北师大版八年级数学上册第七章第二节《定义与命题》第二课时学案

(2) 定义与命题7.2 : 教学目标知识技能．了解真命题和假命题的概念。

1 ．会在简单的情况下判别一个命题的真假。

2 ．了解公理和定理的含义。

3 过程与方法，让学生在自己提出问题、．从生活命题引入数学命题，并通过小组活动1自己解决问题的过程中经历知识的产生过程归纳、并在这个过程中了解类比、, 分类等思维方法。

．在学生总结命题、真命题、定理和公理之间的关系中，感受数学知识间的2 内在联系。

．通过对真假命题的判断，初步体验举反例、推理说明等数学方法。

3 情感态度与价值观让学生在推理中感觉到数学的有用性。

教学重点：命题的真假的概念和判别。

教学难点判别命题的真假其实已涉及证明。

教学过程一、复习也就是给出它们的定,作出明确的规定,对名称和术语的含义加以描述:、定义1 . 义叫做命题,判断一件事情的句子:、命题的定义2命题的结构、3结论是由,条件是已知事项.每个命题都由条件和结论两部分组成: . 已知事项推断出的事项其中“如,那么……”的形式,命题可以写成“如果……,一般地:、命题的特征4 . “那么”引出的部分是结论,果”引出的部分是条件把下列命题改写成“如果┄┄那么┄┄”的形式，并指出命题的条件和结论、相等的角是对顶角；1 、钝角大于它的补角；2 、两直线平行，同位角相等；3 二、新授课想一想如何证实一个命题是真命题呢？：用学过的观察、实验法1生：这些方法往往不可靠2生：能不能根据已知的真命题来证明呢？3生那已知的真命题又是怎么证明的？4:生 . ：……5生 . 公认的真命题称为公理推理的过程叫证明。

. 经过证明的真命题称为定理 : 本套教材选用如下命题作为公理两点确定一条直线。

1. 两点之间线段最短。

2.,如果同位角相等,两条直线被第三条直线所截3.; 那么这两条直线平行 ; 同位角相等,两条平行线被第三条直线所截4. ; 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等5. ; 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等6. ; 三边对应相等的两个三角形全等7. . 对应角相等,全等三角形的对应边相等8. 同角（等角）的补角相等。

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直.4.两条直线被条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行〔即：同位角相等，两直线平行〕5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.〔SAS)7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. (ASA)8.三边分别相等的两个三角形全等. (SSS)另外一条根本领实我们将在后面的学习中认识它.9.平行线截线段成比例.【设计：总结学生学过的根本领实，并以它们作为证明的出发点，初步构建几何证明的“公理化体系〞，培养学生逻辑推理能力．用数学的三种语言〔文字语言、符号语言、图示语言〕表达“九条根本领实〞，提高学生数学语言的表达能力.】思考四：代数知识中是否也有“公理〞呢？能举例说明吗？探究活动三：感受代数中的公理数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替.例如：如果a=b，b=c，则a=c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换〞.如果a>b,b>c,那么a>c, 称为“不等式的传递性.〞【设计：用学生学过的具体实例，感受代数的公理化思想．】思考五：请同学们结合所学知识，谈谈你对“根本领实〞或“公理〞的理解？〔1〕公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都成认的真命题.〔2〕公理可以作为判定其他命题真假的依据.【设计：深刻理解公理的独立性、完备性、和谐性．】教学活动三: 典例分析例：如下图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证:∠AOC=∠BOD.证明：∵直线AB与直线CD相交于点O〔〕，∴∠AOB和∠COD都是平角〔平角的定义〕.∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角〔补角的定义〕.∴ ∠AOC=∠BOD〔同角的补角相等〕.定理：对顶角相等.【设计：严格证明几何定理“对顶角相等〞，初步感受证明的思路和书写过程．】随堂练习：证明定理: 三角形的任意两边之和大于边.：如图，△ABC.求证:AB+BC>AC，BC+CA>AB，CA+AB>BC.证明：∵AC是以点A、点C为端点的线段〔〕，∴AB+BC>AC〔两点之间，线段最短〕.∵AB是以点A、点B为端点的线段〔〕，∴ BC+CA>AB 〔两点之间，线段最短〕.∵BC是以点B、点C为端点的线段〔〕，∴ CA+AB>BC 〔两点之间，线段最短〕.【设计：证明定理，感受证明的思路和书写过程．】教学活动四: 文化拓展数学文化阅读材料一：数学家欧几里得；数学文化阅读材料二：《几何原本》；数学文化阅读材料三：徐光启与《几何原本》．【设计：了解《几何原本》和数学家欧几里得、徐光启，感受公理化方法对数学开展和促进人类文明进步的价值．】板书设计一．公理、证明和定理的含义二．数学的“九条根本领实〞三．代数中的公理作业设计定义与命题〔二〕作业单。

