理理论提供了基础。

在实际应用中，哈密顿原理为我们提供了一种非常有效的数学工具，能够帮助我们推导出物体在复杂力场中的运动方程。

通过对作用量的最小化，我们可以获得物体的最优轨迹，从而预测和解释实验现象。

例如，当我们想要分析自由下落物体的运动时，哈密顿原理可以帮助我们求解出在重力场中物体的运动轨迹。

不仅如此，哈密顿原理的推广和拓展还给理论物理学的发展带来了多个重要的数学工具。

例如，哈密顿形式的动力学不仅适用于经典力学，还可以推广到场论、相对论和量子力学等更高级的物理理论中。

这种抽象的数学框架使得我们可以统一描述多个领域的力学系统，并且能够更深入地理解物理世界的规律。

总之，哈密顿原理在经典力学中具有重要的地位和价值。

哈密顿定理引言哈密顿定理，又称哈密顿-雅可比定理，是经典力学中的一条重要定理，由威廉·哈密顿于1835年提出。

它是质点力学中的一个基本定理，可以用来描述质点在势力场中的运动。

哈密顿定理在经典力学、量子力学、统计力学等领域都有广泛的应用。

定理表述哈密顿定理的表述如下：对于一个系统，其哈密顿函数H、广义坐标q和广义动量p之间满足以下关系：∂H/∂p = dq/dt∂H/∂q = -dp/dt其中，H是系统的哈密顿函数，q是广义坐标，p是广义动量，t是时间。

