电通量、高斯定理答案

一、 高斯定理文字叙述：在任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的自由电荷的代数和．数学表达式为Φe ⎰∑===ni iq dS D 1cos θ （9-18）不严格的证明：第一种情况：点电荷的电场,闭合曲面（称高斯面）是以点电荷为球心、以r 为半径的球面：球面上各点电位移的大小相等，方向均向外（设），与面积元d S 的方向相同，所以Φe⎰⎰==⋅==q r r q dS r q dS D 222440cos 4cos πππθ若点电荷为负电荷，即q=-∣q ∣，则⎰⎰=-=-=⋅==Φqq r r q dS r q dS D e 22244cos 4cos ππππθ与r 无关，即与球面的半径无关.第二种情况：点电荷的电场,任意闭合曲面：S ’为任意闭合曲面，S 为球面，S 和S ’包围同一点电荷Q ，S ’与S 之间并无其他自由电荷．由于电位移线的连续性，可以看出通过闭合曲面S ’的电位移线的数目和通过球面S 的电位移线的数目是一样的．因此通过闭合曲面S ’的电通量Φe 的量值也等于q ．第三种情况：点电荷在任意闭合曲面外：点电荷q 在闭合曲面S ”的外面时，可以看到进入该曲面的电位移线的数目与穿出该曲面的电位移线的数目也是相等的．因为我们规定穿出为正、进入为负，因此通过该闭合曲面的总电通量为零．第四种情况：点电荷系的电场：设空间有（n+m ）个点电荷时，其中n 个在闭合曲面内，m 个在闭合曲面外.根据电场叠加原理：m n n n D D D D D +++++++=11，可得：∑⎰⎰⎰⎰⎰=++=++++=∙++∙+∙++∙=∙=Φni in m n n n e q q q S d D S d D S d D S d D S d D 11110式中m 为空间自由点电荷的总数，而n 为闭合曲面内包围的自由点电荷的数目，（m-n ）为闭合曲面外的自由点电荷的数目，因此可得通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的自由电荷的代数和．可以证明 高斯定理是普遍成立的. 注：1.物理意义：说明静电场是有源场（静电场的特性之一），静电场的源就是正电荷和负电荷（负源）.2.要注意区分通过闭合曲面的电通量（D 的通量）与闭合曲面上每一点的D ：(1) 通过任一闭合曲面的电通量只与闭合曲面内的自由电荷有关，但闭合曲面上每一点的D 却与空间（闭合曲面内、外）的所有电荷有关.（2）0=∙⎰S d D，不一定曲面上每一点的D 都是零；也不一定曲面内没有自由电荷，只不过曲面内自由电荷的代数和为零（即净电荷为零）罢了.3.高斯定理是普遍成立的，但用来求电场时只能用于具有某些对称性的电场.四、高斯定理的应用 1.均匀带电球体的电场设有一电介质球体，半径为R ，均匀带电，电荷体密度为ρ，总电荷为q ，如图9-16.现在计算球内和球外任意点p 1和p 2处的电位移．设球体的介电系数为ε1，球外电介质的介电系数为ε2.先研究球内p 1处的情况．通过p 1点作半径为的同心球面S 1(r 1<R)，面积等于4πr 12．由于对称关系，球面S 1上各点的电位移应与球面相垂直且有相同的量值，假定为D 1，相应地通过球面S 1的电通量为4πr 12 D 1.已知球面S 1所包围的电荷为（4/3）πr 31ρ.所以由高斯定理，得3311211134344cos R q r D r dS D dS D e πππθ====Φ⎰⎰相应地，因D 1=ε1E 1，得1311114r R qD E πεε==(9-19a) 由此可见，对均匀带电球体来说．球内任何点的场强与该点到球心的距离成正比，在球心处场强为零.再来研究球外p 2点处的情况．通过p 2点作半径为r 2的同心球面S 2(r 2> R)，面积为4πr 22．同理，设球面S 2上电位移的量值为D 2．相应地，通过球面S 2的电通量为4πr 22 D 2．已知球面S 2所包的电荷为q ，所以按高斯定理得4πr 22 D 2 =q所以2224r qD π=相应地，因D 2=ε2E 2，得2222224r qD E πεε==(9-19b) 上式与点电荷的场强公式完全相同，可见均匀带电球体在球外一点产生的场强，相当于全部电荷集中在球心上时点电荷产生的场强 .