辽宁省大连市第二十高级中学14—15学年下学期高一期中考试数学(理)试题(附答案)

辽宁省大连市第二十高级中学2014-2015学年高一下学期期中考试试题一、选择题（每题2分，共50分）1.2014年3月8日，马航MH370失联牵动世人的神经。

“只要有任何疑点都不能放过。

只要有一丝希望，我们绝不放弃搜救！”国家不惜一切代价搜救中国公民，这表明①我国依法保护公民的政治自由②我国尊重和保障人权③我国人民民主专政的国家性质④我国民主的超阶级性A．①②B．②③C．②④D．①③2.2015年3月，十二届全国人大第三次会议、全国政协十二届三次会议在北京召开。

政协委员和人大代表来自各个民族、各条战线，他们职业不同，经历各异。

这充分说明我国A．民主权力具有真实性B．民主具有法律保障C．民主主体具有广泛性D．民主具有物质保障3.2014年7月28日凌晨，新疆莎车县发生严重暴恐袭击案件，致使无辜群众伤亡。

这一暴力恐怖事件给人民群众的生命财产安全造成了极大损失。

理性对待此次事件，需要①坚持国家专政职能，维护公民合法权益②消除社会矛盾，切实维护国家稳定③各族人民团结起来，共同反对恐怖活动④加强宗教事物管理，保护正常宗教活动A．①②B．②③C．②④D．①③4.《中共中央关于推进农村改革发展若干重大问题的决定》提出，到2020年，要实现“农村基层组织建设进一步加强，村民自治制度更加完善，农民民主权利得到切实保障”的农村改革发展目标。

下列宣传标语中与材料内容最贴切的是A．巩固基层政权组织，保障人民当家作主B．提高政府管理水平，共建祥和文明社区C．深入推进村民自治，广泛实践人民民主D．提高村民政治素养，直接参与国家管理5.公民参与政治是实现公民权利的基本途径。

对公民的政治参与，下列行为判断正确的有①甲对政府工作提出批评，说明政府没有合法行政②乙参加了本社区居委会选举，证明乙直接行使了民主权利③丙找信访办反映过拆迁问题，表明丙参与了民主管理④丁参加了燃气价格听证会，反映丁参与了民主决策A．①②B．②③C．②④D．③④6. 政府的决策牵涉到社会各阶层的利益，决策是否科学、合理至关重要。

一、单选题 1．若，是第二象限角，则（ ） 4sin 5α=α()cos απ+=A ． B ．C ．D ．35-45-4535【答案】D【分析】根据三角函数的基本关系式求得，结合，即可求解.3cos 5α=-()cos cos απα+=-【详解】解：因为且是第二象限角，可得，4sin 5α=α3cos 5α==-又由. ()3cos cos 5απα+=-=故选：D.2．若扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长为6，则这个扇形的面积是 A ．9 B ．18 C ． D ．9π18π【答案】A【解析】根据弧长公式以及扇形面积公式求解即可.【详解】因为扇形的圆心角弧度，它所对的弧长，所以根据弧长公式，可得圆的2α=6l =||lrα=半径，所以扇形的面积为3r =1163922S lr ==⨯⨯=故选A.【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形面积公式，属于基础题.3．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物MN ，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部AB m C B C N A M的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）A MA ．64B ．74C ．52D ．91m m m m 【答案】B【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从AC 30AMC ∠=︒45MAC ∠=︒ACM △MC =而得到的长度.MN【详解】因为中，⊥，m ，， Rt ABC △AB BC 37AB =30ACB ∠=︒所以m ，274AC AB ==因为中，⊥，， Rt MNC △NC MN 45MCN ∠=︒所以， sin 45MN MC =⋅︒=由题意得：， 45,1804530105MAC MCA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒故， 1801054530AMC ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得：，ACM △sin sin MC ACMAC AMC=∠∠即，74sin 45sin 30MC =︒︒故，74sin 45sin 30MC ︒==︒故m 74MN ==故选：B4．直角三角形中，，，若点满足，则（ ）ABC 90A ∠=︒3AB AC ==P 2BP PC =AP BC ⋅= A ．B ．C ．D ．032-3-9-【答案】B【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，设，根据，求得，结合向量的A (,)P x y 2BP PC =(2,1)P 数量积的坐标运算，即可求解.【详解】如图所示，以为原点，以和所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标A AB AC x y 系，可得，(0,0),(3,0),(0,3)A B C 设，因为，可得， (,)P x y 2BP PC =2(3,)(,3)x y x y ⋅-=--解得，即，2,1x y ==(2,1)P 则，所以.(2,1),(3,3)AP BC ==- 2(3)133AP BC ⋅=⨯-+⨯=-故选：B.5．我圆古代数学家赵爽在注解《周牌算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为α，小正方形的面积为，若，则的值为（ ） 1S 2S 1225S S =3sin cos 2sin cos αααα+-A ．B ．C ．D ．5272132192【答案】C【分析】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为，分别求得，a sin ,cos a a αα12,S S 结合，求得，结合，即可求解.1225S S =3tan 4α=3sin cos 3tan 12sin cos 2tan 1αααααα++=--【详解】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为， a sin ,cos a a αα因为是直角三角形较小的锐角，所以， απ04α<<可得，22221211,4sin cos 2sin cos 2S a S S a a a αααα==-⨯=-则， 2221252sin cos 12sin cos 12a a S a S αααα--===即，所以，解得或（舍去），22sin cos 2512sin cos αααα+=-2tan 12512tan αα+=-3tan 4α=4tan 3α=所以. 3313sin cos 3tan 113432sin cos 2tan 12214αααααα⨯+++===--⨯-故选：C.6．已知函数，集合中恰有3个元素，则实数()()cos 0f x x x ωωω=->()(){}0,π1x f x ∈=ω的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦7,33⎛⎤ ⎥⎝⎦7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】利用辅助角公式将函数转化为，集合()cos f x x x ωω=-π()2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭只含有个元素，表示时在上只有三解，求出(){}(0,π)1A x f x =∈=3()1f x =(0,π)π2sin 16x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭的根，从而得出的范围.