定理解释哈密顿定理可以理解为能量守恒的表述。

在一个力学系统中，系统的哈密顿函数代表系统的总能量。

根据哈密顿定理的第一部分，系统的总能量随时间的变化率与广义动量的变化率相等。

这意味着在系统中，能量的改变取决于动量的改变。

同样地，根据哈密顿定理的第二部分，系统的总能量的变化率与广义坐标的变化率的相反数相等。

这意味着在系统中，能量的改变取决于坐标的改变的相反方向。

这样，哈密顿定理给出了系统能量的变化与坐标和动量的关系，进一步揭示了力学系统内部的运动规律。

哈密顿定理的应用1. 力学系统的轨迹预测哈密顿定理可以用来预测力学系统的轨迹。

通过已知的系统的哈密顿函数、广义坐标和广义动量的初值，可以通过哈密顿定理计算出系统在不同时间点上的坐标和动量的数值。

这样，我们就可以通过数值计算的方式得到系统在未来的运动轨迹，从而对系统的行为进行预测。

这在航天器轨道计算、天体运动预测等领域有广泛的应用。

2. 力学系统的稳定性分析哈密顿定理还可以用来分析力学系统的稳定性。

通过对系统的哈密顿函数进行分析，可以得到系统在不同状态下的能量。

通过计算能量的变化率，可以了解系统在不同状态下的稳定性。

如果能量变化率始终小于零，系统就是稳定的。

而如果能量变化率大于零，系统就是不稳定的。

这种稳定性分析可以帮助我们理解力学系统的运动特性，进一步用来设计控制系统、优化工程结构等。

3. 非保守系统的分析哈密顿定理也可以用来分析非保守系统。

哈密顿凯莱定理的应用哈密顿凯莱定理是经典力学中的一项重要定理，它可以用于描述质点在力场中运动的性质。

这个定理的应用广泛，为我们理解和研究物体运动提供了有力的工具。

本文将介绍哈密顿凯莱定理的应用，帮助读者更好地理解并应用这个定理。

一、哈密顿凯莱定理简介哈密顿凯莱定理是经典力学中的一个基本定理，它是质点运动的一个重要定理，可以用于描述质点在力场中的运动。

该定理的基本内容是：在保守力场中，质点的轨迹满足哈密顿凯莱方程，即质点的动能与势能之和保持不变。

二、哈密顿凯莱定理的应用1. 动力学系统的稳定性分析哈密顿凯莱定理可以用于分析动力学系统的稳定性。

对于一个动力学系统，我们可以通过求解哈密顿凯莱方程，得到系统的运动轨迹。

通过分析轨迹的形状和性质，我们可以判断系统是否稳定。

如果系统的轨迹是有界的，不会发散或趋近于无穷远，那么该系统是稳定的。

2. 能量守恒定律的应用哈密顿凯莱定理可以用于推导能量守恒定律。

在保守力场中，质点的总能量等于其动能与势能之和，而根据哈密顿凯莱定理，质点的动能与势能之和保持不变。

因此，质点的总能量在运动过程中保持不变，即能量守恒。

3. 动力学系统的模拟与预测哈密顿凯莱定理可以用于模拟和预测动力学系统的运动。

通过求解哈密顿凯莱方程，我们可以得到系统的运动轨迹。

根据这些轨迹，我们可以对系统的未来状态进行预测。

这在很多领域都有重要应用，比如天体力学中对行星轨道的预测，以及工程中对机械系统的模拟和设计。

4. 动力学系统的优化设计哈密顿凯莱定理可以用于优化设计动力学系统。

通过求解哈密顿凯莱方程，我们可以得到系统的运动轨迹和能量变化情况。

根据这些信息，我们可以优化系统的结构和参数，使系统的能量损失最小，运动效率最高。

5. 弹性碰撞问题的求解哈密顿凯莱定理可以用于求解弹性碰撞问题。

在弹性碰撞过程中，质点的动能和势能会发生变化。

通过应用哈密顿凯莱定理，我们可以求解碰撞前后质点的速度和能量变化情况，从而得到碰撞的结果。

经典力学中的哈密顿量和拉格朗日量经典力学是物理学中最基础、最重要的分支，它涉及到的问题包括运动学、动力学、能量守恒等等。

在经典力学中，哈密顿量和拉格朗日量是两个非常重要的概念，它们在研究物体运动时起着至关重要的作用。

一、哈密顿量哈密顿量最初是由高斯和哈密顿独立提出的，它是描述物理体系在给定的一组坐标系下的能量总和，计算公式为：H = T + V，其中T是物体的动能，V是物体的势能。