场强与距离r 的关系，以及电位移与距离r 的关系，分别如图9-17所示（有何区别？为什么？）2．均匀带电球面的电场设有一个球面，半径为R ，表面均匀带电，电荷面密度为σ，总电量为q ，即q=4πR 2σ．显然，可用与带电球体相同的方法，求得球内任一点的电位移和场强均为零；即D=0，E=0 (均匀带电球面内) (9-20a)而球外任一点的电位移和场强则与带电球体的球外电场相同，即在球外任一点(与球心相距为r)处，224rq D π=2224r qE πε=式中ε2.是球外电介质的介电系数．均匀带电球面内外的场强与r 的关系如图9-18所示. 3．无限大均匀带电平面的电场设有无限大均匀带电平面，平面的电荷面密度为σ．在靠近平面中部而距离平面不远的区域内，由于对称关系，可以确定电场是均匀的，而且场强垂直于平面(田9-19)．局限在上述区域内的电场，称为无限大均匀带电平面的电场．为了计算这个电场的场强，可通过平面上一小面积ΔS ，作一封闭柱面S ，柱面的轴线和平面正交，两底面的面积都等于ΔS ，按高斯定理，通过整个S 面的电通量应等于S 面所包围的自由电荷的代数和，即Φe =∮Dcos θdS=∫底面1Dcos θdS+∫底面2Dcos θdS+∫侧面Dcos θdS = D （ΔS ） + D （ΔS ）+0=∑q 这里，通过柱体侧面的电通量等于零（因为侧面上各处θ=π /2）.通过两底面的电位移线都与底面正交，而且都是向外的(设σ为正值)，所以θ=0，cos θ=1．设D 为两底面上的电位移，可知通过两底面的电通量等于D(ΔS) + D （ΔS)．已知s 面所包围的总电荷为σ(ΔS)，所以 D (ΔS) + D (ΔS) =σ(ΔS)从而求得 D=σ/2或02εσ=E （真空中）εσ2=E （无限大均匀电介质中） 可见在无限大均匀带电平面的电场中，各点的场强与离开平面的距离无关．(上述结果与例题9—2中用积分计算所得的结果一致，但这里的计算简单得多．)4．无限长均匀带电圆柱面的电场设有无限长均匀带电圆柱面，半径为R ，电荷面密度为σ(设σ为正)．由于电荷分布的轴对称性，可以确定，在靠近圆柱面中部离开圆柱面轴线的距离比圆柱面的长度小得多的地方（在这些地方才可以将圆柱面看成是无限长的），带电圆柱面产生的电场也具有轴对称性，即离开圆柱面轴线等距离各点的场强大小相等，方向都垂直于圆柱面而向外，如图9—20所示．局限于上述区域的电场称为无限长均匀带电圆柱面的电场．为了求无限长圆柱面外任一点p 处的场强，可过p 点作一封闭圆柱面，柱面高为l ，底面半径为r ，轴线与无限长圆柱面的轴线相重合．由于封闭圆柱面的侧面上各点电位移D 的大小相等，方向处处与侧面正交，所以通过该侧面的电通量是2πrlD ；通过两底面的电通量为零．而圆柱面所包围的电荷为σ2πRl,所以按高斯定理得2πrlD=σ2πR l 由此算出 D=R σ/r 相应地，由D=εE ，得 E=R σ/r ε式中ε是圆柱面外电介质的介电系数．如果令λ=2πR σ表示圆柱面每单位长度的电量，则上两式可化为D=λ/2πr E=λ/2πεr由此可见，无限长均匀带电圆柱面在柱外各点产生的场强，相当于其电荷全部集中在其轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强 (参看例题9—1)．根据同样的讨论，可知带电圆柱面内部的场强等于零．各点的场强随各该点到带电圆柱面轴线的距离r 的变化关系．如图9—20所示．小结：从上面几个例子中可以看出，在有些情况下，利用高斯定理计算带电系统的场强是很方便的．问题的关键在于找到合适的闭合面使∮Dcos θdS 易于计算，显然，当带电系统均匀带电并具有如上各例的对称性时，就能做到这一点．用高斯定理求场强的步骤： 1.选高斯面（闭合曲面）：找到合适的闭合面使∮Dcos θdS 易于计算，例如使电场强度都垂直于这个闭合面的全部或一部分，而且大小处处相等（这时D 可以提出积分号外）；或者使一部分场强与该面平行，因而通过这部分面积的电通量为零．1. 求Φe ⎰=dS D θcos2. 求Σq i 内3. 求D 的大小和方向4. 求E =D /ε（记忆：D =εE ）。

