函数方程与零点(精)

函数的零点与方程的解学习目标1、了解连续函数的零点存在性定理2、了解函数零点、方程之解、两函数图像交点之间的关系3、熟练掌握数形结合的方法和思想1、函数零点的概念：凡使()0f x =的实数x ，我们称其为函数()f x 的零点，严格说来，零点是一个数，而不是点。

从函数零点的定义不难发现：函数()f x 有零点⇔方程()0f x =有实数解⇔函数()f x 的图像与x 轴有交点。

事实上，()f x 之图像与x 轴交点的横坐标就是()f x 的零点，因此，求函数()f x 的零点，往往通过解方程()0f x =实现。

另外，两个函数()f x 与()g x 的图像之交点问题，往往也等价于方程()()0f x g x -=的解的问题，或者新函数()()()h x f x g x =-的零点问题。

2、连续函数的零点存在性定理。

如果函数()f x 在[,]a b 上连续（高中阶段可等价成其图像是连续不断的），且()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在[,]a b 上至少存在一个零点。

【注意】如果()()0f a f b ⋅>，不能说明()f x 在[,]a b 上就没有零点。

3、重要结论（1）如函数()f x 的图像关于直线x a =对称，且()f x 有n 个零点，则这n 个零点之和为na （2）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于直线x a =对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1ni i x na ==∑（3）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于点(,)a b 中心对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1()ni i i x y na nb =+=+∑4、如果函数()f x 为单调函数，则()f x 最多只有一个零点。

例1（重庆高考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A 、(),a b 和(),b c 内B 、(),a -∞和(),a b 内C 、(),b c 和(),c +∞内D 、(),a -∞和(),c +∞内 【解析】由题意知：()()()0f a a b a c =-->， ()()()0f b b c b a =--< ()()()0f c c a c b =-->因此，()f x 在(),a b 和(),b c 内分别至少有一个零点，依题意，只能选A 。

函数与方程一、考点聚焦1．函数零点的概念对于函数))((D x x f y ，我们把使0)(x f 的实数x 叫做函数)(x f y 的零点，注意以下几点：（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。

（2）函数的零点也就是函数)(x f y 的图象与x 轴的交点的横坐标。

（3）一般我们只讨论函数的实数零点。

（4）求零点就是求方程0)(x f 的实数根。

2、函数零点的判断如果函数)(x f y 在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(b f a f ，那么，函数)(x f y 在区间),(b a 内有零点，即存在),(0b a x ，使得0)(0x f ，这个0x 也就是方程0)(x f 的根。

但要注意：如果函数)(x f y 在],[b a 上的图象是连续不断的曲线，且0x 是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有.0)()(b f a f 3．函数零点与方程的根的关系根据函数零点的定义可知：函数)(x f 的零点，就是方程0)(x f 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(x f 是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程0)(x f ，所得实数根就是)(x f 的零点。

4．函数零点具有的性质注意：①函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程0)(x f 没有实数根，则函数)(x f 没有零点。

5、二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步副近零点，进而得到零点近似值的方法。

用二分法求函数零点近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在的区间。

6．用二分法求函数零点的近似值的探究在应用二分法求函数的变号零点的近似值0x 时，从精确度出发，确定需经过多次取区间],[b a 的中点找到零点的近似值，使其达到精确度的要求。