7.2 定义与命题第2课时定理与证明1.学习目标（1）了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论（2）掌握真、假命题及反例的概念，并能判断命题的真假。

（3）了解本教材所采用的公理2.重难点重点：找出命题的条件和结论难点：用“如果……那么……”表示命题一、自学过程温故知新叫定义。

叫命题。

观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同结构特征？与同伴交流。

1．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。

2．如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

3．如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等。

4．如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形。

5．如果一个四边形的两条对角线相互垂直，那么这个四边形是菱形。

自主学习(1)预习课本168---170页内容(2)_____________ 称为公理。

______________称为定理。

______________称为证明小组合作学习下列说法中不正确的是（）A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明B.命题是判断一件事情的句子C.公理的正确与否必须用推理的方法来证实D.要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可教师精讲1、公理、定理及证明公理：公认的真命题称为公理，它不需要证明。

定理：经过证明的真命题称为定理。

证明：演绎推理的过程称为证明。

2、本书中我们已经认识的8条公理如下：①两点确定一条直线。

②两点之间线段最短。

③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.⑥两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．⑦两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．⑧三边对应相等的两个三角形全等．此外，等式的有关性质和不等式的有关性质也作为公理。

3、从这些基本事实出发，我们可以证明下面的定理：定理：同角（或等角）的补角相等。

同角（或等角）的余角相等。

北师大版八年级上册《7.2 定义与命题》教学设计一. 教材分析《7.2 定义与命题》这一节主要让学生了解数学中的定义与命题的概念，理解它们在数学论证中的重要性。

北师大版八年级上册的教材通过生动的例子和丰富的练习，帮助学生理解和掌握定义与命题的基本知识。

二. 学情分析学生在七年级时已经初步接触过定义与命题的概念，但对其本质和应用可能还不是很清楚。

因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过生动的例子和实际操作，让学生理解和掌握定义与命题。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解定义与命题的概念，能够正确判断一个命题是真命题还是假命题。

2.过程与方法：通过观察、分析和推理，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：定义与命题的概念及其应用。

2.难点：如何判断一个命题是真命题还是假命题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过提出问题，引导学生思考；通过分析案例，让学生理解定义与命题；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的例题和练习题。

2.准备课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的数学问题引入定义与命题的概念。

例如：“什么是一个角？”让学生思考并回答，然后给出正确的定义。

2.呈现（15分钟）呈现教材中的案例，让学生观察和分析。

例如：等腰三角形的性质。

引导学生发现这是一个命题，并尝试给出证明。

3.操练（15分钟）让学生分组，每组选一个命题进行分析和证明。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验他们对定义与命题的理解。