ω【详解】因为函数，()()cos 0f x x x ωωω=->所以，π()2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为集合含有个元素，(){}(0,π)1A x f x =∈=3所以时在上只有三解，即，()1f x =(0,π)π2sin 16x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得：或， ππ2π66x k ω-=+π5π2π,Z 66x k k ω-=+∈故或， π2π3k x ωω=+π2π,Z k x k ωω=+∈要使其落在上， (0,π)故只有、、，其他值均不在内， πx ω=π3ω7π3ω(0,π)故，解得，故，π0ππ0π37π0π33ππωωωω⎧<<⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎪⎪≥⎩113733ωωωω<⎧⎪⎪<⎪⎨⎪<⎪⎪≤⎩733ω<≤故选：C.7．函数，若，则的最小值是（ ）()22cos f x x x =+()()123f x f x ⋅=-12x x +A ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】A【分析】化简得，从而可得一个为最大值，一个为最小值，不()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()12,f x f x 妨设为最大值，为最小值，再根据正弦函数得性质求出，即可得解.()1f x ()2f x 12,x x 【详解】，()2π2cos cos 212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭则，()()max min 3,1f x f x ==-因为，则一个为最大值，一个为最小值， ()()123f x f x ⋅=-()()12,f x f x 不妨设为最大值，为最小值， ()1f x ()2f x 则， 1122ππππ22π,22π,Z 6262x k x k k +=++=-+∈所以， 1122πππ,π,Z 63x k x k k =+=-+∈所以， ()1212ππ,Z 6x x k k k +=-++∈由，得，12,Z k k ∈12Z k k +∈所以当时，取得最小值. 120k k +=12x x +π6故选：A.8．在非直角中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC A ，是角的内角平分线，且，则等于（ ） sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=CD C CD b =tan C AB ．C ．D ．1813【答案】B【分析】利用正弦定理的角边化及余弦定理的推论，利用等面积法及三角形的面积公式，结合正余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】由及正弦定理，得. sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=22224cos a b c b C +-=由余弦定理，得，22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===因为为非直角三角形， ABC A 所以， cos 0C ≠所以，2a b =因为是角的内角平分线，且， CD C CD b =所以由三角形的面积公式得，ABC ACD BCD S S S =+△△△所以，即，1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ⋅=⋅+⋅2sin 4sin cos 3sin 222C C C C ==因为， ()0,πC ∈所以， π0,,sin 0222C C⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭所以,3cos24C=所以，291cos 2cos1212168C C =-=⨯-=sin C ===sin tan s c o CC C===故选：B.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用正弦定理的角化边和余弦定理的推论，再利用等面积法及正余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可.二、多选题9．下列等式成立的是（ ）A ． 225cos 75cos 15cos75cos154︒+︒+︒︒=B ． 22sin 18cos 18cos36︒-=︒︒C ． 2ππ2tan1tan 88=-D ． ()()1tan221tan232++︒=︒【答案】ACD【分析】对于A ，利用诱导公式及同角三角函数的平方关系，结合二倍角的正弦公式； 对于B ，利用二倍角的余弦公式即可求解； 对于C ，利用二倍角的正切公式； 对于D ，利用两角和的正切公式即可求解.【详解】对于A ，22221cos 75cos 15cos75cos15sin 15cos 152sin15cos152︒+︒+︒︒=︒+︒+⨯︒︒，故A 正确；151sin 3024=+︒=对于B ，，故B 错误；()2222sin 18cos 18cos 18sin 18cos36︒︒︒︒=-︒-=--对于C ，由，得，故C 正确；2π2tanπ8tan 1π41tan 8==-2ππ2tan 1tan 88=-对于D ，由，得，()tan2223t 1an45tan 2ta 2223n tan 31tan 22=+-︒︒︒=︒+︒=︒⋅︒tan2223tan22231tan tan ︒+︒+︒︒=⋅所以， ()()1tan221tan231tan22a 23tan222tan t n 3︒︒︒+︒+︒⋅︒++=+112=+=故D 正确. 故选：ACD.10．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量，满足，）a b2a b == a b += A ．B ．与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C ．D ．在上的投影向量为a b a b ->+ a b - b12b - 【答案】BD【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C ，由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】，,2a b ==a b += ，解得，故A 错误； 222122424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+ 2⋅=a b ，，cos ,2a b a b a b ⋅== 1cos ,2a b a b a b ⋅==由于，与的夹角为，故B 正确； 0πa b ≤≤ ，a ∴rb π3C 错误；2a a b -=<=+=在上的投影向量为，故D 正确,a b - b ()21··22b a b b a b b bb b b b bb⋅-⋅-==-=-故选：BD.11．的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ） ABC AA ．若，，，则有两解 30A =︒a =4b =ABC AB ．若，则为直角或等腰三角形22tan tan a B b A =ABC A C ．若为非直角三角形，则 ABC A tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=D ．若，，则60A =︒2a =ABC A【答案】BCD【分析】利用正弦定理即可判断A ；利用正弦定理化边为角，化简整理即可判断B ；根据两角和的正切公式及三角形内角和定理化简即可判断C ；利用余弦定理结合基本不等式即可判断D.