电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。

2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。

3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。

4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。

8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。

穿入曲面的电力线，电通量为负值； 与曲面相切或未穿过曲面的电力线，对通量无贡献。
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过

E1 ds E2 ds ...... En ds
qn q1 q2 0 0 0
e E ds
s 0
1 qi 0
q1 q2 qn
S
q E ds
s
0
E ds 0
q ds
S
n
S

s
q
2
40 r
q
2
ds
q
0

4 0 r
ds
q
2. q位于任意曲面
S 内
0
s s
3. q位于任意闭合曲面
4. 曲面内包围多个点电荷
S 以外
S
q

( E1 E2 ...... En ) ds
解： e E ds E ds E ds E ds
E cos180 ds E cos 90 ds E cos 0 ds
0 0 0 s1 s2 s3
ER 0 R E
2 2
=0
n
0
1 e E ds
s
0
qi
四．高斯定理的应用 当场源分布具有高度对称性时，求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定 E 的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 ３.利用高斯定理求解
qi
例1．球面 求均匀带电球面的场强分布 已知R、 q>0 解: 对称性分析 E 具有球对称 作高斯面 通量 r R
电量 q i
电量
qi q
q E 4r
2
高斯定理

大学物理---高斯定理您的班级： [填空题] *_________________________________您的姓名： [填空题] *_________________________________1. 电通量就是通过某一个曲面的电荷的电量 [判断题] *对错(正确答案)2. 电通量是通过某一个曲面的电场线的根数 [判断题] *对(正确答案)错3. 电通量只能取正值 [判断题] *对错(正确答案)4. 面积只有大小，没有方向，只能当做标量来处理 [判断题] *对错(正确答案)5. 电场线的根数只能为整数 [判断题] *对错(正确答案)6. 当人为的定义一个曲面的外法向方向为面积的方向后，面积也可以当成为矢量[判断题] *对(正确答案)错7. 电场强度代表了电场线的数密度 [判断题] *对(正确答案)错8. 计算电通量时，可以用面积与电场强度的乘积来算 [判断题] *对错(正确答案)9. 电场线处处垂直于某一曲面，且在该曲面上场强大小处处相等时，电通量的大小等于曲面上电场强度的大小乘以曲面的面积。

[判断题] *对(正确答案)错10. 如果某一曲面附近的电场线平行于该曲面（场强方向垂直于曲面法向），则通过该曲面的电通量为零 [单选题] *True(正确答案)False11. 电场强度对某一曲面的面积分即为通过该曲面的电通量 [判断题] *对(正确答案)错12. 电通量可正可负，正负取决于电场的方向与曲面的方向（外法向方向） [判断题] *对(正确答案)错13. 电场线穿进某一曲面时，电通量为正 [判断题] *对错(正确答案)14. 电场线穿出某一曲线时，电通量为正 [判断题] *对(正确答案)错15. 一封闭面外部的电荷对通过该封闭面的电通量也有影响 [判断题] *对错(正确答案)16. 封闭面外部的电荷对封闭面上的电场有贡献 [判断题] *对(正确答案)错17. 计算通过一个封闭面的电通量时，可以只考虑其内部的电荷 [判断题] *对(正确答案)错18. 真空中通过某一封闭面的电通量等于该封闭面内所围的净电荷除以真空介电常数 [判断题] *对(正确答案)错19. 有两个形状不同的封闭面，但它们都围住了同一个电荷。

