高斯定律习题

“加法简算（高斯问题）”练习1.【题文】 220＋240＋260＋280＋300＝220＋280＋240＋260＋300，运用了（）A. 加法交换律和结合律B. 加法交换律C. 加法结合律【分值】20分【答案】B【详解】等号左右两边的算式做比较，加数发生了位置上的变化，所以运用了加法交换律。

【错析】【提示】【结束】2.【题文】81＋83＋85＋87＋89＝（81＋89）＋（83＋87）＋85A. 加法交换律B. 加法结合律C. 加法交换律和结合律【分值】20分【答案】C【详解】算式中的加数位置发生了变化，运用了加法交换律；两个小括号的添加，改变了运算顺序，运用了加法结合律。

所以选择选项C。

【错析】【提示】【结束】3.【题文】在计算231＋233＋235＋237＋239时，同时运用加法交换律、结合律改变原式而得到的算式是（）A. （231＋233）＋（235＋237）＋239B. 231＋239＋233＋237＋235C. （231＋239）＋（233＋237）＋235【分值】20分【答案】C【详解】加法交换律是指交换加数的位置，和不变；加法结合律是先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

选项C，加数的位置发生变化，同时运算顺序也发生变化。

所以答案是选项C。

【错析】【提示】【结束】4.【题文】 300＋320＋340＋360＋380＋400 ＝700×（）A. 6B. 300C. 3【分值】20分【答案】C【详解】300＋320＋340＋360＋380＋400＝（300＋400）＋（320＋380）＋（340＋360）＝700×3【错析】【提示】【结束】5.【题文】计算81＋82＋83＋84＋85＋86＋87＋88＝（）×4A. 84B. 169C. 81D. 88【分值】20分【答案】B【详解】81＋82＋83＋84＋85＋86＋87＋88＝（81＋88）＋（82＋87）＋（83＋86）＋（84＋85）＝169×4【错析】【提示】【结束】。

四解答题1、如图所示，一导体球半径为&，外罩一半径为冬的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷 为0,而内球的电势为匕，求导体球和球壳之间的电势差 ___________ （填写A 、B. C 或D. 从下而的选项中选取）°答案：A 解设导体球所带电荷为因静电平衡，电荷q 分布在导体球的外表面。

这样一来，就可以把体系看成是两个半径分别为&和电荷分别为q 和Q 的带电球壳。

由电势叠加原理，导体球的电势为一^―+ — = %解出4亦°7?] 4亦（）尺2q = 4亦店岭）因此 导体球和球壳之间的电势差为久，=%-仝0=（1-色||匕——0-4码）忌 R?人 4亦。

/?2丿2、如图所示，在一半径为/?i=6.0cm 的金属球A 外而套有一个同心的金属球壳B 。

已知球 壳内，夕卜半径分别为/?2=8.0cnn /?3=10.0cnio 设A 球带有总电^Q A =3x\0^C 9球壳B带有总电量0〃=2xlO*C 。

（1）求球壳B 内表而上带有的电量 ___________ 外表而上带有的 电屋 ________ 以及球A 的电势 _______ 球壳B 的电势 _______A. 5xlO 」CB. -3xlO^C C 、5.6xlO 3VD 、4.5xlO 3V 答案：B, A, C, D（2）将球壳B 接地然后断开，再把球A 接地。

求球A 带有的电量 _______ 球壳B 内表而上带有的电量 ________ 外表面上带有的电量 ________ 以及球A 的电势和球壳B 的电势 ______ o1 / 21 A 、B 、A —Q 1 <心丿1 4碣鸟丿R 2L 4矶尼丿 C. V oQ D 、 岭Q 4矶R? < 4碣尼丿A. -3xlO^C B 、2.1xlO^C C 、—2・lxlO*CD 、-0.9xl0^CE 、8.1xlO 2VF 、0答案：B, C, D, F, E解（l ）由高斯泄理可知，B 球壳内表而带的电量等于金属球A 带的电量Qi 的负值，即 缢=-2=-3"0弋因电荷守恒，则B 球壳外表面所带电量为Q Bcxt =Q R + Q A =5xlO-8C= 9.0X 10^X (^ + ^122 + ^)=5.6X 10V 0.06 0.08 0.10球壳B 的电势为^=_L^L = 9.0X 1094亦o 尺3 （2）球壳B 接地后电势（p B =0 ,因此Q^{ = 0 o B 接地断开后总电量变为 Q B =Q B ：M =-3xlO-8Co 然后球A 接地，则吩=°。

