清华大学2016年“领军计划”物理试题

2019年清华大学领军计划物 理1．如图1所示，质量远小于木板的子弹以相同的速度击中图（a ）木板中点、图（b ）木板端点．有关木板升起的高度描述正确的是（ ）．A ．两木板质心上升高度相同B ．（a ）质心高C ．（b ）质心高D ．（b ）中木板将绕质心匀速转动2．半径为R 、带电量为Q 的均匀带电小球以角速度ω旋转，系统磁矩为（ ）．A ．25Q R ωB ．24Q R ωC ．23Q R ωD ．22Q R ω3．电子电荷为e ，质量为m ，绕原子核以半径r 0旋转，其径向微振动的频率为（ ）．ABC．D4．如图2所示，光滑斜面倾角为θ，质量很大的小车在斜面上自由滑下，车上吊有一小球，绳长为R ．则小球做微小振动的振动周期为（ ）．A．2 B．2C．2 D．25．如图3所示，半径为R 的圆环绕着竖直轴以匀角速度ω旋转，质量为m 的小木块光滑地套在圆环上，能稳定地相对静止．则有（ ）．A ．θ＝0，ω<B ．θ＝0，ω>C ．0＝π，ω<D ．12cos gRθω-=，ω>E ．12cos gRθω-=-，ω<6．如图4所示，三个导体（图中黑色部分），分别带有电荷q ，p ，Q ，下列说法正确的是（ ）．A ．改变q ，不影响腔外电荷分布B ．移动q ，不影响腔外电荷分布C ．改变Q ，不影响腔内电荷分布D ．移动Q ，不影响腔内电荷分布E ．改变p ，不影响腔外电荷分布7．一辆车从静止状态突然启动加速，那么（ ）．A ．若车是前驱车，则启动时，车头会下沉B ．若车是前驱车，则启动时，车尾会下沉C ．若车是后驱车，则启动时，车头会下沉D ．若车是后驱车，则启动时，车尾会下沉8．n 匝导线缠绕在半径为R 的铁芯上，铁芯长度为L (L ≫R )，相对磁导率为μr ，电阻率为ρ，导线中电流随时间的变化关系为I ＝I 0sin ωt ，则涡流平均功率为（ ）．（提示：有磁介质时的磁感应强度大小的计算可以类比有电介质的电容内部电场计算，原题无提示）A ．2222240r 0π2n I R LμμωρB ．2222240r 0π4n I R LμμωρC ．2222240r 0π8n I R LμμωρD ．2222240r 0π16n I R Lμμωρ9．下面关于电磁波的说法正确的是（ ）．A ．速度与观察者所在参考系无关B ．方向与电场、磁场均垂直C ．磁场影响效果大10．2mol 氢气，等体热容为5R ，经准静态过程从(T 0，V 0)状态变为00(2)T ，已知过程中热容为2(1)TC R T α=+，则气体内能变化∆U 和对外做功W 分别为（ ）． A ．∆U ＝5RT 0，W ＝2RT 0+6αRT 0B ．∆U ＝5RT 0，W ＝3αRT 0-3RT 0C ．∆U ＝10RT 0，W ＝4RT 0+6αRT 0D ．∆U ＝10RT 0，W ＝12αRT 0-6RT 011．电容器两极板面积均为1m 2，中间真空，距离1cm ，接到200V 电源上拉开2cm ，外力做功为（ ）．A ．1.8×10-5JB ．-1.8×10-5JC ．8.9×10-6JD ．-8.9×10-6J12．如图5所示，一薄金属片宽度l ＝40cm ，圆筒部分半径R ＝5cm ，平面部分间隙d ＝0.5cm ，宽度s ＝4cm ．将其弯成如图5所示情形，其电磁振荡频率约为（ ）．A ．400MHzB ．190MHzC ．200MHzD ．100MHz13．一金属球壳直径为10cm ，当内部充满气体时，可承受内外4个大气压差而不损坏．先使之带电确保其不会因静电力而受损，最多带电（ ）． A ．3.3×10-4CB ．6.6×10-4CC ．7.9×10-4CD ．8.5×10-4C14．一半径2nm ，波长643.2nm 的激光打向月球，则有（ ）．A ．光斑半径为2nmB ．光斑半径为4nmC ．光斑半径为1nmD ．光斑半径可能有几百公里15．一观察者位于波源和反射屏之间，三者位于同一直线上，波源和反射屏速度均为v s ，同向；观察者速度为v r ，方向相反．已知波源频率为f s ，波速为u ，介质静止．则观察者测出的拍频∆f 为（ ）．A ．r s s 2s 2||()u v v f u v --B ．r s s 22s 2()||u v v f u v +-C ．r s s 2s 2||()u v v f u v -+D ．r s s 22s 2()||u v v f u v ++16．如图7所示，小球m 质量远小于大球M ，小球放于大球上，下落后弹起，高度为h 2，若小球直接在相同高度释放，则弹起高度为h 1，则有（ ）．A ．地软时，h 2≈h 1B ．地软时，h 2≫h 1C ．地硬时，h 2≈h 1D ．地硬时，h 2≈3h 1E ．地硬时，h 2≈9h 117．如图8所示，图（a ）：绳子一端连在小球上，另一端穿过桌面小孔．在绳的另一端施力，向桌面下方拉绳；图（b ）：绳子一圈圈绕在粗柱上，小球均在平面内做匀速圆周运动，则有（ ）．A ．图（a ）中小球速度不变B ．图（b ）中小球速度不变C ．图（a ）中运动速度与半径成反比D ．图（b ）中运动速度与半径成反比18．如图9所示，球A 质量为m 1，通过一根长为l 1的绳子连接在天花板上；球B 质量为m 2，通过一根长为l 2的绳子连接在球A 上，瞬间给A 一个速度v ，此时A 与天花板，B 与A 间的绳子拉力T 1，T 2分别为（ ）．