哈密顿量的物理意义就是能量守恒定律，它表示一个物体对于力的响应，可以用它的能量来描述一个系统的运动。

哈密顿量也可以描述一个系统的演化规律，通过它可以计算出一个物体在不同时间点上的状态，我们可以通过哈密顿量来预测未来的情况。

在量子力学中，哈密顿量扮演着非常重要的角色，它被用来研究粒子的能级、波函数等等。

二、拉格朗日量拉格朗日量是描述粒子运动和作用的数学量，它是根据势能函数和运动函数的关系来计算的。

拉格朗日量常常被用来描述稳定的、不经常发生变化的系统，它是一个宏观体系的经典力学的核心，被广泛应用于物理、化学、材料科学等领域。

在拉格朗日量的计算中，通常需要将物理体系分解为多个系统，然后将每个系统的能量分别计算，最后将它们汇总起来。

拉格朗日量的计算过程比较复杂，通常需要用到微积分、变分法等高级数学方法。

三、哈密顿量与拉格朗日量的关系哈密顿量和拉格朗日量是两个不同的物理概念，它们分别描述了物理体系的不同方面。

哈密顿量和拉格朗日量之间存在着一定的关系，这个关系可以通过勒让德变换来实现。

勒让德变换是一种常用的数学方法，它可以将哈密顿量和拉格朗日量之间转化，其中一个物理量的表达式就是另一个物理量经过变换之后的结果。

通过勒让德变换将哈密顿量和拉格朗日量转化之后，我们就可以从两种不同的角度来研究物理体系，更加深入地理解它们的运动规律、性质等等。

总结：哈密顿量和拉格朗日量是经典力学中的两个重要概念，它们分别描述了物理体系的不同方面。

哈密顿量是关于动能和势能的函数，它描述了物体对于力的响应和演化规律；拉格朗日量是描述粒子运动和作用的数学量，常常被用来描述稳定的、不经常发生变化的系统。

标题：onsager原理和哈密顿原理1、概述在物理学和化学领域，onsager原理和哈密顿原理都是非常重要的理论原理。

它们分别在热力学和量子力学领域有着广泛的应用，并对科学研究产生了深远的影响。

本文将分别介绍这两个原理的基本概念和应用，以帮助读者更好地理解这两个重要的物理理论。

2、onsager原理onsager原理是由美国物理学家拉尔斯·奥恩萨格在20世纪30年代提出的。

该原理主要应用于非平衡热力学系统，揭示了热力学过程中的对称性和动力学行为。

onsager原理的核心思想是在非平衡态热力学系统中，宏观的热力学量可以用微观的物理过程来描述，且在这些描述中保持宏观时间反演对称性。

3、onsager原理的具体内容onsager原理包括两个基本原则，即对称性原理和耗散定律。

对称性原理指出微观的物理过程应该满足宏观时间反演对称性，即在热力学过程中，如果时间倒转，系统的演化应该仍然是可逆的。

而耗散定律则描述了在非平衡态系统中，宏观量与微观过程之间的关系，这种关系通常表现为耗散率矩阵的对称性。

4、onsager原理的应用onsager原理在许多领域都有广泛的应用，特别是在热力学和动力学领域。

在固体物理学中，onsager原理可以用来解释晶格热传导和电子输运行为；在生物物理学中，onsager原理可以帮助解释细胞内部的物质输运过程。

onsager原理还在材料科学、环境科学和化学工程等领域有着重要的应用价值。

5、哈密顿原理哈密顿原理是由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于19世纪提出的，它是经典力学的基本原理之一，用来描述宏观系统的轨迹和动力学演化。

哈密顿原理通过变分原理和最小作用量原理揭示了系统的运动方程和能量守恒定律。

6、哈密顿原理的具体内容哈密顿原理主要包括两个方面的内容，即变分原理和最小作用量原理。

变分原理描述了在系统的位势场中，粒子的轨迹可以通过最小作用量路径来描述，这个路径是系统的真实轨迹；最小作用量原理指出在所有可能的路径中，系统的真实路径是使作用量取极小值的路径。

哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一种非常重要的原理，它由爱尔兰数学家威廉·哈密顿在19世纪提出，被广泛应用于物理学和工程学的各个领域。