高斯算法练习题
一．求等差数列3,7,11,15,19，…的第10项和第25项。

二．在等差数列2,5,8,11,14，…中，101是第几项？
三．1+2+3+4+5+…+1999
四．在5和61之间插入7个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。

五．3+7+11+…+99
六．3+10+17+24+…+101
七．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

八．已知等差数列2,5,8,11,14，…求这个数列的第13项是多少？47是其中的第几项？
九．已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。

十．如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。

十一．求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

十二．已知等差数列6,13,20,27，…，问这个数列前30项的和是多少？
十三．（1）7+10+13+…+37+40 （2）2000—3—6—9—…—51—54
十四．一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，问这个剧场共有多少个座位？。

四、计算题1、 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强． 两面间 , 1σ面外 , 2σ面外 . （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）A 、n E )(21210σσε-=B 、1201()E n σσε=+C 、n E )(21210σσε+-=D 、n E)(21210σσε+=答案：A ，C ，D解: 如图所示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，两面间， n E)(21210σσε-=1σ面外， n E)(21210σσε+-= 2σ面外， n E)(21210σσε+=n：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．2、一无限长带电直线,电荷线密度为λ,傍边有长为a , 宽为b 的一矩形平面, 矩形平面中心线与带电直线组成的平面垂直于矩形平面，带电直线与矩形平面的距离为c ，如图，求通过矩形平面电通量的大小. . （填写A 、B 、C 或DA 、()0arctan 22a b c λπε⎡⎤⎣⎦ B 、()0arctan 2a b c λπε⎡⎤⎣⎦ C 、()0arctan 24a b c λπε⎡⎤⎣⎦ D 、()02arctan 2a b c λπε⎡⎤⎣⎦ 答案：Bλ解：取窄条面元adx ds =,该处电场强度为rE 02πελ=过面元的电通量为()220022cos xc acdxadx r s d E d e +=⨯=⋅=Φπελπεθλ ()⎰⎰-+=Φ=Φ2/2/2202b b e e xc acdxd πελ2/2/0arctan 12b b cxc ac -⋅=πελ()[]02arctan πελc b a =3、 如图所示，在x －y 平面内有与y 轴平行、位于x＝a / 2和x ＝-a / 2处的两条“无限长”平行的均匀带电细线，电荷线密度分别为＋λ和－λ．求z 轴上任一点的电场强度．. . （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）A 、()2204a i a z λπε-+B 、()22024a i a z λπε-+ C 、()22024a i a z λπε-+ D 、()22044a i a z λπε-+ 答案：C解：过z 轴上任一点(0 , 0 , z )分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图所示．按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为 ()r E 02/ελπ=± 场强方向如图所示． 按场强叠加原理，该处合场强的大小为r a r E E 2/c o s 20⋅π==+ελθ ()22042z a a +π=ελ方向如图所示． 或用矢量表示 ()iz a a E 22042+π-=ελ4、均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×510-C·m -3求距球心5cm 的场强 ，8cm 的场强 ,12cm 的场强 . （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）．A 、43.4810⨯1C N -⋅， 方向沿半径向外 B 、44.1010⨯1C N -⋅ ,沿半径向外C 、44.1010⨯1C N -⋅,方向沿半径向外D 、 0 答案： D, A ，B解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅qS E s,02π4ε∑=q r E当5=r cm 时，0=∑q ,0=E8=r cm 时，∑q 3π4p=3(r )3内r - ∴ ()2023π43π4rr r E ερ内-=41048.3⨯≈1C N -⋅， 方向沿半径向外． 12=r cm 时,3π4∑=ρq -3(外r ）内3r ∴ ()420331010.4π43π4⨯≈-=rr r E ερ内外 1C N -⋅ 沿半径向外.5、有两个半径分别为1R 、2R 的同心球壳，带电分别为1Q 、2Q ，试求空间电场分布。

