北京市人大附中2022-2023学年高一下学期期中模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．12B ．16．若arctan(3)-=（）A ．2π3B ．-7．已知tan 2θ=，则2sin θ+A ．45B ．-8．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数A ．向左平移π6个单位长度A ．()f α的定义域是{|αB ．()f α的图象的对称中心是C ．()f α的单调递增区间是D ．()f α对定义域内的α10．已知单位向量a ､b ､c ，满足123a b c λλλ++的最大值为（A ．3B ．二、双空题11．已知(1,2),(3,4)a b == ，则三、填空题12．已知向量(1,2)a = ,与向量四、双空题13．已知扇形的半径为6cm 扇形的面积为cm 五、填空题六、双空题七、解答题17．已知函数()sin(ω=f x x π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调．(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得析式；条件①：函数()f x 的图象经过点（Ⅰ）用,OA OB 表示CB；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且八、单选题19．函数4()cos 3f x x =--A ．．C ．．．已知集合()2{|,,M a a x y ==N 且}1y ≥，O 为坐标原点，当)()11222,,,y M OB x y M ∈∈=()1212,A B x x y y =-+-)332,y M ∈，则“存在0λ>是“()()(,,+=d A B d B C d A ．充分不必要条件．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件九、双空题①1秒钟后，点P 的横坐标为②t 秒钟后，点P 到直线l 的距离用十、填空题24．若关于x 的方程cos x ⎛+ ⎝则321x x x ++=．25．定义一种向量运算“⊗”：十一、解答题26．给定正整数2n ≥，设集合12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k M t t t t k n ==∈=L L αα．对于集合M 中的任意元素12(,,,)n x x x =L β和12(,,,)n y y y =L γ，记1122n n x y x y x y ⋅=+++L βγ．设A M ⊆，且集合12{|(,,,),1,2,,}i i i i in A t t t i n ===L L αα，对于A 中任意元素,i j αα，若,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩则称A 具有性质(,)T n p ．(1)判断集合{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =是否具有性质(3,2)T ？说明理由；(2)判断是否存在具有性质(4,)T p 的集合A ，并加以证明；(3)若集合A 具有性质(,)T n p ，证明：12(1,2,,)j j nj t t t p j n +++==L L ．参考答案：17．(1)π()sin 26f x x ⎛=+ ⎝(2)ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意得到三个方程，分析方程组即可求解；（2）先求出π26x +所在的范围，正弦函数的性质得到【详解】（1）因为()f x 在区间因为2T ωπ=，且0ω>，解得又因为π6x =是函数()f x 的对称轴，所以若选条件①：因为函数f 因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=当0k =时，2ω=，满足题意，故若选条件②：因为π,03⎛⎫⎪⎝⎭因为1BO AD == ，2CD BO = 所以()()()2,0,0,1,3,2A B C .所以()1,2AC = ，()2,1AB =-.因为点P 在线段AB 上，且AB 所以121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 所以55,33CP AP AC ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭因为()3,1CB =--，所以cos 53CP CB PCB CP CB ⋅∠==⋅ 【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．19．A【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解【详解】由已知条件得函数(f x【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则3π=可知，ABC 三点在一个定圆上，g x的图象如图所示，所以函数()由函数()g x 的图象得到()g x 不是周期函数，故选项①不正确；所以函数()g x 的值域是{}0,1,2，故选项②正确；由ππ244g f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以函数()g x 的图象不关于x =对于方程()π2g x x ⋅=，当()0g x =时，0x =，方程有一个实数根；当()1g x =时，π2x =，此时π2g ⎛ ⎝当()2g x =时，πx =，此时(π)g 故方程()π2g x x ⋅=只有一个实数根，故选项④正确故选：B.23．3-32sin π⎛- ⎝【分析】设1秒钟后点P 运动到此确定1P 的坐标，设t 秒钟后点不妨设t 秒钟后，点P 的横坐标为由已知函数()f t 为周期函数，周期为最小值为2-，最大值为2，故可设()(sin x A t A ωϕ=+>所以2A =，2π2ω=，所以ω由已知点0P 逆时针旋转5π6后，点所以56t =秒时，点P 的横坐标为所以5π2sin 26ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以所以2π2π3k ϕ=+，所以2π2sin π2π+3x t k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以t 秒钟后，点P 到直线l 故答案为：3-；32sin π⎛- ⎝24．4π【分析】设()πcos 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合条件证明1322x x x +=，（2）假设集合A 具有性质(4,)T p ，分别考虑1,2,3,4p =时，集合A 中的元素，即可根据(,)T n p 的定义求解.（3）根据假设存在j 使得1j c p +≥，考虑当1c n =时以及11p c n +<≤时，分量为1的个数即可讨论求解.【详解】（1）因为(1,1,0)(1,1,0)1111002⋅=⨯+⨯+⨯=，同理(1,0,1)(1,0,1)(0,1,1)(0,1,1)2⋅=⋅=．又(1,1,0)(1,0,1)1110011⋅=⨯+⨯+⨯=，同理(1,1,0)(0,1,1)(1,0,1)(0,1,1)1⋅=⋅=．所以集合{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =具有性质(3,2)T ．（2）当4n =时，集合A 中的元素个数为4．由题设{0,1,2,3,4}p ∈．假设集合A 具有性质(4,)T p ，则①当0p =时，{(0,0,0,0)}A =，矛盾．②当1p =时，{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}A =，不具有性质(4,1)T ，矛盾．③当2p =时，{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}A ⊆．因为(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在A 中；(1,0,1,0)和(0,1,0,1)至多一个在A 中；(1,0,0,1)和(0,1,1,0)至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾．④当3p =时，{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)}A =，不具有性质()4,3T ，矛盾．⑤当4p =时，{(1,1,1,1)}A =，矛盾．综上，不存在具有性质(4,)T p 的集合A ．（3）记12(1,2,,)j j j nj c t t t j n =+++=L L ，则12n c c c np +++=L ．若0p =，则{(0,0,,0)}A =L ，矛盾．若1p =，则{(1,0,0,,0)}A =L ，矛盾．故2p ≥．假设存在j 使得1j c p +≥，不妨设1j =，即11c p +≥．当1c n =时，有j c =0或1j c =(2,3,,)j n =L 成立．所以12,,,n αααL 中分量为1的个数至多有(1)212≤n n n n np +-=-<．当11p c n +<≤时，不妨设11211,111,0p n t t t t +=====L ．因为n n p αα⋅=，所以n α的各分量有p 个1，不妨设23,11n n n p t t t +====L ．由i j ≠时，1i j αα⋅=可知，{2,3,,1}q p ∀∈+L ，121,,,,q q p q t t t +L 中至多有1个1，即121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，至多含有121p p p ++=+个1．又1i n αα⋅=(1,2,,1)i p =+L ，则121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，含有(1)(1)22p p p +++=+个1，矛盾．所以(1,2,,)j c p j n =L ≤．因为12n c c c np +++=L ，所以j c p =(1,2,,)j n =L ．所以12(1,2,,)j j nj t t t p j n +++==L L ．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