哈密顿原理描述了一个系统的运动方程，它可以通过变分原理来推导出系统的运动方程，是经典力学中最重要的原理之一。

在哈密顿原理中，我们首先需要引入拉格朗日函数。

拉格朗日函数是描述系统动力学行为的一个函数，它通常由系统的动能和势能构成。

然后，我们定义哈密顿量，它是系统的总能量函数，可以用拉格朗日函数通过勒让德变换得到。

接下来，我们引入广义坐标和广义动量，它们是描述系统运动状态的变量。

通过对拉格朗日函数进行变分，我们可以得到哈密顿原理的表达式。

哈密顿原理的本质是要使系统的作用量取极值。

作用量是描述系统在一段时间内的积累效应，它是系统运动的一个重要量。

根据变分原理，我们要使系统的作用量对于任意的变分都取极值，从而得到系统的运动方程。

这就是哈密顿原理的核心思想。

哈密顿原理在物理学中有着广泛的应用。

在经典力学中，我们可以用哈密顿原理来推导出系统的运动方程，比如著名的哈密顿正则方程。

在量子力学中，哈密顿原理也有着重要的地位，它可以用来描述量子系统的演化。

此外，在光学、流体力学、电磁学等领域，哈密顿原理也都有着重要的应用。

除了在物理学中的应用，哈密顿原理在工程学中也有着重要的地位。

在控制理论中，我们可以用哈密顿原理来设计系统的最优控制律，从而实现系统的最优控制。

在航天航空领域，哈密顿原理也可以用来分析飞行器的轨迹和姿态控制。

总之，哈密顿原理作为经典力学中的重要原理，不仅在物理学中有着广泛的应用，而且在工程学中也有着重要的地位。

它通过变分原理描述了系统的运动方程，是经典力学中不可或缺的一部分。

通过深入学习和理解哈密顿原理，我们可以更好地理解物理学和工程学中的许多现象，为实际问题的分析和解决提供重要的理论基础。

中外著名大学《理论力学》主流教材的比较与思考王新宇（南开大学物理科学学院博士、副教授）[内容摘要] 本文选取了三本具有代表性的英美理论力学主流教材如Goldstein 的《Classical Mechanics(第二版)》、Marion的《Classical Dynamics of Particles & Systems(第三版)》、Kibble的《经典力学（第五版）》和三本国内使用的经典教材如金尚年的《理论力学（第二版）》、梁昆淼的《力学：理论力学(第4版)(下)》、朗道的《力学（第五版）》，对具体内容进行了简单介绍，分析了各自的特色，并进行了比较。

[关键词] 理论力学；经典力学；教材；比较理论力学是人们称为“四大力学”的物理课程之一，也称为经典力学。

在物理学中占有重要的地位，对于各高校物理教学是必不可少的基础课程。

本文选取英美和国内所使用的相关教材和参考书（各三本）分别进行了内容简介，并加以比较，力求为国内理论力学教材的编写和使用提供借鉴。

1.英美著名大学《理论力学》主流教材的内容与特色1.1 国外教材之一——Goldstein 《Classical Mechanics(第二版)》教材的内容特点（1）前言《Classical Mechanics》是国外较为广泛采用的经典力学教材，在美国长期被作为研究生的理论力学教材，适合研究生入门学习。

该书自1950年问世以来经过多次再版，目前已经出版至第三版，1980年其第二版由Addison-Wesley出版公司出版。

本书是公认的经典力学标准教材。

与其他同类教材相比，这本书篇幅上比较长，各方面也都介绍得更详细一些。

可能是存在成本的因素，第三版在增加部分内容（例如混沌）的同时删去了部分内容（例如部分讨论和附录），相当一部分读者更偏爱第二版。

（2）作者简介赫伯特·戈尔茨坦(1922年6月26日- 2005年1月12日)，美国物理学家，以本书作者知名。

第八章 经典力学的哈密顿理论教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。

教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。

教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。

§8.1 正则共轭坐标坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。

一：坐标的发展历史.1.笛卡儿直角坐标。

为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。

其用z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，用k j i,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。

2.极坐标、柱坐标和球坐标。

用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。

在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。

其代表坐标轴方向的单位矢量为变矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v,等物理量。

从直角坐标到极坐标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。

另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。

3.广义坐标。

反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。

它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。

广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。

另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。

下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。

二：正则共轭坐标1.拉格朗日函数L 的不确定性如果我们定义满足拉格朗日方程的物理量),,(1t q q L αα 为拉格朗日函数，即1L 满足拉格朗日方程,0)(11=∂∂-∂∂ααq L q L dt d s ,...2,1=α。

第八章经典力学的哈密顿理论一．正则坐标和哈密顿函数二．三种不同形式的哈密顿动力学方程1．哈密顿正则方程2．哈密顿原理3．哈密顿-雅可比方程一．正则坐标和哈密顿函数为表述空间的位置，引入坐标。

常用坐标：<1）直角坐标；<2）平面极坐标；<3）柱坐标；<4）球坐标等功能：<1）用三个坐标值表示空间的一点的位置<2）确定空间一组相互正交的单位矢量<有了单位矢量，任何一个有方向的力学量都可以统一用这组矢量表示）区别：<1）直角坐标与物体的运动无关，是固定不变的<2）曲线坐标的单位矢量是随着质点所在的位置而改变的， <3）自然坐标由质点的速度方向决定坐标1．广义坐标：设拉格朗日方程为：又设：拉格朗日方程为：令：上式中是变量的任意函数，则：而所以由：可以得到：即：通过拉格朗日方程，对于两个不同的拉格朗日量可以解得同一个广义坐标。