高斯电磁场定律练习题经典习题汇总
本文档汇总了一些经典的高斯电磁场定律练题，帮助读者巩固
和应用相关概念。

以下是一些题示例：
1. 问题描述：一个半径为R的闭合球面，球心位于电荷密度为ρ的均匀充电球体内，求球面上的电场强度。

解答提示：利用高斯定律，通过球面上的电通量计算电场强度。

2. 问题描述：一个位于原点的点电荷Q在真空中产生的电场强度为E，求通过一个半径为r的闭合球面上的电通量。

解答提示：由于球面是闭合的，电通量等于通过球面的总电荷。

3. 问题描述：一个长度为L的带电线性电荷在空间中产生的电
场强度为E，求通过一个长为d的闭合柱面的电通量。

解答提示：利用高斯定律，根据柱体上的电通量计算电场强度。

4. 问题描述：一个球形电荷分布体半径为R，并在球心产生电
场强度E，求通过一个半径为r（r<R）的闭合球面上的电通量。

解答提示：由于球体不均匀带电，需要考虑球体内不同位置的电荷量。

以上仅为几个经典题示例，读者可以通过解答这些题来加深对高斯电磁场定律的理解和应用。

注意：本文档仅提供习题示例，不提供具体解答。

读者可以根据自己的理解和知识进行思考和解答。

小学六年级高斯练习题高斯练习题是数学中一种非常经典的考题形式，主要通过逐步求和的方式来培养学生的逻辑思维和数学能力。

在小学六年级阶段，高斯练习题对于学生来说是一个很好的挑战，下面我们就来看看一些小学六年级高斯练习题。

1. 题目一：求0到100之间所有偶数的和。

解答：首先，我们列出0到100之间的所有偶数：0，2，4，6，8，...，100我们可以观察到每两个相邻的偶数之间的差值都是2，所以我们可以用等差数列的求和公式来快速计算这些偶数的和。

偶数的个数是101/2=50，所以求和的公式为：(首项 + 末项) * 项数/ 2。

首项是0，末项是100，项数是50，代入公式得到：(0 + 100) * 50 / 2 = 5000。

所以，0到100之间所有偶数的和为5000。

2. 题目二：求100以内能被3整除的数的和。

解答：首先，我们列出100以内能被3整除的所有数：3，6，9，12，15，...，99同样地，我们可以观察到每两个相邻的数之间的差值都是3，所以我们可以用等差数列的求和公式来计算这些数的和。

能被3整除的数的个数是100/3=33（保留整数部分），所以求和的公式为：(首项 + 末项) * 项数 / 2。

首项是3，末项是99，项数是33，代入公式得到：(3 + 99) * 33 / 2 = 1683。

所以，100以内能被3整除的数的和为1683。

3. 题目三：求1000以内能被7整除但不能被9整除的数的和。

解答：首先，我们列出1000以内能被7整除但不能被9整除的所有数：7，14，21，28，35，...，994观察到每两个相邻的数之间的差值仍然是7，所以我们同样可以用等差数列的求和公式来计算这些数的和。

能被7整除但不能被9整除的数的个数是1000/7-1000/63=136-15=121，其中1000/7表示1000以内能被7整除的数的个数，1000/63表示1000以内能被9整除的数的个数，两者的差即是能被7整除但不能被9整除的数的个数。

第七章 静电场和恒定磁场的性质(一)高斯定理序号 学号 姓名 专业、班级一 选择题[ C ]1．已知一高斯面所包围的体积内电量代数和∑i q =0，则可肯定：(A) 高斯面上各点场强均为零。

(B) 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。

(C) 穿过整个高斯面的电通量为零。

(D) 以上说法都不对。

［ D ］2．两个同心均匀带电球面，半径分别为R a 和R b ( R a <R b ) ,所带电量分别为Q a 和Q b ，设某点与球心相距r , 当R a < r < R b 时， 该点的电场强度的大小为： ( A )2041r Q Q ba +⋅πε ( B )241r Q Q ba -⋅πε( C ))(4122bb a R Q rQ +⋅πε ( D )241r Q a ⋅πε[ D ]3. 如图所示，两个“无限长”的、半径分别为R 1和R 2的共轴圆柱面均匀带电，轴线方向单位长度上的带电量分别为λ 1 和λ 2 ， 则在内圆柱面里面、距离轴线为r 处的P 点的电场强度大小 ( A )r0212πελλ+( B )20210122R R πελπελ+( C )1014R πελ( D ) 0[ D ]4．图示为一具有球对称性分布的静电场的E ～r 关系曲线，请指出该静电场是由下列 哪种带电体产生的。

