第九章-循环码

(9－2) (9－3)
定理9.1 在以多项式xn－1为模的剩余类全体所构成的n维线 性空间Vn中，其一个子空间Vn,k是一个循环子空间（循环码） 的充要条件是：Vn,k是一个理想。
一个（n，k）循环码的码字多项式都是模xn－1运算
下多项式剩余类环中的一个理想，而且一定是一个主理想 子环。反之，多项式剩余类环的一个主理想子环也一定生 成一个循环码。
s(x)＝y(x) mod g(x)
(9－8)
由于 y(x)＝c(x)＋e(x)
而 c(x) mod g(x)＝0
于是 s(x)＝e(x) mod g(x)
(9－9)
s(x)伴随式计算电路的一个重要性质：
定理9.5 设s(x)是接收码字多项式r(x)的伴随式，则y(x)的一 次循环移位xy(x)（mod xn－1）的伴随式s(1)(x)，是s(x)在伴随式 计算电路中无输入时，右移一位的结果（称为自发运算）：
码的性质均适用于循环码。
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9.2 循环码的编码
9.2.1 利用生成多项式g(x)实现编码
若已知 g(x)＝gn-kxn-k＋gn-k-1xn-k-1＋…＋g1x＋g0
并设信息元多项式 m(x)＝mk-1xk-1＋mk-2xk-2＋…＋m1x＋m0
要编码成系统循环码形式，须用xn-k乘以m(x)，再加上校 验元多项式r(x)，这样得到的码字多项式c(x)为：
注意到g(x)为n－k次多项式，而r(x)至多为n－k－1次多项式，必 有
r(x)＝xn-km(x)， mod g(x)
(9－6)
即r(x)必是x n-k m(x)除以g(x)的余式。 (9－6)式指出了系统循环码的编码方法：
首先将信息元多 项式m(x)乘以xn-k成为 xn-km(x)；
然后将xn-km(x)除以生成多项式 g(x)得到余式r(x)，该余式就是校验元 多项式，从而得到码字多项式
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9.1.2 循环码的多项式描述
设c＝（cn-1 cn-2 … c1 c0）是（n，k）循环码的一个码字，
则与其对应的多项式
c (x)＝cn-1xn-1＋cn-2xn-2＋…＋c1x＋c0
(9－1)
称为码字c的码字多项式（或码多项式）。
如果c＝（cn-1 cn-2 … c1 c0）是（n，k）循环码的一个码字， 则c (1)＝（cn-2 …c1 c0 cn-1）也是该循环码的一个码字。这就是
第九章 循环码
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第九章 循环码
内容提要：
循环码是线性分组码中一个重要的子类。 本章首先提出了循环码的定义以及循环码的多 项式描述方法，论述了循环码构成的有关重要 定理；接着讨论了循环码的编译码方法及其实 现电路，最后介绍了已获得广泛应用的循环汉 明码、BCH码等。
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本章重点： 1.循环码的基本概念； 2. 循环码的编码和译码方法； 3. BCH码。
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9.1 循环码的一般概念 9.1.1 循环码的定义
将任一码字中的7个码元排在一个圆周上，则从圆周 的任一码元开始，按顺时针方向移动一周，都将构成该码 的一个码字。这就是循环码的由来。（见图9.1）
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c1 : 0001011
c2 :
0010110

c3 : c4 :
0101100
1011000
c(x)＝xn-km(x)＋r(x)。
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9.2.2 除法电路
设GF(2)上的两个多项式 a(x)＝akxk＋ak-1xk-1＋…＋a1x＋a0 b(x)＝brxr＋br-1xr-1＋…＋b1x＋b0
a(x)是被除式，b(x)是除式。用图9.2所示的电路完成a(x)除以b(x) 的运算 。
图9.2 除法电路的一般形式 14
说 c (x)＝cn-1xn-1＋cn-2xn-2＋…＋c1x＋c0
和 c (1) (x)＝cn-2xn-1＋…＋c1x2＋c0x＋cn-1
都是（n，k）循环码的码字多项式。
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比较c(x)和c (1) (x)后可得 c (1) (x)＝x c (x), mod xn－1
以及 c(i) (x)＝xic (x) （i＝1,2,…,n－1）, mod xn－1
现设错误图样e1＝（0 0 1 0 0 0 0）,即e(1)(x)＝xe(x)＝x4，相应的 伴随式s(1)(x)＝x4 mod (x4＋x3＋x2＋1)＝x3＋x2＋1,即
s1＝（1 1 0 1）
s1是s在图9.5所示的g(x)＝x4＋x3＋x2＋1除法电路中无输入时，右移 一位的结果，也即自发运算的结果。
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9.1.3 循环码的生成多项式
定义9.2 若一个循环码 的所有码字多项式都是一个 次数最低的非零首一多项式 g(x)的倍式，则称g(x)生成该 循环码，并称g(x)为该码的 生成元或生成多项式。
定理9.2 GF(2)上的（n，
k） 循 环 码 中 ， 存 在 有 唯 一 的 n－k 次 首 一 多 项 式 g(x)＝xn-k ＋gn-k-1xn-k-1 ＋ … ＋ g1x＋g0
图9.7 Meggit通用译码器
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9.4 一些重要的循环码
9.4.1 循环汉明码
定义9.3 设是GF(2m)上的一个本原元，则以的本原多项
式为生成多项式的（2m－1，2m－1－m）汉明码是循环汉明码。
码的校验矩阵为
H n1 n2 1 (9－13）
因码长n＝2m－1，H也可以表为

