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6. 目标规划模型的单纯形法
m inz P1d 1 P2 d 2 d 2 P3 d 3
m inz P1d 1 P2 d 2 d 2 P3 d 3
11 2 x1 x 2 x1 x 2 d 1 d 1 0 x1 x 2 d 2 d 2 10 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
2）约束条件 • 系统约束（刚性约束、硬约束）：必须严格满足的等式和不等式约束。 如：设备运行能力严格限定为24小时。 • 软约束（目标约束）：由多目标规划问题的目标函数加入正负偏差变量 和期望值后转化得来。 6 如：必要时允许加班从而超过24小时。
3）优先级与权数 • 为了表示各项目标重要程度的悬殊差异，可划分为不同的优先级， 并且根据其级别的高低用优先因子 Pk (k 1,, K ) 表示。
10
4.目标规划的数学模型
模型的一般式：
K
优先因子
L
负偏差变量
正偏差变量
min z Pk wkl d l wkl d l k 1 l 1
n (i 1, , m) aij x j ()bi 目标期望值 jn1 cij x j d l d l g l (l 1, , L) j 1 ( j 1, , n) xj o d ,d 0 (l 1, , L) l l
6 5 5 6
－8
3/2 3/2 1/2 3 [3]
－10
1 1 1 1 1 1 －5 －1 －1/2 1/2 1/2 －5 1/2 －1/2 －1/2 5 1
1
P3
－1
6/3
cj zj
P1 P2 P3
－3
5
1
17
cj
CB X B xs d1 x2 P3 d 3
b
6 5 5 6
x1
3/2 3/2 1/2 [3]
m axz 8 x1 10 x 2 2 x1 x 2 11 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2
解得：
* x1 4 * x2 3
z * 62
4
考虑市场条件，除上述目标之外，还要满足以下目标 （1） 产品I的销量有下降的趋势，故产品I的产量不大于产品II； （2） 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班； （3） 应尽可能达到并超过利润指标56元。 这就使例1变成了多目标决策问题。
第5部分 目标规划
GP
Goal Programming
1. 问题的提出
在线性规划、整数规划、动态规划等规划问题中，规划的目标只有一 个，这在很大程度上是对实际问题的一种简化。在实际的规划问题以及进 行决策时，很多情况是多个目标并存且不宜简化为单个目标。这些目标之 间很可能是不相容的，可能有不同性质的度量单位。如：企业中可能要求 产品质量最好，费用最少，利润最大，时间最短，这些指标的度量单位不 一样，且有矛盾。 再如核电站的建设要考虑：发电能力，可靠性，环境保护，生物，人 体，社会经济效益，建造成本等。这些目标矛盾且不公度，有些还是模糊 的。
mind i mind i
② ③
要求尽可能不低于期望值，而允许超过期望值 要求不超过期望值，但允许低于期望值
minz d1 (d2 d 2 ) d3
例如：在例1中目标函数
（1）产品I的产量不大于产品II
x1 x2 d1 d1 0
（2）应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班
T
d 、d
例1中，假设还要满足以下目标 ① 产品I的销量有下降的趋势，故产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ； ② 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班； ③ 应尽可能达到并超过利润指标56元。
m axz 8 x1 10 x 2 2 x1 x 2 11 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2
x 产品I与产品II的销量限制： 1
设备台时： 利润目标：
x2 d1 d1 0
x1 2 x2 d3 d3 18
3）建立新的目标方程
① 要求尽可能准确地实现目标
min( i d i ) d
G
D C
d3
d2
1 2 3
4
d2 A 5 6d 7 8 9 10
3
x1
13
x2
