第四章广义胡克定律

8-8广义胡克定律已知简单W力状态的胡克定律和横向效应:备向同性材料，弹性范围内，线弹性材料，小变形。

由此：1）在复杂丿2力状态下，应变分最可市备丿、'、/：力分最引起的丿、'、Z变分最吾加得到。

2）正丿'V变只与正戒力冇关，剪应变只与剪丿、''/「力冇关，线变形与角变形的相互影响可以略去。

广义胡克定肄ey1）对空间一般应力状态r 1耳=万1务一虽（CF” +巳）［112）主应力形式r］习=万［6一“92 +6）］« 叼=-^［^2 _“（6 +6）］习=+［內一虽（6+內）］3）对平面一般应力状态1耳=_ w° 1 _ % E厂丘（空-“务）=—(8-11)(8-12)F = 一壬（耳+空）其余»= Yzx(8-13)4）考虑热应力的广义胡克定律耳=-［^ -吩y +匕）］+必« 弓=£［巧_“©+〔）］ +仏务+勺）卜加(8-14) 此处，。

一各向同性材料的线膨胀系数。

8-9微元体的体积改变与形状改变1・体积改变与静水应力体积应变定义（如图8-29&、b）:受力前微元体体积: V = dxdydz(8-15)受力后微元体体积:r"（1 +如° +习）初（1 +恥。

由于叼，习，习,略去正应变的二次，三次项后得:7’ = (1 + £1 + 叼 + s3 )dxdydz由定义式（8—15）即得3(1 - 2v) o-! + a2 + CF3~E 3定义材料的体积模量久1" 2v） o片=?（巧+丐+屯）微元体的静水应力（平均正应力）3△7 旷一7体积改变定律:微元体的体积改变与静水应力（平均正应力）b"成正比，与反映材料弹性性能的体积模量&成反比。

2. 形状改变与应力偏;处于空间一般应力状态的微元体的变形可以分为只产生体积改变和只产生形状改对于（c）,不存在体积改变,且偏应力状态可分解为几个纯剪应力状态。

§空间应力状态及广义胡克定律一、空间应力状态简介当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态，也称为三向应力状态。

本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下，单元体的最大正应力和最大剪应力。

先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况，如图10-16(a)所示。

该斜面上的应力σ、τ与σ1无关，只由主应力σ2、σ3决定。

于是，可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力。

同理，在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ，也可分别由（σ1、σ3）或（σ1、σ2）确定的应力圆来表示。

这样作出的3个应力圆称作三向应力圆，如图10-16（d）所示。

当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。

D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。

由于D点的确定比较复杂且不常用，在此不作进一步介绍。

图10-16 空间应力状态及其应力圆二、最大、最小正应力和最大剪应力从图10-16(d)看出，在三个应力圆中，由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆，又称极限应力圆。

画阴影线的部分内，横坐标的极大值为Al 点，而极小值为B1点，因此，单元体正应力的极值为：σmax =σ1，σmin =σ3单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间。

而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl 点的纵坐标，即等于该应力圆半径：13max 2σστ-=Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上，此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力，所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行，且与σ1和σ3主平面交450。

三、广义胡克定律在研究单向拉伸与压缩时，已经知道了在线弹性范围内，应力与应变成线性关系，满足胡克定律 E σε= （a ）此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向线应变根据材料的泊松比可得出：'E σεμεμ=-=- （b ）在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律，即G τγ= 或 G τγ= （c ）对于复杂受力情况，描述物体一点的应力状态，通常需要9个应力分量，如图所示。

材料力学广义胡克定律引言材料力学是研究物质在外力作用下的力学行为和性能的学科。

其中，广义胡克定律是材料力学中的重要定律之一。

本文将详细介绍材料力学广义胡克定律的定义、应用以及相关的概念和公式。

胡克定律的定义胡克定律是描述弹性体材料的应力-应变关系的定律。

它的基本假设是当材料受到小应力作用时，其应变是线性的。

根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以表示为：σ=E⋅ε其中，σ是材料的应力，单位是帕斯卡（Pa）；E是材料的弹性模量，单位是帕斯卡（Pa）；ε是材料的应变，无单位。

