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2．1.1合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般．知识点二类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答类比推理．(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．知识点三合情推理思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系？答区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确．1．定义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理．简言之，合情推理就是合乎情理的推理．2．推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想类型一数、式中的归纳推理例1(1)观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)·(3＋3)＝23×1×3×5，……，照此规律，第n个等式可为____________________________________________．(2)已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．答案(1)(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(2)x1－4xx1－2n－1x解析(1)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为 (n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)． (2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x ， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x1－4×x 1－4x ＝x 1－8x ， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x1－8×x 1－8x＝x 1－16x ， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.反思与感悟 1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法：(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…中，你能总结出什么结论？解第一个式子，左边一个数是1，右边结果是12；第二个式子，左边三个数相加，从2开始，右边结果是32；第三个式子，左边五个数相加，从3开始，右边结果是52；第四个式子，左边七个数相加，从4开始，右边结果是72；…；第n个式子，左边2n－1个数相加，从n开始，右边结果是(2n－1)2.总结结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋[n＋(2n－2)]＝(2n－1)2(n∈N*)，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)．类型二几何图形中的归纳推理例2根据如图所示的5个图形及相应圆圈的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有多少个圆圈．解方法一图(1)中的圆圈个数为12－0，图(2)中的圆圈个数为22－1，图(3)中的圆圈个数为32－2，图(4)中的圆圈个数为42－3，图(5)中的圆圈个数为52－4，……故猜测第n个图形中的圆圈个数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.方法二第(2)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有(1＋1)2－1个圆圈．第(3)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有2个圆圈，共有(2＋1)2－2个圆圈．第(4)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有3个圆圈，共有(3＋1)2－3个圆圈．第(5)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有4个圆圈，共有(4＋1)2－4个圆圈．……由上述的变化规律可猜测第n 个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n 个方向，每个方向都有(n －1)个圆圈，共有[(n －1)＋1]2－(n －1)＝(n 2－n ＋1)个圆圈． 反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．答案 5n ＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n －1)×5＝5n ＋1. 类型三 类比推理例3 (1)在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．可类比得到的结论是________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300 解析 因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)10101010d d d ++⋅⋅⋅+144424443个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. 即结论为数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．解如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．反思与感悟 1.类比推理的一般步骤2．中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量、复数与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何相关类比点如下：跟踪训练3 (1)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n(n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式_______________成立．答案 b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)解析 这是由一类事物(等差数列)到与其相似的另一类事物(等比数列)间的类比．在等差数列{a n }的前19项中，其中间项a 10＝0，则a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n .相似地，在等比数列{b n }的前17项中，b 9＝1为其中间项，则可得b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)．故填b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)．(2)在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝(a c )2＋(bc )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. 证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝(m l )2＋(n l )2＋(gl )2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.1．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大 答案 A解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 2．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N .经计算f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－x e x，…，照此规律，则f n (x )＝____________. 答案－1nx －nex3．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝______，a n ＝______(n >1，n ∈N *)．答案 15 3n －3解析 n ＝2时，a 2＝3×(2－1)＝3， n ＝3时，a 3＝3×(3－1)＝6， n ＝4时，a 4＝3×(4－1)＝9， n ＝5时，a 5＝3×(5－1)＝12， ∴a 6＝3×(6－1)＝15，故a n ＝3×(n －1)＝3n －3(n >1，n ∈N *)．5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 设两正四面体体积分别为V 1，V 2， V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想 ―→归纳、类比―→提出猜想一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 答案 C解析 显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确． 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113答案B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2答案C解析从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.5．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9答案D6．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.7．