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金融工程学 Chapter5引言金融工程是一门综合性学科，旨在运用数学、统计学和计算机科学等工具，研究金融市场和金融产品，以解决金融领域的实际问题。
本章将探讨金融工程学中的第五章内容，包括期权定价、风险中性测度以及波动率的估计等。
1. 期权定价1.1 期权的基本概念期权是一种金融衍生品，它给予持有者在未来某个时间点或某个特定时间段内购买或卖出某种资产的权利。
期权的价值在很大程度上取决于标的资产价格的变动。
1.2 期权定价模型1.2.1 Black-Schole模型Black-Schole模型是一个用于计算欧式期权定价的数学模型。
它假设市场中不存在任何交易费用和税收，并且市场是完全有效的。
在这个模型中，期权的价格是由标的资产的价格、执行价格、时间、无风险利率和标的资产的波动率来决定的。
1.2.2 套利定价原则套利定价原则是一种通过构建无风险套利组合来确定期权合理价格的方法。
这个原则基于市场无套利的假设，套利定价原则的核心思想是通过一系列交易来合成与期权相同的现金流。
1.3 期权定价的实证方法1.3.1 历史模拟法历史模拟法是通过使用历史价格和波动率来估计期权的价值。
这种方法的优点是计算简单，但缺点是对未来的不确定性没有考虑。
1.3.2 蒙特卡洛模拟法蒙特卡洛模拟法是一种基于随机数和模拟的方法，用于估计期权的价值。
这种方法通过生成许多随机价格路径，并计算每个路径上期权的价值，然后取平均值作为估计结果。
2. 风险中性测度风险中性测度是金融工程学中的重要概念，它给出了无套利投资策略的概率分布。
风险中性测度可以用于定价衍生品，管理风险以及进行投资决策。
风险中性测度是指在特定的投资环境下，投资者对未来收益的偏好是中性的，即对风险和收益没有明显的倾向。
2.2 风险中性测度的性质风险中性测度有以下几个重要的性质：•风险中性测度下的资产价格过程是一个马尔可夫过程，即未来的价格只依赖于当前的价格。
•在风险中性测度下，市场是完全有效的，不存在任何的套利机会。
《金融工程原理－无套利均衡分析》笔记宋逢明第一章无套利均衡分析方法本章重点介绍以下内容：MM命题及无套利均衡分析方法金融产品：包括金融商品(也称为金融工具或有价证券等，如股票、债券、期货、期权、以及互换等）,也包括金融服务(如结算、清算、发行、承销等）。
金融研究的一项核心内容:对金融市场中某项“头寸”进行估值和定价.无套利分析方法（50年代后期，莫迪格里安尼（F。
Modigliani)和米勒（M。
Miller）在研究企业资本结构和企业价值关系时提出的。
分析的基本方法是将这项头寸与市场中其他金融资产头寸组合起来,构建一个在市场均衡时不能产生无风险利润的投资组合，由此测算出该项头寸在市场均衡时的价值即均衡价格.当市场处于非均衡状态时，价格偏离了由供求关系所决定的价值，此时就出现了套利机会.当市场出现套利机会时，所有的市场参与者均会抓住机会套取无风险利润，套利机会很快就会消失，市场重新恢复均衡状态.市场效率越高,重建均衡的速度就越快。
简单地说，当市场处于非均衡状态时，就会出现无风险套利机会；而当市场处于均衡状态时，无风险套利机会消失。
金融工程的核心技术之一：组合分解技术组合分解技术实质上就是用一组金融工具来“复制"另一组金融工具的技术，也就是无套利均衡分析方法的具体化.资本结构及资产负债表融资方式在公司投资于一种资产之前,必须首先获得资金，即融资。
这意味着公司必须筹集资金来支付投资.资产负债表的右边表示公司的融资方式。
公司一般通过发行债券、借款或发行股票来筹集资金，分为负债和和股东权益。
债务证券是公司向债权人借款的债务合同。
权益证券(如普通股和优先股）,是股东对公司剩余现金流量的非合同式索取权。
公司公开发售的股票和债券可以在金融市场上出售。
公司的融资是在金融市场上完成的.按期限的长短可以将负债划分为：短期负债和长期负债短期负债的期限不过一年,一年内必须偿还贷款和债务。
长期负债的期限为一年以上，一年内不必偿还贷款的债务。
