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统计与决策2021年第1期·总第565期摘要：文章引入虚拟变量，将带交互作用的双因素方差分析进行了线性回归模型重构，给出了模型的参数估计，证明了回归分析的误差分解与方差分析的离差分解是一致的，得出方差分析的因素显著性F 检验与回归模型的显著性检验的等价性。
同时对方差分析的多重比较t 检验和线性模型的回归系数检验做了比较，指出了他们之间的联系和差异性，分析了差异来源是由于样本的选择差异，最后通过实例给出了两种方法的具体实现。
关键词：方差分析；多元线性回归；虚拟变量；多重比较中图分类号：O212.1文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2021）01-0010-05带交互作用的双因素方差分析的线性回归建模黄伯强1，李启才2（1.南京师范大学中北学院；2.南京师范大学数学科学学院，南京210023）基金项目：国家自然科学基金资助项目（11701288）；南京师范大学青蓝工程项目（2016）；南京师范大学中北学院优秀教学团队建设项目（2018jxtd007）作者简介：黄伯强（1981—），男，江苏宜兴人，硕士，讲师，研究方向：概率论与数理统计。
李启才（1979—），男，安徽东至人，博士，副教授，研究方向：随机控制理论及其应用。
0引言方差分析与回归分析是数理统计中重要的两种统计方法，方差分析主要用来讨论不同试验因素对结果的影响是否存在差异性，分为单因素方差分析与双因素方差分析；回归分析是研究自变量与因变量之间函数关系的模型，比较常见的是线性回归模型。
一般的统计学教材都是单独介绍这两个内容，但这两种统计方法存在一定的相互关系。
许多学者对此做过研究，如刘晓华等（2012）讨论了单因素方差分析与虚拟变量回归，研究了这两种方法下显著性差异检验的等价性，但没有给出双因素方差分析下的回归建模；傅莺莺等（2019）将单因素方差分析纳入线性回归的理论体系，给出了回归系数的几何解释，并比较了单因素方差分析方法下两种统计方法的t 检验基本一致，但也只有单因素方差分析的讨论，缺乏双因素方差分析下回归模型的重构。
在方差分析中，我们初步介绍了线性模型的思想，实际上，线性模型只是方差分析的模型化，其统计检验仍然是依照方差分解原理进行F检验。
线性模型作为一种非常重要的数学模型，通常可以分为方差分析模型、协方差分析模型、线性回归模型、方差分量模型等，根据表现形式又可以分为一般线性模型、广义线性模型、一般线性混合模型、广义线性混合模型。
下面我们就根据分析目的来介绍线性模型一、方差分析模型：使用线性模型进行方差分析的时候涉及一些基本概念：===============================================(1)因素与水平因素也称为因子，在实际分析中，因素就是会对结果产生影响的变量，通常因素都是分类变量，如果用自变量和因变量来解释，那么因素就是自变量，结果就是因变量。
一个因素下面往往具有不同的指标，称为水平，表现在分类变量上就是不同类别或取值范围，例如性别因素有男、女两个水平，有时取值范围是人为划分的。
(2)单元因素各水平之间的组合，表现在列联表中就是某个单元格，有些实验设计如拉丁方设计，单元格为空或无。
(3)元素指用于测量因变量值的最小单位，其实也就是具体的测量值。
根据具体的实验设计，列联表的一个单元格内可以有一个或多个元素，也可能没有元素。
(4)均衡如果一个实验设计中任一因素的各水平在所有单元格中出现的次数相同，且每个单元格内的元素数也相同，那么该实验就是均衡的。
不均衡的实验设计在分析时较为复杂，需要对方差分析模型作特别的设置才行。
(5)协变量有时，我们在分析某些因素的影响时，需要排除某个因素对因变量的影响，这个被排除的因素被称为协变量，(6)交互作用如果一个因素的效应大小在另一个因素的不同水平下表现的明显不同，则说明这两个因素之间存在交互作用。
交互作用是多因素分析时必须要做的，这样分析的结果才会全面。
(7)固定因素和随机因素是因素的两个种类，固定因素是指该因素的所有水平，在本次分析中全部出现，从分析结果就可以获知全部水平的情况。
统计学中的方差分析与数据建模技术研究统计学在现代科学中扮演了重要的角色。
无论是在社会科学，自然科学，商业还是医学研究中，都需要构建数理模型，来定义和解释各种现象和数据偏差。
其中，在实验设计和数据处理方面，方差分析和数据建模是两个重要的技术。
本文旨在探讨这两个技术的基本概念，应用和未来研究方向。
一、方差分析方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)是一种常见的实验设计和数据处理方法。
