天津市南开中学高二数学必修5作业：1.1.2 余弦定理 Word版缺答案

1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理； 2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A . (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有： (1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C . (3)sinA ＋B 2＝cosC 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角， 则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°. ∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定解析 在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2， 则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2. 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________． 答案13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C·cos A＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53，且AB ·BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C . 解 （1）∵AB ·BC ＝－21，∴BA ·BC =21.∴BA ·BC = |BA |·|BC |·cosB = accosB = 21. ∴ac=35，∵cosB =53，∴sinB =54. ∴S △ABC =21acsinB = 21×35×54= 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B .∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( ) A ．0<C ≤π6 B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理) ∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A ∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角， ∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值； （2）设BA ·BC =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2 B＝sin B sin 2 B ＝1sin B ＝477. (2)由BA ·BC =23得ca ·cosB = 23由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.1．解斜三角形的常见类型及解法。

1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 2．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是 ( )．A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．60°3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( )． A.21B.106C.69D.154 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a ，b ，c 满足2b 2＝3ac ，求A .7．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值 ( )．A.43B ．8－4 3C ．1 D.238．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )． A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎭⎫π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π9．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，则△ABC 的形状是________． 10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B的值是________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝⎝⎛⎭⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．13.（11分）在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．14.（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B=b．（1）求角A的大小；（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．15.（12分）在△ABC中，sin cosA A+=2AB=，求tan A的值和△ABC的AC=，3面积.。

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起航教育正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题命题人:代老师1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2＋c2－b2＝错误!ac，则角B的值为（）A。

错误! B. 错误! C。

错误!或错误! D。

错误!或错误!2．已知锐角△ABC的面积为3错误!，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为（) A．75° B．60° C．45° D．30°3．（2010·上海高考）若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC ( ）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为（）A.518B. 错误! C。

错误! D. 错误!5．(2010·湖南高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c,若∠C＝120°,c＝错误!a，则( )A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b大小不能确定二、填空题6．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a＝错误!,b＝3，C＝30°，则A＝________. 7．（2010·山东高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c。

1.1.2 余弦定理(一)[学习目标] 1.理解余弦定理的证明.2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形．[知识链接]1. 以下问题可以使用正弦定理求解的是 ．(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． (2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角． (4)已知一个三角形的三条边，解三角形． 答案 (1)(2)2．如图所示，在直角坐标系中，若A (0,0)，B (c,0)，C (b cos A ，b sin A )．利用两点间距离公式表示出|BC |，化简后会得出怎样的结论？解 a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A －0)2 ＝b 2(sin 2A ＋cos 2A )－2bc cos A ＋c 2 ＝b 2＋c 2－2bc cos A . 得出a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . [预习导引] 1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 2．余弦定理的变形 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.要点一 已知两边及一角解三角形例1 已知△ABC ，根据下列条件解三角形： (1)b ＝3，c ＝33，B ＝30°； (2)a ＝3，b ＝2，B ＝45°.解 (1)方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，由于b ＝3，∴A ＝B ＝30°，∴C ＝120°. 当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.方法二 由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，由b <c ，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形． ∴a ＝b ＝3.(2)由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴2＝3＋c 2－23·22c .即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22， 当c ＝6＋22时，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋(6＋22)2－32×2×6＋22＝12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋(6－22)2－32×2×6－22＝－12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝120°，C ＝15°. 故c ＝6＋22，A ＝60°，C ＝75°或c ＝6－22，A ＝120°，C ＝15°. 规律方法 已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．跟踪演练1 在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c .解 5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.要点二 已知三边或三边关系解三角形例2 (1)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数． (2)已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角． 解 (1)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(23)2＋(6＋2)2－(22)22×23×(6＋2)＝22，∴B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝75°.(2)∵c ＞a ，c ＞b ，∴角C 最大．由余弦定理， 得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即37＝9＋16－24cos C ， ∴cos C ＝－12，∵0°＜C ＜180°， ∴C ＝120°.∴△ABC 的最大内角为120°.规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形． 跟踪演练2 在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 解 由余弦定理和条件，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理，得 x 2＝(AC 2)2＋AB 2－2·AC2·AB cos A＝42＋92－2×4×9×23＝49，∴x ＝7.所以所求AC 边上的中线长为7. 要点三 三角形形状的判断例3 在△ABC 中，已知cos 2 A 2＝b ＋c2c ，判断△ABC 的形状．解 方法一 在△ABC 中，由已知cos 2 A2＝b ＋c2c，得1＋cos A 2＝b ＋c2c ， ∴cos A ＝b c .根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝bc .∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．方法二 在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，由正弦定理，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 由cos 2 A 2＝b ＋c 2c 知，cos A ＝bc .∴cos A ＝sin Bsin C ，即sin B ＝sin C cos A .∵B ＝π－(A ＋C )， ∴sin(A ＋C )＝sin C cos A ， ∴sin A cos C ＝0.∵A ，C 都是△ABC 的内角， ∴A ≠0，A ≠π.∴cos C ＝0，∴C ＝π2.∴△ABC 是直角三角形．规律方法 (1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段． (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪演练3 在△ABC 中，若(a －c cos B )sin B ＝(b －c cos A )sin A ，判断△ABC 的形状． 解 方法一 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为(a －c ·a 2＋c 2－b 22ac )b ＝(b －c ·b 2＋c 2－a 22bc )a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2，故三角形为等腰三角形或直角三角形．方法二 由正弦定理，原等式可化为(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ，∴sin 2B ＝sin 2A ，∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4 答案 B解析 设另一边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴x ＝213.2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 答案 D解析 设顶角为C ，∵l ＝5c ，∴a ＝b ＝2c ， 由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4．在△ABC 中，已知A ＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x 2－7x ＋11＝0的两根，则第三边的长为 ． 答案 4解析 设最大边为x 1，最小边为x 2， 则x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝11， ∴第三边长＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(1＋cos A )＝4.5．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．解因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．c最大，cos C＝(2k)2＋(4k)2－(5k)22×2k×4k<0，所以C为钝角，从而△ABC为钝角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形．2．当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．3．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.。