无套利均衡定价法1. 概述无套利均衡定价法（Arbitrage-free pricing）是金融学领域中一种重要的定价方法，用于确定金融资产的合理价格。
该方法的核心思想是通过排除套利机会来确定资产价格，以保证市场的有效性和公平性。
在金融市场中，套利是指通过买入低价资产并卖出高价资产来获取风险无关的利润。
无套利原理认为，在一个没有交易成本和信息不对称的完美市场中，不存在可以同时获得正收益且没有风险的投资机会。
因此，通过应用无套利原理，可以确定金融资产的公平价格。
2. 基本原理2.1 无套利条件在进行无套利定价时，需要满足以下几个基本条件：•市场完全竞争：市场上有足够多的买家和卖家，并且不存在垄断力量。
•无交易成本：买卖双方可以自由地进行交易，并且交易过程中不会产生额外费用。
•没有限制：没有任何法律或制度上的限制限制交易活动。
•无信息不对称：市场上的所有参与者都拥有相同的信息，并且可以自由获取和利用这些信息。
2.2 无套利定价方法无套利定价方法可以分为两类：静态定价方法和动态定价方法。
2.2.1 静态定价方法静态定价方法是指在某一时刻，通过考虑市场上所有相关资产的价格和现金流量，来确定特定资产的价格。
常用的静态定价方法包括：•均值方差法（Mean-Variance approach）：基于投资者对风险和回报之间的权衡关系，通过计算资产组合的期望收益率和方差来确定资产价格。
•CAPM模型（Capital Asset Pricing Model）：基于风险与回报之间存在正相关关系的假设，使用市场风险溢酬率来确定资产价格。
•市场多空组合法（Market-neutral portfolio approach）：通过构建多空组合，使得该组合在市场波动下保持稳定收益，并通过收益率计算出资产价格。
2.2.2 动态定价方法动态定价方法是指通过考虑未来市场条件和预期变化，来确定特定资产的价格。
常用的动态定价方法包括：•期权估值模型（Option pricing model）：通过考虑未来的风险和回报，来确定期权的价格。
无套利均衡分析在资产定价中的应用分析摘要：无套利均衡分析是指如果市场上存在无风险的套利机会，则市场处于不均衡状态，而投机者就会进行无风险套利，使市场达到均衡。
市场一旦均衡，套利机会就会消失。
本文主要在APT模型和期权等几个方面来运用无套利均衡分析对资产进行定价分析。
关键词：无套利均衡APT 期权一、无套利均衡分析的基本原理50年代由莫迪格尼亚（Franco Modigiliani）和米勒（Robert Miller）研究提出的MM理论，对后来的金融学发展具有重大的影响力。
最早的无套利均衡定价的思想就体现在他们研究的理论成果上，这个定价理论对现代金融学的发展有着极大的推动作用。
MM理论是构建在一定的假设条件下：（1）企业在经营管理的过程中不需要缴纳所得税；（2）投资者等市场参与者可以根据企业所披露的信息（信息披露对内和对外是一致的和公正的）对公司未来的收益和风险有相同的预期；（3）完美资本市场，即在股票与债券进行交易的市场中没有交易成本，且个人与机构投资者的借款利率与公司相同；（4）借债无风险，即公司或个人投资者的所有债务利率均为无风险利率，与债务数量无关；（5）全部现金流是永续的，即公司息税前利润具有永续的零增长特征，以及债券也是永续的。
在MM条件下，企业的资本结构与企业的价值无关。
我们通过下面一个简单的例子来说明无套利均衡分析的基本原理。
假设有甲和乙两个公司，两家公司每年创造的EBIT都是100万元。
甲公司所有的资产都是股东权益，一共10万股。
市场对甲公司股票的预期收益率是r甲=10%，甲公司的资本成本也应该是10%，通过对现金流折现的方式计算甲公司的企业价值为：PV=EBIT/r甲=100万元/10%=1000万元甲公司的股票价格应该为：1000万元/10万股=100元/股。
乙公司的资本中有200万属于负债，年利率为8%，根据MM理论的假设条件，这个利率也是市场的无风险利率，而且企业的债务是没有期限的。
无套利均衡原理
无套利均衡原理是指在一个没有无限资金且不会发生风险概率为零的市场中，不存在无风险利润的投资机会。