ò ×
S
ò
S
= 0． ”这个推理正确吗? [ B 不一定要等于零 ] 答：不正确， B d S 各自有不同的方向，B 不一定要等于零 11­6 如图，在一圆形电流 I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路 L，则由安培 环路定理可知 (A) (B) I L O 思考题 11­6 图
q 1 1 ( - ) ] 4 pe 0 r R
解；
U 1 =
q 4 peo r
+
Q 4 peo R
U 2 =
q + Q 4 peo R
U1-U2 =
q 1 1 ( - ) 4 pe 0 r R
11­7 [
已 知 某 静 电 场 的 电 势 分 布 为 U ＝ 8x ＋ 12x2 y － 20y2 (SI) ， 求 场 强 分 布 E .
B r r U C = U C - U B = ò E × d l = C
ò 4 pe r
o
2
11­5 两块面积均为 S 的金属平板 A 和 B 彼此平行放置，板间距离为 d（d 远小于板的 线度） ， 设 A 板带有电荷 q1， B 板带有电荷 q2， 求 AB 两板间的电势差 UAB. [
（1）dq =
q dl 2 L
U = ò dU = ò
dq q q x + L = ò dl = ln 4pe o ( x - l ) 4pe o 2 L ( x - l ) 8pL e o x - L
（2）E= -
¶u q 1 1 1 q r = ( ) = i 2 ¶x 8p L e o x - L x + L 4 pe 0 x 2 - L

s( 柱面） 柱面）
∫∫E ⋅ dS ∫ +
s( 上底） 上底）
∫∫E ⋅ dS
s( 下底） 下底）
h
x
r
+ + +
=
∫∫E⋅ dS
s( 柱面） 柱面）
E ⋅ dS = ∫∫
S
EdS ∫∫
s ( 柱面） 柱面）
λh = ε0
z
+ +
第八章静电场
λh 2 π rhE = ε0
E
o
en
y
λ E= 2 π ε 0r
o
z
x
解
Φe = Φe前 + Φe后
y
N
第八章静电场
+ Φe左 + Φe右 + Φe下
P
Φe前 = Φe后 = Φe下 en
o
M
θ
en
en
=0
z
Q
E R x
Φe左 = ES左 cos π = − ES左
Φe右 = ES右 cosθ = ES左
Φe = Φe前 + Φe后 + Φe左 + Φe右 + Φe下 = 0
二
第八章静电场
E 均匀电场 ， 垂直平面
Φe = ES
S
E
E 均匀电场 ， 与平面夹角 θ Φe = ES cos θ
Φe = E ⋅ S ( S = S n)
θ
S
θ
en
E
非均匀电场电通量
dS = dS ⋅ n
第八章静电场
E
dS
θ
dΦe = E ⋅ dS
Φe =
en