A ．21111v T m g m l =+，T 2＝m 2gB ．21111v T m g m l =+，22222v T m g m l =+C ．221121212()v v T m m g m m l l =+++，22222v T m g m l =+D ．22211212112()()v v v T m m g m m l l l =++++，2222212()v v T m g m l l =++19．如图10，一小球上方通过一根绳a 悬挂在天花板上，下端与一根相同的绳b 相连，现在下绳施加竖直向下拉力，则（ ）．A ．若拉力慢慢加大，则绳a 会更容易断裂B ．若拉力慢慢加大，则绳b 会更容易断裂C ．若拉力瞬间加大，则绳a 会更容易断裂D ．若拉力瞬间加大，则绳b 会更容易断裂2019年清华大学领军计划物理试题参考答案1．C （1）若当作选择题，则子弹射入木板相当于做了一次完全非弹性碰撞，两种情况子弹提供冲量相同，但从一端打时有桌腿额外冲量，故（b ）中木板质心速度更大． （2）①如图1，系统动量守恒得到mv 0＝(M +m )v c 所以0c mv v M m=+ 由22c a v gh =所以2220222()c a v v m h g g M m ==+ ②由图2所示，以O 为转动点，m 打击板右端．由角动量守恒得22013mv L ML mL ωω=+013mv ML mL ω=+取右端点为转动点，设左端支持力为F ，由角动量定理得213F L t ML ω⋅⋅∆=所以13F t ML ω⋅∆=取M ，m 系统得 F ·∆t +mv 0＝(M +m )v ′c所以0(23)()(3)cmv M m v M m M m +'=++所以22222200222(23)22()(3)2()c b v v v m M m m h g g M m M m g M m '+==⋅>+++ 所以h b ＞h a ，所以C 正确． 2．A解法一：d Q ＝r d θ·2πr sin θ·d r ·ρd d d d sin d 2πQ I q r r r T ωθθωρ===⋅ 所以磁矩d M ＝d I ·S ＝π(r sin θ)2d I ＝π·r 2sin 2θ·r d θ·r sin θd r ·ωρ 43231πd sin d 45π3QM r r QwR R θθω=⋅⋅⋅=⎰ （θ从0到π，r 从0到R ）解法二：电动力学为磁矩定义：利用磁矩公式22522Q mR QL M m m ω⋅==，所以25Q R M ω=． 所以直接类比即得：215M Q R ω=．推导磁矩2QLM m=（L 为角动量） 如图3，质量m ，电量Q 以ω绕O 做半径为R 的圆周运动，则等效电流2πQ I ω=，S ＝πR 2，所以22222Q R Qm k QLM I S m mωω=⋅===3．A 解法一：2222)1(2ke E m r r r θ=+-，2L mr θ=，所以2222122L ke E mr mr r ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．有效势能2222L ke V mr r=-，频率w =22243300032L ke ke v mr r r ''=-=．所以w ．解法二：如图4，v 0为刚好做圆周运动线速度v r 径向振动速度，在平衡位置最大：在r 0处，22200ke v m r r =．在r 0+x 处(x 0≫x ) 22223000()v ke ke F m x r x r x r =-=-⋅++合 所以230ke k r =，所以2T =所以2πT ω==所以A 正确．4．B 在小车参考系（非惯性系）中引入平移惯性力，得到等效的重力加速度，再应用单摆模型求出结果．即等效g ′＝g cos θ，所以22T = 注：如图5所示，平衡位置为A 不是B ．5．AD 势能＝重力势能+离心势能22p 1(1cos )sin 2E mgR m R θωθ=--p 2d sin (cos )d E mR g R θωθθ=-平衡位置p d 0d E θ=，则sin 0πθθθ=⎧=⇒⎨=⎩或2cos gK θω=（要求ω稳定性由E p 的二阶导数来判断，大于0，势能处于极小值，则为稳定平衡；小于0，势能处于极大值，则为不稳定平衡．6．BCD 根据静电屏蔽知识点，移动q ，不影响腔外电荷分布，移动Q ，不影响腔内电荷分布，改变Q 只改变腔内电势分布而不改变电荷分布．7．BD 设后轮驱动，加速度为a ，取汽车为参考系（图6），则：对前轮的力矩之和等于0： mg ·c +F ·h -N 后轮·(b +c )＝0 对后轮的力矩之和等于0： -mg ·b +F ·b +N 前轮·(b +c )＝0 由F ＝ma 得()m bg ah N b c+=+后轮()m bg ah N b c-=+前轮可见，当汽车匀速前进时a ＝0，bN mg b c=+ 前轮对地面的压力()m bg ah bN mg b c b c-=<++前轮后轮对地面的压力()m bg ah bN mg b c b c+=>++后轮所以N 后轮＝N 前轮 同理前轮驱动亦可证明 N 后轮＞N 前轮 答案BD 正确．8．