经典力学中，一个力学体系的拉格朗日函数不是唯一的，不同的拉格朗日函数可以相差一项：由于是任意函数，因此，一个力学体系的拉格朗日函数可以有无穷多个。

2．广义动量:若拉格朗日函数是唯一的，则与广义坐标相对应的广义动量也是唯一的，两者一一对应。

但是，由于拉格朗日函数都包含有广义速度因此和将是两个不同的力学量，由于是任意函数的，因此，与广义坐标对应的广义动量也有无穷多个。

用数学语言表述为：广义动量和广义坐标是完全独立的。

b5E2RGbCAP若取，只是时间的函数，则和就一一对应了。

但是，这是一个规范条件，这个规范条件并非理论本身所必需的。

条件：<1）保留广义坐标的概念不变<2）保留广义动量的定义不变，<3）对不做任何限制，问题：若使和保持独立地位：（A）力学理论如何？（B）是否会带来经典力学和拉格朗日理论中没有的优点？回答上述问题的理论即为哈密顿理论！3．两个变量的勒让德变换一组独立变数变为另一组独立变数的变化称为勒让德变换。

经典力学中的哈密顿量经典力学是物理学的基础学科之一，它描述了宏观物体的运动规律。

在经典力学中，哈密顿量是一个非常重要的概念，它是描述系统能量的函数。

本文将介绍哈密顿量在经典力学中的应用以及它的相关理论。

在经典力学中，哈密顿量起着至关重要的作用。

它描述了一个力学系统的总能量，包括动能和势能的贡献。

哈密顿量通常用H来表示，在一般的形式中，可以写成H = T + V，其中T是动能项，V是势能项。

动能项描述了物体的运动状态，而势能项则描述了物体所处的位置。

哈密顿量的形式取决于具体的力学系统。

例如，对于简谐振子，哈密顿量可以写成H = 1/2mv^2 + 1/2kx^2，其中m是质量，v是速度，k是弹性系数，x是位移。

这个哈密顿量包含了振子的动能和势能贡献。

哈密顿量还可以描述多体系统。

对于一个由N个粒子组成的系统，哈密顿量可以写成H = Σi=1 to N (1/2mi vi^2 + Vi)，其中mi是第i个粒子的质量，vi是其速度，Vi是它所处的势场。