广义胡克定律的引入广义胡克定律是对胡克定律的扩展和推广，它考虑了材料在大应力下的非线性行为。

在实际应用中，材料通常会遭受较大的应力，此时线性胡克定律不再适用。

为了描述材料在大应力下的力学行为，引入了广义胡克定律。

广义胡克定律的表达式广义胡克定律可以表示为：σ=E⋅ε+K⋅εn其中，σ是材料的应力，单位是帕斯卡（Pa）；E是材料的弹性模量，单位是帕斯卡（Pa）；ε是材料的应变，无单位；K是材料的非线性系数，单位是帕斯卡（Pa）；n是材料的非线性指数，无单位。

广义胡克定律的应用广义胡克定律可以描述材料在大应力下的非线性力学行为。

它广泛应用于工程领域中的材料设计、结构分析和强度计算等方面。

材料设计在材料设计中，广义胡克定律可以帮助工程师选择合适的材料和确定其力学性能。

通过测量材料的弹性模量和非线性系数，可以评估材料的强度和稳定性，从而选择最适合的材料。

结构分析在结构分析中，广义胡克定律可以用来计算结构在大应力下的变形和应力分布。

通过将广义胡克定律应用于结构的力学模型，可以预测结构在实际工作条件下的性能和安全性。

强度计算在强度计算中，广义胡克定律可以用来评估材料和结构的承载能力。

通过将广义胡克定律应用于强度分析，可以确定材料和结构在受到外力时的破坏点和失效机制，从而进行强度设计和优化。

广义胡克定律的实验验证广义胡克定律的有效性可以通过实验进行验证。

广义胡克定律1. 概述广义胡克定律是描述材料在受到外力作用下变形的力学定律，是胡克定律的一种扩展形式。

广义胡克定律表示了材料的应力与应变之间的线性关系。

根据广义胡克定律，应力与应变的关系可以通过材料的弹性模量来描述，弹性模量是材料特性的重要参数之一。

2. 胡克定律的表达式根据广义胡克定律，应力与应变之间的线性关系可以用以下表达式表示：σ = Eε其中，σ表示应力，单位为Pa（帕斯卡），E表示材料的弹性模量，单位为Pa，ε表示应变，无单位。

3. 弹性模量的定义弹性模量是衡量材料抵抗变形的能力的物理量，表示单位应力下材料的相对应变。

根据胡克定律，弹性模量E可以表示为应力与应变的比值：E = σ/ε这里E为弹性模量，σ为应力，ε为应变。

4. 弹性恢复能力根据广义胡克定律，材料在受到应力作用时，会发生弹性变形，即当外力撤除时，材料会恢复到原始形状。

这是因为材料具有弹性的特性，能够在受到外力作用后恢复原状，这种能力称为弹性恢复能力。

弹性恢复能力可以通过材料的弹性模量来衡量。

弹性模量越大，材料的弹性恢复能力就越强，反之则弹性恢复能力较弱。

5. 应力与应变的关系根据广义胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的。

当材料受到外力作用时，会发生应力的产生，应力与应变的关系可以表示为：σ = Eε这里σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。