课时训练2 余弦定理一、利用余弦定理解三角形1.在△ABC 中,a=1,B=60°,c=2,则b 等于( )A.1B.√2C.√3D.3答案:C解析:b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+4-2×1×2×12=3,故b=√3. 2.在△ABC 中,c 2-a 2-b 2=√3ab ,则角C 为( ) A.60° B.45°或135° C.150° D.30°答案:C解析:∵cos C=a 2+b 2-c 2=-√3ab =-√3,∴C=150°.3.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于 . 答案:120°解析:由正弦定理可得a ∶b ∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c 边最大,∴角C 最大.∴cos C=a 2+b 2-c 2=32+52-72=-1. ∵0°<C<180°,∴C=120°.4.(2015河南郑州高二期末,15)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin A=√3sinC ,B=30°,b=2,则边c= .答案:2解析:∵在△ABC 中,sin A=√3sin C ,∴a=√3c.又B=30°,由余弦定理,得cos B=cos 30°=√32=a 2+c 2-b22ac=22√3c 2,解得c=2. 二、判断三角形形状5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b+c=2c cos 2A2,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案:A解析:∵b+c=2c cos 2A2,且2cos 2A2=1+cos A ,∴b+c=c (1+cos A ),即b=c cos A.由余弦定理得b=c ·b 2+c 2-a 22bc ,化简得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 是直角三角形.6.在△ABC 中,若sin 2A+sin 2B<sin 2C ,则△ABC 的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定答案:A解析:由sin 2A+sin 2B<sin 2C ,得a 2+b 2<c 2,所以cos C=a 2+b 2-c 2<0,所以∠C 为钝角, 即△ABC 为钝角三角形.7.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若a=2b cos C ,试判断△ABC 的形状.解法一:∵cos C=a 2+b 2-c 2,代入a=2b cos C ,得a=2b ·a 2+b 2-c 2,∴a 2=a 2+b 2-c 2,即b 2-c 2=0. ∴b=c.∴△ABC 为等腰三角形.解法二:根据正弦定理asinA =bsinB =csinC =2R ,得a=2R sin A ,b=2R sin B ,代入已知条件得2R sin A=4R sin B cos C , 即sin A=2sin B cos C ,∵A=π-(B+C ),∴sin A=sin(B+C ). ∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B cos C. ∴sin B cos C-cos B sin C=0.∴sin(B-C )=0.又-π<B-C<π,∴B-C=0,即B=C.∴△ABC 是等腰三角形.三、正弦定理、余弦定理的综合应用8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.已知b-c=14a ,2sin B=3sin C ,则cos A 的值为( ) A.-14 B.14C.12D.-13答案:A解析:∵2sin B=3sin C ,∴2b=3c.又b-c=a4,∴a=2c ,b=32c.∴cos A=b2+c2-a22bc =94c2+c2-4c22×32c×c=-14.9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=√3bc,sin C=2√3sin B,则A=.答案:π6解析:∵sin C=2√3sin B,∴由正弦定理得c=2√3b.∵a2-b2=√3bc,∴cos A=b2+c2-a2=c2-√3bc=2√3bc-√3bc2bc =√32,∴A=π6.10.(2015山东威海高二期中,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足4a cos B-b cos C=c cos B.(1)求cos B的值;(2)若ac=12,b=3√2,求a,c.解:(1)已知等式4a cos B-b cos C=c cos B,利用正弦定理,得4sin A cos B-sin B cos C=sin C cos B, 整理,得4sin A cos B=sin(B+C),即4sin A cos B=sin A,∵sin A≠0,∴cos B=14.