这个哈密顿量包含了系统中所有粒子的动能和势能贡献。

在经典力学中，物体的运动由它的哈密顿量决定。

根据哈密顿量，我们可以得到物体的运动方程。

这个运动方程称为哈密顿方程，它描述了物体在力学系统中的运动轨迹。

哈密顿方程是经典力学中最基本的方程之一，它可以推导出牛顿力学中的运动方程。

除了描述物体的运动，哈密顿量还有其他重要的应用。

在量子力学中，哈密顿量被用来描述系统的能级结构和演化。

量子力学是一种描述微观世界的物理理论，它和经典力学有很大的不同。

但是，量子力学的数学形式中包含了经典力学的一些概念，如哈密顿量。

在量子力学中，哈密顿量是一个厄米算符，它的本征值和本征函数对应了系统的能级和相应的量子态。

根据量子力学的基本原理，系统的演化由哈密顿量决定。

通过求解哈密顿量的本征值问题，我们可以得到系统的能级和量子态。

总结一下，哈密顿量是经典力学和量子力学中的一个重要概念。

在经典力学中，哈密顿量描述了系统的总能量，并且通过哈密顿方程决定了物体的运动。

哈密顿动力学的物理意义哈密顿动力学是经典力学的重要分支之一，其提供了一种描述物理系统运动的方法，相较于拉格朗日动力学而言，在某些情况下更为便利。

本文将从哈密顿动力学的物理意义、公式推导以及在实际应用中的价值等方面进行探讨。

一、物理意义哈密顿动力学最基础的概念是哈密顿量，它代表系统的总能量。

与拉格朗日动力学相比，哈密顿动力学是一种更直接地面对能量守恒的描述方法。

同时，哈密顿量是由广义坐标和动量构成的，其中广义坐标描述了系统的位置和方向，而动量则描述了系统的速度和动能等信息。

这些参数可以描述系统完整的状态，即在某一时刻系统所具备的全部动力学信息。

基于哈密顿量，我们可以得到哈密顿方程，该方程对系统的演化进行了详细描述。

哈密顿方程可以被视为一组微分方程，描述了坐标和动量的变化率，以及能量守恒等问题，从而可以给出系统在不同时刻的状态。

二、公式推导哈密顿动力学的数学基础是哈密顿原理，即坐标和动量的变化率可以通过哈密顿量的全导数来描述。

假设系统的状态由广义坐标q1, q2, ... qn和动量p1, p2, ... pn所描述，则哈密顿量可以表示为：H(q1, q2, ... qn, p1, p2, ... pn)那么哈密顿方程可以表示为：dq_i/dt = dH/dp_i, dp_i/dt = -dH/dq_i其中dq_i/dt表示广义坐标qi的变化率，dp_i/dt表示动量pi的变化率。

dH/dq_i及dH/dp_i分别表示哈密顿量对qi和pi的偏导数。

这样的公式推导可以方便地描述哈密顿动力学对于物理系统的描述。

三、实际应用哈密顿动力学在物理领域中有着广泛的应用，如：1. 在天体物理学中，哈密顿动力学可以用来描述星体之间的运动；2. 在统计物理学中，哈密顿动力学可以用来描述大量体系的运动状态；3. 在原子物理学中，哈密顿动力学可以用来描述原子核和电子的运动状态等。

基于哈密顿动力学，我们可以进一步明确物理系统的规律，得到更加准确的动力学信息。

第八章 哈密顿原理（Hamilton’s Principle ）一、泛函和变分的概念1．最速落径问题 如图1，A 、B 是同一铅垂面上的两点，A 高于B ，不考虑阻力，试确定连接A 、B 的一条曲线，使初速为零的质点m 从A 至B 自由下滑所需时间最短。

设路径曲线为 y = y (x )，并设22)()(dy dx ds +=为曲线微段的弧长，则 dx dty dt dy dx dtds v 222)(1)()('+=+==另一方面，由动能定理可得gy v 2=，所以dx gyy dx v y dt 2)(1)(122'+='+=上式积分，得时间T 为⎰'+=adx gyy x y T 022)(1)]([ （1）选取不同的y (x )必有不同的T 值，T 随函数y (x )的变化而变化。

这些可变化的函数称为自变函数，而随自变函数而变的量称为该自变函数的泛函。

最速落径问题可归结为如下数学命题：在0 [ x [ a 的区间内找一个函数y (x )，它满足边界条件⎩⎨⎧====b y a x y x 时，当时，当00 并使（1）式所给泛函T [y (x )]取极小值。

变分法就是研究在各种不同的边界和约束下，各种泛函取极值的必要充分条件。

2．自变函数的变分如图2，将自变函数曲线 y = y (x ) 作微小变更，得到另一曲线y * = y * (x )，而 y * = y * (x ) = y (x ) + δ y (x )其中δ y 称为自变函数的变分。

下面推导d 、δ 交换法则。

由图2，有dyy y dy y y yy y yy '+=+=+==321δ 若从点3向上算，有)()(334dy y dy y dy y dy y y y y δδδδ+++=+++=+= 若从点2向上算，有)()(224y d dy y y y y d y y dy y y δδδδ+++=+++=+= 比较以上两式，得)()(dy y d δδ= （2）因此，自变函数变分、微分的运算顺序可交换。