D 由L ≫R 知，铁芯内部的磁场可以看作匀强磁场，磁感应强度大小为0r nB I Lμμ= 00sin r nI t Lμμω=⋅，在半径r 处取一厚为d r 的柱面，则t 时刻柱面上产生的感生电动势大小为 22r 00πco )s()d(π(,)d r n I t B r r t t Lμμωωε==该柱面上总电阻为2π()d r R r L rρ⋅=．该柱面在t 时刻产生的瞬时功率为2222r 002πcos ()(,)()d (,)d ()2πr n I t r t LP r t r R r L r μμωωερ==⋅考虑到cos 2(ωt )对时间的平均为21cos ()2t ω=，则r 处厚度为d r 的柱面上涡流的平均功率为 22r 002πd (()d 4π)r n I LP r r L r μμωρ=⋅ 则整个铁芯上涡流的平均功率为22222224r 00r 00200ππd ()(d 4π1)6RRr n I n I R LP P r r L r L μμωμμωρρ==⋅=⎰⎰ 9．AB 根据光速不变原理，可知电磁波的速度与观察者所在参考系无关．因为电磁波是横波，所以电磁波方向与电场、磁场均垂直． 10．B0d 21d T Q R T T α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0020021d (23)T T T Q R T RT T αα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰ ∆U ＝5R (2T 0-T 0)＝5RT 0，W ＝Q -∆U ＝3(α-1)RT 011．C 解法一：由能量守恒可知，外力做功+电源做功＝电容器储能的变化量，因而有21()2W Q U C C U '+∆⋅=- 其中，∆Q ＝(C ′-C )U ，解得W ≈8.9×10-6J ． 解法二：0000.885SC nF d ε==，0110.443S C nF d ε==25001 1.7710J 2E C U -==⨯电能 251118.8510J 2E C U -==⨯ ∆E ＝-8.85×10-6JW ＝-∆E ＝8.85×10-6J≈8.9×10-6J解法三：力对位积积分（用电场平均值定理）202(0)22U CU SU d F QE d ε⋅+=== 积分得W ＝8.85×10-6J≈8.9×10-6J12．B 该系统可以看作是一个圆柱面（可类比螺线管）和一个平板电容器串联，形成一个LC 振荡电路．对于长为l ，半径为R (l ≫R )的圆柱面，其上均匀通过电流强度为I 的电流，可以类比无限长螺线管内部的磁场分布，知圆柱面内部应为匀强磁场，其磁感应强度大小为0IB l μ=．则圆柱面的自感为220ππR B R L I l μ⋅==． 平板电容器的电容为0lsC d ε=，则该振荡电路的振动频率为190MHz ==13．电场平均值定理2 20222kQ E E kQ r E r ++===内外，可得附加压强 22024π48πS EQ kQ r p p S r ∆===∆ 解得43.310C Q -⨯ 14．D 由于2nm ≪643.2nm ，小孔衍射，衍射角rθλ=（量级对即可），而光斑直径＝地月距离×衍射角．15．B 波从波源出发，直接被接收者接收，接收频率为r 1s su v f f u v +=- 波被反射面接收时，接收频率因为波源与反射屏同向同速，所以f ′＝f s而后反射面将这个波再发出，被接收者接收r r 2s s su v u v f f f u v u v --'==++ 故拍频为s r 12s 22s 2(||||)u v v f f f f u v +∆=-=- 16．BE 设小球弹起初速度分别为v 2，对应弹起高度h 2，v 1对应弹起高度h 1．若地硬，则为完全弹性碰撞，大球反弹后与小球发生碰撞，相对速度为2v 1，v 2＝3v 1，则有h 2＝9h 1；若地软，则为完全非弹性碰撞，小球落地后速度即降为零，v 1≈0，则有h 2≫h 1．17．BC （a ）绳子的拉力没有垂直于运动半径方向的分量，因此小球运动的角动量守恒，速度和运动半径的乘积不变；（b ）因为绳子不可伸缩，小球的运动速度与绳垂直，因此小球的机械能守恒，速度大小保持不变．18．D A 相对于地面，有21A v a l =；以A 为系看B ，有22BA v a l =，所以B 对于地面，有 2212B v v a l l =+ 1121222A BT m g T m a T m g m a --=⎧⎨-=⎩ 222212v v T m g l l ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，222121121v v v T m g m g l l l ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 19．AD 根据惯性知识点，选定绳a 和小球为研究对象，若拉力瞬间加大，则绳a 中的拉力等于小球的重力，绳b 中的拉力等于施加的拉力，此时球有一个巨大的加速度，故绳b 会更容易断裂．若拉力慢慢加大，则绳a 和绳b 同时增大拉力，且绳a 中拉力等于绳b 中拉力与小球重力之和，因此绳a 会更容易断裂．这里的绳不是理想的刚性绳，而是有一些形变的实际绳子．。