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( ) A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10) D ．(10,1) 答案 B解析 依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对．这样前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对．注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，可得为(5,7)．故选B.8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1答案 A解析 根据“黄金椭圆”的性质是FB →⊥AB →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，∴b 2－ac ＝0，∴c 2－a 2＝ac .等号两边同除以a 2求得e ＝5＋12.故选A.二、填空题9．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：_______________.答案 若a ＋b ＝20，则a ＋b <210，a ，b ∈R ＋10．观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .11．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ＝n (a 1＋a n )2，由此可类比得到各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项积T n ＝________(用n ，b 1，b n 表示)． 答案 (b 1b n )n2解析 由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项积T n ＝(b 1b n )n2.三、解答题12．三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：解 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：13.已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A－BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确并给出理由．解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确．。
2019-2020年高中数学《2.1.1合情推理》教案 新人教A 版选修2-2 掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●教学重点：归纳推理及方法的总结。
●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时●教学过程：一.问题情境(1)原理初探①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
链接:思考：其他偶数是否也有类似的规律？③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。
2019-2020年高中数学第二章推理与证明2.1.1归纳推理教案新人教A版选修一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、引入新课归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。
归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。
也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理(二)、例题探析例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。
解：考察一些多面体，如下图所示：将这些多面体的面数（F）、棱数（E）、顶点数（V）列出，得到下表：例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。
解：考虑单位面积的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形，它们的周长分别记作：，，，，可得下表：圆的周长最小。
在上述各例的推理过程中，都有共同之处：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。
2019-2020年人教B 版选修2-2高中数学2.1.1《合情推理》（归纳推理）word 教案【教学目标】理解合情推理的概念，掌握归纳推理与类比推理的方法；通过本节的学习，掌握归纳法和类比法的步骤，体会逻辑推理的严谨性；体会数学在现实生活中的应用.【教学重点】归纳推理的概念 【教学难点】利用归纳推理进行简单的推理一、课前预习：（阅读教材53—54页，完成知识点填空）1.根据______或______已知事实（ ）得出_____________，这种思维方式称为 。
推理都是由________和________两部分组成，推理可分为_________与______________2.__________________________________的推理叫做合情推理。
3.______________和____________是数学中常见的合情推理.4.根据一类事物的 具有某种性质，推出这类事物的____________都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称_______）.5.归纳推理的一般步骤：1. ； 2. .二、课上学习：例1.蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，结论______________.例2.参照教材54—55页两个例题，完成下列问题（1）=+321 ；=++33321 ；=+++3334321 ；=++++333354321猜想：=++++333...321n（2）=+==+n n n n n a a a a a a 猜测它的通项公式：并且中，数列,1111 （3）已知：2223sin 30sin 90sin 1502++=，2223sin 5sin 65sin 1252++=。
观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题 .三、课后练习：教材55页探索与研究：归纳凸多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系.。
合情推理[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用.知识点一推理的定义与结构形式1.定义：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识.2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫做结论.思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？(2)推理一般用哪些关联词？答案(1)不一定完全可靠.(2)推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因为……所以……”“根据……可知……”“如果……那么……”“若……则……”.知识点二归纳推理与类比推理思考归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠. 知识点三 合情推理1.合情推理的含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想 思考 由合情推理得到的结论可靠吗？答案 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.题型一 归纳推理的应用例1 已知数列{a n }的第1项a 1＝2，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式.解 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1,2，…)，∴a 1＝21，a 2＝21＋2＝23，a 3＝231＋23＝25，a 4＝251＋25＝27.由此发现分母依次为1,3,5,7，…，分子都是2. ∴归纳猜想得a n ＝22n －1(n ∈N *).反思与感悟 求数列{a n }的通项公式的一般方法：(1)根据已知条件求出数列的前几项(有时题目已给出)，如a 1，a 2，a 3等；(2)通过这些项找出项与序号之间的一般规律，归纳出数列的一个通项公式.跟踪训练1 已知数列11×3，13×5，15×7，…，1(2n －1)(2n ＋1)(n ∈N *)的前n 项的和为S n .(1)求出S 1，S 2，S 3，S 4；(2)猜想该数列的前n 项和S n 并证明. 解 (1)S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49.(2)猜想S n ＝n2n ＋1(n ∈N *).证明如下：∵1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1(n ∈N *). 题型二 类比推理的应用例2 在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边AB ，BC 所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明.解 如图(1)，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想若其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：如图(2)，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.反思与感悟 类比推理是一种主观的不充分的推理，因此，要确认其猜想的正确性，还必须经过严格的逻辑论证.一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得到的命题就越可靠.类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性或相似性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.