(2)∵ac=12,b=3√2,cos B=14,∴由b2=a2+c2-2ac cos B,得a2+c2=24,联立a2+c2=24与ac=12,解得a=c=2√3.(建议用时:30分钟)1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sin B=()A.15B.√15C.√15D.7答案:B解析:由已知根据余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C=4,∴c=2,即B=C,∴sin B=√1-116=√154.2.(2015河北邯郸三校联考,3)在△ABC 中,如果sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶4,那么cos C 等于( ) A.23B.-23C.-13D.-14答案:D解析:由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=2∶3∶4,可设a=2k ,b=3k ,c=4k (k>0), 由余弦定理可得cos C=a 2+b 2-c 22ab=4k 2+9k 2-16k 22·2k ·3k=-14,故选D .3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c=√2a ,则( ) A.a>b B.a<b C.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定 答案:A解析:由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得2a 2=a 2+b 2+ab ,∴a 2-b 2=ab>0,∴a 2>b 2,∴a>b. 4.△ABC 的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.19 B.14 C.-18 D.-19答案:A解析:cos B=72+52-622×7×5=1935,∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=7×5×1935=19. 5.在不等边三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,其中a 为最大边,如果sin 2(B+C )<sin 2B+sin 2C ,则角A 的取值范围为( ) A.(0,π2) B.(π4,π2) C.(π6,π3) D.(π3,π2)答案:D解析:由题意得sin 2A<sin 2B+sin 2C ,再由正弦定理得a 2<b 2+c 2,即b 2+c 2-a 2>0, 则cos A=b 2+c 2-a 22bc >0,∵0<A<π,∴0<A<π2.又a 为最大边,∴A>π.因此得角A 的取值范围是(π3,π2).6.已知在△ABC 中,2B=A+C ,b 2=ac ,则△ABC 的形状为 . 答案:等边三角形解析:∵2B=A+C ,又A+B+C=180°,∴B=60°.又b 2=ac ,由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-2ac cos 60°=a 2+c 2-ac ,∴有a 2+c 2-ac=ac ,从而(a-c )2=0, ∴a=c ,故△ABC 为等边三角形.7.(2015北京高考,12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC = . 答案:1解析:在△ABC 中,由正弦定理知,sin2A sinC=2sinAcosA sinC =2cos A ·a c =2cos A ×46=43cos A ,再根据余弦定理,得cos A=36+25-162×6×5=34,所以sin2A sinC =43×34=1.8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C 的值为 . 答案:612解析:由余弦定理得bc cos A+ac cos B+ab cos C=b 2+c 2-a 22+a 2+c 2-b 22+a 2+b 2-c 22=a 2+b 2+c 22=32+42+622=612.9.在△ABC 中,已知(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,且2cos A sin B=sin C ,试判定△ABC 的形状. 解:由(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,得(a+b )2-c 2=3ab , 即a 2+b 2-c 2=ab.∴cos C=a 2+b 2-c 22ab=ab 2ab =12.∵0°<C<180°,∴C=60°. ∵A+B+C=180°, ∴sin C=sin(A+B ).又∵2cos A sin B=sin C ,∴2cos A sin B=sin A cos B+cos A sin B , ∴sin(A-B )=0.∵A ,B 均为△ABC 的内角,∴A=B.因此△ABC为等边三角形.。