【详解】对于A ，若，，则， 30A =︒a =4b =A B >因为，所以，sin sin a b A B =sin 1sin 2b A B a ==<所以或，030B ︒<<︒150180B ︒<<︒又，所以，即仅有一解，故A 错误； A B >030B ︒<<︒ABC A 对于B ，因为，22tan tan a B b A =由正弦定理可得， 22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⋅=⋅又，所以，即， sin ,sin 0A B ≠sin sin cos cos A BB A=sin cos sin cos A A B B =所以，所以或， sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=所以或， A B =π2A B +=所以为直角或等腰三角形，故B 正确； ABC A 对于C ，因为，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--所以，()()tan 1tan tan tan tan A B C B C -=-+所以，故C 正确； tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=对于D ，若，，60A =︒2a =则，即， 2222cos a b c bc A =+-224b c bc bc =+-≥当且仅当时，取等号，2b c ==所以，1sin 2ABC S bc A ==≤△所以D 正确. ABC A 故选：BCD.12．函数（其中，，）的图象如图所示，下列说法正确的是()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<（ ）A ．是它的一条对称轴 13π12x =B ．的增区间为，()f x 5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈C ．函数为奇函数π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若，，则123f α⎛⎫=- ⎪⎝⎭π3,π22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin α=【答案】ABD【分析】根据函数的图象，求得，结合，可判定A 正确；由三()f x ()π()sin 32f x x +=13π11(2)f =角函数的性质，可判定B 正确；求得，可判定C 错误；结合，得到5πsin(2)6y x =+1(23f α=-，结合三角函数的基本关系式和，可判定D 正确.π1sin()33α+=-ππsin sin[()33αα=+-【详解】由函数的图象可得，()f x 1A =又由，因为，可得，()0sin f ϕ=π2ϕ<π3ϕ=因为，可得， 7π7ππ(sin(112123f ω=⨯+=-7ππ3π2π,Z 1232k k ω⨯+=+∈解得， 224,Z k k ω=+∈又因为，且，即，可得，0ω>7π12T >2π7π12ω>2407ω<<取，所以，所以，1k =2ω=()π()sin 32f x x +=对于A 中，当时，可得， 13π12x =13π13π5π11212π()sin(2sin 23f =+==⨯所以是函数的对称轴，所以A 正确； 13π12x =()f x 对于B 中，令，解得， πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈所以的增区间为，所以B 正确；()f x 5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦对于C 中，由，πππ5π()sin[2(]sin(2)4436y f x x x =+=++=+其中当时，，所以函数为不是奇函数，所以C 错误；0x =5π1sin062y ==≠π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于D 中，由，可得，1(23f α=-π1sin()33α+=-因为，可得π3,π22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πcos()3α+=则， ππ1ππ11sin sin[()]sin())()3323323αααα=+-=++=⨯-=所以D 正确. 故选：ABD.三、填空题13．已知平面向量，，则的最大值为______.()cos ,sin a αα= ()2,1b = a b ⋅【分析】利用平面向量的数量积得到，再利用三角函数的性质求解. (),tan 2a b αϕϕ⋅=+= 【详解】解：因为平面向量，，()cos ,sin a αα=()2,1b =所以，()2cos sin ,tan 2a b αααϕϕ⋅=+=+=当，即，π2π,Z 2k k αϕ+=+∈π2π-,Z 2k k αϕ=+∈a b ⋅14．已知，则______．()()ππsin 24n f n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ()()()()1232023f f f f ++++= 【答案】【分析】利用正弦函数的周期性，诱导公式，求得式子的值.【详解】，()()ππsin 24+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ n f n n N 的周期为，()f n ∴2π4π2=，()()()()12340+++== f f f f 则()()()()1232023f f f f ++++()()()()()()()5051234202120222023=⨯++++++⎡⎤⎣⎦f f f f f f f()()()123=++==f f f 故答案为：. 15．已知，将绕原点沿顺时针方向旋转45°到的位置，则点的坐标OP ⎛= ⎝ OP O OQQ 为______.【答案】(3,4)【分析】先求得，设，得到5OP = xOP θ∠=sin θθ==的正弦、余弦公式分别求得，，结合三角函数的定义，即可求解.3cos(45)5θ-=4sin(45)5θ-= 【详解】由向量，可得，OP ⎛=⎝ 5OP = 设，可得 xOP θ∠=sin θθ==将绕原点沿顺时针方向旋转到的位置，可得，OP O 45OQ 45xOQ θ∠=-可得， 3cos(45)(5θθθ-===， 4sin(45)(5θθ-== 设，可得，即. (,)Q x y cos 3,sin 4x OP y OP θθ====(3,4)Q 故答案为：.(3,4)16．如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.M ABC A 5AB =7AC =N BC AN AM ⋅=【答案】392【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知()12AN AB AC =+ ，同理可得，再由数量积运算即可得解.1cos 2AM BAM AB ∠= 1cos 2AM CAM AC ∠=【详解】是BC 中点， N ，()12AN AB AC ∴=+M 为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，ABC A ，221125cos 5222AM AB AM AB BAM AB ∴⋅=∠==⨯= 同理可得，214922AM AC AC ⋅== .()1111251493922222222AM AN AM AB AC AM AB AM AC ∴⋅=⋅+=⋅+⋅=⨯+⨯= 故答案为：. 392四、解答题17．