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题（解析版）1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.取决于a 的值 答案：注意)()(/x g e x f x =，答案C .2. 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,.下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ） A.Z c b a ∈==,2,1B.B b C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+=C.060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B AD.060,1,3===A b a答案：对于选项A ，由于b a c b a +<<-||，于是c 有唯一取值2，符合题意； 对于选项B ，由正弦定理，有2222b ac c a =++，可得0135,22cos =-=B B ，无解；对于选项C ，条件即0)sin(cos =-C B A ，于是)60,60,60(),60,30,90(),,(000000=C B A ，不符合题意；对于选项D ，由正弦定理，有21sin =B ，又060=A ，于是0090,30==C B ，符合题意. 答案：AD .3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A.)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B.存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C. )(),(x g x f 有且只有一个交点D. )(),(x g x f 有且只有两个交点答案：注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD .4. 过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点.下列说法中正确的有（ ）A.以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离 B. ||AB 的最小值为4 C. ||AB 的最小值为2D.以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 答案：对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B,C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=a a AB ，最小值为4.也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值； 对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误. 答案：AB .5. 已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点.下列说法中正确的有（ ）A.b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个B. b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C.21F PF ∆的周长小于a 4D. 21F PF ∆的面积小于等于22a 答案：对于选项A,B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点； 对于选项C ，21PF F ∆的周长为a c a 422<+；对于选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅. 答案：ABCD .6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD .7. 已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N .以下说法正确的有（ ）A.P B M O ,,,四点共圆 B. N B M A ,,,四点共圆 C. N P O A ,,,四点共圆 D.以上三个说法均不对 答案：7.对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得. 答案：AC.8.C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 答案：必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π,类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ， 于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++. 不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形.答案：B.9.已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ） A.8 B.10 C.11 D.12 答案：由于xz y x 311121≤++=，故63≤≤x . 若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ； 若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ； 若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y . 答案：B .10.集合},,,{21n a a a A =，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9答案：不妨假设n a a a >>> 21，若集合A 中的正数的个数大于等于4，由于32a a +和42a a +均大于2a ，于是有14232a a a a a =+=+，从而43a a =，矛盾！所以集合A 中至多有3个正数.同理可知集合A 中最多有3个负数.取}3,2,1,0,1,2,3{---=A ，满足题意，所以n 的最大值为7.答案B .11.已知000121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ）A.3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB.3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC.3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβαD.3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα答案：令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zxzx yz y z xy x y ， 所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-， 以上三式相加，即有3-=++zx yz xy . 类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zxx z yz z y xy y x ， 以上三式相加，即有3111-=++=++xyzzy x zx yz xy . 答案BD.12.已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A.)12,11(B.)13,12(C.)14,13(D.)15,14( 答案：设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图， 于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ， 左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得.因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈.答案B .13.已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ）A.xyz 的最大值为0B. xyz 的最大值为274- C. z 的最大值为32 D. z 的最小值为31- 答案：由1,1222=++=++z y x z y x 可得0=++zx yz xy .设c xyz =，则z y x ,,是关于t 的方程023=--c t t 的三个根.令c t t t f --=23)(，则利用导数可得⎪⎩⎪⎨⎧≤--=>-=0274)32(0)0(c f c f ，所以0274≤=≤-xyz c ，等号显然可以取到.故选项A,B 都对. 因为)1(2)(2)1()(22222z y x z y x -=+≤-=+，所以131≤≤-z ，等号显然可以取到，故选项C 错误. 答案ABD .14.数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ）A.n n n a a a 221++-为定值 B.)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC.741-+n n a a 为完全平方数D.781-+n n a a 为完全平方数答案：因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a an n n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=.所以A 选项正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++， 故选项C,D 正确.计算前几个数可判断选项B 错误. 答案：ACD .说明：若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12，则n n n a a a 221++-为定值.15. 若复数z 满足11=+zz ，则z 可以取到的值有（ ）A.21 B.21- C.215- D. 215+ 答案：因为11||1||=+≤-zz z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得.答案CD . 16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）A.6552B.4536C.3528D.2016答案：从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008. 考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++.答案C .17.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点.若||MN 为定值，则=ba（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 答案：设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++， 故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b a b a ，答案：C .说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则kb a 1=； （2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆.18. 关于y x ,的不定方程y x 21652=+的正整数解的组数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3答案：方程两边同时模3，可得)3(mod 22y x ≡，因y 2不能被3整除，故2x 不能被3整除，所以)3(mod 12≡x ，故)3(mod 12≡y ，所以y 为偶数，可设)(2*N m m y ∈=，则有4153615)2)(2(⨯⨯==+-x x mm ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,1232,52x x mm 即⎩⎨⎧==.12,59y x 答案：B . 19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序.记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种，则（ ） A.22=I B.123=I C.964=I D.1205=I答案：根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n nnn n C n n C nA C I .答案：AB . 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 . 答案：根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯.21.在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1.设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y .则=∞→y x lim .答案：当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23. 22.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 .答案：如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V . 23.=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ .答案：根据题意，有0)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ.24.实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 .答案：根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1. 25.z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 .答案：由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23. 根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ， 于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x . 于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-.26.若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设μλ+=，则=+μλ .答案：根据奔驰定理，有329492=+=+μλ. 27.已知复数32sin 32cos ππi z +=，则=+++2223z z z z . 答案：根据题意，有i i z z z z z z 232135sin 35cos 122223-=+=-=+=+++ππ.28.已知z 为非零复数，zz 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .答案：设),(R y x yi x z ∈+=，由于2||4040z z z =，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图，弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ， 四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ. 29.若334tan =x ，则=+++x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin . 答案：根据题意，有xxx x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x .30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法.答案：首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有24C 种选择.下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填空一个偶数，设为b a ,.11 情形一：若b a ,位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定；情形二：若b a ,位于不同的行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.所以偶数的不是位置数为90)263(24=⋅+C .因此，总的填法数为4410009048488=C C . 31.设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 .答案：一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*≤≤∈k N k .不妨假设k a a a <<< 21.若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a .同理759≥-a a .又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k .另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意.综上所述，A 中元素个数的最大值为8.。