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课后提升作业二余弦定理（45分钟70分）一、选择题（每小题5分，共40分）1.（2016 •锦州高二检测）在ZXABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若2+b2-c2=v；3ab,则角C的值为（）a< TA.-B.-c.競 D.于畴【解析】选A.因为Z\ABC中，a'+b2-c2二丽ab, 所以cosC二& “ Y ［贝寸c二二2ab 2 6【补偿训练】在△ ABC中，边a, b,c所对的角分别为A, B, C, b=3, c=5, A=120°，则a二( )A. 7B. V19C. 49D. 19【解析】选 A. a2=b2+c2-2bccosA二9+25-2X3X5cos120°二49,所以a二7.2.(2016 •银川高二检测)在AABC 中，若Q+c) (a-c)=b(b+c),则A=()A. 90°B. 60°C. 120°D. 150°【解析】选C・由已知可得a2-c2=b2+bc,所以b2+c2_a2=_bc,h4* 公1所以cosA二 ~~——二--，所以A=120 °•2bc 23.（2016 •西安高二检测）在AABC中，已知a二書,b二育,C二二则AABC4是（）A.锐角三角形B•直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形【解析】选B.由余弦定理得c2-a2+b2_2abcosC-3+6_2\ 3 X V© X -^=3, 所以c二七3所以a2+c2二b：所以△ ABC为直角三角形.4.在ZXABC 中,角A, B,C 的对边分别为a, b, c.若(a2+c2-b2) <anB=v'3ac, 则角B的值为()C.陽3D肓或丁【解析】选D.因为*讥7二cosB,结合已知等式得cosB • tanB= 2ac所以sinB=—, B==或竺2 3 35. （2016 •汕头高二检测）在△ ABC中，『二『+£+再be,则A等于A. 60°B. 45°C. 120°D. 150°【解析】选D.由已知得b2+c2-a2=- be,根据余弦定理，得cosA=—-——二—工，所以A=150°・2bc 26•在三角形ABC中，若三个内角A, B,C的对边分別是a, b, c, a=l, c=4v2, B=45°，则sinC 的值等于( )4 4 44\41A.-B.TC.—D.—41 5 25 41【解析】选B.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB, 所以b2=1 +32-2 X 1 X 4V2 X 务25, 因此b二5,由正弦定理得- j ,slnB slnC所以S i nC二沁竺二土b 5 S7. （2016 •厦门高二检测）在锐角AABC中，角A, B, C的对边分别是A. 3B. 4C. 5D. 6a, b, c,若拾6cosC,则去+誥的值是（）【解析】选B.因为-+-=6cosC,由余弦定理可得^±1=6X —a b ab 2ab“ 2 i 2 3c£> taruC tartC m^AslnC eo^BsinC sin€ (cosA , cosB\以a+b -—、则--- + --- ---- - + ---- -- ——-—+ —2 tanA tauB cosCsinA cosCsir.B cosa \sinA sinBz sirrCl ?inB:osA4slnAcosB cos€sinAsinBabcosC ab *&已知锐角△ ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b, c, 23cos，A+cos2A=0, a=7, c=6,则b二( )A. 10B. 9C. 8D. 5【解题指南】由23cos2A+cos2A二0,利用倍角公式求出cosA的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b的值.【解析】选D.因为23cos'A+cos2A二0,所以23COS2A+2COS2A-1 =0,解得cos2A=-7,2a因为AABC为锐角三角形, 所以cosA二1, s i n5 a由正弦定理’& -「得8・slnA sinC 空£ sinCs i nC二上£ cosc£.又B二n - (A+C),35 3a所以s i nB=s i n (A+C)二s i nAcosC+cosAs i nC, .-2V6v19 V 12v6 2y6s inB=— X —X .a n I由正弦定理亠二b得丄二貝解得b二5.sinA sinB '士士'二、填空题（每小题5分，共10分）9.______________________________________________ 在AABC 中，B=60° , b2=ac,则ZXABC 的形状为___________________ ・【解析】由b3=ac 及余弦定理b2=a2+c2-2accos 60°，得ac=a2+c2-ac, 所以（a-c）2=0,所以a二c,又B=60°,所以Z\ABC为等边三角形.答案：等边三角形10.（2016 •北京高考）在ZSABC中,A二舉a=V3c,则匕二3 c【解析】由余弦定理，得a2=b2+c2+bc.把a-v 3c 代入，得b2+bc_2c2-0.2除以C；得（y》2二0,解得2二-2（舍）或—・c c答案：1 三、解答题（每小题10分，共20分）11.在AABC 中，a=3, b=2 V®, B二2A・（1）求cosA的值.⑵求c的值.【解题指南】（1）由条件可以看出，已知两角关系，求角，可以利用正弦定理解决问题.（2）由已知两边和角求第三边，可以应用余弦定理求解. ⑵ 由余弦定理得a Jb'+c 2-2bccosA,所以 3J (2V6) 2+C 2-2 X 2v6c X 二3 即 C 2-8C +15=0,解得 c=5 或 c 二3. 当c 二3时，因为a=3, 所以a 二c,即A 二C,又因为B=2A,故 A=C=-B,2又因为A+C+B 二n ,IT $故 2B= n ,即 B 二二，所以 b=Va 2 + c 2=3\ 2, 这与b=2v6矛盾，故c 二3不合题意舍去.因此c=5.12. (2015 •安徽高考)在Z\ABC 中,A=—, AB=6, AC=3v2,点 D 在 BC 边 4 ±, AD=BD,求 AD 的长.【解析】由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2-2AB • AC • cosZBAC 二61 2 3+ (3\ 2) 2_2 X 6 X 3*v 2 X cos 乎二90, 1 ，・ 2 A【解析】（1）由正弦定理得 a _ b si nA所以即 cosA-sinA sin2A , sinA 2sinAcosA ,所以BC二3VW,在厶ABD 中,设ZADB二6,则Z ADC 二180。

