2017年上海中学高一下学期数学期中考试试卷

2017年上海中学高一下学期数学期中考试试卷

一、填空题（共12小题；共60分）

1. 已知角θ的终边在射线y=2x x≤0上，则sinθ+cosθ=．

2. 若π<α<3π

2，则1

2

+1

2

1

2

+1

2

cos2α=．

3. 函数y=2cosπ

5

+3x 的最小正周期为．

4. 在△ABC中，若sin A sinπ

2−B =1−cosπ

2

−B cos A，则△ABC为三角形（填“锐

角”、“直角”或“钝角”）．

5. 若cosα+β=3

5，cosα−β=4

5

，则tanαtanβ=．

6. 已知sin x=−2

5（π

2

），则x=（用反正弦表示）．

7. 函数y=2sin2x−3sin x+1，x∈π

6,5π

6

的值域为．

8. 将函数y=cos2x−sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m的最

小值为．

9. 若函数y=sin3x+a cos3x的图象关于x=−π

9

对称，则a=．

10. 若函数f x=sin x和g x=cos x−π

3

的定义域均是−π,π，则它们的图象上存在个点关于y轴对称．

11. 已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1∘+sin2∘+⋯+sin k∘=sin1∘⋅sin2∘⋅⋯⋅

sin k∘的k有个．

12. 已知函数f x=A sinωx+φ+B，其中A，B，ω，φ均为实数，且A>0，ω>0，∣φ∣<π

2

，

写出满足f1=2，f2=1

2

，f3=−1，f4=2的一个函数f x=．（写出一个即可）

二、选择题（共4小题；共20分）

13. 若−π

2

<α<0，则点cotα,cosα必在

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

14. 下列函数中，既为偶函数又在0,π上单调递增的是

A. y=tan∣x∣

B. y=cos−x

C. y=sin x−π

2D. y=∣∣cot x

2

∣∣

15. 将函数y=sin2x−π

3图象上的点Pπ

4

,t 向左平移s s>0个单位长度得到点Pʹ．若Pʹ位于

函数y=sin2x的图象上，则

A. t=1

2，s的最小值为π

6

B. t=3

2

，s的最小值为π

6

C. t=1

2，s的最小值为π

3

D. t=3

2

，s的最小值为π

3

16. 若α,β∈ −π

2,π

2

，且αsinα−βsinβ>0，则下面结论正确的是

A. α>β

B. α+β>0

C. α<β

D. α2>β2

三、解答题（共5小题；共65分）

17. 求证：sin2α+β

sinα−2cosα+β=sinβ

sinα

．

18. 已知tan2θ=−22，2θ∈π

2,π ，求2cos

2θ

2

−sinθ−1

2sinπ+θ

．

19. 写出函数y=3sin2x+2sin x cos x−3cos2x的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心

坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．

20. 已知集合A=f x∣f x+f x+2=f x+1，g x=sinπx

3

．

（1）求证：g x∈A；

（2）若g x是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；

（3）若g x是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．

21. 已知函数f x=sinωx+φω>0,0<φ<π的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为

π

4

,0，将函数f x图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图

象向右平移π

2

个单位长度后得到函数g x的图象．

（1）求函数f x与g x的解析式；

（2）求实数a与正整数n，使得F x=f x+ag x在0,nπ内恰有2017个零点．

答案第一部分

1. −35

5

【解析】在射线y=2x x≤0上任取一点−1,−2，所以r=−12+−22=5，

所以sinθ=y

r =

5

，cosθ=x

r

=

5

，

所以sinθ+cosθ=−35

5

．

2. sinα

2

【解析】若π<α<3π

2

，则

1 2+

1

2

1

2

+

1

2

cos2α

=1

2

+

1

2

∣cosα∣

=

1−cosα

=∣∣∣sin α2∣∣∣

=sin α2 .

3. 2π

3

【解析】函数y=2cosπ

5+3x 的最小正周期为2π

3

．

4. 直角

【解析】△ABC中，

因为sin A sinπ

2−B =1−cosπ

2

−B cos A，

即sin A cos B=1−sin B cos A，所以sin A+B=sin C=1，所以C=π

2

，

故△ABC为直角三角形．

5. 1

7

【解析】因为cosα+β=3

5，cosα−β=4

5

，

所以cosαcosβ−sinαsinβ=3

5，cosαcosβ+sinαsinβ=4

5

，

联立，解得：cosαcosβ=7

10，sinαsinβ=1

10

，

所以tanαtanβ=sinαsinβ

cosαcosβ=1

7

．