在平面直角坐标系中，已知，，， xOy ()3,2a = ()1,2b =- ()4,1c =(1)若，求实数的值；()()2a kc b a +⊥-k (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.a b +c mb + m 【答案】(1)56k =-(2)772,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）先根据平面向量线性运算的坐标表示求出，由，得,2a kc b a +- ()()2a kc b a +⊥- ，结合数量积得坐标表示即可得解；()()20a kc b a +⋅-=（2）由与的夹角为锐角，可得与两向量得数量积大于零且不共线，再结合a b + c mb + a b +c mb + 数量积的坐标表示及平面向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】（1）由，，， ()3,2a = ()1,2b =- ()4,1c =得， ()()243,2,27,c k k k a b a +=--++=-因为，()()2a kc b a +⊥- 所以，()()20a kc b a +⋅-=即，解得；()()743220k k -+-+=56k =-（2），，()2,4a b +=rr ()4,21c mb m m +=-++ 因为与的夹角为锐角，a b +c mb + 所以与两向量得数量积大于零且不共线，a b +c mb + 即，解得且，()()()()244210221440m m m m ⎧-+++>⎪⎨+--+≠⎪⎩2m >-74m ≠所以实数的取值范围为.m 772,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，若将的()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<π2()f x 图像向右平移个单位，所得函数为奇函数.6π()g x (1)若，求的取值范围；0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()22y f x f x =-(2)设函数的零点为，求.()()35h x f x =-0x 0cos 43x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】(1)1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)725-【分析】（1）易得，由平移变换得到，根据为奇函()()sin 2f x x ϕ=+()πsin 23g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x数，求得，从而，再由，令，利用二次函数的π3ϕ=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()22y f x f x =-()t f x =性质求解；（2）由函数的零点为，得到，再由()()35h x f x =-0x 0π3sin 235x æöç÷+=ç÷èø0πcos 43x æöç÷-ç÷èø，利用二倍角公式求解. 02πcos 43x =æöç÷-ç÷èø+【详解】（1）解：因为函数的图像相邻对称轴之间的距离是()()()0,0f x x ωϕωϕ=+><<si n ππ2， 所以，解得， ππ2ω=2ω=所以， ()()sin 2f x x ϕ=+当将的图像向右平移个单位，得到函数，()f x 6π()ππsin 2sin 263g x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为为奇函数， ()g x 所以，即 ，ππ,Z 3k k ϕ-+=∈ππ+,Z 3k k ϕ=∈因为 ，所以 ， 0πϕ<<π3ϕ=则 ；()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则， ()()22ππ22sin 2sin 233y fx f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，则，π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ,π233x ⎡+⎤∈⎢⎥⎣⎦[]πsin 20,13t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所以.()()222111222,1488y f x f x t t t ⎛⎫⎡⎤=-=-=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）因为函数的零点为， ()()35h x f x =-0x 所以，则，()()00233055πsin 3h x x f x æöç÷=+ç÷ø=--=è0π3sin 235x æöç÷+=ç÷èø所以， 00ππcos 4cos π433x x =éùæöæöêúç÷ç÷----ç÷ç÷êúèøèøëû. 02πcos 43x =æöç÷-ç÷èø+20π72sin 21325x æöç÷=+-=-ç÷èø19．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，. ABC A 2c b =2sin 3sin2A C =(1)求；sin C(2)若的面积为，求边上的中线的长.ABC A AB CD【答案】(2)【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果； （2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长. CDAB CD 【详解】（1）因为， 2sin 3sin2A C =所以， 2sin 6sin cos A C C =所以， 26cos a c C =即， 3cos a c C =所以， cos 3a C c=由余弦定理及得：2c b =， 2222222243cos 222a b c a b b a b C ab ab ab +-+--===又， cos 36a a C c b ==所以，222232926a b a a b ab b -=⇒=即， a 所以cos 6a Cb ===所以sin C===（2）由 1s1in 22ABC S ab C ab A =´=所以 ab =由（1）， a =所以 4,b a ==因为为边上的中线，CD AB 所以，()12CD CA CB =+ 所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅()2212cos 4b a ab C =⨯++11672244⎛=⨯++⨯⨯ ⎝，28=所以，CD =所以边上的中线的长为AB CD20．借助国家实施乡村振兴政策支持，某村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏台，助OAB 推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由OAB 4π两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台.现计划在弧上选取MNPQ AOC AB 一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，长M MN OA OB N MN MNPQ NP 为4米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，记AO OC =2COA AOM ∠=∠AOC .