课时训练2余弦定理一、利用余弦定理解三角形1.在△ABC中,a=1,B=60°,c=2,则b等于()A.1B.C.D.3答案:C解析:b2=a2+c2-2ac cos B=1+4-2×1×2×=3,故b=.2.在△ABC中,c2-a2-b2=ab,则角C为()A.60°B.45°或135°C.150°D.30°答案:C解析:∵cos C=--=-,∴C=150°.3.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于.答案:120°解析:由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c边最大,∴角C最大.∴cos C=--=-.∵0°<C<180°,∴C=120°.4.(2015河南郑州高二期末,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=sinC,B=30°,b=2,则边c=.答案:2解析:∵在△ABC中,sin A=sin C,∴a= c.又B=30°,由余弦定理,得cos B=cos 30°=-,解得c=2.二、判断三角形形状5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+c=2c cos2,则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案:A解析:∵b+c=2c cos2,且2cos2=1+cos A,∴b+c=c(1+cos A),即b=c cos A.由余弦定理得b=c·-,化简得a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.6.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定答案:A解析:由sin2A+sin2B<sin2C,得a2+b2<c2,所以cos C=-<0,所以∠C为钝角,即△ABC为钝角三角形.7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=2b cos C,试判断△ABC的形状.解法一:∵cos C=-,代入a=2b cos C,得a=2b·-,∴a2=a2+b2-c2,即b2-c2=0.∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.解法二:根据正弦定理=2R,得a=2R sin A,b=2R sin B,代入已知条件得2R sin A=4R sin B cos C,即sin A=2sin B cos C,∵A=π-(B+C),∴sin A=sin(B+C).∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B cos C.∴sin B cos C-cos B sin C=0.∴sin(B-C)=0.又-π<B-C<π,∴B-C=0,即B=C.∴△ABC是等腰三角形.三、正弦定理、余弦定理的综合应用8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为()A.-B.C.D.-答案:A解析:∵2sin B=3sin C,∴2b=3c.又b-c=,∴a=2c,b=c.∴cos A=--=-.9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=.答案:解析:∵sin C=2sin B,∴由正弦定理得c=2 b.∵a2-b2=bc,∴cos A=--=-,∴A=.10.(2015山东威海高二期中,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足4a cos B-b cos C=c cos B.(1)求cos B的值;(2)若ac=12,b=3,求a,c.解:(1)已知等式4a cos B-b cos C=c cos B,利用正弦定理,得4sin A cos B-sin B cos C=sin C cos B, 整理,得4sin A cos B=sin(B+C),即4sin A cos B=sin A,∵sin A≠0,∴cos B=.(2)∵ac=12,b=3,cos B=,∴由b2=a2+c2-2ac cos B,得a2+c2=24,联立a2+c2=24与ac=12,解得a=c=2.(建议用时:30分钟)1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C= ,则sin B=()A. B. C. D.答案:B解析:由已知根据余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C=4,∴c=2,即B=C,∴sin B=-.2.(2015河北邯郸三校联考,3)在△ABC中,如果sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么cos C等于()A. B.- C.- D.-答案:D解析:由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶4,可设a=2k,b=3k,c=4k(k>0),由余弦定理可得cos C=--=-,故选D.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则()A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b的大小关系不能确定答案:A解析:由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C得2a2=a2+b2+ab,∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b.4.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则的值为()A.19B.14C.-18D.-19答案:A解析:cos B=-,∴=||||cos B=7×5×=19.5.在不等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角A的取值范围为()A. B.C. D.答案:D解析:由题意得sin2A<sin2B+sin2C,再由正弦定理得a2<b2+c2,即b2+c2-a2>0,则cos A=->0,∵0<A<π,∴0<A<.又a为最大边,∴A>.因此得角A的取值范围是.6.已知在△ABC中,2B=A+C,b2=ac,则△ABC的形状为.答案:等边三角形解析:∵2B=A+C,又A+B+C=180°,∴B=60°.又b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac,∴有a2+c2-ac=ac,从而(a-c)2=0,∴a=c,故△ABC为等边三角形.7.(2015北京高考,12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.答案:1解析:在△ABC中,由正弦定理知,=2cos A·=2cos A×cos A, 再根据余弦定理,得cos A=-,所以=1.8.在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C的值为.答案:解析:由余弦定理得bc cos A+ac cos B+ab cos C=---.9.在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos A sin B=sin C,试判定△ABC的形状.解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=3ab,即a2+b2-c2=ab.∴cos C=-.∵0°<C<180°,∴C=60°.∵A+B+C=180°,∴sin C=sin(A+B).又∵2cos A sin B=sin C,∴2cos A sin B=sin A cos B+cos A sin B,∴sin(A-B)=0.∵A,B均为△ABC的内角,∴A=B.因此△ABC为等边三角形.10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.解:由正弦定理得=2cos A,∴.又a+c=10,∴a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得,∴b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B.又C=2A,且A+B+C=π,∴A=,与已知cos A=矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,∴b=5.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

