第四章目标规划
一、学习目的与要求
1、掌握目标规划的图解法模型；
2、掌握目标规划的单纯形的求解模型；
3、掌握目标规划的灵敏度分析。
二、课时6学时
第一节目标规划问题及其数学模型
一、问题的提出
应用线性规划可以处理许多线性系统的最优化问题，但线性规划，整数规划和非线性规划都只有一个目标函数，而在实际问题中，常常需要考虑多个目标：如设计一个新产品的工艺过程，不仅希望获利大，而且希望产量高，消耗低，质量好，投入少等。
而这些目标之间通常是矛盾的。
所以这类问题多目标问题比单目标问题要复杂得多，我们把这一类问题称为目标规划问题。
目标规划与线性规划相比，有以下优点：
1.线性规则只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题。
实际问题中，往往要考虑多个目标的决策问题，这些目标可能互相矛盾，也可能没有统一的度量单位，很难比较。
目标规划就能够兼顾地处理多种目标的关系，求得更切合实际的解。
2.线性规划是在满足所有约束条件的可行解中求得最优解。
而在实际问题
中往往存在一些相互矛盾的约束条件，如何在这些相互矛盾的约束条件下，找到一个满意解就是目标规划所要讨论的问题。
3.线性规划问题中的约束条件是不分主次、同等对待的，是一律要满足的“硬约束”。
而在实际问题中，多个目标和多个约束条件不一定是同等重要的，而是有轻重缓急和主次之分的，如何根据实际情况确定模型和求解，使其更合实际是目标规划的任务。
4.线性规划的最优解可以说是绝对意义下的最优，为求得这个最优解，往往要花去大量的人力、物力和才力。
而在实际问题中，却并不一定需要去找这种最优解。
目标规划所求的满意解是指尽可能地达到或接近一个或几个已给定的指标值，这种满意解更能够满足实际的需要。
因此可以认为，目标规划更能够确切描述和解决经济管理中的许多实际问题。
目前目标规划的理论和方法已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场分析、财务管理等方面得到广泛的应用。
二、目标规划的数学模型
例1 某工厂生产两种产品，受到原材料和设备工时的限制。
在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制定一个获利最大的生产计划，具体数据见表：
解：设该厂每周安排生产甲、乙两种产品的产量分别为x 1,x 2吨，则有
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≤+≤++=0
,0404460
10586max 21
212121x x x x x x x x z 解得X*=(8,2)’ Z*=64
例2 对于上题我们，现在要考虑如下问题：
(1)由于产品乙销售疲软，故希望乙的产量不超过甲的一半 (2)原材料短缺，生产中避免过量消耗 (3)最好能节约4小时设备工时 (4)计划利润不少于48元
要求制定一个获利最大的生产计划，
一致意见：(1)原材料限额不得突破(2)产品乙产量必须优先考虑，设备工时问题其次考虑(3)最后考虑计划利润的问题
几个基本概念
1、理想值(期望值)：目标规划是解决多目标规划问题的，而决策者事先对每个目标都有个期望值——理想值。
2、偏差变量：对每一个决策目标，引入正、负偏差变量d +和d -，分别表示决策值超过或不足目标值的部分。
0,0,0=⋅≥≥-
+
-
+
d
d
d
d
3、绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式或不等式约束，如线性规划问题中所有约束条件都是绝对约束。
绝对约束是硬约束，对它的满足与否，决定了解的可行性。
目标约束是目标规划特有的概念，是一种软约束，目标约束中决策值和目标值之间的差异用偏差变量表示。
由各目标约束的偏差变量及相应的优先因子和权系数构成。
由于目标规划追求的是尽可能接近各既定目标值.
4、优先因子和权系数
目标规划中，多个目标之间往往有主次，缓急之分。
不同目标的主次轻重有两种差别。
一种差别是绝对的，可用优先因子对应目标函数：把首先要达到的目标，赋予优先级P 1，第二位达到的目标赋予优先级P 2………
P 1＞＞P 2＞＞……＞＞ P k
一种差别是相对的，它们具有相同的优先因子，用权系数来区别。
权系数用来区别同一优先级中不同偏差变量的重要性。
重要性大的在偏差变量前赋予大的系数。
如 )2(433+
-
+d d P
5、目标规划的目标函数(准则函数，达成函数)
由各目标约束的正、负偏差变量及其相应的优先级，权因子构成。
由于目标规划追求的是尽可能接近既定目标值，也就是使各有关偏差尽量小，所以目标函数只能是极小化。
应用时有三种基本表达式： (1)要求恰好达到目标值
)}(min{-
+
+d d
f
(2)要求不超过目标值，但允许不足目标值
)}(min{+
d f
(3)要求不低于目标值，但允许超过目标值
)}(min{-
d f
上例的目标规划数学模型如下：
⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=≥
=-++=-++=-+-≤++
--+
-
+
-+
-
-
+
-
3
,2,1,0,,48
8636
440260
105},,min{21332
1
222
1112121332211i d d x d d x x d
d
x x d d x x x x d P d P d P i i
目标规划数学模型的一般形式
⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥=≥=≤==-++=
+-==+
-=+
+--=∑∑∑∑
K
k d d n j x m i b x a K
k g d d x c d w d w P Z k k j n j i j ij k n j k k j kj K
k k lk k lk L
l l ,...,2,1,0,,...,2,1,0,...,2,1,),(,...,2,1,)
(min 1
1
1
1
第二节 目标规划的图解法
对于只有两个变量的目标规划问题，可用图解法求解 例3 用图解法解例2
⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=≥=-++=-++=-+-≤++
--+-
+
-+
--
+
-
3
,2,1,0,,48
8636440260
105},,min{2133
2
1
222
111
2121332211i d d x d d x x d d x x d d x x x x d P d P d P i i
解：如下图，CDEF 区域为所求解。
⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧=≥=-+=-+-=-++=-++++
--+-
+-+
-+
-+
-
-
+
-
4
,3,2,1,0,,2
429262}
),35(,,min{2144
23321222111
21144332211i d d x d d x d d x x d d x x d d x x d p d d p d p d p i
i
图解法解线性目标规划问题，可能遇到两种情况
1、最后一级目标的解空间非空。
这时得到的解满足所有目标的要求。
当解不唯一时，可以根据实际条件选择一个。
2、得到的解不能满足所有目标。
这时要做的是寻找满意解，使它尽可能满足高级别的目标。
同时使它对那些不能满足的较低目标的偏离程度尽可能地小。
x 1
x 2 9 12 0 A B
第三节 解目标规划的单纯形法
目标规划的数学模型实际上是最小化型的线性规划，可以用单纯形法求解。
判别检验数时，注意P 1>>P 2>>P 3>>…
例 用单纯形法解下列目标规划
⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=≥=-++=-++=-+-≤++
--+
-
+
-+
-
-
+
-
3
,2,1,0,,48
8636
440260
105},,min{2
1332
1
222
1112121332211i d d x d d x x d
d
x x d d x x x x d P d P d P i i
此时非基变量d 1+，d 3+的检验数＝0，所以本题有多重最优解(满意解)
练习 用单纯形法解下列目标规划
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-++=-++=-+=-+++++=+
--+-+
-+
-+
-+
-
+
+
4
,3,2,1,0,,125635410}
32(min 214
421
332122111214332211i d d x d d x x d d x x d d x d d x x d P d P d d P z i i
解：列表得
第四节目标规划的灵敏度分析
目标规划灵敏度分析的方法、原理同线性规划的灵敏度分析本质上相同，主要讨论目标优先级和权数变化对最终解的影响。