跟踪训练2 “若直角三角形两直角边的长分别为a ，b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r ＝a 2＋b 22”.对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a ，b ，c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径R ＝__________. 答案a 2＋b 2＋c 22解析 由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.合情推理的应用归纳推理、类比推理都是合情推理，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；而类比推理则是通过某两类对象在对比中启发猜想结论.这些结论未必正确，要进一步验证(或证明)其正确性.例3设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确.解f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数，∴归纳猜想：当n∈N*时，f(n)＝n2＋n＋41的值都为质数.验证：当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝40×(40＋1)＋41＝41×41.∴f(40)是合数，∴由上面归纳推理得到的猜想不正确.1.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，….若 6＋a b ＝6a b(a ，b ∈R ), 则( )A.a ＝5，b ＝24B.a ＝6，b ＝24C.a ＝6，b ＝35D.a ＝5，b ＝35答案 C解析 观察式子的特点可知，分式ab 的分子a 与根号外的数相同，而分母b 则为该数的平方减1.2.在数学解题中，常会碰到形如“x ＋y1－xy ”的结构，这时可类比正切的和角公式.如：设a ，b是非零实数，且满足a sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5＝tan 8π15，则ba 等于( )A.4B.15C.2D. 3 答案 D解析 将已知式变形，则有a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝a tan π5＋b a －b tan π5＝tan π5＋b a 1－b a tanπ5＝tan 8π15，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，可知只有当b a ＝tan π3＝3时，上式成立.3.已知x ∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…，类比有x ＋ax n ≥n＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案 n n解析 由类比推理可得x ＋a x n ＝...n x x n n ++个＋a xn ≥(n ＋1)·x n ·x n ·…·x n ·ax n ＝n ＋1，此时a ＝n n .4.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案1275.根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1；(2)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(3)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a (n ∈N *).(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1， ∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *).1.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).2.类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想).一、选择题1.已知a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a33为()A.3B.－3C.6D.－6答案 A解析∵a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3, ∴周期T＝6，∴a33＝a3＝3.2.如图所示，在杨辉三角中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记其前n项和为S n，则S19等于()A.129B.172C.228D.283答案 D解析由组合数的性质，如数列1,3,3,4,6,5,10，…，其实是由组合数C22，C13，C23，C14，C24，C15，C25，…组成的.∴S19＝C22＋C13＋C23＋C14＋C24＋…＋C111＋C211＝C33＋C23＋C24＋…＋C211－C23＋C23＋C13＋C14＋…＋C111＝C312＋C212－3＝283.3.数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A.47B.65C.63D.128答案 B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.4.根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111 … A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 5.设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n 等于( )A.2cosθ2nB.2cosθ2n －1C.2cos θ2n ＋1D.2 sin θ2n答案 B解析 方法一 ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝21＋cosθ22＝2cos θ4，…，猜想a n ＝2cosθ2n －1. 方法二 验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.6.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c ，类比这个结论可知：四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体ABCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.二、填空题7.已知数列{a n}满足条件(n－1)·a n＋1＝(n＋1)·a n－n－1，且a2＝6，设b n＝a n＋n(n∈N*)，则数列{b n}的通项公式b n＝________.答案2n2解析a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.可以通过求数列{a n}的通项公式来求数列{b n}的通项公式.我们发现a1＝1＝1×1；a2＝6＝2×3；a3＝15＝3×5；a4＝28＝4×7；…，猜想a n＝n×(2n－1)，进而猜想b n＝2n2－n＋n＝2n2.8.将自然数按如下规则排列在平面直角坐标系中：①每一个自然数对应一个整点(横、纵坐标均为整数的点)；②0在原点，1在(0,1)，2在(1,1)，3在(1,0)，4在(1，－1)，5在(0，－1)，9在(－1,2)，…，所有自然数按顺序顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上且所有整点上均有自然数，则数字(2n＋1)2(n∈N*)的坐标为__________.答案(－n，n＋1)解析9的坐标为(－1,2)，且9＝(2×1＋1)2,25的坐标为(－2,3)，且25＝(2×2＋1)2,49的坐标为(－3,4)，且49＝(2×3＋1)2，…，所以(2n＋1)2的坐标为(－n，n＋1).9.如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是____________.12 34 6 5812107162420149324840281811…答案 3×2n －2n －3解析 根据规律观察可得每排的第一个数1,2,4,8,16，…构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以第n 群的第一个数是2n －1，第n 群的第2个数是3×2n －2，…，第n 群的第n －1个数是(2n －3)×21，第n 群的第n 个数是(2n －1)×20，所以第n 群的所有数之和为2n －1＋3×2n－2＋…＋(2n －3)×21＋(2n －1)×20，根据错位相减法求和得其和为3×2n －2n －3.10.设f (x )＝12x ＋2.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________. 答案 3 2解析 ∵6－(－5)＝11，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)，共有12项.课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法是倒序相加法，即 ∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a n ＋a 1， 令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1， ∴2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2.同理，∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x2＋2×2x ＝2＋2x2(2x ＋2)＝22. 令T n ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6)， 则T n ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2T n ＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (6)＋f (－5)] ＝12×22＝6 2. ∴T n ＝3 2. 三、解答题11.在平面几何中，有这样一个命题：一边长为a 的正三角形内任意一点P 到三边的距离之和等于边长的32倍.