高中数学 方程的根 和 函数的零点课件 新人教A版必修1

3+1
2
(2)由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10．]
2
• 类型2 确定函数零点所在的区间
2

• 【例2】 (1)函数f (x)＝ln (x＋1)－ 的零点所在的大致区间是(
• A．(3，4)
B．(2，e)
C．(1，2)
)
f (1)·f (2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1，2)，故选C．
• 发现规律 判断函数零点所在区间的3个步骤
端点值
• (1)代入：将区间______代入函数求出函数的值．
相乘
• (2)判断：把所得的函数值____，并进行符号判断．
• (3)结论：若符号为__且函数在该区间内是单调函数，则在
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
1
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝− ．所以函数g(x)的零
3
1
点为0和－ ．
3
• 反思领悟 函数零点的求法
• (1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根．
• (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x)＝0，可以将它与函数y＝f
类型1 求函数的零点
类型2 确定函数零点所在的区间
类型3 函数零点个数问题
• 类型1 求函数的零点
2

• 【例1】 (1)函数f (x)＝ቊ + 2 − 3， ≤ 0， 的零点为________；2
－3和e
−2 + ln ， > 0
－3和e2
当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
(2)方程、函数、函数图象之间的关系

阅读教材 P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与根的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
Δ<0 无交点
2.函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
法二 由x2－1x＝0，得x2＝1x. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有 一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．
判断函数存在零点的 3 种方法 1．方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. 【精彩点拨】 (1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程 的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝ x2与y＝1x的图象交点的个数．
【自主解答】 (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一 令f(x)＝0，即x2－1x＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点．
【答案】 B

例1 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数.
解法1 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表： x f ( x) 1 2 3 4 5 6 7
y
8
9
-4 -1.3 1.1
3.4 5.6 7.8 10.0 12.1 14.2
10 f(x8)=lnx+2x－ 6 6 4 2
x
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)· f(3)<0，
解法2： 数形结合
lnx+2x－6=0的根

y 6
lnx=-2x+6的根 可看成y=lnx与y=-2x+6 图像交点的横坐标
y=Байду номын сангаасlnx
O 1234 x
作业展示
又如：自主学习册P91 T2 T3
y=－2x +6
3. 零点存在性定理的应用
题型3：如何求函数零点所在的区间
如：自主学习册P92 T2 P94 T1
y y 1 函数是连续的。
y
a
2 定理不可逆。
O
O a b x O x b b 3 至少存在一个零点，不排除更多。
a
x
3. 零点存在性定理的应用
题型1：如何求函数零点
2 (1)f(x)=-x +3x+5 |x| (2)f(x)=2 -8
(3)f(x)=log2x
3. 零点存在性定理的应用
题型2：如何求函数零点的个数
归纳整理，整体认识 一个关系：函数零点与方程根的关系:
函数 方程
数 值 零点 存在性 根
个 数
两种思想：函数方程思想；数形结合思想． 三种题型：求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间．

x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
间为(
)
1 B.0，4 1 3 D.2，4
1 A.－4，0 1 1 C.4，2
解析
1 4 ∵f4＝
e－2＜0，
1 1 1 f(2)＝ e－1＞0，∴f4· f2＜0， 1 1 ∴零点在4，2上.
f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错.
(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.
解
虽然f(1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定
义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.
要点二 判断函数零点所在区间 例 2 在下列区间中，函数 f(x)＝e ＋4x－3 的零点所在的区
1 2 3 4 5
1.函数 y＝4x－2 的零点是( A.2
1 C.2，0
D
) B.(－2,0)
1 D.2 1 解析 令 y＝4x－2＝0，得 x＝2. 1 ∴函数 y＝4x－2 的零点为2.
1 2 3 4 5
2.对于函数f(x)，若f(－1)· f(3)＜0，则( D ) A.方程f(x)＝0一定有实数解 B.方程f(x)＝0一定无实数解 C.方程f(x)＝0一定有两实根 D.方程f(x)＝0可能无实数解 解析 ∵ 函数 f(x) 的 图象在 ( － 1,3) 上未 必连续，故尽管 f( － 1)· f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解.
函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
[学习目标]
1.理解函数零点的定义，会求函数的零点. 2.掌握函数零点的判定方法. 3.了解函数的零点与方程的根的联系.