2015年清华大学领军计划测试 物理答案1 4α粒子散射是一个有心力场的运动，与天体运动不同的是其受到的斥力的作用。

由轨迹我们可知在距离中心原子最近的地方散射粒子的速度不为零，即其角动量不为零。

由角动量守恒知中心粒子只能处于3，4，5三个区域中。

又由对称性可知，中心粒子必处于4区域中。

2 A当速度达到稳定时，必然存在受力平衡。

同时功能平衡也是受力平衡的必然要求。

因此两种方案都是正确的。

3 dTdQC =dW dU dQ += kVdV pdV dW ==由理想气体状态方程RT pV = 取微分RdT kVdV =2 即2RC C v += 4设导轨宽度为L ，t 时刻速度v ，则BLv =ε，RBLvR I ==ε金属棒受力大小为RvL B BIL F 22-=-=负号表示F 方向与v 方向相反由牛顿第二定律，可得dtdv mma F == 即R v L B dt dv m 22-=，m RvL B dt dv 22-=积分⎰⎰-=10022001v v t mRdt L B v dv ⎰⎰-=100002202v v t mRdt L B v dv （其中s t 11=，2t 即为要求的时间） 即101101110101220n n v nv m R t L B v===-10311000110001110102220n n n v nv m R t L B v====-所以s t t 3312== 5平抛运动中H gt =221，斜抛中达到最大高度所用时间为2t ，故有h t g =⎪⎭⎫⎝⎛2221.则4H h = 6（1）（方法一：光程）设某种色光的折射率为n ，要使光线能够成功射出，应当考虑光线不在介质的界面上发生全反射。

由折射定律有n n 2360sin sin =︒⋅=α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<332n ， 在介质当中光走过的距离αcos Dl =， 光程αδcos nDl n =⋅=， 则光行走的时间ααδ2sin 1cos 1-⋅=⋅==n c D c nD ct ， 带入数据有,43112-⋅=n cDt ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<332n ，这是一个关于n 的单增的函数，故43112minmin-⋅=n cD t （方法二）光在介质中的速度ncv =， 则光在介质中运动的时间431112-⋅==n c D n c t ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<332n ，下同方法一。

清华大学2016年自主招生笔试真题汇总收藏此文2016-06-13| 编辑：王老师| 阅读:17500摘要6月10日，清华大学率先开始了自主招生测试，2016年清华有754人通过了自主招生初审。

据悉，自主招生、筑梦、领军计划笔试共用一套试卷。

6月10日，清华大学率先开始了自主招生测试，2016年清华有754人通过了自主招生初审。

据悉，自主招生、筑梦、领军计划笔试共用一套试卷。

据悉，清华大学2016年自主招生、领军人才选拔一共在全国29个省市设36个初试考点，考生可根据的情况，就近选择相应的考试地点。

考试相关内容考试模式：机考系统分发和回收考卷。

考生更加安全高效，阅卷也更为及时准确，还可大大降低作弊的可能性。

考试科目：文科——数学、语文理科——数学、物理试卷结构：试题不仅引入多选题，而且采用单选题、多选题混合编排的方式，用以区分不同水平的学生，也增加了能力考查的力度。

多选题学生全部选对得满分，选对但不全得部分分，有选错的得0分科目分数：每科100分考试内容：语文——30题，数学——40题，物理——30题，数学和物理都难度大于高考考试时间：三个小时 8:30-11:30考试题型：不定项选择题；每题有一个或多个正确选项，全部选对的得满分，选对但不全的得部分分，有选错的得零分。

考试题目全部为选择题。

考察方向数学与逻辑和物理探究着重考查学生较高层次的思维能力以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。

阅读与表达重点考查学生的文学文化水平和各类文章的阅读水平等能力，在考查学生语言运用能力的同时也考查了学生的写作能力。

笔试真题语文试卷要求：阅读与表达对语文基础知识和语言文字的运用能力提出的更高的要求。

内容：除了涉猎字音、字形、词语、句子衔接等内容外，还考查了汉字书写的笔顺问题、书体知识、传统文化知识、《红楼梦》文本解读以及宋词的格律炼字等。

代文阅读材料的体裁既有论说文，也有小说和诗歌。

文言文的阅读语料未经断句标点，还新增了分析推理题，考查学生综合语文能力。

清华领军物理试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 光在真空中的传播速度是：A. 3×10^8 m/sB. 2×10^8 m/sC. 1×10^8 m/sD. 4×10^8 m/s2. 根据牛顿第三定律，作用力和反作用力的关系是：A. 总是相等的B. 总是相反的C. 总是相等且相反的D. 总是不相等的3. 一个物体在水平面上以恒定的加速度运动，其速度随时间的变化关系为v = 4t + 2，其中v是速度，t是时间。

该物体的加速度是：A. 4 m/s²B. 2 m/s²C. 8 m/s²D. 1 m/s²4. 根据热力学第一定律，一个封闭系统的内能变化可以表示为：A. ΔU = Q - WB. ΔU = Q + WC. ΔU = QD. ΔU = W5. 电磁波谱中，波长最长的是：A. 无线电波B. 微波C. 红外线D. 紫外线6. 在理想气体状态方程PV = nRT中，R代表的是：A. 气体常数B. 温度C. 压力D. 体积7. 一个物体从静止开始自由下落，其位移与时间的关系为s =1/2gt²，其中g是重力加速度。

如果g = 9.8 m/s²，那么在t = 2s 时，物体的位移是：A. 19.6 mB. 9.8 mC. 4.9 mD. 2.45 m8. 根据库仑定律，两个点电荷之间的力与它们之间的距离的平方成反比，这个定律适用于：A. 真空中B. 任何介质中C. 只有金属导体中D. 只有绝缘体中9. 一个电路中，电阻R1和R2串联，总电阻Rt是：A. R1 + R2B. R1 - R2C. R1 * R2D. R1 / R210. 根据相对论，一个物体的质量与其速度的关系是：A. 质量不变B. 质量随速度增加而增加C. 质量随速度减少而增加D. 质量与速度无关答案：1. A2. C3. A4. B5. A6. A7. A8. A9. A10. B二、填空题（每题3分，共30分）1. 根据欧姆定律，电流I与电压V和电阻R的关系是：I = ________。