它的主要用途是，比较两个或多个样本的平均值，以及各个样本之间的差异是否存在显著性。
例如，我们假设有三组学生对一项考试的平均分分别是75、80和90分。
我们需要判断这三个平均值是否有显著的差异。
在方差分析中，首先需要定义基本概念。
总变异(sum of squares Total，简称SST)表示所有数据点相对于平均值的误差平方和，组内变异(sum of squares Within，简称SSW)表示每个组内部数据点和组内平均值之间的差异平方和，组间变异(sum of squares Between，简称SSB)表示组内平均值之间的差异平方和。
在实际应用中，方差分析有很多变体，例如单因素方差分析、多因素方差分析、重复测量方差分析等。
可以使用各种统计软件进行分析，例如SPSS，R，SAS等。
二、数据建模除了方差分析外，数据建模是另一个重要的统计学技术。
它使用已有的数据来构建数学模型，用于解释和预测未知数据。
最常见的数据建模技术是回归分析(regression analysis)。
在回归分析中，我们需要通过线性或非线性模型来描述两个或多个变量之间的关系。
例如，我们可以用线性回归模型来预测房屋价值和面积之间的关系。
如果我们需要考虑更多的变量，比如地理位置、建筑材料、建成年代等，则可以使用多元回归模型。
数据建模还可以使用其他复杂的技术，例如神经网络、决策树和支持向量机等。
这些方法可以解决非线性问题和高维数据。
统计建模中常见的偏差和方差问题分析与解决方法在统计建模中，偏差和方差是两个重要的概念。
偏差指的是模型的预测值与真实值之间的差异，而方差则是模型在不同数据集上预测结果的变化程度。
这两个问题在统计建模中经常出现，对模型的准确性和稳定性有着重要影响。
本文将分析偏差和方差问题，并提供解决方法。
一、偏差问题分析与解决方法偏差问题通常指的是模型对真实值的估计有一定的误差，即模型的预测值与真实值之间存在较大的差异。
造成偏差问题的原因可能是模型过于简单，无法捕捉数据中的复杂关系，或者是数据集本身存在一定的噪声。
解决偏差问题的方法有以下几种：1. 增加模型的复杂度：通过增加模型的参数或引入更复杂的模型结构，可以提高模型的拟合能力，从而减小偏差。
例如，在线性回归中，可以增加高阶项或引入交互项，以捕捉数据中的非线性关系。
2. 增加训练数据量：增加训练数据可以提供更多的信息，帮助模型更好地学习数据的特征。
更多的数据可以减小模型的偏差，并提高模型的泛化能力。
3. 特征工程：通过对原始数据进行特征提取和变换，可以提供更多的信息给模型。
例如，对连续特征进行离散化、引入交叉特征等，可以帮助模型更好地捕捉数据中的模式。
二、方差问题分析与解决方法方差问题指的是模型在不同数据集上预测结果的变化程度较大，即模型的稳定性较差。
方差问题通常是由于模型过于复杂，过度拟合了训练数据，导致在新数据上的表现不佳。
解决方差问题的方法有以下几种：1. 正则化：通过引入正则化项，限制模型的复杂度，可以减小模型的方差。
常见的正则化方法有L1正则化和L2正则化，可以在损失函数中加入正则化项，控制模型的参数大小。
2. 交叉验证：通过交叉验证的方法，将数据集划分为训练集和验证集，可以评估模型在不同数据集上的表现。
通过选择合适的模型复杂度，可以在一定程度上减小模型的方差。
3. 集成方法：集成方法通过将多个模型的预测结果进行组合，可以提高模型的泛化能力，并减小模型的方差。
方差分析的若干模型方差分析（Analysis of variance，简称ANOVA）是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个样本的平均差异是否显著。
它的基本原理是将总体方差分解为组内方差和组间方差，然后通过比较组间方差与组内方差的大小以判断组间差异的显著性。
在实际应用中，根据具体情况可以选择多种不同的ANOVA模型进行分析。
一元方差分析模型：一元方差分析适用于只有一个自变量的情况，用于比较不同水平之间的平均差异是否显著。
该模型的方程可以表示为：Y=μ+αi+ε，其中Y为观测值，μ为总体均值，αi为第i个水平的效应，ε为误差项。
一元方差分析的前提是误差项满足独立同分布的正态分布假设。
双因素方差分析模型：双因素方差分析适用于有两个自变量的情况，用于比较两个自变量的不同水平和水平间的交互效应对因变量的影响是否显著。
该模型的方程可以表示为：Y = μ + αi + βj + (αβ)ij + ε，其中Y为观测值，μ为总体均值，αi和βj分别表示第i个和第j个自变量的水平效应，(αβ)ij表示自变量i和自变量j的交互效应，ε为误差项。
双因素方差分析的前提是误差项满足独立同分布的正态分布假设。