换句话说，如果存在无风险利润的投资机会，则市场将很快调整价格，以消除这种机会，直到投资回报率相等。
这个原理可以用来解决各种金融问题，比如期权定价和资产组合优化等。
例如，在一个无套利市场中，一个期权的价格应该等于其内在价值加上一个风险溢价，即期权价格应该反映出期望收益和风险的权衡。
无套利均衡原理提供了一个理论框架，可以用来说明市场中的价格如何反映基本面因素和投资者的风险偏好。
它也可以用来评估投资策略的有效性。
此外，无套利均衡原理还可以应用于金融衍生品市场。
通过该原理，可以确定不同衍生品之间的价格关系，避免出现无风险利润的套利机会。
无套利均衡原理还有助于预测市场行为和趋势。
如果市场存在无风险利润的投资机会，投资者将开始从其他资产中撤资，转移至这种机会带来的高回报资产中，这将导致其他资产的价格下跌。
随着市场的调整，这种行为将很快平衡，价格再次反映出其基本面价值和风险溢价。
总的来说，无套利均衡原理在解释市场行为和预测市场走势方面具有重要的作用，可以帮助投资者更好地理解市场机理，制定更有效的投资策略。
浅析无套利均衡分析原理及其在定价中的应用作者：***班级：金融11201学号：*********序号：17浅析无套利均衡分析原理及其在定价中的应用摘要：无套利均衡原理是现代金融理论的基础，其源于公司财务理论，它具有极其重大的理论意义和应用价值。
在论述无套利均衡分析原理内涵和理论意义的基础上，介绍了其主要应用价值，特别是在定价中的应用。
关键词：无套利均衡原理；MM理论；定价1、无套利均衡原理无套利均衡分析方法是指如果市场上存在无风险的套利机会，就说明市场处于不均衡状态，而套利力量将会推动市场重建均衡。
市场一旦恢复均衡，套利机会就消失。
在市场均衡时无套利机会，这就是无套利均衡分析的依据。
现代金融学的无套利均衡分析方法，实际上是1958年有Modiglinai 和Miller在研究公司资本结构与公司价值关系的MM理论时提出来的。
MM理论断言，在理想的市场条件下，公司的市场价值只依赖于它的利润流，而与其资本结构和分红策略无关。
这就是说，MM理论容许公司的投资决策和融资决策完全分离。
上述这些结论与人们的直觉相去甚远，而且更重要的是可以引伸出公司的金融活动本质上并不创造价值的结论。
注意到MM理论成立的条件，人们终于弄清了公司的价值究竟如何创造的，公司的金融财务活动是如何创造价值的。
事实上，MM理论告诉我们，通过负债和权益重组调整资本结构，可以争取税收方面的好处，并降低交易成本，减少信息的不对称，有利于调整有关方面的利害关系，增加公司的价值。
MM理论已为公司财务理论与经验分析奠定了基础，MM理论的发表，在当时极大地震惊了金融学术界。
两人因此获得诺贝尔经济学奖。
然而，MM理论中包含着的无套利均衡分析的重要思想及其在此后产生的巨大而深远的影响，由于认识的局限，人们在当时无法预见。
因此，可以说，MM理论不但为公司财务这门学科奠定了基础，而且也为金融经济学奠定了基础。
现代金融经济学把MM理论的“理想市场条件”，抽象为所谓无套利假设，现代金融学中的无套利均衡分析方法的提出，被认为是金融学研究方向的一次意义十分深远的金融学革命。
第五章期权定价与无套利均衡分析从这一章开始，我们进入了新的学习阶段。
不论在定价理论和方法上都提出更为复杂同时更加困难的许多问题，需要我们去思考、去解决。
期权作为一种衍生产品，其定价特点：1，是动态的，2，是多阶段的；3，是以标的物的价格变动作为自身价格定价的依据。
这种用有关另一种价格的动态来刻划自身价格的变化，是过去从未遇到的问题。
再就期权定价的应用来看，期权定价不但作为证券衍生产品的定价工具，而且对未来不确定现象、持有或有要求权的证券以及其他实物，如可转换（或可赎回）债券的定价、矿山开采权定价、市场开发项目定价等等，都可以应用这种方法。
我国目前虽然尚未建立期权证券市场，但如中国银行推出外汇理财“两得宝”、“期权宝”以及光大银行、建设银行先后推出外币理财项目，也都是利用期权的原理来实行基金运作的。
我们还可以应用复制技术来构造适当的投资组合以达到满足期权的预期目的。