2015年清华大学领军计划测试物理学科注意事项：1.2016清华领军计划测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累积120分钟：2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版霜天，故有些问题改编为填空题。

1.在a 粒子散射实验中，以下1到5五个区域哪个可能是中心原子存在的区域？2.质量为m ，电阻为R 的圆环在如图的磁场中下落，稳定时速度为v 。

求匀速下落时电动势，有以下两种计算方案。

方法一：由受力平衡22B L v mg R= BLv ε=有结论 ε方法二：由功能关系k P mgv =2R P R ε=有结论 ε问：关于以上哪种方案说法正确的是（ ）A.都正确B.都不正确C.只有方案一正确D.只有方案二正确3.理想气体做p kV =的准静态过程，已知定容比热0C 和R ，求该过程的比热C 。

4.如图所示，光滑且不计电阻力的导轨上有一金属棒，金属棒电阻为R ，初速度为01m/s V =，空间中有恒定的垂直导轨平面的磁场，磁感应强度为B ，当金属棒减速到010v 时，用时1s 速度识别器最低记录是0.001m/s ，求总共记录的该导体棒运动时间为多少？5.高为H 出平抛一物体，同时在其正下方水平地面斜抛一物体，二者同时落到同地，则斜抛物体的射高为______.6.有一厚度为D 的透明玻璃砖，一束白光以入射角60︒角射入。

（1）求最早射出色光的折射率（玻璃折射最小值为min n ）；（2）若白光只有红黄绿三种颜色（并给出折射率）问那种色光最先射出？7.小磁铁在铝制空心杆中运动（无裂缝、有裂缝、有交错的矩形裂孔），则先落地的一个是哪一个？8.均匀带电半圆环，一半带正电，一半带负电，电荷密度为λ，求P 点的场强和电势。

9.一个人在岸上以速度v 平拉船，岸高度为h ，绳子与河夹角为θ，此时船的速度和加速度为？。

清华大学物理试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 光的波粒二象性中，下列说法正确的是（）。

A. 光的波动性与粒子性是相互独立的B. 光的波动性与粒子性是相互排斥的C. 光的波动性与粒子性是相互补充的D. 光的波动性与粒子性是相互转化的答案：C2. 根据麦克斯韦方程组，下列说法正确的是（）。

A. 变化的磁场可以产生稳定的电场B. 变化的电场可以产生稳定的磁场C. 变化的磁场可以产生变化的电场D. 变化的电场可以产生变化的磁场答案：D3. 在理想气体状态方程PV=nRT中，下列说法正确的是（）。

A. 当体积不变时，气体的压强与温度成正比B. 当压强不变时，气体的体积与温度成正比C. 当温度不变时，气体的压强与体积成反比D. 当体积不变时，气体的压强与温度成反比答案：C4. 根据热力学第一定律，下列说法正确的是（）。

A. 系统吸收的热量全部转化为功B. 系统对外做功时，内能一定增加C. 系统吸收的热量等于内能增加量与对外做的功之和D. 系统对外做功时，内能一定减少答案：C5. 在量子力学中，下列说法正确的是（）。

A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的位置和动量可以同时精确预测D. 粒子的位置和动量可以同时精确控制答案：B6. 根据相对论，下列说法正确的是（）。

A. 光速在所有惯性参考系中都是相同的B. 光速在所有非惯性参考系中都是相同的C. 光速在所有惯性参考系中都是不同的D. 光速在所有非惯性参考系中都是不同的答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 根据普朗克关系，粒子的能量与其频率的关系为：E=____hν____。

答案：hν8. 根据库仑定律，两个点电荷之间的静电力大小为：F=____kQ1Q2/r^2____。

答案：kQ1Q2/r^29. 在双缝干涉实验中，相邻亮条纹之间的距离为：Δy=____λL/d____。

答案：λL/d10. 根据玻尔模型，氢原子的能级为：E_n=____-13.6eV/n^2____。

2017清华领军计划测试（即清华自主招生）物理部分1．质量m 的小球从距轻质弹簧上端h 处自由下落，已知重力加速度为g ，弹簧的劲度系数为k ，小球在运动过程中的最大动能max E 为（ ）A ．22m g mgh k+B ．22m g mgh k-C ．222m g mgh k+D ．222m g mgh k-2．一颗子弹以水平速度0v 穿透一块在光滑水平面上迎面滑来的木块后，二者运动方向均不变。

设子弹与木块间相互作用力恒定，木块最后速度为v ，则（ ） A ．0v 越大，v 越大B ．0v 越小，v 越大C ．子弹质量越大，v 越大D ．木块质量越小，v 越大3．已知地球半径6400km e R =。

卫星在距赤道20000km 上空运行，求在赤道上的人能观察到此卫星的最长时间间隔为（ ） A ．42100sB ．38200sC ．34700sD ．20800s4．在粗糙地面上，某时刻乒乓球的运动状态如图所示，判断一段时间后乒乓球可能的运动状况（ ）A ．静止B ．可能向右无滑动滚动C ．可能向左无滑动滚动D ．只向右平动不转动5．距O 点10m 处有一堵2m 高的墙，同方向11m 处有一堵3m 高的墙，今将一小球（可看作质点）从O 点斜抛，正好落在两墙之间，设球和墙面的碰撞无能量损失，则斜抛速度可能值为（ ）A ．15m/sB ．20m/sC ．25m/sD ．30m/s6．有一半径为2r 的线圈。