教师选取部分学生的作业进行点评。

5.拓展（10分钟）让学生尝试自己编写一个命题，并给出证明。

教师选取部分学生的命题进行点评。

6.小结（5分钟）总结本节课的主要内容，强调定义与命题在数学论证中的重要性。

第七章平行线的证明2 定义与命题第2课时一、教学目标1.了解公理、定理和证明的概念，会区分定理、公理和命题.2.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题.3.初步感受公理化思想，并了解本套教科书所采用的基本事实.4.阅读有关《原本》和公理化的资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值.二、教学重难点重点：了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理.难点：体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教师强调：公理=基本事实；公理不需要证明.除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理.每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.提问：定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：联系：这四者都是命题．区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据；只不过公理是最原始的依据，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据.【做一做】1.下列句子中，定理是( )，公理是( )，定义是( )A.若a=b，b=c，则a=cB.对顶角相等C.全等三角形的对应边相等，对应角相等D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形E.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等答案：B，C，E；A；D.2.下列说法错误的是( )A.命题不一定是定理，定理一定是命题B.定理不可能是假命题C.真命题是定理D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理答案：C我们已经认识的八条基本事实，可作为证明的出发点和依据！1.两点确定一条直线.(直线公理)2.两点之间线段最短.(线段公理)3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(即：同位角相等，两直线平行).5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8.三边分别相等的两个三角形全等.【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.【例1】已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD.【分析】根据同角的补角相等可得答案．证明：∵直线AB与直线CD相交于点O,∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义).∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义).∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).由上面的例题，我们可以得到定理：定理对顶角相等.【例2】证明定理：三角形的任意两边之和大于第三边.【分析】根据两点之间线段最短证明结论．已知：如图△ABC.求证：AC+BC＞AB，AB+BC＞AC，AB+AC＞BC.证明：∵AB是点A到点B的距离，AC+BC是连接点A、点C、点B的一条折线的长度，根据两点之间线段最短得：AC+BC＞AB.同理可得：AB+BC＞AC，AB+AC＞BC.∴三角形任意两边之和大于第三边.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相明这个命题的结论成立.证明的每一步都必须要有.答案：条件；公理；定义；定理；推理；根据.3.下列命题可以作为定理的有.①2与6的平均值是8；②能被3整除的数字也能被6整除；③5是方程号x+7=3x–3的根；④三角形内角和是180°；⑤等式两边加上同一个数仍是等式.答案：④⑤4.在证明过程中可以作为推理根据的是( )A.命题、定义、公理B.定理、定义、公理C.命题D.真命题答案：B5. 下列说法错误的是()A．命题是判断一件事情的句子B．基本事实的正确性必须得到证明C．证明假命题举一个反例即可D．推理的过程叫做证明答案：B6.已知：b∥c，a⊥b,求证：a⊥c．【分析】首先根据垂直定义可得∠1=90°，再根据平行线的性质可得∠2=∠1=90°，进而得到a⊥c．证明：∵a⊥b（已知），∴∠1=90°（垂直的定义）.又b∥c（已知），∴∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.∴a⊥c（垂直的定义）.7.已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角.求证∠2=∠3.【分析】根据余角的概念：和为90°的两角互为余角可得答案．证明：∵∠2是∠1的余角(已知)，∴∠2+∠1=90°(余角的定义).∴∠2=90°–∠1(等式的性质).又∵∠3是∠1的余角(己知)，∴∠3+∠1=90°(余角的定义).∴∠3=90°–∠1(等式的性质).∴∠2=∠3(等量代换).以思维导图的方式呈现：。