(A) 半径为R 的均匀带电球面。

(B) 半径为R 的均匀带电球体。

(C)半径为R 、电荷体密度ρ=Ar(A 为常数)的非均匀带电球体。

(D) 半径为R 、电荷体密度ρ=A/r(A 为常数)的非均匀带电球体。

二 填空题１．如图所示，一点电荷q 位于正立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电通量Φe =24εq 。

2．真空中一半径为R 的均匀带电球面，总电量为Q （Q > 0）。

今在球面上挖去非常小块的面积ΔS （连同电荷），且假设不影响原来的电荷分布，则挖去ΔS 后球心处电场强度的大小E ＝)16/(402R S Q επ∆ 。

五年级高斯算法练习题高斯算法是一种快速而简单的求和方法，在数学中被广泛应用。

它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在他小时候发现的。

高斯算法的原理是通过将所有数字逐个相加来求和，第一个数字与最后一个数字相加，第二个数字与倒数第二个数字相加，依此类推，直到所有的数字都相加为止。

在这篇文章中，我们将通过一些五年级的高斯算法练习题来加深对这一概念的理解。

练习题一：计算1到10之间所有整数的和，使用高斯算法。

解答：根据高斯算法，我们将第一个数字1与最后一个数字10相加，再将第二个数字2与倒数第二个数字9相加，依此类推。

根据规律，我们有5组相加的数字对。

每组数字对的和都为11。

因此，我们可以得出结论：1到10之间所有整数的和为(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) +(5+6) = 55。

练习题二：计算1到100之间所有整数的和，使用高斯算法。

解答：与练习题一类似，我们可以先计算第一个数字1与最后一个数字100的和，再计算第二个数字2与倒数第二个数字99的和，以此类推。

根据规律，我们有50组相加的数字对。

每组数字对的和都为101。

因此，我们可以得出结论：1到100之间所有整数的和为(1+100) + (2+99) + (3+98) + ... + (49+52) + (50+51) = 5050。

练习题三：计算10到50之间所有偶数的和，使用高斯算法。

解答：首先，我们需要找出10到50之间所有的偶数。

在这个范围内，偶数序列为：10、12、14、16、...、50。

我们可以观察到，这个序列可以转化为1到20之间所有整数的两倍。

因此，我们只需计算1到20之间所有整数的和，并将结果乘以2。

根据练习题一的解答，1到20之间所有整数的和为(1+20) + (2+19) + (3+18) + ... + (9+12) + (10+11) = 210。

将结果乘以2，得到10到50之间所有偶数的和为420。

四年级高斯算法练习题1. 小明有10个苹果，他想把这些苹果平均分给他的5个朋友，每人可以分到几个苹果？2. 小华在学校举行了一个捐赠活动，他的班级共捐赠了240个图书，如果他的班级有20名同学，每人捐赠了多少本图书？3. 家里有32只糖果，小红和小绿想要平分这些糖果，他们每人能分到几只？4. 小明有24个酸奶，他想把这些酸奶平均分给他的8个同学，每人可以分到几个酸奶？5. 小华参加了一个比赛，他共获得了85分，如果每道题目的分数都一样，那么每道题目的分数是多少？6. 小红把96块巧克力分给她的6个朋友，每人可以分到几块巧克力？7. 小明在学校举行了一个义卖活动，他共筹集了300元，如果他希望将这些钱平分给他的10个同学，每人可以得到多少钱？8. 小华有15个小球，他想将这些小球平均分给他的3个朋友，每人可以得到几个小球？9. 小红收集了90张贺卡，她想将这些贺卡平均分给她的6个朋友，每人可以得到几张贺卡？10. 小明参加了一个马拉松比赛，他共跑了6000米，如果每分钟跑的距离相同，那么小明每分钟跑了多少米？根据高斯算法，我们可以用除法来解决这些问题。