所以期权定价及其应用是当前大家关注的课题。
一，有关期权的若干概念1．期权的意义：期权交易（options）又称选择权交易，它是通过合约的形式由签约的一方给予另一方在未来一定时间内或某个约定的日期，按约定的价格买进或卖出某种商品的权利。
签订合约的买方可以行使这种权利，也可以放弃这种权利，以达到获利、分散风险和减少损失的目的。
（1）权利交易：a，既是权利交易，所以即可以购买买入权利（calls）也可以购买卖出权利（puts）。
b，到期买方可以执行权利，卖方不得阻碍；买方也可以放弃权利，卖方不能强求。
（2）期权交易的方式：由于买方可以购买或卖出，对方相应就有出卖或购买。
共有四种基本交易方式：①买进买入期权②卖出买入期权②买进卖出期权④卖出卖出期权（购买者称holder，出售者称writer，买入call，卖出put）2．交易时间：要区别以下几个时间概念（1）到约日期：通常签约后三个月、六个月、九个月，到期日规定为到期月份的第三个星期六。
（2）履约时间：欧洲期权规定到期之日才能履行规定的权利，美式期权规定到期之前任何时间都可以履行权利，美式期权给予更大的选择自由，但可以把美式期权看成是欧洲期权的无限组合，所以通常研究欧式期权。
3．交易价格，需要明确以下不同价格：（1）股票市场价格，用符号S表示。
指股票（标的物）市价，即交易所挂牌的上市股票价格。
（2）施权价格（strike price）亦称股票执行价格、履约价格，用符号X表示。
指期权签约中所议定的股票价格，施权价也是交易所挂牌的，但未必等于市价。
一般市价高施权价格也较高，市价低，施权价也较低。
股票施权价通常按2.5，5，10美元价位递增。
同种股票规定一系列施权价，有的低于市价有的高于市价，以满足对股票价格走向持不同预期的投资者的需要。
例如1990，6，14Honwell公司挂牌股票市价为收盘价98美元，而施权价则为85，90，95，100，105美元等等。
（3）期权价格：指购买期权权利（包括购买 calls的费用C或购买puts的费用P）而非股票本身的市价或施权价。
期权价格称（option premium）例如：买主向卖主按每股120美元（施权价）买入100股股票的权利，买主应向卖主付出每股8.5美元的权利金（期权价格C）。
100股付出权利金总额850美元。
同一种股票，施权价愈高则期权价（费用）就愈小。
同一种价位股票签约期愈长，期权费也愈小。
（4）期权价值期权价格(C或P)与期权价值(V或p V)是两个不同的概念，c但也有联系。
①不同：期权价格指签订合约中的权利金，它是签订时就决定的，而期权价值V 则只是在合约到期才能做出判断。
0 当X S m ≤买入期权价值：c V =X S m - 当X S m或},0max{X S V m C -= 式中m S ：股票市场价格 X ：股票施权价格（执行价格）例如，甲买入期权的股票施权价格为100元，到期市场价为110元，则买入持有者可执行期权，以100元买入股票再在市场上以110元卖掉可赚10元。
如果市场股票为90元，则买入持有者不执行期权，买入期权价值为0，但不会是负数（不考虑期权金问题）。
如下图一：0 当X S m ≥卖出期权价值：p V =m S X - 当X S m或},0max{m p S X V -= 如图二：X S m - m S X -X 45 m S X m S 图一 图二②联系。
期权的价格受预期的期权价值影响。
预期的价值高则当前的期权价格也高，预期价值低则当前的期权价格也低。
然而期权价格与预期价值有关，实际上就是与预期的股票的价格及风险程度有关。
1)预期的股票价格有关：到期的股票价格变动，则它与施权价格的差距也发生变动，即期权价值也发生变动。
2）与股票的风险程度有关：例如甲、乙两只股票的风险不同即价格变动的范围不同。
施权价格均为100元/股。
甲股票的市场价格可能在90——130元之间，概率为0.5 乙股票的市场价格可能在80——140元之间，概率为0.5 则甲期权价值在0——30元间元＝甲155.0305.00)(=⨯+⨯V E 乙期权价值在0——40元之间元＝乙205.0405.00)(=⨯+⨯V E二． 买入期权C 与卖出期权P 的平价关系C 、P 、m S 三者之间存在着价格依存关系。