请你用类比推理的方法，在立体几何中寻找一个类似的命题.解 在棱长为a 的正四面体S －ABC 中，P 为正四面体内任意一点，连接P A ，PB ，PC ，PS (如图所示)，则正四面体被分割为四个小三棱锥P －ABC ，P －SAB ，P －SBC ，P －SCA ，设P 到四个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4.由于正四面体的四个面的面积相等，故V S －ABC ＝V P －ABC ＋V P －SAB ＋V P －SCA ＋V P －SBC＝13S △ABC (h 1＋h 2＋h 3＋h 4). 又S △ABC ＝34a 2，V S －ABC ＝212a 3， ∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a . 故在立体几何中可得到的命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点P 到四个面的距离之和等于棱长的63倍. 12.如图所示，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系，并予以证明.(1)证明 ∵CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，∴CC 1⊥平面PMN .∴CC 1⊥MN .(2)解 在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1 cos x ，其中x 为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角.∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP .在△PMN 中，PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP .∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP . ∵SBCC 1B 1＝PN ·C 1C ，SACC 1A 1＝MN ·CC 1，SABB 1A 1＝PM ·BB 1，∴S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1 cos x .13.(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).(1)证明 设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a ). 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)解 －(a 2＋b 2).。
同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案,气象专家怎样预测天气,数学家怎样论证命题的真伪吗?这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯。
2.1 合情推理与演绎推理2。
1。
1 合情推理Q错误!错误!《内经·针刺篇》记载了这样一个故事:有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾,出了一点血，但头不疼了．当时他没有注意．后来头疼复发,又偶然碰破同一脚趾,头疼又好了．这次引起了他的注意，以后每次头疼时,他就有意刺破该处,都有效应(这个樵夫碰的地方,即现在所称的“大敦穴"）．现在我们要问,为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎样的数学知识呢？X错误!错误!1．归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理2。
合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理过程错误!→错误!→错误!→错误!Y错误!错误!1．(2019·周口期末)下列表述正确的是( A ）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理;③类比推理是由特殊到一般的推理；④演绎推理是由一般到特殊的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①④⑤B．②③④C．②③⑤D．①⑤［解析] 根据题意，归纳推理,就是由部分到整体的推理．故①对②错；由所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故④对；类比推理是由特殊到特殊的推理．故⑤对③错，则正确的是①④⑤，故选A．2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯"开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了（ B ）A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．3．等差数列｛a n｝中，a n>0,公差d〉0，则有a4·a6〉a3·a7，类比上述性质，在等比数列｛b n｝中，若b n>0，q〉1，写出b5，b7,b4，b8的一个不等关系b4＋b8〉b5＋b7.[解析］将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.［解析] 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方,个数也依次加1,因此,第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2.H错误!错误!命题方向1 ⇨归纳推理典例1 已知下列等式成立：错误!＝错误!，错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!，……，试根据以上几个等式，归纳出一个一般性结论，用等式表示，并用数列中的方法加以证明．［思路分析] 分析给出的各个等式左边的项数，各项的分母的取值特点,分析等号右边的结果与项数的关系,从而写出一般性的结果．[解析］从给出的各个等式可以看出：第1个等式左边有1项,右边为错误!，第2个等式左边有2项，右边为错误!，第3个等式左边有3项,右边为错误!，第4个等式左边有4项，右边为错误!，由此可以归纳出的一般性的结论为错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!(n∈N*）．以下用数列的方法证明该等式成立．错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!（错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!）＝错误!（错误!－错误!）＝错误!。
2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】1. 了解合情推理和演绎推理的含义；2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；3. 能用综合法和分析法进行数学证明；4. 能用反证法进行数学证明.【学习内容】一、课前预习复习1：归纳推理是由 到 的推理.类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论 .复习2：综合法是由 导 ;分析法是由 索 .直接证明的两种方法: 和 ; 是间接证明的一种基本方法.二、课堂互动探究:典例精析 变式训练学习探究探究任务一：合情推理与演绎推理 问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？探究任务一：直接证明和间接证明问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？典型例题例1 已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+， 记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.变式：已知数列()()1111,,,,1335572121n n ⨯⨯⨯-+⑴求出1234,,,S S S S ；⑵猜想前n 项和n S .（理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？小结：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜想，推理的结论都有待进一步证明.例2已知tan ，tan 是关于x 的一元二次方程x 2+px +2=0的两实根.（1）求证：tan()p αβ+=；（2）求证：3sin()cos()0p αβαβ++-=.变式：如右图所示，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：⑴SAB BC ⊥面；⑵AF SC ⊥.小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性有较高的要求.动手试试练1. 求证：当220x bx c ++=有两个不相等的非零实数根时，0bc ≠.练2. 数列{}n a 满足*2,n n S n a n N =-∈（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论.（理科）A BC S F E三、总结提升学习小结。