ππ64AOM x x ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭(1)求矩形观赏台的面积关于的函数关系式；MNPQ 1S x (2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 【答案】(1)()1ππ80cos sin 64S x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，，(2)整个观赏台面积的最大值为平方米S 208【分析】（1）根据已知条件及正弦定理，结合矩形的面积公式即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，利用辅助角公式及三角函数的性质，再利用换元法及二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意可知，, ππ3π,,444,AOM x AOB MON x MNO ∠=∠=∠=-∠=在中，由，得，OMN A sin sin MN OM MON MNO =∠∠()π20cos sin 4MN x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以矩形观赏台的面积.MNPQ ()1ππ80cos sin 64S MN NP x x x ⎡⎤=⋅=-∈⎢⎥⎣⎦，，（2）观赏台的面积，AOC A 211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=则整个观赏台面积. ()1280cos sin 200sin 2S S S x x x =+=-+设 πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，因为，ππ64x ≤≤所以， 5π142π2πx ≤+≤所以，π0cos 4x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭π04x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭所以 0t ≤≤所以即， ()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2.t x x x x x x x =-=+-=-2sin 21x t =-所以，()()22180cos sin 200sin 28020012002085S x x x t tt ⎛⎫=-+=+-=--+ ⎪⎝⎭当时，整个观赏台面积取得最大值为平方米. 15t ⎡=∈⎢⎣S 208所以整个观赏台面积的最大值为平方米. S 20821．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下sin 1sin sin C bA B a c+=++()cos sin 2sin cos c C A b c C A =-面横线上，并解答.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______. ABC A (1)求；A(2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为的最小值.ABC A 22b a b+（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）【答案】(1) π3A =(2) 12【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再利用余弦定理即可得解；选②，先利用正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式及三角形内角和定理化简即可得解； （2）根据正弦定理求出边，再利用基本不等式即可得解. a 【详解】（1）选①，因为，sin 1sin sin C bA B a c+=++由正弦定理可得，即， 1c b a b a c+=++222ac c ab b a ac ab bc +++=+++所以，222b c a bc +-=所以， 2221cos 22b c a A bc +-==又，所以；()0,πA ∈π3A =选②，因为，()cos sin 2sin cos c C A b c C A =-由正弦定理可得， ()sin cos sin 2sin sin sin cos C C A B C C A =-又，所以， sin 0C ≠cos sin 2sin cos sin cos C A B A C A =-即， ()cos sin sin cos sin sin 2sin cos C A C A A C B B A +=+==又，所以， sin 0B ≠1cos 2A =又，所以；()0,πA ∈π3A =（2）由的外接圆的半径为 ABC A得，所以， sin aA=6a =则，223612b a b b b +=+≥=当且仅当，即时，取等号，此时为等边三角形，36b b =6b =ABC A 所以的最小值为.22b a b+1222．设平面向量，，函数.sin 3a x π⎛⎛⎫=- ⎪ ⎝⎭⎝ 212sin ,cos 632b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()f x a b =⋅ (1)求函数的解析式；()f x(2)若函数在区间上恰有3个零点，，，()()2g x f x a =-70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x ()3123x x x x <<（i ）求实数的取值范围； a （ii ）求的值.()123sin 2x x x -++【答案】(1)()π=2sin 23f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)（i ）（ii ） ⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据，，利用平面向量的数sin 3a x π⎛⎛⎫=- ⎪ ⎝⎭⎝ 212sin ,cos 632b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 量积坐标运算结合三角函数的恒等变换求解；（2）由（1）得到，令，转化为，在同()()π2=2sin 43g x f x a x a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()0g x =π2sin 43a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.,2sin y a y t ==【详解】（1）解：因为平面向量，， sin 3a x π⎛⎛⎫=- ⎪ ⎝⎭⎝ 212sin ,cos 632b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，()2πππ12sin sin cos 6332f x a b x x x ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦2π2πsin 21+cos 233x x ⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，2π2π=sin 2cos 233x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ=2sin 233x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.π=2sin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由（1）知：，()()π2=2sin 43g x f x a x a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭令，得，()0g x =π2sin 43a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，得，7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4,2π33t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦在同一坐标系中作出的图象，,2sin y a y t ==因为函数在区间上恰有3个零点，，，()()2g x f x a =-70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x ()3123x x x x <<由图象知：实数的取值范围是；a ⎡⎤⎣⎦由图象知：， 1223ππππ4444π3π3333,2222x x x x -+--+-==则， 12235π11π,1212x x x x +=+=所以， ()()123231217π22=12x x x x x x x --+=+++所以， ()12317π5πsin 2=sin=sin 1212x x x -++-，ππ=6sin 4⎛⎫⎪-+⎝⎭，66ππππ=sin cos cos sin 44--=。