24
金属导电模型
构成导体旳框架、 形状、 大小旳是那些 基本不动旳带正电荷旳原子核, 而自由电子充 斥整个导体, 属于导体共有。当有外电场存在 时, 电场与导体旳相互作用使得导体内旳自由 电子重新分布, 从而决定了导体旳电学性质。
自由电子
导体带电-q
q
25
一、 导体旳静电平衡
将导体放入电场强度为 附E0加旳电外场电场E时。, 其内部产生
E 2 0r
r
l n E n
22
总结 静电场旳高斯定理合用于一切静电场；
高斯定理并不能求出全部静电场旳分布。
高斯定理求解电场分布
E
dS
1
0
q内
场强 E 能否提出积分号
带电体电荷分 建立旳高斯 布旳对称性 面是否合适
23
10.7 静电场中旳导体
前面讨论了真空中旳静电场, 实际旳 电场中往往存在多种导体或实物介质, 这 些宏观物体旳存在会与电场产生相互作用 和相互影响, 从而出现某些新旳现象。 下 面将讨论导体在静电场中旳性质和行为。
二、电场强度通量 Φe
穿过任意曲面
旳电场线条数称为
电通量。
S
4
1.均匀场中dS 面元旳电通量
n
de dN EdS
E cos dS
E
矢量面元
dS
dS
n
dS
de E dS
2.非均匀场中曲面旳电通量
dS
S
dS E
e de SE dS
5
3. 闭合曲面电通量
E
e de SE dS
E
dS
r
11
2. 多种 电荷
E E1 E2 ... E5
q5 q3 q2

电量 电通量
qi 0
E1 0
s1
用高斯定理求解
+ R r + + + + + +
+
+ +
+ q + + + + +
E
E1 4r 0
2
rR
e E2 dS E2 dS E2 4r 2
s2
qi q
E2
E 2 4r q 0
例：在均匀电场中，
E (240 N c )i (160 N c ) j (390 N c ) k 2 2 2 通过平面 S ( 1.1m )i ( 4.2m ) j ( 2.4m )k 的电通量是多少？S 在垂直于 的平面上
的投影是多少?
s
0
q
i
例：设均匀电场 E 和半径R为的半球面的轴平行，
计算通过半球面的电通量。
q i 0 e E dS 0
S
S1 S2 0
S 2 ER 2
S1 ( ER ) 0
2
S1 ER 2
当场源分布具有高度对称性时求场强分布
课堂练习： 求均匀带电圆柱体的场强分布，已知R，
rR
rR
l E 2rl 0
r 2 0 R 2
2 E 2rl r l 2 0 R
rR
E
2 0 r
rR
步骤： 1.对称性分析，确定 E 的大小及方向分布特征 2.作高斯面，计算电通量及 qi
3.利用高斯定理求解
例5-7（1）. 均匀带电球面的电场。已知R、 q>0

P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左

第四章 静电场本章提要1．电荷的基本性质两种电荷，量子性，电荷首恒，相对论不变性。

2．库仑定律两个静止的点电荷之间的作用力12122204kq q q q r r==F r r πε 其中922910(N m /C )k =⨯⋅122-1-2018.8510(C N m )4k -==⨯⋅επ3．电场强度q =F E 0q 为静止电荷。

由10102204kq q q q r r==F r r πε 得112204kq q r r ==E r r πε4．场强的计算（1）场强叠加原理电场中某一点的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。

i =∑E E（2）高斯定理电通量：在电场强度为E 的某点附近取一个面元，规定S ∆=∆S n ，θ为E 与n 之间的夹角，通过S ∆的电场强度通量定义为e cos E S ∆ψ=∆=⋅∆v S θ取积分可得电场中有限大的曲面的电通量ψd e sS =⋅⎰⎰E Ò高斯定理：在真空中，通过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面的所有电荷电量的代数和除以0ε，与封闭曲面外的电荷无关。

即i 01d sq=∑⎰⎰E S g Ò内ε5．典型静电场（1）均匀带电球面0=E （球面）204q r πε=E r （球面外）（2）均匀带电球体304q R πε=E r （球体） 204q r πε=E r （球体外）（3）均匀带电无限长直线场强方向垂直于带电直线，大小为02E r λπε=（4）均匀带电无限大平面场强方向垂直于带电平面，大小为2E σε=6．电偶极矩电偶极子在电场中受到的力矩=⨯M P E思考题4-1 020 4qq r ==πεr 与FE E 两式有什么区别与联系。