1.1.2 余弦定理1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－193．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 34．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎭⎫π3，π C.⎝⎛⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎭⎫π6，π6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝________ 7．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是________．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长.参考答案1．【解析】 由题意知a 2＋b 2－c 22ab<0，即cos C <0，∴△ABC 为钝角三角形．【答案】 C2．【解析】 由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19. 【答案】 D3．【解析】 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4．【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32， 又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.【答案】 A5．【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac ＝(a －c )22ac ＋12≥12， ∵0<B <π，∴B ∈⎝⎛⎦⎤0，π3.故选A. 【答案】 A6．【解析】 由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，又cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0， 解得b ＝3或b ＝－13(舍去)． 【答案】 37．【解析】 由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ，∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴B ＝π3. 【答案】 π38．【解析】 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14. 【答案】 －149．【解】 (1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B＝2R ，R 为△ABC 外接圆半径． 又b sin A ＝3a cos B ，所以2R sin B sin A ＝3·2R sin A cos B .又sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝ 3.又因为0<B <π，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋4a 2－2a 2＝9，解得a ＝3，故c ＝2 3.10．【解】 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.。

课后训练1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶1cos C 的值为( )．A ．23B ．23-C ．12D ．12- 2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形3．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝2，∠B ＝60°，则AB BC ⋅的值为( )．A ．B ．5C ．-D ．－54．在△ABC 中，AB ＝3，BC =AC ＝4，则边AC 上的高是( )．A BC ．32D ．5．(重庆高考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且∠C ＝60°，则ab 的值为( )．A ．43B ．8-C ．1D ．23 6．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是__________三角形．7．已知一锐角三角形的三边长为2,3，x ，则x 的取值范围是________．8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝，则sin A ＝________.9．在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c ＝2b cos A ．(1)求证：∠A ＝∠B ；(2)若△ABC 的面积152S =，4cos 5C =，求c 的值．参考答案1. 答案：D2. 答案：C 由2cos B sin A ＝sin C ，得222a cb ac ac+-⋅=，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．3. 答案：D4. 答案：B 由余弦定理，得222916131cos 22342AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯.∴sin A =∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝1342⨯⨯=.设边AC 上的高为h ，则S △ABC ＝12AC ·h ＝142h ⨯⨯=∴h =5. 答案：A ∵(a ＋b )2－c 2＝4，∴a 2＋b 2－c 2＝4－2ab .又∵∠C ＝60°，由余弦定理，得222cos 602a b c ab+-︒=， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .∴4－2ab ＝ab ，则43ab =. 6. 答案：等边 因为∠B ＝60°，b 2＝ac ，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得ac ＝a 2＋c 2－ac ，即(a －c )2＝0，所以a ＝c .又∠B ＝60°，所以△ABC 是等边三角形．7. 答案： 由三角形的三边间的关系，得2＋3＞x ，,2＋x ＞3，即1＜x ＜5，要使三角形为锐角三角形，只需最大边3或x 所对的角是锐角，即其余弦值为正即可，故有4＋x 2－9＞0或4＋9－x 2＞0x 8. 答案：139. 答案：解：在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6， 由余弦定理，得222100361961cos 221062AD DC AC ADC AD DC +-+-∠===-⋅⨯⨯， ∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理，得sin sin AB AD ADB B=∠， ∴sin 10sin60sin sin45AD ADB AB B ⋅∠︒==︒10=10.答案：解：(1)证明：因为c＝2b cos A，由正弦定理，得sin C＝2sin B·cos A，所以sin (A＋B)＝2sin B·cos A，所以sin (A－B)＝0，在△ABC中，因为0＜∠A＜π，0＜∠B＜π，所以－π＜∠A－∠B＜π，所以∠A＝∠B.(2)由(1)知a＝b.因为4cos5C=，又0＜∠C＜π，所以3sin5C=.又因为△ABC的面积152S=，所以115sin22S ab C==，可得a＝b＝5.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝10.所以c=。