根据这个关系，应变是由应力和弹性模量决定的。

6. 应力应变曲线应力应变曲线是描述材料在受力过程中应力与应变关系的曲线。

根据广义胡克定律，应力应变曲线为直线，与应力与应变的线性关系相对应。

在应力应变曲线上，通常有三个重要点：比例极限点、弹性极限点和断裂点。

比例极限点表示材料可以承受的最大应力，弹性极限点表示材料开始发生塑性变形的点，断裂点表示材料完全破坏的点。

7. 应用广义胡克定律在工程领域有着广泛的应用。

它是材料力学的基础，可以帮助工程师分析和设计结构的性能。

在材料选择和设计过程中，根据材料的弹性模量可以选择合适的材料，以满足工程需求。

公式——广义胡克定律广义胡克定律是描述弹性体变形与所受力之间关系的一种数学公式。

它是由英国科学家罗伯特·胡克提出的，被广泛应用于弹簧、金属材料等弹性体的力学研究中。

广义胡克定律描述了物体中的应力（stress）与应变（strain）之间的关系，体现了物体恢复原状的能力。

广义胡克定律可以表示为：σ=Eε其中，σ是物体中的应力，E是材料的弹性模量，ε是应变。

应变也可以分为两种类型：正应变（tensile strain）和剪应变（shear strain）。

正应变是指物体长度或体积在受力后发生的相对变化，剪应变是指物体截面内的相对平移。

弹性模量E是物质的固有属性，反映了其变形能力。

E取决于材料的类型和结构。

对于大部分金属材料而言，它们在弹性变形区间表现出线性弹性行为，即广义胡克定律适用。

广义胡克定律适用于小应变情况，因为大应变时材料可能发生位移、塑性变形等非线性行为。

通常，当应变小于0.01时，广义胡克定律可以良好适用。

广义胡克定律的意义在于帮助我们理解物质在受力下产生的变形。

通过应用广义胡克定律，可以计算出物体所受力引起的应力，并据此评估物体是否会发生破裂、变形等情况。

例如，在弹簧的设计中，我们可以利用广义胡克定律来计算所需的弹簧刚度，以确保弹簧在受力下能够有效恢复原状。

需要注意的是，广义胡克定律只适用于线弹性材料，在材料的弹性极限之前。

对于塑性变形等非线性行为，需要使用其他力学模型进行描述。

总之，广义胡克定律是描述弹性体变形与所受力之间关系的重要公式。

在实际工程中，广义胡克定律的应用广泛，对于预测物体的变形和断裂行为，以及设计合适的材料和结构具有重要意义。

第四章 广义胡克定律第四章 广义胡克定律 (1)§4.1节广义胡克定律 (2)§4.2节拉梅常数与工程弹性常数 (5)§4.3节弹性应变能函数 (7)§4.1节 广义胡克定律（一）单向应力状态下胡克定律单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：x x E σε=其中E 为材料的弹性模量。

（二）三维广义胡克定律三维条件下，物体应力状态可由6个分量表示，而应变状态也由6个分量表示。

假设应力与应变的各个分量之间均相关，一般地，1111111222133314121523163122211122222333241225232631333111322233333412352336311241114222433344124523463123511152225c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεε=+++++=+++++=+++++=+++++=++33354125523563131611162226333641265236631c c c c c c c c c εεεεσεεεεεε⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++⎪=+++++⎪⎩ 或写作111213141516111121222324252622223132333435363333121241424344454623235152535455563131616263646566c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεσεσεσεσεσε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥ 其中，mn C （,1,,6m n ="）为弹性常数。

广义胡克定律公式推导
广义胡克定律是描述材料弹性行为的重要定律，其公式为 F - k·x 或 F - k·x，其中 F 是施加的外部力，k 是物体的劲度系数，x 是形变量。

在三维情况下，广义胡克定律是三个方程，可以将这三个方程的应力应变提出来写成矩阵形式。

首先，将三维情况下的广义胡克定律写成矢量形式，即 F = k·e，其中 e 是应变矢量，定义为形变前后物体的长度差。

接着，将矢量 F 与应变矢量 e 之间的关系表示为矩阵形式，即 F = k·E，其中 E 是胡克应变矩阵，定义为胡克应变矩阵胡克应变矩阵。

最后，将胡克应变矩阵表示成矢量胡克应变矩阵，即 E = [e_x e_y e_z],然后将其代入矩阵形式的广义胡克定律中，得到三维情况下的广义胡克定律矩阵形式为:
[F_x - k·e_x] = [0 0 0]
[F_y - k·e_y] = [0 0 0]
[F_z - k·e_z] = [0 0 0]
其中，F_x、F_y、F_z 分别表示外部力在 x、y、z 方向上的投影，e_x、e_y、e_z 分别表示对应的应变矢量。

可以看出，三维情况下的广义胡克定律矩阵形式正是反映了物体在三维空间中的弹性行为。