答：公式q FE =是关于电场强度的定义式，适合求任何情况下的电场。

而公式0204q rπε=E r是由库仑定理代入定义式推导而来，只适于求点电荷的电场强度。

4-2一均匀带电球形橡皮气球，在气球被吹大的过程中，下列各场点的场强将如何变化？（1） 气球部 （2） 气球外部 （3） 气球表面答：取球面高斯面，由00d ni i q ε=⋅=∑⎰⎰ÒE S 可知（1）部无电荷，而面积不为零，所以E = 0。

《大学物理》作业 No .2 静电场中的高斯定理班级 ___________ 学号 ___________ 姓名 ___________ 成绩 ________ 说明：字母为黑体者表示矢量内容提要1.电通量⎰⋅=Φs d S E 电场强度穿过任意曲面的电通量在数值上等于穿过该面的电场线条数；对于封闭曲面，电场线穿出规定电通量为正。

2.真空中高斯定理∑⎰=⋅内q d s 01εS E（1）.高斯定理表明穿过封闭曲面的电通量仅与面内电荷有关，面外电荷分布对该通量无贡献；(2).空间任意一点（包括高斯面上各点）的电场由高斯面内外所有场源电荷共同决定；（3）.高斯定理是静电学的一条重要基本定理，反映了静电场的有源性，同时该定理又是从库仑定律导出的，反映了库仑平方反比律的正确性；（4）.运用高斯定理可以方便地求解具有某些对称性分布的电场，根据电场的对称性分布特点，选取恰当的高斯面，从而简化积分，求出电场。

基本要求1.理解电通量概念，掌握电通量计算2.理解并掌握真空中高斯定理3.会用高斯定理计算几种典型对称电荷分布的电场一、 选择题1. 将一个点电荷（忽略重力）无初速地放入静电场中，关于电荷的运动情况，正确的是：[ ] （A ）电荷一定顺着电场线加速运动；（B ）电荷一定逆着电场线加速运动；（C ）到底是顺着还是逆着电场线运动，由电荷的正负决定；（D ）以上说法均不正确。

2.关于电场线，以下说法正确的是[ ] (A) 电场线上各点的电场强度大小相等；(B) 电场线是一条曲线，曲线上的每一点的切线方向都与该点的电场强度方向平行；(C) 电场线是电场空间实际存在的系列曲线；(D) 在无电荷的电场空间，电场线可以相交.3.如图2.1，一半球面的底面圆所在的平面与均强电场E 的夹角为30° ，球面的半径为R ，球面的法线向外，则通过此半球面的电通量为 [ ] (A) π R 2E/2 . (B) -π R 2E/2.(C) π R 2E .(D) -π R 2E .4.关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是[ ] (A) 如高斯面上E 处处为零,则该面内必无电荷；(B) 如高斯面内无电荷,则高斯面上E 处处为零；(C) 如高斯面上E 处处不为零,则高斯面内必有电荷；(D) 如高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零；(E) 高斯定理仅适用于具有高度对称的电场5. 两个同心均匀带电球面，半径分别为a R 和b R (b a R R <) , 所带电量分别为a Q 和b Q ，设某点与球心相距r , 当b a R r R <<时， 该点的电场强度的大小为：[ ] (A) 2b a 041r Q Q +⋅πε (B) 2b a 041r Q Q -⋅πε (C))(412bb 2a 0R Q r Q +⋅πε (D) 2a 041r Q ⋅πε 6. 如图2.2所示，两个“无限长”的、半径分别为R 1和R 2的共轴圆柱面均匀带电，轴线方向单位长度上的带电量分别为1λ 和2λ， 则在内圆柱面里面、距离轴线为r 处的P 点的电场强度大小 [ ] (A) r0212πελλ+ (B) 20210122R R πελπελ+ (C) 1014R πελ (D) 0 二、 填空题1.将一电量为q 的点电荷置于一正方体盒子的中心，则穿过盒子六个面的电通量是多少 ,如果将点电荷置于盒子的一个顶点处，穿过盒子各个面的电通量又是多少 .2.如图2.3所示,真空中两个正点电荷,带电量都为Q ,相距2R ,若以其中一点电荷所在处O 点为中心,以R 为半径作高斯球面S ,则通过该球面的电场强度通量Φ= ;若以r 0表示高斯面外法线方向的单位矢量,则高斯面上a 、b 两点的电场强度的矢量式分别为 ， .三、计算题 1. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为⎩⎨⎧><=)(0)(R r R r Ar ρ , 其中A 为一常数，试求球体内、外的场强分布。