多因素方差分析模型：多因素方差分析适用于有多个自变量的情况，用于比较多个自变量的不同水平和水平间的交互效应对因变量的影响是否显著。
该模型的方程可以表示为：Y = μ + αi + βj + γk +(αβ)ij + (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + ε，其中Y为观测值，μ为总体均值，αi、βj和γk分别表示第i个、第j个和第k个自变量的水平效应，(αβ)ij、(αγ)ik和(βγ)jk表示自变量i与自变量j、自变量i与自变量k以及自变量j与自变量k的交互效应，(αβγ)ijk表示三个自变量的交互效应，ε为误差项。
重复测量方差分析模型：重复测量方差分析适用于在同一组个体上进行多次测量的情况，用于比较不同时间点或处理条件对因变量的影响是否显著。
【统计】⽅差分析中⼏个模型⽅差分析主要有三种模型：即固定效应模型（fixed effects model），随机效应模型（random effects model），混合效应模型（mixed effects model）。
所谓的固定、随机、混合，主要是针对分组变量⽽⾔的。
固定效应模型 表⽰你打算⽐较的就是你现在选中的这⼏组。
例如，我想⽐较3种药物的疗效，我的⽬的就是为了⽐较这三种药的差别，不想往外推⼴。
这三种药不是从很多种药中抽样出来的，不想推⼴到其他的药物，结论仅限于这三种药。
“固定”的含义正在于此，这三种药是固定的，不是随机选择的。
随机效应模型 表⽰你打算⽐较的不仅是你的设计中的这⼏组，⽽是想通过对这⼏组的⽐较，推⼴到他们所能代表的总体中去。
例如，你想知道是否名牌⼤学的就业率⾼于普通⼤学，你选择了北⼤、清华、北京⼯商⼤学、北京科技⼤学4所学校进⾏⽐较，你的⽬的不是为了⽐较这4所学校之间的就业率差异，⽽是为了说明他们所代表的名牌和普通⼤学之间的差异。
你的结论不会仅限于这4所⼤学，⽽是要推⼴到名牌和普通这样的⼀个更⼴泛的范围。
“随机”的含义就在于此，这4所学校是从名牌和普通⼤学中随机挑选出来的。
总结 从上述的分析可以发现，固定效应模型和随机效应模型之间最⼤的不同就在于其基本假设，即个体不随时间改变的变量是否与所预测的或⾃变量相关。
固定效应模型认为包含个体影响效果的变量是内⽣的；⽽与此相反，随机效应模型是假设全部的包含个体随机影响的回归变量是外⽣的。
在模型中变量的引⼊上，固定效应模型默认了那些不随时间变化⽽变化的⾃变量不会对因变量造成影响，因⽽不允许这类变量出现在模型之中；随机效应模型则认为表⽰某些个体特征的但不随时间变化⽽变化的⾃变量能够对因变量造成影响，允许这类变量引⼊到模型之中。
在假定了解释变量是外⽣性的情况下，固定效应模型中的估计量是⽆偏的。
与⼀阶差分法⼀样，固定效应通过⼀个变换 把⾮观察效应消除掉了 也正是其允许与任意时期内的解释变量随意相关 才导致任何不随时间变化⽽变化的解释变量也会随之消除。
第十一章 方差分析我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病人和正常人的某个生理指标是否一样。
如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。
而你在实际生产和生活中可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其寿命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。
可以看到，为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验，对结果作分析、比较，寻求规律。
用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance ），记作ANOV A 。
人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为水平。
上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双因素试验。
处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。
§1 单因素方差分析只考虑一个因素A 对所关心的指标的影响，A 取几个水平，在每个水平上作若干个试验，试验过程中除A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素A 对指标有无显著影响，即当A 取不同水平时指标有无显著差别。