辽宁省大连市第二十高级中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题考试时间：120分钟 试题分数：150分参考公式：球表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径． 圆柱的体积公式V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．第Ⅰ卷一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合}021|{≤-+=x x x M ，()2{|log 12}N x x =+<，则M N =（ ）A ．(]1,2-B ．)2,1[-C ．)2,1(-D ．]2,1[-2.复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A.15B.15iC.15i -D.15-3.“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.，则22a x dx -⎰的值为（ ）A.3B.73 C. 3或73 D. 35.已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为（ ）A.51- B.57C.57-D. 436.已知,0,0>>b a 函数ab x b a ab x x f +--+=)4()(2是偶函数，则)(x f 的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为（ ）A.16B.8C.4D.7．已知等差数列{}n a 的公差0,d <若462824,10,a a a a ⋅=+=则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．50B ．40C ．45D ．358.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．274π B ．16π C ．9π D ．814π9.在等比数列{}n a 中，7a 是89,a a 的等差中项，公比q 满足如下条件：ABO ∆（O 为原点）中，()()1,1,2,OA OB q ==，A ∠为锐角，则公比q 等于（ ）A.1B. 1-C. 2-D. 1或2-10.设x y 、满足约束条件360200x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩、，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6，则46a b +的最小值为（ ）A ．256B ．253 C ．504 D ．503 11．已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A. )1,(e -∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e - D. )1,(ee - 12.已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中正确的个数是（ ） ①()f x 既是奇函数,又是周期函数 ②()y f x =的图像关于直线2x π=对称③()f x④()y f x =在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 A.1B.2C.3D. 4第Ⅱ卷二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.在ABC ∆中，若cos cos a A b B =,则ABC ∆是 三角形.14．ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则的值是_________.15.某几何体三视图如图所示（正方形边长为2），则该几何体的体积为 .16．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-,在区间()0,2内任取两个实数,p q ,且p q ≠,若不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为 .三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知向量33cos,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11cos ,sin 22b x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a b +的取值范围；（2）求函数()f x a b a b =∙-+的最小值，并求此时x 的值.18. （本小题满分12分）设函数22()cos(2)2cos .3f x x x π=++ （1）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合； （2）已知ABC ∆中，角C B A ,,对边分别为.,,c b a 若3(),42f B C b c +=+=，求a 的最小值.19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目 的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.右面是根 据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率 分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟 的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：()2112212212-=n n n n n n n n n χ，20．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且12n n na S += (n ∈*N )，数列{}n b 满足112b =，214b =，对任意n ∈*N ，都有212n n n b b b ++=∙．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）令1122n n n T a b a b a b =++，若对任意的*n ∈N ，不等式()223n n n n nT b S n b λλ+>+恒成立，试求实数λ的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+(0)x >，其中a 为实数 （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n +++>++++,对于任意的正整数,m n 成立.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (几何证明选讲) （本小题满分10分）如图，⊙O 内切于△ABC 的边于D ，E ，F ，AB =AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G .