而
+
+
r
+ + R

Q 4 3 R 3
q E 2 40 r
E
得
即
Qr E 3 40 R Qr E e 3 r 40 R
O
R 电场分布曲线
r
35
2
dS
+
Φe E dS
q 4π 0r
dS
Φe
q
0
15
大学 物理
1.2 电通量 高斯定理
点电荷在任意封闭曲面内
q 发出的 q / 0
条电场线仍全部穿出封闭
曲面 S ，即：
+
Φe
q
0
点电荷位于球面中心
Φe
q
0
16
大学 物理
1.2 电通量 高斯定理
1.2 电通量 高斯定理
高斯 (C.F.Gauss 17771855） 德国数学家、天文学 家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电 报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
高
斯
大学 物理
1.2 电通量 高斯定理
三
高斯定理
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 . （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
Φe3
q
0
0
q
S1 S2
q
S3
22
大学 物理
1.2 电通量 高斯定理
用高斯定理求解的电场强度步骤：
对称性分析；
根据对称性选择合适的高斯面； 1) 曲面通过场点，面积简单易算 2) 面上或部分曲面上各点的场强大小相等 3) 面上或部分曲面上各点的法线与场强方向 一致或垂直 应用高斯定理计算； 说明场强方向.

求 电场强度分布。 解 电场强度垂直带电平面, 选取 垂直带电面的圆柱形高斯面 S e E dS E dS E dS E dS
侧 左底 右底

0
左底
E dS E dS
右底
0 E1S E2 S
• q 在球心处，球面电通量为
dS
e E dS EdS E dS
S
S
S

q 4 π 0r
2
4π r
2
q
q
r
0
穿过球面的电力线条数为 q/ 0
• q 在任意闭合面内，电通量为 • q 在闭合面外，电通量为
e q / 0
e 0
穿出、穿入闭合面电力线条数相等
5.4 电通量
一、电力线（电场线） E
dN
高斯定理
场强方向沿电力线切线方 向，场强大小取决于电力 线的疏密
+
-
dS
dN E dS
• 电力线起始于正电荷
（或无穷远处），终止 于负电荷（或无穷远 处）。 • 电力线不相交。
二、电通量
穿过任意曲面的电力线条 数称为通过该面的电通量 1. dS 面元的电通量

E 由所有电荷决定，但 e EdS 与外部电荷无关,只
取决于内部电荷。
0
q1

0
q2

0
q3

1
0
q内
静电场高斯定理
1 e E dS
S
0
q内
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等
于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 1 0

A B
D C
B A
q
C
q e 6 0
D
例:如图所示，在正方体的某一顶点上有一点电 荷q，求通过面ABCD的电通量。 q
B A
C
D
q e 24 0
2. 当电场分布具有高度对称性时求场强分布 步骤： (1) 对称性分析，确定电场强度的大小和方向的 分布特征。 (2) 根据电场的对称性作高斯面，计算电通量。
S S S
0
q Ar4r dr
2 0
R
R
dr
r
r
(r R)
q 2 e E dS EdS E dS E 4r
S S S
0
q Ar 4r dr
2 0
r
第二种情形：电场呈现轴对称分布
例、如图所示，一无限长直均匀带电线，单位长 度的电量为 ，求其空间电场分布。
a. E是髙斯面各面元处的电场强度，是由全部电
0
q2
q4
课堂练习：当点电荷q4在曲面外移动时，通过闭合 曲面的电通量是否发生变化？P点的电场强度是否 发生变化？当点电荷q1在曲面内移动时又如何？
q4 q1 q2
P
q3
对电通量没有影响，但是，对P点的电场强度有影响。
三、高斯定理的应用
1 e E dS
R1 r R2
q1 4 / 3(r R ) EII 4r 3 0 4 / 3( R2 R )
2
R3
R1 I II
III
R2
R2 r R3
EIII 4r
2
0
q1
r R3
EIV
q1 q2 4 0 r 2