§2.9函数的零点与方程的解学习目标1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(√)教材改编题1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)答案 BCD解析 由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0， f (5)f (7)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________．答案 －2，e解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________． 答案 (3,6)解析 设f (x )＝2x ＋x ， ∴f (x )在(1,2)上单调递增， 又f (1)＝3，f (2)＝6， ∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1 (1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 AD解析 f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e －1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0， f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0， 所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1 (1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)答案 C解析 设f (x )＝log 3x －3＋x ， 当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2， 又∵f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33－3＋3＝1>0， 故f (2)·f (3)<0，故方程log 3x ＝3－x 在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a <3<b <4，函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋b 的交点为(x 0，y 0)，且x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 依题意x 0为方程log a x ＝－x ＋b 的解， 即为函数f (x )＝log a x ＋x －b 的零点， ∵2<a <3<b <4，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又f (2)＝log a 2＋2－b <0， f (3)＝log a 3＋3－b >0， ∴x 0∈(2,3)，即n ＝2. 题型二 函数零点个数的判定例2 (1)(2022·绍兴模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－6,6]内的零点个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．11 答案 C解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2函数， 因为x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，所以作出它的图象，则y ＝f (x )的图象如图所示．(注意拓展它的区间)再作出函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0的图象，容易得出交点为12个．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案 6解析 令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0， 由36－x 2＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点． 教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象有两个交点，即原函数有2个零点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2 (1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．5 D ．6 答案 B解析 根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图：由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为 7. 题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤0，1x ，x >0，若关于x 的方程f (x )－a (x ＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4－23) B ．(4＋23，＋∞) C ．[0,4－23] D ．(0,4－23)答案 D解析 画出f (x )的函数图象，设y ＝a (x ＋3)，该直线恒过点(－3,0)， 结合函数图象，若y ＝a (x ＋3)与y ＝－x 2－2x 相切，联立得x 2＋(a ＋2)x ＋3a ＝0， Δ＝(a ＋2)2－12a ＝0， 得a ＝4－23(a ＝4＋23舍)， 若f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根， 则0<a <4－2 3.命题点2 根据函数零点范围求参数例4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 答案 B解析 由f (x )＝3x －1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时， g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝⎛⎭⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝xx ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________．答案 －1解析 由f (x )＝xx ＋2－kx 2＝x ⎝⎛⎭⎫1x ＋2－kx ，函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0.即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根．显然k ≠0，即1k＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k>－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k＝－1，即k ＝－1时满足条件． 当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k无交点，不满足条件． 2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0， 解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3 (1)(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x (x ＋1)，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 BCD解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点， 当x ≤0时，f (x )＝(x ＋1)e x ， 则f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x ＝(x ＋2)e x ，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f (－2)＝－1e 2，f (0)＝1，x →－∞时，f (x )→0，从而可得f (x )的图象如图所示，通过图象可知，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，则b ∈(0,1]． (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－53，0 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－53，0 答案 D解析 由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，0.课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 由题意知，f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 答案 A解析 取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32， 因为f ⎝⎛⎭⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32. 3．(2022·武汉质检)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D解析 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解， 设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3， 则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3,0)B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案 A 解析 因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．5．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．多于4答案 C解析 f (x )＝log 3|x |的解的个数，等价于y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数，因为函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且f (x )为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点．7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 ABC解析 由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]， 在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．g (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝12x ＋1D ．f (x )＝|log 2x |－1答案 BCD解析 选项A ，若f (x 0)＝x 0，则02x ＝0，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若g (x 0)＝x 0，则x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝3或x 0＝－1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故C 中函数是“不动点”函数； 选项D ，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故D 中函数是“不动点”函数．9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f (x )＝________.答案 x 3－x (答案不唯一)解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫2e 2，1e 解析 ∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e2， f (x )＝ln x (x ＞1)，f ′(x )＝1x， 设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ， 解得t ＝e.∴k 2＝1e. 则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎡⎭⎫2e 2，1e .12．(2022·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2＝________. 答案 1解析 x 1，x 2分别是函数y ＝e x ，函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B 的横坐标，所以A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析 令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案 12 解析 当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f (x )＝－1，可得x ＋1＝－1或log 2x ＝－1，∴x ＝－2或x ＝12；当x >0时，log 2x ＝0，x ＝1，由f (x )＝1，可得x ＋1＝1或log 2x ＝1，∴x ＝0或x ＝2；∴函数y ＝f (f (x ))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为() A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫14，1C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 C解析 因为|x |x ＋4＝kx 2有四个实数解，显然，x ＝0是方程的一个解，下面只考虑x ≠0时有三个实数解即可．若x >0，原方程等价于1＝kx (x ＋4)，显然k ≠0，则1k ＝x (x ＋4)．要使该方程有解，必须k >0，则1k ＋4＝(x ＋2)2，此时x >0，方程有且必有一解；所以当x <0时必须有两解，当x <0时，原方程等价于－1＝kx (x ＋4)，即－1k＝x (x ＋4)(x <0且x ≠－4)，要使该方程有两解， 必须－4<－1k<0， 所以k >14. 所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2解析 由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2.。