高斯算法的步骤如下：1) 将待分配的数量除以要分配的组数，得到商数。

2) 每组的数量等于商数。

3) 如果有余数，那么将余数平均分配给组数靠前的几组。

接下来，让我们使用高斯算法来解决上面的练习题。

1. 小明有10个苹果，他想把这些苹果平均分给他的5个朋友，每人可以分到几个苹果？解答：10除以5等于2，所以每个朋友可以分到2个苹果。

2. 小华在学校举行了一个捐赠活动，他的班级共捐赠了240个图书，如果他的班级有20名同学，每人捐赠了多少本图书？解答：240除以20等于12，所以每个同学捐赠了12本图书。

3. 家里有32只糖果，小红和小绿想要平分这些糖果，他们每人能分到几只？解答：32除以2等于16，所以每人可以分到16只糖果。

4. 小明有24个酸奶，他想把这些酸奶平均分给他的8个同学，每人可以分到几个酸奶？解答：24除以8等于3，所以每个同学可以分到3个酸奶。

第二十二章 曲面积分 3 高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式定理22.5：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P , Q, R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有(高斯公式)dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz , S 取外侧.证：设V 是xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面S 2:z=z 2(x,y),(x,y)∈D xy , S 1:z=z 1(x,y),(x,y)∈D xy 及以垂直于D xy 的边界柱面S 3组成,z 1(x,y)≤z 2(x,y). ∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z R dxdy ),(),(21=⎰⎰-xy D dxdyy x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(2-⎰⎰xyD dxdyy x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R -⎰⎰1),,(S dxdy z y x R =⎰⎰2),,(S dxdy z y x R +⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R .其中S 1,S 2取上侧，又⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =0,∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰2S Rdxdy +⎰⎰-1S Rdxdy +⎰⎰3S Rdxdy =⎰⎰SRdxdy . 同理，⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz ; ⎰⎰⎰∂∂V dxdydz y Q=⎰⎰SQdydz . ∴dxdydz z R y Q x P V⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz .注：对于不是xy 型区域的情形，可用有限个光滑曲面将其分割成若干个xy 型区域来讨论.例1：计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 是边长为a 的正方体表面并取外侧. 解：x ∂∂y(x-z)=y, y ∂∂x 2=0, z∂∂(y 2+xz)=x, 应用高斯公式，该曲面积分为：dxdydz x y V⎰⎰⎰+)(=⎰⎰⎰+aaadz x y dy dx 0)(=a 4.注：若高斯公式中P=x, Q=y, R=z, 则有dxdydz V⎰⎰⎰++)111(=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz , 即有应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积公式：△V=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、斯托克斯公式右手法则：设人站在曲面S 上指定的一侧，沿S 的边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L 的正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向.定理22.6：设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线. 若函数P ,Q,R 在S(连同L)上连续, 且有一阶连续偏导数，则有(斯托克斯公式)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++LRdz Qdy Pdx ， 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.证：曲面S 由方程z=z(x,y)确定, 其正侧法线方向数为(-z x ,-z y ,1), 方向余弦为(cos α,cos β,cos γ), ∴xz ∂∂=-γαcos cos , y z ∂∂=-γβcos cos .若S 在xy 平面上投影区域为D xy , L 在xy 平面上的投影曲线记为Г. 由第二型曲线积分定义及格林公式有⎰Ldx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-. ∵dxdy y x z y x P y )),(,,(∂∂=y P ∂∂+yzz P ∂∂∂∂, ∴⎰L dx z y x P ),,(=dxdy y x z y x P y xy D )),(,,(⎰⎰∂∂-=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos =γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=dS z Py P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =⎰⎰∂∂-∂∂Sdxdy y P dzdx z P ; 同理，对于曲面S 表示为x=x(y,z)和y=y(z,x)时，分别可证得⎰LQdy =⎰⎰∂∂-∂∂Sdydz z Q dxdy x Q 和⎰L Rdz =⎰⎰∂∂-∂∂Sdzdx x Rdydz y R . ∴⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Sdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++L Rdz Qdy Pdx .注：1、若曲面S 不能以z=z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示.2、斯托克斯公式也写为：⎰⎰∂∂∂∂∂∂SRQ P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L Rdz Qdy Pdx .例2：计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(, 其中L 为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向.解：(2y+z)y =2, (2y+z)z =1, (x-z)z =-1, (x-z)x =1, (y-x)x =-1, (y-x)y =1,∴⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰-+--+--Sdxdydzdx dydz )21()]1(1[)]1(1[=⎰⎰-+Sdxdy dzdx dydz 22=1+1-21=23.概念：若V 内任一封闭曲线皆可不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点，则称区域V 为单连通区域, 否则称为复连通区域. 如球体属于单连通区域，而环状区域属于复连通区域.定理22.7：设Ω∈R 3为空间单连通区域. 若函数P , Q, R 在Ω上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：(1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L 有⎰++L Rdz Qdy Pdx =0. (2)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L, 曲线积分⎰++L Rdz Qdy Pdx 与路线无关.(3)Pdx+Qdy+Rdz 是Ω内某一函数u 的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz. (4)x Q y P ∂∂=∂∂, y R z Q ∂∂=∂∂, zPx R ∂∂=∂∂. 在Ω内处处成立.例3：验证曲线积分⎰+++++L dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x,y,z). 解：P=y+z, Q=z+x, R=x+y, ∵x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=1, ∴曲线积分与路线无关.取空间折线M 0(x 0,y 0,z 0)→(x,y 0,z 0)→(x,y,z 0)→(x,y,z), 则u(x,y,z)=⎰+++++M M dzy x dy x z dx z y 0)()()(=⎰⎰⎰+++++zz x x y y dry x dt x z ds z y 0)()()(000=(y 0+z 0)(x-x 0)+(z 0+x)(y-y 0)+(x+y)(z-z 0)=xy+xz+yz+C. 其中C=-x 0y 0-x 0z 0-y 0z 0. 若取M 0为原点，则u(x,y,z)=xy+xz+yz.