r<R
电量 ∑ qi = 0 由高斯定理 电量
P
r>R
∑q
i
= lλ
由高斯定理
E=0
λ E = 2π ε0 r
关于电通量
高斯定理的练习 1 Φ e = ∫ E • ds = ∑ qi
s
ε0
教材：P164 例1 P169 例2 P170例3 例4 P190 5-2 5-14 5-15 5-17 5-18 5-19 5-20 5-21
例.如图所示，一个带电量为 q 的点电荷位于正立方体的 A 角 上，则通过侧面 abcd 的电场 强度通量等于：
a
d
A
q
（A）q /6ε0 ; （B）q /12ε0 ； （C）q /24ε0 ; （D）q /36ε0 .
q
●q
●q
c
b
位于中 心 位于一顶点
过每一面的通量
[C] 若将此电荷移到正方体的一个顶点上，则通过整个正 方体表面的电场强度通量为 。q 8ε 0
3 r ρ 4 π 高斯定理 E 4 πr 2 = ε0 3
∑ qi ε0
ρr qr q 场强大小 E = = 场强大小 E = 3 4 πε 0 r 2 3ε 0 4 πε 0 R
q
∴E =
q e 2 r 4π ε0 r
r≥R
r≤R
oo RR
1 qr e, E= 3 r 4π ε0 R
5-4
电场强度通量
电场中的高斯定理
Eb
一．电场线（电场的图示法） c b 1、 E 方向：切线 E ∆N E a 2、 电场强度大小 E = ∆S a ⊥ 性质：不闭合；不相交； 定义：面积矢量 起于正、止于负。 S = Sn n 为面积的法向 闭合曲面的方向: 由曲面内指向曲面外 n n n n

百度文库 - 让每个人平等地提升自我练习 六知识点：电荷与库仑定律、电场与电场强度、电场线与电通量、高斯定理及其应用一、选择题：1．下列几个说法中，正确的是 （ ） (A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； (B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；(C)场强可由0/E F q =定出，其中0q 为试验电荷，F 为试验电荷所受的电场力；(D)以上三种说法都不正确。

解:(C); (A)不对是因为电场力的方向与点电荷的正负有关; (B)不对是因为场强是矢量’2．在边长为a 的正立方体中心处放置一个电量为q 的点电荷，则正立方体顶角处的电场强度的大小为(A)2012q a επ； (B) 206q a επ； (C) 203q a επ； (D) 20qa επ。

（ ）解:(C), 点电荷的场强大小204rqE πε=,式中r 为立方体中心到顶角的距离2/32/2222a a a r =+= 3．关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是 （ ） (A) 如果高斯面上场强处处为零，则高斯面内必定处处无电荷；(B) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零； (C) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为零； (D) 以上三种说法均不正确。

解:(B),高斯定理∑⎰⎰=⋅0/εi Sq S d E,E 是高斯面内、外所有电荷共同产生.4．关于高斯定理∑⎰⎰=⋅0/εi Sq S d E ，下列哪个是错误的 （ ）(A) S 表示电场中任意的闭合曲面； (B)q ∑是闭合曲面S 内电荷电量的代数和；(C) E 是闭合曲面S 内电荷产生的总电场强度；(D) E 是电场中所有电荷产生的总电场强度。

解:(C), E 是高斯面内、外所有电荷共同产生.5．一个点电荷，放在球形高斯面的球心处。

下列几种情况中，通过该高斯面的电场强度通量发生变化的是 （ ）(A) 将另一个点电荷放在高斯面外； (B) 将另一个点电荷放进高斯面内；(C) 将高斯面半径增加一倍； (D) 将点电荷从球心处移开，但仍在高斯面内。