（1）求证：圆心O 在直线AD 上； （2）求证：点C 是线段GD 的中点.23.（极坐标与参数方程选讲）（本小题满分10分）在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.24.（不等式选讲）（本小题满分10分） 设函数1()1|3|2f x x x =-+- （1）求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式()f x ≤1()2a x +的解集非空，求实数a 的取值范围.2014-2015学年度上学期期中考试高三数学试卷答案（理）一、选择题1-5 CABBA 6-10ACDCD 11-12 BD 二、填空题13. 等腰或直角 14. 3 15. 8π- 16. 28a ≥ 三、解答题 17.解：（1）∵3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 12cos 1≤≤-x ； x b a 2cos 22||+=+∴02a b ≤+≤（2）∵3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴ 0cos 1≤≤-x ； x x b a b a x f 2cos 222cos ||)(+-=+-⋅=1cos 2cos 2cos 41cos 2222-+=--=x x x x∴ 当1cos 2x =-，即23x π=或43x π=时，()f x a b a b =∙-+取最小值32- 18. 解：（1）)2cos 1()34sin 2sin 34cos 2(cos cos 2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-=πππ1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=πx x x 要使)(x f 取最大值，)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ （2）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA ()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A在ABC ∆中，由余弦定理，bc c b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π由4b c +=知242b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即24a ≥，当2b c ==时，a 取最小值1925人，从而22⨯列联表如下：将()()221122122121+2++1+2-1003010-4515100=== 3.0307525455533n n n n n n n n n χ⨯⨯⨯≈⨯⨯⨯因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0. 25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意13,3X B ⎛⎫⎪，从而X 的分布列为 ()13==3=44E X np ⨯，()()139=1-=3=4416D X np p ⨯⨯.20. 解答（1）∵12n n na S +=，∴1(1)2n n n a S --= (2n ≥)，两式相减得，1(1)2n n n na n a a +--=，∴1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=(2n ≥)，又因为11a =，22a =，从而21221a a ==∴321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⨯⨯=-(2n ≥)， 故数列{}n a 的通项公式n a n =(n ∈*N )．在数列{}n b 中，由212n n n b b b ++=⋅，知数列{}n b 是等比数列，首项、公比均为12， ∴数列{}n b 的通项公式12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）∴2111112()(1)()()2222n n n T n n -=+⋅++-⋅+⋅ ①∴23111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=+⋅++-+ ② 由①-②，得231111111()()()]()222222n n n T n +=++++-⋅1212n n ++=-，∴222n n n T +=-，不等式22(3)n n n n nT b S n b λλ+<+即为2(1)3(2)2()222n nn n n n n n λλ++-+>+， 即2(1)(12)60n n λλ-+-->（*n ∈N ）恒成立．方法一、设2()(1)(12)6f n n n λλ=-+--（*n ∈N ），当1λ=时，()60f n n =--<恒成立，则1λ=不满足条件； 当1λ>时，由二次函数性质知不恒成立；当1λ<时，(1)340f λ=-->恒成立，则43λ<-满足条件．综上所述，实数λ的取值范围是4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．方法二、也即2262n n n nλ+-<+（*n ∈N ）恒成立，令226()2n n f n n n +-=+．则22611()1112422(6)1066n f n n n n n n n n +=-=-=-++++-++， 由67n +≥，24(6)106n n ++-+单调递增且大于0，∴()f n 单调递增∴()4()13f n f ≥=-∴实数λ的取值范围是4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．21. 解：解析(1)因为2'(1)()(1)()(1)(0)a x a x a x a x f x x a x x x x-++--=+-+==> ①当0a ≤时，令'()0f x >得1x >；'()0f x <得01x <<此时，函数()f x 的增区间是()1.+∞，减区间是()0,1 ②当01a <<时，令'()0f x >得1x >或0x a <<；'()0f x <得1a x <<此时，函数()f x 的增区间是()1,+∞和()0,a ，减区间是(),1a ③当1a =时，'()0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，此时，函数()f x 的增区间是()0,+∞，无减区间 ④当1a >时，令'()0f x >得x a >或01x <<；'()0f x <得1x a <<此时，函数()f x 的增区间是(),a +∞和()0,1，减区间是()1,a （4分）（3）当12a =-时，2111()ln 0222f x x x x =-+-≥（当且仅当1x =时等号成立）则2ln x x x ≤-，当1x >时，此不等式可以变形为21111ln 1x x x x x>=---， 分别令1,2,3,,x m m m m n =++++，则1111ln(1)ln(2)ln(3)ln()m m m m n ++++++++111111()()()1121m m m m m n m n >-+-++-++++-+11()nm m n m m n =-=++所以111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n +++>++++ . 22．证明： （1）,AB AC AF AE ==CF BE ∴=,CF CD BD BE ==又CD BD ∴=,ABC ∆又是等腰三角形AD CAB ∴∠是的角分线∴圆心O 在直线AD 上。