习题1、应用高斯公式计算下列曲面积分：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域的表面，方向取外侧；(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面z=222y x a --的外侧.解：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Vdxdydz 0=0.(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++aa a dz z y x dy dx 000)(=3a 4.(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++hr h rdz z r r dr d )sin cos (020θθθπ=24h π.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(222=3⎰⎰⎰104200sin dr r d d ϕθϕππ=512π.(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz =3⎰⎰⎰Vdxdydz =2πa 3.2、应用高斯公式计算三重积分：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(, 其中V 是由x ≥0, y ≥0, 0≤z ≤1与x 2+y 2≤1所确定的空间区域. 解：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(=⎰⎰++Sxdxdy z zdzdx y ydydz x 22221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dxdy x zdzdx x ydydz y xyzx yz D D D )1()1(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-210101021010210)1()1(21x xdy dx zdx x dz ydz y dy =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⎰⎰⎰1021021021)1(21)1(21dx x x dx x ydy y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++31314121=2411.3、应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)⎰+++++L dz y x dy z x dx x y )()()(222222，其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； (2)⎰++L dz dy dx y x 32，其中L 为y 2+z 2=1, x=y 所交的椭圆的正向； (3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中S 是以A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA 的方向. 解：(1)⎰+++++L dzy x dy z x dx x y )()()(222222 =2⎰⎰-+-+-Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(. 其中⎰⎰-Sdydz z y )(=⎰⎰--ydz z y dy 1010)(=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10221232dy y y =0， 同理，⎰⎰-Sdzdx x z )(=⎰⎰-Sdxdy y x )(=0. ∴原积分=0.(2)⎰++L dz dy dx y x 32=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x 223=0. (注：D xy 的面积为0)(3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(=2⎰⎰++Sdxdy dzdx dydz =3a 2.4、求下列全微分的原函数：(1)yzdx+xzdy+xydz ；(2)(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz. 解：(1)∵d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz, ∴原函数为：u(x,y,z)=xyz+C. (2)∵d(31(x 3+y 3+z 3)-2xyz)=(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz, ∴原函数为：u(x,y,z)=31(x 3+y 3+z 3)-2xyz+C.5、验证下列线积分与路线无关，并计算其值； (1)⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx ； (2)⎰++++),,(),,(222222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx , 其中(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)在球面x 2+y 2+z 2=a 2上.解：(1)P=x, Q=y 2, R=z 3, 有x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=0, ∴原积分与路线无关.⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx =⎰⎰⎰-++41331221dz z dy y xdx =425532623-++=-53127(2)∵d(222z y x ++)=222zy x zdz ydy xdx ++++, ∴原积分与路线无关.原式=⎰++),,(),,(222222111z y x z y x z y x d =212121222222z y x z y x ++-++=0.6、证明：由曲面S 所围的立体V 的体积 △V=⎰⎰++SdS z y x )cos cos cos (31γβα,其中cos α, cos β, cos γ为曲面S 的外法线方向余弦. 证：⎰⎰++S dS z y x )cos cos cos (31γβα=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31=dxdydz z z y y x x V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂31=⎰⎰⎰Vdxdydz =V.7、证明：若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则⎰⎰∧SdS l n ),cos(=0,其中n 为曲面S 的外法线方向.证：设n 和l 的方向余弦分别是cos α, cos β, cos γ和cos α’, cos β’, cos γ’. 由第一、二型曲面积分之间的关系可得：⎰⎰∧SdS l n ),cos(=⎰⎰'+'+'Sds)cos cos cos cos cos (cos γγββαα=⎰⎰'+'+'Sdxdy dzdx dydz γβαcos cos cos . 由L 的方向固定知,P=cos α’, Q=cos β’, R=cos γ’都是常数，∴zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=0. 由奥高公式得： ⎰⎰∧S dS l n ),cos(=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z R y Q x P =0.8、证明公式：⎰⎰⎰Vr dxdydz =⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=0, 其中S 是包围V 的曲面，n 为曲面S 的外法线方向, |r|=222z y x ++, r=(x,y,z).证：∵),cos(∧n r =),cos(),cos(∧∧x n x r +),cos(),cos(∧∧y n y r +),cos(),cos(∧∧z n z r ,且),cos(∧x r =r x , ),cos(∧y r =ry, ),cos(∧z r =r z ,由第一, 二型曲面积分的关系及奥高公式可得：⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=⎰⎰∧∧∧++S dS z n z y n y x n x r )],cos(),cos(),cos([121 =⎰⎰++S dxdy r z dzdx r y dydz r x 21=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz r z z r y y r x x 21=⎰⎰⎰Vrdxdydz.9、若L 是平面xcos α+ycos β+zcos γ-p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求⎰L zyxdz dy dx γβαcos cos cos , 其中L 依正向进行. 解：∵P=zcos β-ycos γ, Q=xcos γ-zcos α, R=ycos α-xcos β, 由斯托克斯公式及第一, 二型曲面积分之间的关系得：原式=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Sx y z x y z z yxdxdy dzdx dydz βααγγβcos cos cos cos cos cos =2⎰⎰++Ddxdy dzdx dydz γβαcos cos cos =2⎰⎰++Dds )cos cos (cos 222γβα=2s.。