1.1.2 余弦定理1．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，则这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C 等于( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．45°或135°3．在△ABC 中，a ：b ：c ＝3：5：7，则△ABC 的最大角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－196．在△ABC 中，已知a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则边c ＝____________. 7．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为____________．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________. 9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C ＝________.10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断△ABC 的形状．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．12．在△ABC 中，m ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3. (1)求C ；(2)已知c ＝72，三角形面积S ＝332，求a ＋b .参考答案1．【解析】由a 2＋b 2<c 2，知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，又0<C <π，∴C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 【答案】B2．【解析】由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 【答案】A3．【解析】由a ：b ：c ＝3：5：7，知最大边为c ，∴最大角为C ，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°. 【答案】D4．【解析】由b 2＝ac 及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 【答案】B5．【解析】由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC＝72＋52－622·7·5＝1935.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19. 【答案】D6．【解析】由韦达定理，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ， 得a 2＋b 2＝52－2×2＝21. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝23. ∴c ＝23. 【答案】237．【解析】c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3，因此最大角为B ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－17.【答案】－178．【解析】由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝5π6.【答案】5π69．【解析】由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴c ＝2π3.【答案】2π310．解：由余弦定理，知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6＝－528.在△ABC 中，0°<B <180°，∴90°<B <180°. ∴△ABC 为钝角三角形．11．解：(1)根据正弦定理及2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)根据余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，∵b ＋c ＝4，∴bc ＝3. 12．解：(1)∵m ＝(cos C 2，sin C2)，n ＝(cos C 2，－sin C2)，∴m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C .又m ·n ＝|m |·|n |cos π3＝12，∴cos C ＝12.又0<C <π，∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72，∴494＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab . ∵S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ，而S ＝332，∴ab ＝6.∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214.∴a ＋b ＝112.。