内部磁场分布如图，磁感应强度均为B 。

有一长为4r 的金属杆（横在中间），其电阻为R 。

金属杆的右半线圈电阻为R ，左半线圈电阻为2R 。

当两个磁场磁感应强度B 从同时缓慢变化至时，则通过右半边的电荷量q 为（ ）A．2π5BrRB．22π5BrRC．24π5BrRD．26π5BrR7．设空气中的声速为330m/s。

一警车以50km/h速度前行，对正在警车前方的汽车用设备进行探测，测试仪发出声波的频率为10Hz，接收频率为8.2Hz，则前车的速度约为（）A．32.1m/s B．36.5m/s C．40.2m/s D．46.3m/s8．圆柱体质量M，弹簧连接在M的转轴上（圆柱体可绕转动轴转动）。

2015年清华大学领军计划测试（物理）注意事项：1.2016清华领军计划测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累积120分钟：2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版本，故有些问题改编为填空题。

1、在α粒子散射实验中，以下1到5五个区域哪个可能是中心原子存在的区域？2、质量为m ，电阻为R 的圆环在如图的磁场中下落，稳定时速度为v 。

求匀速下落时电动势，有以下两种计算方案。

方法一：由受力平衡RvL B mg 22=有结论 mgRv =ε 方法二：由功能关系 mgv P R = RP R 2ε=有结论 mgvR =ε问：关于以上哪种方法说法正确的是（ ）A.都正确B.都不正确C.只有方案一正确D.只有方案二正确3、理想气体做kV p =的准静态过程，已知定容比热V C 和R ，求该过程的比热C4、如图所示，光滑且不计电阻的导轨上有一金属棒，金属棒电阻为R ，初速度为s m v /10=，空间中有恒定的垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度为B ，当金属棒减速到10v 时，用时s 1，速度识别器最低记录是s m /001.0，求总共记录的该导体棒运动时间为多少？5、高为H出平抛一物体，同时在其正下方水平地面斜抛一物体，二者同时落到同地，则斜抛物体的射高为。

6、有一厚度为D的透明玻璃砖，一束白光以入射角60°角射入。

（1）求最早射出色光的折射率（玻璃折射率最小值为m inn）（2）若白色只有红黄绿三种颜色（并给出折射率）问那种色光最先射出？7、小磁铁在铝制空心杆中运动（无裂缝、有裂缝、有交错的矩形裂孔），则先落地的一个是哪一个？8、均匀带电半圆环，一半带正电，一半带负电，电荷密度为λ，求P点的场强和电势。