－ 选择题1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：()A 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷；()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零；()C 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷；()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。

〔 〕 答案：()D2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为()A 0/q ； ()B 0/2q ； ()C 0/4q ； ()D 0/6q 。

〔 〕答案：()D3.在电场强度为E Ej v v的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1 ，2 ，3 ，则()A 1230Ebc Ebc ； ()B 1230Eac Eac ；()C 22123Eac Ec a b Ebc ；()D 22123Eac Ec a b Ebc 。

〔 〕答案：()B4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和0iq，则可肯定：()A 高斯面上各点场强均为零。

()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。

()C 穿过整个高斯面的电通量为零。

()D 以上说法都不对。

〔 〕答案：()C5.有两个点电荷电量都是q ，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。

在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。

设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1 和2 ，通过整个球面的电场强度通量为 ，则 ()A 120,/q ；()B 120,2/q ； ()C 120,/q ；()D 120,/q 。

〔 〕 答案：()D6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。

下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。

－ 选择题1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：()A 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷；()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零；()C 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷；()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。

〔 〕 答案：()D2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为()A 0/q ε ；()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。

〔 〕 答案：()D3.在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ，2φ，3φ，则 ()A 1230Ebc Ebc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==； ()C123Eac Ebc φφφ=-=-=-；()D123Eac Ebc φφφ===。

〔 〕答案：()B4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和0i q =∑()A()B()C()D〔 〕 答案：()C5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。

在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。

设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=；()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。

〔 〕 答案：()D6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。

下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。