二次函数的零点和方程二次函数是一种常见的数学函数，具有形式为 y = ax^2 + bx + c 的方程。

在二次函数中，我们可以通过确定该函数的零点和解方程来更好地理解和分析其性质。

以下是关于二次函数的零点和方程的一些重要信息。

零点二次函数的零点是指函数图像与 x 轴相交的点，即 y 值为零的点。

它们对应于方程 y = 0 的解。

在二次函数中，零点的个数和位置与二次函数的系数相关。

如果二次函数的判别式（b^2 - 4ac）大于零，那么函数图像与x 轴相交于两个不同的点，即函数有两个不同的零点。

如果判别式等于零，函数图像与 x 轴相交于一个点，即函数有一个重复的零点。

如果判别式小于零，函数图像与 x 轴不相交，即函数没有实数解，也就是没有零点。

解方程为了确定二次函数的零点，我们需要解方程 y = ax^2 + bx + c = 0。

解二次方程的常用方法有配方法、求根公式和完全平方式。

配方法配方法是一种将二次方程转化为完全平方式的方法。

它通过将方程两边用二次项系数的一半平方的形式进行配方，以消除线性项。

然后，我们可以通过解完全平方式的方程来找到二次函数的零点。

求根公式求根公式，也称为二次方程的根公式，可以用来求解任意二次方程（判别式不为负）的零点。

求根公式是通过将二次方程标准形式中的系数代入到公式中，得到零点的表达式。

零点的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，其中 ±表示两个解。

完全平方式完全平方式是一种通过将二次方程转化为完全平方式的方法来求解零点的方法。

它通过完全平方式将二次方程转化为完全平方式的形式，然后我们可以通过求这个完全平方式的根来找到二次函数的零点。

总结二次函数的零点和解方程是我们理解和分析二次函数性质的重要步骤。

通过判别式和解方程的不同方法，我们可以确定二次函数的零点个数和位置，并进一步研究二次函数的图像。

这些概念和方法在数学中具有广泛的应用和重要性。

数学中的函数零点与方程求解技巧在数学中，函数零点以及方程的求解是重要的概念和技巧。

它们在代数、几何和应用数学中都扮演着关键的角色。

本文将探讨函数零点和方程求解的相关概念以及解题技巧。

一、函数零点函数零点指的是函数取零值的点，即函数的输入使函数的输出等于零。

函数零点也叫做函数的根，表示为f(x) = 0。

要找到函数的零点，我们需要使用一些特定的方法和技巧。

1. 解析法解析法是找到函数零点的一种常用方法。

对于一些特殊的函数，我们可以通过运用代数技巧来求解零点。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，其零点可以通过令ax + b = 0来求解，解得x = -b/a。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式来求解零点，即x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

2. 图像法图像法是另一个找到函数零点的常用方法。

我们可以绘制函数的图像，在坐标系中观察函数与x轴的交点，那些交点就是函数的零点。

这种方法在直观上帮助我们理解函数的性质，并且可以在一定程度上验证我们通过解析法得到的结果。

二、方程的求解技巧方程的求解是数学中的重要课题之一，也是解决实际问题的关键。

不同类型的方程有不同的求解技巧，下面我们将介绍一些常见的方程求解技巧。

1. 一元一次方程的求解一元一次方程指的是只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。

例如，2x + 3 = 5就是一个一元一次方程。

解这种方程的常用方法是移项和消项。

我们可以通过移动所有含有未知数的项到一边，并消除方程中的常数项，最终得到未知数的值。

2. 一元二次方程的求解一元二次方程是一个最高次数为二的方程，一般形式为ax^2 + bx +c = 0。

解一元二次方程的常用方法是使用求根公式或配方法。

我们可以使用求根公式来直接求解方程的根。

如果使用配方法，我们要将方程变形为完全平方的形式，然后求解方程。

3. 线性方程组的求解线性方程组是多个含有多个未知数的方程组成的系统。

二次函数的零点与方程二次函数是一个非常重要的数学概念，在数学和实际生活中都有广泛的应用。

了解二次函数的零点和方程可以帮助我们解决许多实际问题。

本文将详细介绍二次函数的零点以及如何求解二次方程。

一、二次函数的定义与性质二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

二次函数的图像通常为一个开口向上或向下的抛物线。

二次函数的主要性质有：1. 零点：二次函数与x轴相交的点称为零点。

零点是二次函数图像与x轴的交点，也即函数值等于0的x值。

零点可能有0个、1个或2个。

2. 领头系数：二次函数中的系数a称为领头系数。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

3. 对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称。

对称轴可以通过二次函数的顶点得到。

4. 顶点：二次函数的图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）称为顶点。

二、二次函数的零点1. 零点的定义：二次函数的零点是使得函数值等于0的x值。

设二次函数为y =ax^2 + bx + c，若存在x使得ax^2 + bx + c = 0，则称x是二次函数的零点。

2. 求解零点的方法：为了求解二次函数的零点，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式。

下面将分别介绍这三种方法。

（一）因式分解法：对于一些特殊的二次函数，我们可以通过因式分解来求解零点。

例如，对于y = x^2 - 4x + 3，我们可以将其因式分解为(y - 1)(x - 3) = 0，从而得到x的两个解为1和3。

（二）配方法：对于一般的二次函数，我们可以使用配方法来求解零点。

具体步骤如下：1. 将二次函数表示为完全平方形式。

例如，对于y = x^2 + 4x - 5，我们可以将其表示为y = (x + 2)^2 - 9。

2. 令完全平方项等于0，解得x的值。

对于上述例子，我们有(x + 2)^2 - 9 = 0，解得x的两个解为-5和3。

（三）求根公式：一般情况下，我们可以使用求根公式来求解二次函数的零点。