9、一个人在岸上以速度v水平拉船，岸高度为h，绳子与河夹角为θ。

此时船的速度和加速度为？2015年清华大学暑期夏令营测试（物理）本试卷共100分，考试用时90分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.取决于a 的值 答案：注意)()(/x g e x f x=，答案C .2. 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,.下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）A.Z c b a ∈==,2,1B.B b C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+=C.060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D.060,1,3===A b a答案：对于选项A ，由于b a c b a +<<-||，于是c 有唯一取值2，符合题意；对于选项B ，由正弦定理，有2222b ac c a =++，可得0135,22cos =-=B B ，无解； 对于选项C ，条件即0)sin(cos =-C B A ，于是)60,60,60(),60,30,90(),,(0=C B A ，不符合题意；对于选项D ，由正弦定理，有21sin =B ，又060=A ，于是0090,30==C B ，符合题意. 答案：AD .3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A.)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B.存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C. )(),(x g x f 有且只有一个交点D. )(),(x g x f 有且只有两个交点答案：注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD .4. 过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点.下列说法中正确的有（ ）A.以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离 B. ||AB 的最小值为4 C. ||AB 的最小值为2D.以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 答案：对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B,C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=aa AB ，最小值为4.也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值； 对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误. 答案：AB .5. 已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点.下列说法中正确的有（ ） A.b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B. b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C.21F PF ∆的周长小于a 4D. 21F PF ∆的面积小于等于22a答案：对于选项A,B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点； 对于选项C ，21PF F ∆的周长为a c a 422<+；对于选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅.答案：ABCD .6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD . 7. 已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N .以下说法正确的有（ ）A.P B M O ,,,四点共圆 B. N B M A ,,,四点共圆 C. N P O A ,,,四点共圆 D.以上三个说法均不对答案：7.对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意； 对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得. 答案：AC.8.C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 答案：必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π,类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ， 于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++. 不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形.答案：B.9.已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ） A.8 B.10 C.11 D.12 答案：由于xz y x 311121≤++=，故63≤≤x . 若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ；若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ；若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ； 若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y . 答案：B .10.集合},,,{21n a a a A =，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9答案：不妨假设n a a a >>> 21，若集合A 中的正数的个数大于等于4，由于32a a +和42a a +均大于2a ，于是有14232a a a a a =+=+，从而43a a =，矛盾！所以集合A 中至多有3个正数.同理可知集合A 中最多有3个负数.取}3,2,1,0,1,2,3{---=A ，满足题意，所以n 的最大值为7.答案B . 11.已知0121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ） A.3tan tan tan tan tan tan =++αγγββα B.3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC.3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβαD.3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα答案：令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zxzx yz y z xy x y ，所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，以上三式相加，即有3-=++zx yz xy .类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zxx z yz z y xy y x ， 以上三式相加，即有3111-=++=++xyzzy x zx yz xy .答案BD.12.已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A.)12,11(B.)13,12(C.)14,13(D.)15,14( 答案：设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图， 于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ， 左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得.因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈.答案B .13.已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A.xyz 的最大值为0 B. xyz 的最大值为274- C. z 的最大值为32 D. z 的最小值为31- 答案：由1,1222=++=++z y x z y x 可得0=++zx yz xy .设c xyz =，则z y x ,,是关于t 的方程023=--c t t 的三个根.令c t t t f --=23)(，则利用导数可得⎪⎩⎪⎨⎧≤--=>-=0274)32(0)0(c f c f ，所以0274≤=≤-xyz c ，等号显然可以取到.故选项A,B 都对. 因为)1(2)(2)1()(22222z y x z y x -=+≤-=+，所以131≤≤-z ，等号显然可以取到，故选项C 错误.答案ABD .14.数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ）A.n n n a a a 221++-为定值 B.)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n a C.741-+n n a a 为完全平方数 D.781-+n n a a 为完全平方数答案：因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a an n n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=.所以A 选项正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ， 又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，故选项C,D 正确.计算前几个数可判断选项B 错误. 答案：ACD .说明：若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12，则n n n a a a 221++-为定值. 15. 若复数z 满足11=+zz ，则z 可以取到的值有（ ） A.21 B.21- C.215- D.215+ 答案：因为11||1||=+≤-zz z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得.答案CD . 16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ） A.6552 B.4536 C.3528 D.2016答案：从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008.考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++.答案C .17.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点.若||MN 为定值，则=ba（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 答案：设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++， 故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b a b a ，答案：C .说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则kb a 1=； （2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆.18. 关于y x ,的不定方程yx 21652=+的正整数解的组数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3答案：方程两边同时模3，可得)3(mod 22yx ≡，因y2不能被3整除，故2x 不能被3整除，所以)3(mod 12≡x ，故)3(mod 12≡y，所以y 为偶数，可设)(2*N m m y ∈=，则有4153615)2)(2(⨯⨯==+-x x mm，解得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,1232,52x x m m 即⎩⎨⎧==.12,59y x 答案：B .19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序.记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种，则（ ）A.22=IB.123=IC.964=ID.1205=I 答案：根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n nn n n C n n C nA C I .答案：AB . 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 .答案：根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯.21.在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1.设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y .则=∞→y x lim .答案：当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23. 22.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 .答案：如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V . 23.=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ .答案：根据题意，有0)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n nn ππππ.24.实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 .答案：根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1.25.z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 .答案：由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23. 根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ， 于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x .于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-. 26.若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则=+μλ .答案：根据奔驰定理，有329492=+=+μλ. 27.已知复数32sin32cos ππi z +=，则=+++2223z z z z . 答案：根据题意，有i i z z z z z z 232135sin 35cos 122223-=+=-=+=+++ππ. 28.已知z 为非零复数，zz 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .答案：设),(R y x yi x z ∈+=，由于2||4040z z z =，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y yx x y x 如图，弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ， 四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ.29.若334tan =x ，则=+++xx x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin . 答案：根据题意，有xxx x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++ 38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x .30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法.答案：首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有24C 种选择. 下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填空一个偶数，设为b a ,.情形一：若b a ,位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定；情形二：若b a ,位于不同的行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.所以偶数的不是位置数为90)263(24=⋅+C .因此，总的填法数为4410009048488=C C .31.设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 .答案：一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*≤≤∈k N k .不妨假设k a a a <<< 21. 若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a .同理759≥-a a .又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k .另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意. 综上所述，A 中元素个数的最大值为8. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 8. 9. 10. 11. 11. 12.For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Fors chung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文。

2021年清华大学领军方案测试物理试题及答案2022年清华大学领军方案测试物理学科考前须知：1.2022清华领军方案测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累积180分钟；2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版本，故有些问题改编为填空题；3.2022清华领军方案测试，物理共35题，本回忆版本共26题，供参考。

【1】友谊的小船说翻就翻，假设你不会游泳，就会随着小船一起沉入水底。

从理论上来说，你和小船沉入水底后的水面相比于原来〔〕A.一定上升B.一定下降C.一定相等D.条件缺乏，无法判断【2】在光滑地面上，物块与弹簧相连作简谐运动，小车向右作匀速直线运动，那么对于弹簧和物块组成的系统〔填守恒或者不守恒〕，当以地面为参考系时，动量________，机械能________；当以小车为参考系时，动量________，机械能________。

【3】如下图，光滑导轨上垂直放置两根质量为m、且有电阻的金属棒，导轨宽处与窄轨间距比为2：1，平面内有垂直纸面向内的磁场。

现给左边的杆一v，在系统稳定时，左杆仍在宽轨上右杆仍在窄轨上运动。

那么这个个初速度过程产生热量Q ________。

【4】空间内有一水平向右的电场E，现有一带电量为q的小球以初速度为v向右上抛出，33mgEq=，求小球落地点距离抛出点的最远距离。

【5】现有一轻质绳拉动小球在水平面内做句速圆周运动，如下图，小球质量为m，速度为v，重力加速度为g，轻绳与竖直方向夹角为θ，求小球在运动半周时，绳对小球施加的冲量。

【6】如下图，有a、b两个物体，a物体沿长L、倾角为θ、动摩擦因数0.5μ=的斜面滑下后，在长为L的光滑水平面BC上运动；b从C点上方高为4.5L处下落。

二者同时释放，在C处相遇，那么sinθ=________。

【10】在一质量均匀分布的星球〔近似为球面〕的北极和南极打一条竖直贯穿的通道，一小球从北极由静止释放，不与通道发生碰撞，那么小球作________运动。