2. 哈密顿原理n 个质点的力学体系 自由度：3n受k 个约束后，自由度：3n k - 设：1,2,3,s α=广义坐标：()1,2,3,,q q s ααα==运动方程是一个二阶微分方程，故有 2s 个积分常数，即：122,,,s C C C我们可以认为，s 个确定的q α代表着s 维空间的一个点，而描写力学体系运动状态积分：()122,,,,s q q t C C C αα=L Lq q αα∂∂-=∂∂维空间中的一条曲线积分，曲线的两个端点L L q q ααδ⎤∂∂-⎥∂∂⎦()()d q dt L d L L q q q dt q q d Ldt q L q q q ααααααααααδδδδδ⎤⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+⎥⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎛⎫⎛⎫∂∂=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭d()()dq q dtααδ=2211t t t L L Lq q q q q q ααααααδδδ⎛∂∂∂-+ ∂∂∂⎝∑⎰120t t t t q q ααδδ====)12,,,,,,,s s q q q q t20t Ldt δ=⎰)2,,s C 的运动状态积分代表s 维空间的两个点)2,,s C 代入拉格朗日函到2P 对时间)2,,0s C δ+=()21,,t t q q S L dt t αα'''=⎰S S S δ'=-而由：210t t S Ldt δδ==⎰表示：S 具有稳定值！因此，哈密顿原理就是应用变分法中稳定值得办法来挑选真实的轨道，并且由此来确定力学系体的运动定律！哈密顿原理的文字描述：保守的、完整的力学体系，在相同的时间内，由某一个初位形转移到另一个已知的位形的一切可能运动中，真实运动的主函数（作用量）具有稳定值，即对于真实运动来讲，作用量的变分为零。

哈密顿原理和牛顿运动定律是等价的，并且广泛地被人们用来推导其他原理、定律和方程。

我们可以用拉格朗日方程推导哈密顿原理，也可以反过来通过哈密顿原理推导拉格朗日方程。

哈密顿原理哈密顿原理，又称“哈密顿总动量定理”，是物理学的重要定理之一，由英国物理学家威廉哈密顿（William Hamilton）发现，它提供了一种有效而可靠的方式来描述许多现象，并且在现代物理学中仍然被广泛使用。

本文将以详细的介绍介绍哈密顿原理，并讨论它在现代物理学中的作用。

哈密顿原理（Hamilton Principle），也称为哈密顿总动量定理（Hamilton Principal of the Conservation of Momentum），是物理学中的重要理论，它提供了一种有效的方法来描述物质受给力作用时的运动行为。

它的主要思想是，在某些确定的物理系统中，物体在接受给力的过程中所承受的瞬态动量必须是系统整体的总动量的最小值。

因此，哈密顿原理可以用来求解某些物理系统的运动行为，但它仅适用于确定的物理系统。

哈密顿原理表明，当受力物体在系统中发生变形时，它的总动量变化（即动量矢量）越小越好。

因此，受力物体的运动行为满足哈密顿原理的条件，即最优化其总动量矢量的条件。

哈密顿原理也可以用来推导某些重力场的运动规律。

例如，对于受力物体在引力场中发生运动，哈密顿原理可以用来推导出物体受到引力时在无惯性参考系下的运动方程式，即质量*加速度=引力，从而解释山岳问题、月球问题等。

另外，哈密顿原理还可以应用于一些重要的物理现象，如超声波传播、灰尘环形等。

例如，对于超声波传播，哈密顿原理指出，超声波在介质中可以存在，且其传播的速度和传播的方向都是介质的性质决定的。

此外，哈密顿原理还可以用来求解受力物体在各种复杂运动体系中的运动行为，如基本动力学、现代力学等。

在基本动力学中，它可以用来推导受力物体的位移、速度、加速度等关系，从而求解受力物体的运动问题。

在现代的力学中，哈密顿原理也可以用来求解某些复杂的动力学问题，如振动动力学、热传导等问题。

总之，哈密顿原理是物理学的重要定理，它提供了一种有效而可靠的方式来描述许多物理现象，并且在现代物理学中仍然被广泛使用。