合情推理与演绎推理2．1.1合情推理预习课本P70～77，思考并完成下列问题(1)归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？(2)类比推理的含义是什么？有怎样的特征？(3)合情推理的含义是什么？[新知初探] 1．归纳推理和类比推理[点睛] (1)归纳推理与类比推理的共同点：都是从具体事实出发，推断猜想新的结论． (2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，因此不一定正确．2．合情推理[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( ) (3)由个别到一般的推理为归纳推理．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形的面积S 扇＝( )A.r 22 B.l 22C.lr 2 D ．不可类比答案：C3．由“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”得到“若a ＞b ，则ac ＞bc ”采用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．数学证明 答案：C4．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________． 答案：65[典例] (1)已知下列各式： 1>12，1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， …，请你归纳出一般性结论：______________. (2)已知f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．[解析] (1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大1，且终止项为2n －1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2.(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x. 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x 1－2×x 1－2x ＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x 1－4×x 1－4x ＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x 1－8×x 1－8x ＝x1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x. [答案] (1)1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．[活学活用]1．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为()A．1＋122＋132＋142＋152<95B．1＋122＋132＋142＋152<116C．1＋122＋132＋142＋152＋162<95D．1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析：选D观察每个不等式的特点，知第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.2．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3≥4，……归纳得：x＋ax n≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.解析：当n＝1时，a＝1，当n＝2时，a＝4＝22，当n＝3时，a＝27＝33，…∴当分母指数取n时，a＝n n.答案：n n[典例]则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32 D．36[解析]有菱形纹的正六边形个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.[答案] B利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式．(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式．[活学活用]用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝6n ＋2.[典例] (1)若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列{b n }：b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则有数列{d n }：d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列．(2)如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．[解析] (1)由等差数列与等比数列在运算上的相似性猜想：d n ＝nc 1·c 2·c 3·…·c n . 答案：n c 1·c 2·c 3·…·c n(2)如图所示，在四面体P -ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.类比推理的一般步骤[活学活用]1．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ＝12()AB ＋AC ，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A-BCD中，G是△BCD的重心，则AG＝13()AB＋AC＋AD2．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O-xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示______________．解析：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，因此应得到：在空间直角坐标系O-xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面层级一学业水平达标1．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.B．△C.D．○解析：选A观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)．A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：选C①是类比推理；②④是归纳推理，故①②④都是合情推理．3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为() A．1∶2 B．1∶4C．1∶8 D．1∶16解析：选C由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.4．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)， …则第70个“整数对”为( ) A ．(3,9) B ．(4,8) C ．(3,10)D ．(4,9)解析：选D 由整数对的排列规律知前11排有1＋2＋…＋11＝66个整数，所以第67个“整数对”是第12排的第一个“整数对”(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.5．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A 正确．6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n 个等式为________．解析：观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n －1，故第n 行等式左边的数依次是n ，n ＋1，n ＋2，…，(3n －2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是____________________________________________．解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大8．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n9．观察下列两个等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34①；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34②.由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：由①②知若两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为34.猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.下面进行证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α] ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的．故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.10．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P -A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P -A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.层级二 应试能力达标1．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝ab ”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B. 2．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于底边长的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3)D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．3．我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217 D ．3 5解析：选B 类比点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，可知在空间中，点P (x 0，y 0，z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2.点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离d ＝|2＋8＋2＋3|1＋4＋4＝5. 4．