2014—2015学年度下学期期中考试高二数学试卷（文）考试时间：120分钟 试题分数 ： 150第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是A. 230x y ++=B. 032=--y xC. 210x y ++=D. 012=--y x2.定义运算a b ad bc c d=- ，则符合条件1142i iz z -=+ 的复数z 为Ａ．3i -Ｂ．13i +Ｃ．3i +Ｄ．13i -3.设xx y sin 12-=，则='yA ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22--- 4.设函数()xf x xe =，则A. 1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C. 1x =-为()f x 的极大值点D. 1x =-为()f x 的极小值点 5.对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）)(x f ' 0，则必有A. f （0）＋ f （2） 2 f （1）B. f （0）＋ f （2） 2 f （1）C. f （0）＋ f （2）2 f （1） D. f （0）＋ f （2） 2 f （1）6.函数y = xcos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π，23π） B.（π，π2） C.（23π，25π） D. （π2，π3）7.函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为A ．]21,21[2πeB ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8. 函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是9.若对可导函数()f x ，恒有()()0f x xf x '+>，则()f xA.恒大于0B.恒小于0C.恒等于0D.和0的大小关系不确定 10． 若2a >，则方程321103x ax -+=在（0,2）上恰有 A. 0个根 B. 1个根 C. 2个根 D. 3个根 11.f(x)＝x 3－ax －1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为A ．a≥3B ．a>3C ．a≤3D ．a<312.已知定义在R 上的奇函数()f x ，若()f x 的导函数()f x '满足2()1,f x x '<+则不等式31()3f x x x <+的解集为 A. 1[,)3+∞ B. 1[0,)3C.()0,+∞D.[),3-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)13.设456121Z i i i i =++++L ，456122Z i i i i =⋅⋅⋅⋅L ，则，1Z ，2Z 关系为________．14.若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．15.已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在 [1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是________．16.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本大题满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）已知1Z i =+，（1）设234Z Z ω=+-,求||ω；（2）若2211Z aZ bi Z Z ++=+-+，求实数a,b 的值. 18.（本小题满分12分）若函数24()a 2ln 3f x x x x =+-在1x =处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间及极值．19.（本小题满分12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（1）根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表：（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++20．（本小题满分12分）已知函数3211()ln ,()32f x xg x x x mx n ==+++，直线l 与函数(),()f x g x 的图像都相切于点（1,0）， （1）求直线l 的方程及()g x 的解析式; （2）求函数()()()h x f x g x '=-的极大值 .21．（本小题满分12分）某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y （元），与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系见表：x 3 4 5 67 8 9 y 66 69 73 818990 91已知721280i i x ==∑，72145309i i y ==∑，713487i i i x y ==∑， 1221ni ii nii x y nx y xnxb ==∧-=-∑∑（1）求x y ，； （2）画出散点图； （3）判断纯利y 与每天销售件数x 之间是否线性相关，如果线性相关，求出回归方程．（保留两位有效数字）22．(本小题满分12分) 已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =.（I ）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围； （II ）当 1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数t 的取值范围 .2014—2015学年度下学期期中考试高二数学试卷答案（文）一、1-6 、DAADCB ADABAC二、13 、 1Z =2Z 14 、 (0,)+∞ 15 、 0,3a c b ==≤ 16 、[6,2]--17、 （1）||ω=（2）1,0a b =-=18. 解：(1)f′(x)＝2ax ＋2－43x ，由f′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.(2) 221424264()2ln (0),()2.33333x x f x x x x x f x x x x-+-'=-+->=-+-= 由f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2.①当f′(x)＞0时1＜x ＜2；②当f′(x)＜0时0＜x ＜1或x ＞2. 当x因此，f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)． 函数的极小值为f(1)＝53，极大值为f(2)＝83－43ln 2.19、解：(1)(2)由(1)中表格的数据知， K2＝()250132071020302723⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.844. ---------（8分） ∵K2≈4.844≥3.841，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．-----（12分）20．解：直线l 是函数(x)f 在点（1,0）处的切线，故其斜率(1)1,k f '==∴直线l 的方程为1y x =-，又Q 直线l 与()g x 的图像相切，且切于点（1,0），3211()32g x x x mx n ∴=+++，在点（1,0）处的导数值为1，1(1)01g (1)16m g n =-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨'==⎩⎪⎩32111()326g x x x x ∴=+-+。