A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断A 取不同水平时指标有无显著差别，相当于检验若干总体的均值是否相等。
1.1 数学模型设A 取r 个水平r A A A ,,,21 ，在水平i A 下总体i x 服从正态分布),(2i N ，r i ,,1 ，这里2, i 未知，i 可以互不相同，但假定i x 有相同的方差。
又设在每个水平i A 下都作了n 次独立试验，即从中抽取容量为n 的样本，记作n j x ji ,,1, ，ji x 服从),(2 i N ，n j r i ,,1,,,1 且相互独立。
生物学数据的建模和分析研究生物学是一门研究生命活动的学科，而其研究领域又非常广泛，包括细胞、分子、生态、进化等等。
然而，这些所研究的领域都离不开数据的支持。
例如，从细胞结构到功能分析，都需要海量的数据来支撑分析。
因此，生物学数据的建模和分析研究也就变得非常重要。
一、生物学数据建模的重要性在生物学研究中，生物学家们经常使用多种不同的测量工具，如基因测序仪、蛋白质分析仪等，来采集生物学数据。
但是，这些数据并不是一开始就能够直接被理解的。
因此，对于生物学数据的建模和处理也就显得尤为重要。
生物学数据建模可以理解为将所采集的数据整理、处理、规范化，并进行标准化注释来使其更容易被各种算法和分析方法所处理。
生物学数据建模通常采用的是图表和数据库的形式。
其中，图表是数据可视化的一种形式，可以让生物学家更好的理解数据。
而数据库则是通过搜集到的信息进行整理，在不同生物学领域开发出许多不同的数据库来储存和分享数据。
二、生物学数据分析的方法生物学数据分析是研究者们根据所采集的生物学数据，运用一系列的算法和方法，来探究生命现象规律的过程。
目前，生物学数据分析方法可以分为几类，分别是统计分析、机器学习、深度学习和模型建立等。
1. 统计分析统计分析是采用概率和统计方法来分析数据的一种方法。
在生物学数据分析中，统计学方法主要用于数据分布和突变发现、特征选择、分类、回归和聚类分析等方面。
统计学方法主要包括t检验、方差分析、线性回归和主成分分析等。
2. 机器学习机器学习是指研究如何使用计算机程序自动提高某个任务的性能的一类方法。
在生物学数据分析中，机器学习方法主要用于数据分类，聚类分析和特征选择等方面。
机器学习方法主要包括决策树、支持向量机、随机森林和神经网络等。
3. 深度学习深度学习是机器学习的一种分支，通过人工神经网络来模拟人类大脑，实现自主学习，自我演进和自我适应的学习模式。
在生物学数据分析中，深度学习主要应用于图像和音频数据的处理。
统计分析模型内容⽬录统计分析模型概述⽅差分析模型线性回归模型在实际的业务中，我们常常需要对⼀些业务问题进⾏建模，运⽤统计分析模型来解决问题，接下来我们就进⼊统计学习的进阶阶段，了解⼀下统计分析模型有哪些。
1 统计分析⽅法体系变量测量尺度多变量统计分析⽅法分类当我们需要根据某些因素（⾃变量）去预测结果（因变量）时，例如：根据房⼦的⼀些信息（⾯积，楼层，地理位置等）去预测未来的房价，并按照不同的情况分类如下：2 ⽅差分析模型2.1 什么是⽅差分析？⽅差分析是在20世纪20年代发展起来的⼀种统计⽅法，它是由英国统计学家费希尔在进⾏实验设计时为解释实验数据⽽⾸先引⼊的。
⽅差分析（analysis of variance ANOVA）就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型⾃变量对数值型因变量是否有显著影响。
从定义上可以得出：在研究⼀个（或多个）分类型⾃变量与⼀个数值型因变量之间的关系时，⽅差分析就是其中的主要⽅法之⼀。
他跟回归分析⽅法有许多相似之处，但⼜有本质区别。
从表⾯上看，⽅差分析是检验多个总体均值是否相等的统计分析⽅法，但本质上它是所研究的分类型⾃变量对数值型因变量的影响，例如：变量之间有没有关系，关系的强弱等问题。
⽅差分析根据分类型⾃变量的多少，分为：单因素⽅差分析，多因素⽅差分析举个栗⼦消费者协会经常会受到来到消费者对各⾏各业的各种投诉，现在消费者协会想研究⼀下，不同⾏业的服务质量是否存在显著差异，因此对不同⾏业随机不同数量的公司，抽取如下数据进⾏测试。
分析：从⽅差分析的概念中，我们知道⽅差分析主要判断分类型⾃变量对数值型因变量是否有显著影响。
这⾥的⾃变量：就是零售业、旅游业、航空公司和家电制造业因变量：这些⾏业统计出来的投诉次数，分析⽬的：分析不同⾏业对于被投诉次数是否有显著影响数据如图：2.2 理解⼏个概念因素或因⼦：要检验的对象，本例⼦中，⾏业是要检验的对象，因此⾏业就是因素，因为只有⼀个因素，因此称为单因素⽅差分析⽔平或处理：因素的不同表现，零售业、旅游业、航空公司和家电制造业是⾏业的具体表现，就是⽔平或处理。