2定义与命题(第2课时)学习目标1.了解公理、定理和证明的概念，会区分定理、公理和命题.(重点)2.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题.3.通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力.(难点)自主学习学习任务一认识公理、证明、定理的概念1.公理：公认的称为公理.2.证明：除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.演绎推理的过程称为..本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：1.两点确定一条直线；2.两点之间线段最短；3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行)；5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；8.三边分别相等的两个三角形全等.合作探究1.公理、定理、概念和证明的关系是什么？2.证明定理的一般步骤是什么？例证明定理“对顶角相等”.已知：如图1，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC＝∠BOD.图1当堂达标1.如图2所示，在直线AC上取一点O，作射线OB，OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC. 求证：OE⊥OF.图22.已知：如图3所示，在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A与∠B互余.如图4，若∠1＝∠ 2，则∠ 3＝∠ 4，请用推理的方法说明它是真命题.图4反思感悟我的收获：我的易错点：当堂达标1.证明：∵OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC，∴∠EOB＝12∠AOB，∠BOF＝12∠BOC.又∵∠AOB+∠BOC＝180°，∴∠EOB+∠BOF＝12(∠AOB+∠BOC)＝12×180°＝90°，即∠EOF＝90°，∴OE⊥OF.2.证明：∵∠A+∠B+∠C＝180°(三角形内角和等于180°)，又∠C＝90°，∴∠A+∠B＝180°-∠C＝90°.∴∠A与∠B互余.课后提升解：∵∠1＝∠2(已知)，∴a∥b.(同位角相等，两直线平行)∴∠3＝∠4.(两直线平行，内错角相等)。

八年级数学上册7.2定义与命题第2课时定理与证明教学设计（新版北师大版）一. 教材分析本节课的内容是北师大版八年级数学上册7.2定义与命题的第2课时，主要学习定理与证明。

定理是数学中经过证明的命题，是数学推理的基础。

本节课通过学习定理与证明，让学生理解数学命题的本质，培养学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了七年级和八年级上册的数学知识，对命题和定理有一定的了解。

但是，对于如何进行数学证明，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生理解证明的过程，培养学生的逻辑推理能力。

三. 教学目标1.理解定理的概念，知道定理的定义和定理的证明过程。

2.能够运用所学的定理进行问题的解决。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.定理的概念和定理的证明过程。

2.如何运用所学的定理解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考，从而达到理解定理的目的；通过案例教学，让学生了解定理的证明过程，掌握证明的方法；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力，提高学生的逻辑推理能力。

六. 教学准备1.PPT课件2.相关案例和问题3.小组合作学习资料七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾命题和定理的概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）呈现本节课的学习目标，让学生明确本节课的学习内容。

然后，通过PPT课件，介绍定理的概念和定理的证明过程。

在呈现过程中，引导学生关注定理的证明方法，让学生理解证明的过程。

3.操练（10分钟）通过案例教学，让学生了解定理的证明过程，掌握证明的方法。

在这个过程中，教师要引导学生积极参与，提出自己的观点，培养学生的逻辑思维能力。

4.巩固（10分钟）让学生分组进行合作学习，运用所学的定理解决实际问题。

教师在这个过程中，要引导学生进行合理的分工，指导学生解决问题，培养学生的团队协作能力。

第2节定义与命题第2课时【学习目标】1、学会区分命题的条件和结论。

2、能判断命题的真假，会证实一个命题的真假。

【学习重点】区分命题条件和结论。

【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、命题：判断一件事情的。

二、自主学习1、阅读教材：第2节定义与命题（P167-P169）。

2、命题有正确与错误之分。

正确的命题叫命题，不正确的命题叫命题．请判断下列命题的真假：（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（）（2）如果a>b,b>c,那么a=c；（）（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（）（4）菱形的四条边都相等（）；（5）全等三角形的面积相等（）。

3、要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，却不具备命题的结论，即反例。

例如：命题“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”是假命题。

举反例：。

4、常用的几个公理（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角______，那么这两条直线______．（2）两条平行线被第三条直线所截，_______________．（3）两边及夹角对应相等的两个三角形__________．（4）两角及夹边对应相等的两个三角形__________．（5）三边对应相等的两个三角形__________．（6）全等三角形的对应边相等，对应角__________．【我的疑惑】模块二合作探究探究1：说出下列命题的题设和结论：（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；。

（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；。

（4）菱形的四条边都相等；。

（5）全等三角形的面积相等；。

探究2：举反例说明下列命题是假命题：（1）互补的两个角一个是锐角，另一个是钝角；（2）a、b、c是三个有理数，若ac=bc,则a=b。

模块三小结评价一、知识：1、每个命题都是由________和________两部分组成。