第一循环
c 5 : 0110001
c 6 : 1100010
c7 :
1000101

c15 : 0000000
c 8 : 0011101
c9 :
0111010

c10 : c11 :
1110100
1101001

c12 :
1010011

c13 : 0100111
【例9.2】设被除式a(x)＝x4＋x＋1，除式b(x)＝x3＋x2＋1，完成二
个多项式相除的运算。
长除法：
x3 x2 1 x4
x 1 x1
x3 x2 1
多项式的系数运算
x2
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1 1 0 11 0 0 1 1
11 0 1
10 01 11 0 1
10 0
使 得 每 一 个 码 多 项 式 c(x) 都 是 g(x) 的 倍 式 ， 且 每 一 低 于 或 等 于 n－1 次 的 g(x) 倍 式 ， 一定是码多项式。
定理9.3 （n，k）循环码的生成多项式g(x)一定是xn－1
的因式：xn－1＝g(x)h(x)。反之，若g(x)为n－k次，且除尽
xn－1，则此g(x)一定生成一个（n，k）循环码。
图9.5 （7，3）循环码的伴随式计算电路
9.3.2 循环码的译码
把某一可纠正的错误图样e(x)及其所有的小于等于n－1次的 循环移位归成一类，用一个错误图样来代表。译码时只要计算这 个错误图样的伴随式，该类中其它错误图样的伴随式都可由该伴 随式在g(x)除法电路中循环移位来得到。
以（7，3）循环码为例： 当码字传送出现一个错误时，若用一般译码器需要识别如 （0 0 0 0 0 0 1），（0 0 0 0 0 1 0），（0 0 0 0 1 0 0），（0 0 0 1 0 0 0），（0 0 1 0 0 0 0），（0 1 0 0 0 0 0），（1 0 0 0 0 0 0） 等7个不同的错误图样，但对于按上述定理设计的循环码译码器 来说，可以把这些错误图样归成一类，译码器只要识别其中的 一个错误图样就可以了。
（３）计算 cˆ(x) y(x) eˆ(x)，得到估值码字cˆ(x) 。若cˆ(x) c(x) ，则译码正确，否则，若 cˆ(x) c(x) ，则译码错误。
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9.3.1 伴随式计算
对于（n，k）循环码，可以定义码的生成多项式g(x)除以接
收码字多项式y(x)的余式为伴随式多项式s(x)，写成
H 2m 2 2m 3
1 (9－14)
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例如，以GF(23)上的三次本原多项式为生 成多项式，可生成一个（7，4）循环汉明码， 其生成多项式g(x)＝x3＋x＋1。
设是GF(23)上的本原元，则码的校验矩阵
c(x)＝xn-k m(x)＋r(x)
＝mk-1xn-1＋mk-2xn-2＋…＋m0xn-k＋rn-k-1xn-k-1＋…＋r1x＋r0
其中
r(x)＝rn-k-1xn-k-1＋…＋r1x＋r0
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c(x)一定是g(x)的倍式，即有
c(x)＝xn-km(x)＋r(x)＝q(x)g(x)
或 c(x)＝xn-km(x)＋r(x)＝0， mod g(x)
所有次数低于或等于n-1的倍式就构成一个（n，k）循环码。反
之，循环码的每一个码字多项式必是g(x)的倍式；
③ 由xn－1＝g(x)h(x)，h(x)称为校验多项式。对于任意一个
（n，k）循环码，必有
g(x)h(x)＝0 mod xn－1
及
G·H T＝ 0
循环码是线性分组码的一个子类。因此，所有线性分组
为（n－k）n阶矩阵，称为码的校验矩阵。
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综上所述，有如下结论：
①（n，k）循环码的生成多项式g(x)是一个次数最低的唯
一的首一多项式，其次数r＝n－k正好是码字中校验元的数 目；
② 生成多项式g(x)是xn－1的因式。要构造一个（n，k）循环码，
就是要在xn－1的因式中找一个n－k次的首一多项式g(x)，它的
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用电路实现编码时可采用以g(x)为除式的除法电路。作为实 例，图9.4示出了生成多项式g(x)＝x3＋x2＋1的（7，4）循环码的 编码电路。
图9.4 以g(x)＝x3＋x2＋1的（7，4）循环码编码器