11 B 10 9 8 7 6 5 F 4 3 2 1 0
①
③
d1 d1
G D C
d3
d2
②
1 2 3
4
d2 5A 6d 3 7 8 9 10
x1
14
最优解：在线段GD上，G点坐标为（2，4），D点坐标为（10/3，10/3）
d1
d2 d2
x1 2 x2 d d 10
（3）应尽可能达到并超过利润指标56元
2
2
8 x1 10x2 d d 56
3
3
d3
9
4）目标的优先等级和权系数 （1）优先等级：它是各目标优先次序的一种划分。 例如，例1中，优先等级依次为
P1 , P2 , P3
P P2 PK 1
(k 1,, K )
• 同一优先级内各分目标（量纲一致），可再按其重要程度的不同， 赋予不同的权数。
wkl
(k 1,, K , l 1,, L)
表示分别赋予第l 个目标约束的正负偏差 变量的权系数
7
3. 建立目标规划的步骤
1）设立目标函数的期望值 E e1, e2 ,, el 2）引入正、负偏差变量
x s 11 2 x1 x 2 x1 x 2 d 1 d 1 0 x1 x 2 d 2 d 2 10 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56 x , x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 s i i
12
x2
解：1、在第一象限内，作各约束条件： 11 B 10 （1）绝对约束的做法与线性规划相同 9 （2）目标约束：先令 d i , d i 0作直线， 8 ③ 7 然后在直线旁标出 d i , d i ② 6 5F 2、求解：按优先等级确定最优解 4 3 2 1 0
①
d1 d1
1）正、负偏差变量
d 、d
d ——超出目标的差距，称为正偏差变量； d ——未达目标的差距，称为负偏差变量。
d 和d 二者至少有一个为， d 0 0 d
• 当实际值超出目标时 • 当实际值未达到目标时 • 当实际值恰好等于目标时
d 0, d 0 d 0, d 0 d d 0
2
1. 问题的提出
线性规划的不足之处：
1）线性规划是在一组线性约束条件下寻求某一项目标 的最优值，而经营管理中人们希望更多目标达到较 好水平——满意解； 2）线性规划各约束条件处于同等重要地位，实际上处 于不同层次、具有不同权重的； 3）线性规划要求最优解存在的前提条件是其可行域为 非空集，否则线性规划无解。
3
1. 问题的提出——举例说明
例1 某工厂在计划期内要生产 Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知有关数据如下表，试确定 获得的利润最大的生产方案，建立这个问题的基本模型。
Ⅰ
原材料(kg) 设备（hr） 利润（元/件） 2 1 8
Ⅱ
1 2 10
资源拥有量 11 10
解：设x1，x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品生产的数量，则得基本模型如下：
目标函数为：
minz P1 d1 P2 d2 d2 P3d3
（2）权系数：目标函数中各目标偏差变量的有限值系数称为权系数。如
minz 5d1 6d 2 4d 3
它表示了一目标相对于其它目标的重要程度。权系数对目标规划解的
影响是很大的。不同的权系数会得出完全不同的最优解。因此，要想 得到符合实际情况的最优方案，必须对各个目标确定适当的权系数。
15
cj
CB
XB xs d1 d2 d3
b
11 0 10 56
x1
2 1 1 8 －1 －8
x2
1 －1 2 [2] 10
xs
1
d1
1
P1 d1
－1
P2 d2
P2 d2
P3 d3
d3
i
P2 P3
1
－1 1 －1
10/2
cj zj
P1 P2 P3
1
－2 －10 2 1
•
目标规划中，不可能所有级别的目标都能够实现，需要确认何时停止运算。
停止运算准则： • • 检验数行所有值均非负 若k行为非负，k+1行存在负的检验数，而该负检验数同列较高优先级的行中
存在正检验数
19
20
11
5. 目标规划模型的图解法
m inz P1d 1 P2 d 2 d 2 P3 d 3
11 2 x1 x 2 x1 x 2 d 1 d 1 0 x1 2 x 2 d 2 d 2 10 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
3
4/3 －5/3
－3
5/3 1
－1/2
1/3
1/2
1/6 －1/3
－4/3 －1/6