这个关系就是买入—卖出期权平价（call-put parity ）投资者可以凭借其中两个，构造出另一个金融产品。
即从现实价格的不平衡找到套利机会。
现投资者构造以下投资组合：即应用复制技术使现在现金流不等于0，而到期现金流（不论何种情况）等于0。
1， 以C 出售一单位买入期权2， 以P 购入一单位卖出期权3， 以0S 价格购入期权标的股票4， 以利率r 借入一笔借期为t 的现金，金额为t r X -+)1(则投资者现在和到期日（施权日）的现金流量如下表：由上表可知，不管施权日股价如何变化，该投资组合的价值均为0，由于上述投资是无风险投资组合，期末价值为0。
它的期初价值也必然为0，即0)1(=++---t r X S P C或t r X S C P -++-=)1(t r X S P C -+-+=)1(上式即为买入卖出期权平价公式。
如果市场出现不符平价公式，则就存在套利组合。
例如市场出现下列情况：有效期为3月，施权价为40的买入期权价C=3，同样的卖出期权价为P=2，股票市价为40，利率为5%，根据买入卖出期权平价，C P 应该为：tm r X S C P -++-=)1(251.2)05.01(4040341=++-=-所以C 、P 不符合买入卖出期权平价，如果投资者构造如下投资组合：出售一单位买入期权：＋3购买一单位卖出期权：－2买入一单位股票 －40按5%利率借入现金 ＋39.52当前现金流入 0.52根据上表分析期末的价值等于0，即在施权日不管股价如何变化，投资者都不必付出任何财富，而现在投资者现金收入为0.52，而投资者现在就可以得到0.52的无风险收益。
如果市场不允许这样的无风险套利机会，则买入、卖出的期权价格必须符合平价关系。
三． 期权价格的上下限构造投资组合A 与投资组合B ，如下表：当到期日股票市场价格X S m 时，A 组合与B 组合的收益都是m S 当到期日股票市场价格X S m ≤时，A 组合的收益大于B 组合。
由于投资者的投资机会是相等的，收益高的投资组合投资也应较大，0/(1)C X i S ++≥即0/(1)C S X i ≥-+而00max{0,/1}C S X i >≥-+则有C另一方面：0C S ≤所以有00max{0,/1}S X i C S -+≤即00max{0,/1}S X i C S -+≤≤ （欧式买权）t E t t T r t S C Xe D PV S ≤≤----})(,0max{)( （美式买权）四．期权的二项式定价先导出一阶段的二项模型，原股价0S 到期日股票只有两种情况，以%x 上升或以%y 下降，设%1%,1y d x u +=+=则有 0uS 0S 则期权价值c V 也是两种情况0dS0max{0,}uC uS X =-C 0max{0,}d C dS X =-现在构造投资组合：出卖一项买入期权，并买入a 股原股票，目的是使股票价格不管上升或下降都能产生恒定的现金流，而构造一个保值的投资组合。
如下表：根据要求，股票价格变化不影响保值组合投资的现金流，即 00u d auS C adS C -=-即0()u d C C a S u d -=- （1）所花的投资为0aS C -而创造的收入流为0u auS C -（或0d adS C -）是恒定的，即无风险的。
设无风险利率为i ，令i r +=1，那么有：00()d aS C r adS C -=- 或00d arS C adS C r +-= （2）把（1）代入（2）式得：00001[]()()u du dd C C C C C rS C dS r S u d S u d --=+---()()()1u d d u d C C r C u d d C C r u d -+---=-1[]u d r d u rC C r u d u d --=+-- 记d u d r P --=则P d u ru -=--1∴ 得一阶段二项式定价模型1[(1)]u d C C P C P r =+-。