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P -ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 将△ABC 的三条边长a ，b ，c 类比到四面体P -ABC 的四个面面积S 1，S 2，S 3，S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选 C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 5．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S ，按此规律推出S 与n 的关系式为____________．解析：每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关系为S ＝4(n －1)(n ≥2)．答案：S ＝4(n －1)(n ≥2)6．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为______________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a ，即k ＝b a ，∴椭圆面积S ＝πa 2·b a ＝πab .答案：πab7．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．解：猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 下面证明上述猜想成立如图所示，连接BE ，并延长交CD 于点F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确．8．已知12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n(n－1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．解：记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，……S k(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋n k(k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，……n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.将左右两边分别相加，得S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1(n)3＝2n3＋3n2＋n6＝n(n＋1)(2n＋1)6.。
2019-2020年高中数学 2.1.1第1课时 归纳推理练习 新人教A 版选修2-2一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A. B ．△ C ．▭ D ．○[答案] A[解析] 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n ＝( ) A ．2n －2－12B ．2n －2C ．2n －1＋1 D ．2n ＋1－4[答案] B[解析] ∵a 1＝0＝21－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n －2.故应选B.3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n }，则下列结论正确的是( )①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；④数列{a n }的递推关系是a n ＝a n －1＋n (n ∈N *)． A ．①②④ B ．①③④ C ．①② D ．①④[答案] D[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[答案]C[解析]从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.5．图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含________________个互不重叠的单位正方形．()A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1[答案]B[解析]观察题中给出的四个图形，图(1)共有12个正方形，图(2)共有12＋22个正方形；图(3)共有22＋32个正方形；图(4)共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．6．(xx·隆化县存瑞中学高二期中)把正整数按图所示的规律排序，则从xx到xx的箭头方向依次为()[答案]A[解析]∵1和5的位置相同，∴图中排序每四个一组循环，而xx除以4的余数为1，∴xx的位置和1的位置相同，∴xx的位置和2的位置相同，xx的位置和3的位置相同，故选A.[点评] 位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，xx ＝4×503＋2，因此xx 的箭头方向应与2的相同．二、填空题 7．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________________.[答案] (－1)n ＋1n 2＋n2[解析] 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋12＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2. 8．(xx·陕西文，13)观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3； (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为______________________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)[解析] 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S ，按此规律推出S 与n 的关系式为________________．[答案] S ＝4(n －1)(n ≥2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关系为S ＝4(n －1)(n ≥2)．三、解答题10．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝2，2cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋2，2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋2…观察上述等式可以发现，第n 个等式右端有n 个根号，n 个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n 个等式的左端应为2cos π2n ＋1，由此可归纳出一般性的结论为：2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号一、选择题11．(xx·锦州一中高二期中)根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 ……A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113[答案] B[分析] 根据已知的式子归纳出规律：第n 个等式是从1到n 的自然数构成的n 位数与9相乘加上n ＋1的结果是(n ＋1)个1，即可求出结论．[解析] 由题意得，1×9＋2＝11,12×9＋3＝111,123×9＋4＝1111,1234×9＋5＝11111,12345×9＋6＝111111，可得n 位数与9相乘加上n ＋1的结果是(n ＋1)个1， ∴123456×9＋7＝1111111，故选B.12．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查． 13．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12个，∴第七个三角形数为7×7＋12＝28.14．(xx·隆化县存瑞中学高二期中)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120142<( ) A.40252014B ．40262014C.40272014 D ．40282014[答案] C[解析] 本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n ＋12<2n ＋1n ＋1，所以当n ＝xx 时不等式为： 1＋122＋132＋…＋120142<40272014. 二、填空题15．下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n 个图有________个原子，有_______个化学键．[答案] 4n ＋2,5n ＋1[解析] 第1、2、3个图形中分别有原子个数为6,6＋4,6＋4×2，故第n 个图形有原子6＋4×(n －1)＝4n ＋2个．第1、2、3个图形中，化学键个数依次为6、6＋5、6＋5×2、… ∴第n 个图形化学键个数为 6＋5×(n －1)＝5n ＋1.16．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式_______________成立．[答案] 1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3)[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2n －2π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3)．三、解答题17．(xx·西宁质检)已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos 60°＋2a2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos 60°＋2α2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.18．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ，b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p ..。
